´deutiques Statistiques Prope Cours : Prof. Dr. Christian Mazza Exercices : Matthieu Jacquemet Mardi 28 avril 2015 ´rie 10 Se Th´ eor` emes limites ` rendre avant le mercredi 6 mai, 8h15 A Exercice 1 (TLC et LGN) Man wirft 10 Mal einen W¨ urfel. Xi entspricht das Ergebnis eines Wurfes. (a) Berechne E(Xi ) und V ar(Xi ). (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe von den W¨ urfen liegt zwischen 30 und 40. (c) Was kann man u ¨ber den Durchschnitt sagen, wenn die Anzahl von W¨ urfen gross wird ? (d) Illustriere das Ph¨ anomen mit Hilfe von SPSS : Simuliere das Experiment f¨ ur n = 10, 50 und 100 W¨ urfen. (Berechne jedes Mal den Durchschnitt). (Siehe Tutorial) Exercice 2 (TLC) Dans le jeu de la roulette 36 cases dont 18 rouges et 18 noires sont destin´ees au joueur tandis que deux cases vertes, le 0 et 00, sont celles du casino. Le gain d’un joueur lors du i`eme jeu est donn´e par 1, si la case est rouge Xi = −1, si la case est noire ou verte On suppose les Xi ind´ependantes et le gain total apr`es n jeux est donn´e par Sn = n P Xi . i=1 On prendra n = 202 = 400. (a) Calculer E(Xi ), V ar(Xi ), E(S400 ) et V ar(S400 ) (b) Calculer P (S400 ≥ 0). (c) Interpr´eter ce que vous avez obtenu. Exercice 3 (TLC) Un vol Paris-Marseille est assur´e par un Airbus de 200 places. Pour ce vol, des estimations montrent que la probabilit´e pour qu’une personne confirme son billet est p = 0.7. La compagnie vend n billets. On d´efinit X la v.a. d´ecrivant le nombre de personnes total ayant confirm´e leur r´eservation pour ce vol. (a) Quelle est la loi suivie par X ? (b) Pour quel nombre n de billets vendus, la compagnie est-elle assur´ee `a au moins 95% de remplir l’avion ? (c) Simuler cette situation ` a l’aide de SPSS pour diff´erentes valeurs de n. Produire `a chaque fois l’histogramme. Que constatez-vous ? Cela correspond-t-il `a vos calculs ? Tutoriel : Simulations II Le but est de donner une repr´esentation descriptive des issues d’une variable al´eatoire, afin d’en ´etudier la r´epartition et d’avoir une id´ee de la distribution de cette v.a. Une autre application possible est la comparaison de deux distributions. Ainsi, on va proc´eder en deux temps : d’abord, simuler un grand nombre d’issues de la variable al´eatoire, puis ´etablir les statistiques descriptives afin de se faire une id´ee de la distribution. On se propose ici de le faire au travers d’un exemple. Prenons le cas d’un jet de d´e. On va simuler cette exp´erience 10 fois. Chaque issue consiste en un nombre naturel entre 1 et 6. La premi`ere ´etape est similaire ` a celle utilis´ee dans le pr´ec´edent tutoriel (cf. Corrig´e 7). – G´en´erer al´eatoirement les nombres. 1) Ouvrir SPSS. 2) D´efinir une variable num´erique, disons ”Issues”. 3) Remplir les 10 premi`eres cellules de la colonne correspondant `a cette variable avec des 1 (ou des nombres arbitraires ; il s’agit seulement d’indiquer `a SPSS qu’on veut simuler 10 issues). 4) Dans le menu, aller dans ”Transform - Compute variables”. 5) Remplir les champs comme suit : (i) Remplir le champ ”Target Variable” avec le nom de la variable, ici ”Issues”. (ii) Dans le champ ”Numeric Expression”, on veut tirer al´eatoirement des nombres entre 1 et 6. Ces nombres doivent ˆetre uniform´ement al´eatoires, i.e. on veut avoir la mˆeme chance d’obtenir chaque nombre. Pour ¸ca, utiliser la fonction RV.Uniform(min,max), et remplacer ”min” par 1 et ”max” par 6. Probl`eme : les nombres tir´es ne sont pas des nombres naturels ! Pour obtenir des nombres naturels entre 1 et 6, on va arrondir les nombres obtenus pr´ec´edemment en utilisant la fonction d’arrondi RND, et afin d’avoir une r´epartition la plus uniforme possible, on doit ajuster les bornes. Ainsi, peut par exemple utiliser la fonction RND(RV.Uniform(0.5,6.49)) 6) Cliquer sur OK et confirmer. Les 10 nombres dans la variable ”Issues” sont ainsi des nombres entiers uniform´ement r´epartis entre 1 et 6. – Etablir la statistique descriptive. 1) Aller dans le menu ”Analyze - Descriptive statistics - Descriptive” 2) Choisir les variables que vous voulez analyser (ici, ”Issues”) 3) Cliquer sur ”Options” afin de choisir les statistiques que vous voulez ´etablir (moyenne, ´ecart-type, minimum, maximum, etc.) 4) Cliquer sur ”Continue”, puis ”OK”. SPSS g´en`ere alors une table r´ecapitulative des grandeurs demand´ees.