1. No category

Corrigé de l’exercice 1







6
l’expression de sa fréquence instantanée f i
fi = 10 + 2500.sin(1000t)
la fréquence Fo de la porteuse
Fo = 1 MHz
la fréquence f du signal modulant
f = 500 Hz
l’excursion en fréquence ΔF
ΔF = 2500 Hz
l’indice de modulation m
m=5
son encombrement spectral B (règle de Carson)B = 6 kHz
sa puissance sur une antenne R = 50 Ω
P=1W
Corrigé de l’exercice 2
F = 50 kHz
1) Fo = 10 MHz
2) m = 5
3)
Amplitude
2
1
0
10 MHz
10 kHz
Fréquence
B = 160 kHz
4) La tension de sortie du VCO est amplifiée de 40 dB soit 500 V, la puissance d’émission est
donc de 2500 W.
Corrigé de l’exercice 3
1) IM = 200 mA
2) 5 < m < 1500
3)
0,036
0,026
89,91
0,026
90
90,090
f (MHz)
4) B = 180 kHz
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 1 sur 10
Corrigé de l’exercice 4
1) a. fsmin = 10*1762*16/32 = 88,1 MHz f sMAX = 10*2158*16/32 = 107,9 MHz
b. Pour 1766 f s = 88,3 MHz soit 200 kHz de plus que pour 1762 donc la largeur de
bande B d'un canal FM est de 200 kHz.
-6
6
2) La dérive de fréquence en sortie est donc de 2.10 .107,9.10 = 215,8 Hz, inférieure au 2000
Hz tolérés.
3)
a.
Kd
V(p)

(p) 1  p

fs t   c  K 0 .ut   fc  f t  donc
2
1 ds
p
2
donc Fp  
 s p  et  s p  
f (t) 
Fp 
2
p
2 dt
Va(p)
E(p)
+
KD
1+p
-
V(p)
+
+ U(p)
K0
F(p)
S(p)
2
p
b. On se place dans le cas où  E(p) = 0.
Fp  K 0 .Up
Vp  
U(p) = V(p) + V a(p)
2
Fp  donc :
p
K d 2
Vp   
Fp 
1  p p
Kd
K
p    d  s p 
1  p
1  p
 s p  
Up   Va p  
K d 2
Fp 
1  p p
et


 K .K 2 
K d 2
Fp   K 0 Va p  
Fp  donc Fp 1  0 d
  K 0 Va p 
1  p p


 1  p p 
Fp   K 0 .K d 2 
1
p.1  p 
Tp  
 1 
 K0
  K 0
K .K 2
Va p   1  p p 
p.1  p   2K 0 .K d
1 0 d
1  p p
p.1  p 
1
p.1  p 
Tp   K 0


1
p.1  p   2K 0 .K d 2K d
p2 
p 1
2K 0 .K d
2K 0 .K d
p1  p 
expression de la forme : Tp   T0
2
p  p 
1  2m
 
0  0 
T0 
1
2K d
0 
2K 0 .K d

Modulations angulaires (E+C).docx
m
1
1
2 2K 0 .K d 
Page 2 sur 10
c. m = 0,70
f 0 = 49 Hz
T0 = 4547 V
-1
G
-20dB/déc
20dB/déc
120 dB
49
69
2
En haute fréquence, ce sont les termes en p qui dominent, donc
log(f)
Tp  T0 ..02  106
et G = 120 dB
d. On a une modulation linéaire du VCO à partir de f = 69 Hz.
e. En régime linéaire
Tp  T0 ..02  106 donc VaMAX = f /106 = 75 mV
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 3 sur 10
fE t  
Corrigé de l’exercice 5
p
p
donc FE p  
.E p  et FR p  
.R p 
2
2
1 dE
2 dt
f R(t) = K 0 u(t) donc FR p  K 0 .Up
v D(t) = K D[E (t) -  R(t)] donc V D(p) = K D[ E (p) -  R(p)]
Up 
1

VD p  1  p
1) a.
HE p  
E p  2

FE p 
p
Up 
KD

E p   R p  1  p
HD p  
R p  R p  FR p  2


K0
Up 
FR p  Up 
p
2K D
Up 
HE p .HD p 
2K D
p1  p 
b. Tp  



2

K
.
K
FE p  1  HD p .H0 p  1 
p1  p   2K 0 .K D
0
D
p1  p 
H0 p  
Tp  
2K D

p1  p   2K 0 .K D
avec
T0  1/ K 0
0 
1/ K 0

1
p2 
p 1
2K 0 .K D
2K 0 .K D
2K 0 .K D

m

T0
p  p 
1  2m
 
0  0 
2
1
1
2 2K 0 .K D 
2) a. Le filtre passe-bas étant du premier ordre, son atténuation est de 20dB/déc. Pour obtenir une
atténuation de 20 dB à 200 kHz il faut choisir une fréquence de coupure à -3 dB f3, 10 fois plus faible
(une décade) soit 20 kHz.

b..f 0 = 10 kHz
c. Puisque m = 1,
T j 
T0


1  j 
0 

1
 7,96s
2f3
m=1
Tp  
2
T 0 = 200 µV/Hz
T0
p  p 
1 2
 
0  0 
donc
T j 
2

T0

p 
1 

0 

T0
 
1   
 0 
2

2
T0
f 
1   
 f0 
2
et pour la fréquence de coupure à -1dB, f 1 :




2


 f1 
1
G  20 log
 1 soit 1     101 / 20 donc f1  f0 101/ 20  1  3,49kHz
2 
 f1  
 f0 



1


f  
 0 

Modulations angulaires (E+C).docx
Page 4 sur 10
c.
G(dB)
10 kHz
log(f)
-74dB
-80dB
-40dB/déc
(°)
0°
log(f)
-180°
3) a
b.
Up  
T0
f

p  p
1 

0 

2
lim ut   lim p.Up   lim p
t 
p 0
p 0
T0
f
 T0 .f  2.10 4 f

p  p
1 


0 

2
KD
E p  R p donc en régime permanent (p0) on aura :
1  p
u 
/2

 7,85kHz
u  KD E   R  soit u   / 2 et fMax 
4
2.10
2.10 4
c.
Up  
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 5 sur 10
Corrigé de l’exercice 6
1)
T( p ) 
R
R.Yp 
R.1/ r  Cp
R.1  r.Cp




R  Zp  R.Yp   1 R.1/ r  Cp  1 R.1  r.Cp  r
K = R/(R+r)
R.1  r.Cp
R  r .1  R.r.Cp 
Rr 

2 = R.r.C/(R+r) < 1
1 = r.C
2) En basse fréquence le condensateur n’agit pas tandis qu’en haute fréquence elle court -circuite
totalement, les hautes fréquences sont donc moins atténuées que les basses fréquences.
20log(T)
arg(T)
1
1
2 
2 
f
/2
20log R
R+r
3)
0
Vs p   K.
1
2 
1
2 
f
A
 A 1  2p   B.p 
1  1p E
B 
  K.E.

 K.E. 
1  2p p
 p 1  2p 
 p1  2p  
En identifiant on obtient : A = 1 et B = 1 - 2 = 
1


 

 donc v s t   K.E.1  e  t / 2 .ut   K.E.1  19.e  t / 2 .ut 
Vs p   K.E. 
2
 p 1  2p 


vs(t)
20K.E
K.E
t
4) La fréquence f2 = 63,7 kHz à partir de laquelle le gain est nul étant très supérieure à la
fréquence maximale du signal sonore (15 kHz), le dénominateur a une influence négligeable dans
la bande de fréquence du signal d’entrée.
5) Pour f > f1, T(p)  K.1.p, le signal est donc dérivé par le circuit.
Un modulateur de fréquence produit un signal tel que la dérivée de sa phase instantanée soit
proportionnelle au signal modulant d/dt = k.sm(t)
Si l’on intercale le circuit de préaccentuation entre le signal modulant et le modulateur, on aura donc
d/dt = k.dsm/dt soit (t) = k.sm(t) (à une constante près) ce qui est la définition d’un signal modulé en
phase.
6) Un filtre passe-bas à base de circuit RC suffit pour désaccentuer les hautes fréquences à la
réception.
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 6 sur 10
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES CORRIGES
SIGNAL FM A BANDE ETROITE
On considère le signal FM suivant : v(t) = Vcos (t + m.sint)
avec pour la fréquence de la porteuse F = /(2) = 100 kHz.
1) Un signal FM est dit à bande étroite lorsque son indice de modulation m est petit devant 1.
a. Pour un indice de modulation m = 0,25 et une excursion de fréquence F = 5 kHz, calculer
la valeur de la fréquence f du signal basse fréquence.
b. A l'aide de développements limités au premier ordre, montrer que v(t) peut être représentée
par une somme de trois composantes sinusoïdales. Représenter son spectre d’amplitude.
On rappelle qu'au premier ordre et pour  << 1: cos = 1, sin = .
c. En déduire l'encombrement spectral, B, d'un signal FM à bande étroite.
2) Pour tenir compte d'une augmentation de l'indice de modulation, on utilise alors des
développements limités au second ordre.
On rappelle qu'au second ordre et pour  << 1 : cos = 1 -  /2, sin = .
2
a. Montrer alors que v(t) peut être représenté par une somme de 5 composantes
sinusoïdales.
b. Représenter son spectre d'amplitude lorsque m = 0,7 et V = 1 V.
c. En utilisant la décomposition spectrale de v(t), calculer la puissance moyenne, P, que
dissiperait le signal v(t) aux bornes d'une résistance R.
d. Rappeler l'expression exacte de la puissance moyenne P 0 que dissipe un signal FM
d'amplitude V aux bornes d'une résistance R.
e. En déduire la valeur du rapport P/P0 pour m = 0,7.
Corrigé
1) a) f = 20 kHz
b) v(t) = V.cos(t
+ m.sint)
v(t) = V.cost.cos(m.sint) - V.sint.sin(m.sint)
v(t)  V.cost - mV.sint.sint
mV
mV
v(t)  V. cos t 
cos(  )t 
cos(  )t
2
2
V
m.V/2
80
100
120
f (kHz)
c) B = 2.f = 40 kHz
2) a) v(t)
= V.cost.cos(m.sint) - V.sint.sin(m.sint)
 m2

v(t)  V. cos t1 
sin2 t   mV. sint. sint
2


 m2

1 cos 2t   mV cos(  )t  mV cos(  )t
v(t)  V. cos t1 
4
2
2


Modulations angulaires (E+C).docx
Page 7 sur 10


 m2  m2
 
cos(  2)t  cos(  2)t   m cos(  )t  cos(  )t 
v(t)  V.cos t1 
4  8
2



b)
0,878
0,35
0,062
60
80
100
120
140
f (kHz)
2
2
2
 m2   V 2  3m4 
V 2  m2 
m
  2   2
 
1 
c) P 
1
2R 
4 
2
8   2R 
32 




V2
d) P0 
2R
P
3m4
e)
 1
 1,02
P0
32
MODULATEUR D’ARMSTRONG
Rappels mathématiques :
n
si  << 1, (1 + )  1 +
sin2 x 
1 - cos2x
2
cos(a+b) = cosa.cosb – sina.sinb
n
La porteuse (pulsation : ) est appliquée à un
déphaseur (- /2) et à un multiplieur dont l'autre
entrée reçoit la BF (pulsation : ) directement
pour une modulation de phase, après intégration
pour une modulation de fréquence.
vp(t) = Upsint
Arc tan(u)' 
1
 1  tan2 x
cos x
u'
1  u2
-/2
v2
vp
1 vs
v3
vm

X K
v1
vm(t) = Umcost
1) La tension à la sortie de l'intégrateur ayant pour expression
v 1  K 0  v m dt
celle à la sortie du multiplieur, v3
= K.v1.vp, exprimer v1(t), v2(t), v3(t) et vs(t).
K.K 0 .Um
sin t

Up
cos t  ( t)
que vs peut se mettre sous la forme : v s (t) =
cos(t)
2) Montrer, en posant
tan ( t) =
3) Mettre vs sous la forme : vs(t) = Us(t).cos[t + (t)]
Montrer que ce signal est modulé à la fois en amplitude et en fréquence.
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 8 sur 10
4) Que devient cette expression dans le cas où K.K0.Um / << 1 ?
Montrer qu'elle peut s'écrire : vs(t) = Up(1 - mA.cos2t).cos(t + m.sint)
Que peut-on conclure quant au rapport de mA /m ? Quelle est l'excursion de fréquence ?
5) Exprimer la pulsation instantanée i dans les deux cas précédents (questions 3 : i et 4 :ia) en
fonction de m.
En faisant un développement limité au premier ordre de i, montrer que la distorsion due à
l'harmonique 3 est inférieure à 1%, si m < 0,2.
6) On désire transmettre un signal BF de fréquences comprises entre 30 Hz et 15 kHz.
Quelle excursion de fréquence pourra-t-on avoir si m < 0,2 ?
7) Pour augmenter l’excursion de fréquence, on réalise le montage suivant :
-/2
v2
Osc
100kHz
fx
200
v5
X K

vm
1 v4
v3
X K
v6
v7
v1
f x 60
vs
Osc
18,3MHz
Quelle est la fréquence centrale et l’excursion de fréquence du signal v 5 ?
Quelles sont les fréquences présentes dans le signal v6 et que vaut l'excursion de fréquence ?
8) Dessiner le gabarit du filtre passe-bas qui élimine la fréquence la plus élevée de v6.
9) Quelle est la fréquence de la porteuse vs et que vaut l'excursion de fréquence ?
Proposer un ou plusieurs montages multiplieurs de fréquence.
Corrigé
1)
2)
K0
v 2 (t )  Up sin(t   / 2)  Up cos t
Um sint

K.K 0
K.K 0
v 3 (t)  
UmUp sint sint v s (t )  Up cos t 
UmUp sint sint


v1( t )  
v s (t )  Up cos t  tan ( t ). sint  
v s (t) 
Up
cos t. cos (t )  sin(t ). sint 
cos (t )
Up
cost  ( t )
cos ( t )
2
3)
 K.K 0

v s ( t )  Up 1  
Um sint  cost  ( t )
 

Ce signal est à la fois modulé en amplitude et en fréquence.
K.K 0 .Um
sint

4) Si K.K0.Um / << 1, tan(t) << 1 et l’on peut confondre tan(t) et (t), donc
( t ) 
De même le terme sous la racine est de la forme 1+, avec  << 1. Or (1+)
 1+/2, donc :
1/2
 1  K.K 0
K.K 0
 


v s ( t )  Up 1  
Um sint   cost 
Um sint   up ( t ) cost  m sint 

 


 2  
2
Or sin t = (1-cos2t)/2, donc l’amplitude du signal peut se mettre sous la forme :
2
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 9 sur 10
2
2
2
 1  K.K 0
  K.K 0

  K.K 0

 


up ( t )  Up 1  
Um sint    Up 1  
Um  1  cos 2t   Up 1  
Um  cos 2t 
 


 2  
  2

  2

2
Le taux de modulation d’amplitude a donc pour expression
modulation de fréquence :
m
 K.K 0

mA  
Um  et l’indice de
 2

K.K 0
Um et puisque m << 1, mA/m << 1.

La modulation de fréquence est donc prépondérante.
L’excursion en fréquence s’écrit :
F  m.f 
K.K 0
Um . On constate qu’elle est bien indépendante
2
de la fréquence du signal modulant, cependant, m étant très inférieur à 1, l’excursion sera très limitée.
5) Avec l’approximation de la question 4 on obtient :
ia(t ) 
d
t  m. sint     m.. cos t
dt
Sans approximation (question 3) on aura :
d
t  (t )  d  t  arctan K.K 0.Um sint    d t  arctanm. sint 
dt
dt 


  dt
1
i ( t )   
m.. cos t
2
1  m. sint 
i ( t ) 
Or m << 1 et 1/(1+)  1-, donc :
1 cos 2t  .m.. cos t

2
i (t )    1  m. sint  .m.. cos t    1  m2

2




 m2 
 m2 
m3 .
m3 .
.m. cos t 
.m.. cos t 
i ( t )    1 
cos 2t. cos t    1 
cos 3t
2 
2
4 
4


On remarque la présence de l’harmonique 3 du signal modulant.
La distorsion due à l’harmonique 3 est donc :
d3 
U3
m2 4

 10 2  m2  4.10 2  m  0,2 .
U1 1  m2 4
6) mMax = 0,2, or mMax = F/fmin donc F = mMax.fmin = 0,2 .30 = 6 Hz.
Cela confirme bien que l’excursion en fréquence est très faible.
7) La fréquence centrale de v5 vaut donc 20 MHz et son excursion de fréquence 1200 Hz, les deux
étant multipliées par 200. Les deux fréquences présentes dans v6 sont 38,33 MHz et 1,67 MHz.
L’excursion en fréquence est la même que celle de v5.
8)
1,67 MHz 38,33 MHz
9) La porteuse a pour fréquence 60.1,67 = 100 MHz et F = 60.1200 = 72 kHz.
Pour réaliser des multiplications de fréquences, on utilise des amplificateurs en classe C accordés sur
des harmoniques ou des PLL.
Modulations angulaires (E+C).docx
Page 10 sur 10