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Lineare Algebra II
17.03.2015
Zusammenfassung der Vorlesung (Woche 4)
VI.3
Triagonalisierbarkeit
Denition VI.3.1. Eine quadratische Matrix A ∈ M(n × n, K) nennen wir triagonalisierbar,
wenn sie zu einer (oberen) Dreiecksmatrix ähnlich ist.
Ein Endomorphismus f ∈ End(V ) heisst triagonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt,
so dass die Darstellungsmatrix MB (f ) eine Dreiecksmatrix ist.
Bemerkung VI.3.2. Ist A ∈ M(n × n, K) triagonalisierbar, so zerfällt ihres charakteristische
Polynom in Linearfaktoren. Insbesondere gelten
det(A) = λ1 · · · λn
und Spur(A) = λ1 + · · · + λn ,
wobei λ1 , . . . , λn die (nicht unbedingt verschieden) Eigenwerte von A bezeichnen.
Satz VI.3.3 (Charakterisierung der Triagonalisierbarkeit).
Für jeden Endomorphismus f ∈ End(V ) eines endlichdimensionalen Vektorraums sind folgende
Bedingungen äquivalent:
(i) f ist triagonalisierbar.
(ii) Das charkteristische Polynom von f zerfällt in Linearfaktoren.
(iii) Es gilt P (f ) = 0 ∈ End(V ) für ein Polynom P ∈ K[t], das in Linearfaktoren zerfällt.
(iv) Das Minimalpolynom von f zerfällt in Linearfaktoren.
Korollar VI.3.4. Jede komplexe quadratische Matrix A ∈ M(n × n, C) ist trigonalisierbar.
VI.4
Haupträume
In diesem Abschnitt bezeichnet f einen Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums V , mit einem in Linearfaktoren zerfällenden charakteristischen Polynom
Pf (t) = (−1)n (t − λ1 )r1 · · · (t − λk )rk ∈ K[t].
Denition VI.4.1. Wir nennen Hauptraum von f zum Eigenwert λi den Unterraum
Hau(f, λi ) := Ker((f − λi idV )ri ) ⊂ V.
Bemerkung VI.4.2.
(1) Jeder Hauptraum Hau(f, λi ) ist f -invariant.
(2) Es gilt V = Hau(f, λ1 ) ⊕ · · · ⊕ Hau(f, λk ).
(3) Es gilt dim(Hau(f, λi )) = ri für alle i.
Lineare Algebra II
17.03.2015
Satz VI.4.3 (Auf dem Weg zur Jordan-Normalform).
Sei f ∈ End(V ) mit Pf (t) = (−1)n (t − λ1 )r1 · · · (t − λk )rk . Dann gibt es eine Basis B von V , so
dass die Darstellungsmatrix von f sowohl eine Dreiecksmatrix als auch eine Blockdiagonalmatrix
mit getrennten Eigenwerten ist, d.h.:

∆1


MB (f ) = 



...





...
∆k
VI.5
n×n

λi

0
mit ∆i = 
 ..
.
0

∗
···
∗
...
...
···
0
.

∗
λi r ×r
...
...
.. 
.

i
i
die Jordan-Chevalley-Zerlegung
Denition VI.5.1. Ein Endomorphismus
f ∈ End(V ) heisst
k ≥ 1 gibt, so dass
= f ◦ · · · ◦ f = 0 ∈ End(V ) ist.
Die kleinste solche k nennen wir Nilpotenzindex von f .
fk
nilpotent, wenn es eine Zahl
Behauptung VI.5.2. Sei A eine nilpotente Matrix vom Nilpotenzindex k. Dann ist das Minimalpolynom von A gleich tk . Folglich gelten:
(1) k ≤ n.
(2) 0 ist der einzige Eigenwert von A. Insbesondere ist A nicht invertierbar.
(3) A ist trigonalisierbar.
(4) A ist genau dann diagonalisierbar, wenn k = 1 ist, d.h. wenn A = 0 die Nullmatrix ist.
Satz VI.5.3. Sei V ein Vektorraum mit dim(V ) = n < +∞ und sei f
folgenden Aussagen äquivalent:
∈ End(V ). Dann sind die
(i) f ist nilpotent.
(ii) Das charakteristische Polynom von f ist gleich Pf (t) = (−1)n tn .
(iii) Es gibt eine Basis B von V , so dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich B eine Dreiecksmatrix ist, deren Diagonaleinträge alle gleich Null sind.
Satz VI.5.4 (Jordan-Chevalley-Zerlegung).
Sei f ∈ End(V ), deren charakteristisches Polynom von f in Linearfaktoren zerfällt. Dann gibt
es eindeutig bestimmte Endomorphismen fD , fN ∈ End(V ), so dass:
(i) fD ist diagonalisierbar.
(ii) fN ist nilpotent.
(iii) f = fD + fN .
(iv) fD und fN sind vertauschbar.
Bemerkung VI.5.5. Ist
Endomorphismus fD
Pf (t) = (−1)n (t − λ1 )r1 · · · (t − λk )rk , so ist der diagonalisierbare
in der Jordan-Chevalley-Zerlegung von f einfach durch
fD |Hau(f,λi ) = λi · idHau(f,λi )
für alle 1 ≤ i ≤ k deniert.