1. No category

Universit´e du Littoral Cˆ
ote d’Opale
Math´ematiques
GIM, 2`eme ann´ee
Ann´ee 2014-2015
Fiche n◦ 2. Tests.
Exercice 1. Une variable suit une loi normale N (µ, 100). On veut tester l’hypoth`ese selon laquelle
µ = 30 contre µ = 40. En se fondant sur la moyenne x d’un ´echantillon de taille 25, on choisit
d’appliquer la r`egle de d´ecision suivante : si x < 36, on d´ecidera µ = 30 et si x ≥ 36, on d´ecidera
µ = 40. Calculer les risques de premi`ere et seconde esp`ece.
Exercice 2. Un atelier produit en grande s´erie des disques de diam`etre nominal 25mm. On note X
la variable al´eatoire qui, `
a chaque ´echantillon de 100 disques de la production, associe la moyenne
des diam`etres de ces 100 disques. On admet que X suit la loi normale de moyenne µ et d’´ecart-type
0.004. On pr´el`eve au hasard et avec remise un ´echantillon de 100 disques dans la production. On
souhaite construire un test bilat´eral de validit´e d’hypoth`ese pour savoir si l’on peut consid´erer, au
risque de 5%, que la moyenne µ des disques de la production est ´egale `a 25mm.
(1) Sous l’hypoth`ese nulle µ = 25, calculer la valeur du r´eel d tel que P |X − 25| < d = 0.95.
(2) La moyenne des diam`etres des 100 disques de l’´echantillon pr´elev´e dans la production est
24.994. Quelle est la conclusion du test ?
Exercice 3. Un laboratoire de chimie est charg´e de conditionner des flacons d’eau de toilette
destin´es `
a une parfumerie. On d´efinit une variable al´eatoire X associant `a chaque flacon le volume de son contenu exprim´e en cm3 . On suppose que X suive une loi normale de moyenne µ
(inconnue) et d’´ecart-type (connu) σ = 0.036. A l’occasion d’une commande, le parfumeur re¸coit
du laboratoire un lot de flacons. Il envisage d’effectuer un test de conformit´e de la moyenne µ de
la production, avec la valeur µ0 = 43.041 annonc´ee par le fournisseur, `a partir d’un ´echantillon
de taille n = 75. Dans tout ce qui suit, on oppose l’hypoth`ese nulle H0 : µ = µ0 `a l’hypoth`ese
alternative H1 : µ 6= µ0 .
(1) Quelle est la loi de probabilit´e suivie par la moyenne d’´echantillonnage X ? En pr´eciser les
param`etres.
−3
(2) En se pla¸cant sous l’hypoth`
ese H0 , d´eterminer la valeur arrondie `a 10 pr`es du r´eel h tel
que P µ − h ≤ X ≤ µ + h = 0.90.
(3) En d´eduire l’intervalle d’acceptation de l’hypoth`ese H0 au seuil de risque de 10%.
(4) Enoncer la r`egle de d´ecision du test.
(5) Pour r´ealiser ce test d’hypoth`ese bilat´eral, le parfumeur effectue un pr´el`evement al´eatoire,
assimil´e `
a un pr´el`evement avec remise de 75 flacons pris dans le lot re¸cu. Les r´esultats sont
donn´es dans le tableau suivant :
volume
Effectif
[42.930, 42.970[ [42.970, 43.010[ [43.010, 43.050[ [43.050, 43.090[ [43.090, 43.130]
2
7
39
19
18
Peut-on affirmer, au seuil de risque 10%, que la valeur µ0 annonc´ee pour µ est correcte ?
Exercice 4. Dans un grand pays d´emocratique, un quotidien publie tous les mois la ”cote” de
popularit´e du chef du gouvernement `
a partir d’un sondage r´ealis´e sur un ´echantillon repr´esentatif
de 1000 personnes. Au mois de janvier, la cote publi´ee ´etait : ”38% d’opinions favorables”, en
f´evrier : ”36% d’opinions favorables”. On veut tester l’hypoth`ese H0 =”la cote de popularit´e est la
mˆeme” contre l’hypoth`ese alternative H1 =”la cote de popularit´e a baiss´e”.
1
(1) Pr´eciser de quel type de test il s’agit (unilat´eral/bilat´eral ? conformit´e/homog´en´eit´e faible/ad´equation
a une loi ? moyenne/proportion ?).
`
(2) On admet le r´esultat suivant : pour un test d’homog´en´eit´e entre deux proportions p1 , p2
d’hypoth`eses nulle p1 = p2 et alternative p1 > p2 , la zone de rejet associ´ee `a la statistique
discriminante Z = P1 − P2 est
s
#
"
1
1
+
,∞ ,
u1−α · pˆ(1 − pˆ)
n1
n2
o`
u pˆ =
p1 n1 +p2 n2
n1 +n2
et o`
u n1 et n2 sont les tailles des ´echantillons associ´es.
(a) Calculer z.
(b) Calculer la zone de rejet.
(c) En d´eduire s’il faut rejeter ou non l’hypoth`ese nulle.
(3) R´epondre aux mˆemes questions en supposant que les cotes ont ´et´e obtenues sur un ´echantillon
repr´esentatif de 4000 personnes. Comparer le r´esultat de ce test `a celui effectu´e aupr`es de
1000 personnes.
Exercice 5. Une ´etude est men´ee dans une universit´e sur l’absent´eisme des ´etudiants. On aimerait
savoir si certaines plages horaires sont plus propices `a une absence aux cours qu’une autre. Pour
cela, on a relev´e, au cours d’un mois, le nombre d’absences d’´etudiants aux cours dans une petite
composante `
a diff´erentes moments de la journ´ee. On souhaite tester l’hypoth`ese selon laquelle les
absences des ´etudiants se r´epartissent uniform´ement tout au long de la journ´ee.
Heures de la journ´ee Nombre d’´etudiants absents
8-10
25
10-12
15
13-15
18
15-17
32
(1) Formuler les hypoth`eses nulle et alternative et pr´eciser la statistique discriminante.
(2) Calculer le quantile d’ordre 0.95 d’une loi du chi-deux `a 3 degr´es de libert´e.
(3) En d´eduire si, au seuil de risque de 5%, il faut rejeter ou non l’hypoth`ese nulle.
Exercice 6. On a observ´e le nombre de d´efauts de pi`eces de tissu trait´ees par un teinturier. Les
r´esultats de n = 50 observations sont reproduits dans le tableau ci-dessous (par ex : 8 des 50 pi`eces
pr´esentent 3 d´efauts) :
Nombre de d´efauts dans la pi`ece 0 1 2 3 4 ou plus
Nombre de pi`eces
6 14 16 8
6
Des ´etudes ant´erieures avaient permis de faire l’hypoth`ese que le nombre de d´efauts par pi`ece
pouvait ˆetre consid´er´e comme une variable al´eatoire X ob´eissant `a une loi de Poisson de param`etre
−λ k
inconnu λ (on rappelle que la loi d’une telle variable est donn´ee par P(X = k) = e k!λ ).
(1) Enoncer les hypoth`eses nulle et alternative.
ˆ du param`etre de la loi de Poisson.
(2) Sous l’hypoth`ese nulle, donner une estimation λ
(3) Pour tout i = 0, . . . , 3, on pose pi = P(X = i) et p4 = P(X ≥ 4), o`
u X est une loi de Poisson
ˆ
de param`etre λ.
(a) Calculer les pi .
(b) V´erifier que npi ≥ 5, pour tout i.
(4) D´esignons par Z la statistique discriminante du test du chi-deux.
(a) Rappeler l’expression de Z et pr´eciser sa loi.
(b) Calculer z.
2
(c) En d´eduire si, au seuil de risque de 99%, il faut ou non rejeter l’hypoth`ese nulle.
Exercice 7. Un responsable qualit´e d’une entreprise fabriquant de l’appareillage ´electronique a
mesur´e la dur´ee de vie de 60 dispositifs ´electroniques d’un mˆeme type. Il a obtenu les r´esultats
suivants :
Dur´ee de vie (en heures) Nombre de dispositifs
[250, 270]
3
[270, 290]
5
[290, 310]
15
[310, 330]
22
[330, 350]
13
[350, 370]
2
(1) Pr´eciser si les effectifs hypoth´etiques npi sont sup´erieurs `a 5 dans chaque classe.
(2) Les donn´ees permettent-elles, au seuil 5%, de penser que la dur´ee de vie d’un dispositif
´electronique de type est distribu´ee selon une loi normale ?
3