2015-04-01 DS 6 Mathématiques – 4 heures HX1 Les documents, téléphones, poissons et calculatrices sont interdits. Il sera tenu compte de la clarté, de la rigueur et de la présentation dans la notation. Sauf mention inverse, tous les résultats doivent être justifiés. Si le candidat est amené à repérer ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. Comme d’habitude, le barème est « en gros » décroissant pour limiter l’intérêt de sauter trop de questions. Tous les résultats doivent être présentés correctement, et encadrés. Si la question nécessite une démonstration, vous devez faire une phrase de conclusion à la fin de la question. Le sujet comporte 2 pages. Exercice 1 (Exercice fourre-tout) a) Soit E un espace vectoriel. Redémontrer que s ∈ L(E) est une symétrie si et seulement si s ◦ s = idE . b) On se place dans E = R3 . On note g1 = (1, −2, 3), g2 = (−1, 1, 2) et g3 = (3, −2, 1). Montrer que (g1 , g2 , g3 ) forme une base de E. Décomposer le vecteur (1, 1, 1) dans cette base. c) Déterminer tous les polynômes P de K[X] tels que (P 0 )2 = 4P . d) Soient E et F deux K-espaces vectoriels, f une application linéaire de E dans F , et A et B deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que : f (A) ⊂ f (B) ⇔ A + Ker (f ) ⊂ B + Ker (f ) e) On se place dans le R-espace vectoriel E des fonctions de classe C∞ sur l’intervalle ] − 1, 1[. On considère les fonctions √ √ f4 (x) = sin( 1 + x − 1) f1 (x) = cos(x) f2 (x) = sin(x) f3 (x) = cos( 1 + x − 1) Montrer que la famille (f1 , f2 , f3 , f4 ) est une famille libre, et en déduire la dimension de Vect(f1 , f2 , f3 , f4 ). (On pourra calculer un développement limité de af1 + bf2 + cf3 + df4 au voisinage de 0).. f) Soit n ∈ N? . Montrer qu’il existe un polynôme Pn tel que 1 + X − (Pn )2 est divisible par X n . On pourra chercher Pn comme une approximation polynômiale d’une fonction bien choisie et on justifiera la réponse avec soin. g) Soit E un R-espace vectoriel de dimension n > 1 et u un endomorphisme non nul de E vérifiant n u ◦ u = 0. Montrer que Im (u) ⊂ Ker (u) puis que rg(u) 6 . 2 Exercice 2 On considère l’équation (En ) : x + ex = n, pour n ∈ N. a) Montrer que (En ) possède une unique solution xn ∈ R. b) Déterminer la limite de (xn ) puis un équivalent de xn . c) Former un développement asymptotique à trois termes de xn quand n → +∞. Exercice 3 Pour n ∈ N, on cherche à étudier l’existence et les propriétés des polynômes Pn tels que 1 1 1 n ∀z ∈ C, z + n = Pn z + (On a spécialisé le polynôme en z + ) z z z a) Calculer P0 , P1 , P2 . b) Déterminer l’existence et l’unicité de Pn . (En évaluant le polynôme XPn en un point adéquat, on déterminera une relation de récurrence de la forme Pn+2 = APn+1 + BPn , où A et B sont deux polynômes indépendants de n à déterminer). c) Déterminer pour tout n le degré de Pn , son coefficient dominant et le coefficient de son monôme de degré 0. On notera γn le coefficient du monôme de degré 0 de Pn . d) Déterminer les racines de Pn . n−1 Y 2k + 1 e) Déterminer une forme réduite de A = cos π 2n k=0 1/2 2015-04-01 DS 6 Mathématiques – 4 heures HX1 Exercice 4 (Propriétés de la fonction de Bessel J0 ) Z 2π 1 On pose, J0 : x 7→ cos(x sin(θ))dθ, définie sur R. 2π 0 On rappelle la formule de Taylor avec reste intégral, pour une fonction f ∈ C n+1 (R) : Z x (n+1) n X f (k) (a) f (t) f (x) = (x − a)k + (x − t)n dt. k! n! a k=0 I Premières propriétés a) Montrer que la fonction J0 ainsi définie est paire et bornée sur R. Z Z 2 π/2 1 π cos(x sin θ)dθ = cos(x sin θ)dθ. b) Établir, pour tout x ∈ R, les égalités J0 (x) = π 0 π 0 II Continuité de J0 en 0 a) Justifier, pour tout réel θ du segment [0, π/2], les inégalités : 2 θ 6 sin θ 6 θ. π b) En déduire que la fonction J0 est continue en 0. III Dérivabilité de la fonction J0 Soit x un nombre réel. s2 a) Justifier, pour tout couple (u, s) de nombres réels, l’inégalité : | cos(u + s) − cos u + s sin u| 6 . 2 Z π h2 h sin(x sin θ) sin θdθ 6 b) En déduire, pour tout réel h, l’inégalité J0 (x + h) − J0 (x) + π 0 2 c) Conclure que la fonction J0 est dérivable – donc continue – en x et donner la valeur de J00 (x). On admet que la fonction J0 est deux fois dérivable sur ]0; +∞[ avec, pour tout réel x strictement positif, Z 1 π 2 J000 (x) = − sin θ cos(x sin θ)dθ π 0 d) Montrer que la fonction J0 est décroissante sur l’intervalle [0, π]. IV Développement en série entière de la fonction J0 π/2 Z sinn (θ)dθ. On pose, pour tout n ∈ n, In = 0 On admet le résultat classique : I2n = (2n)! π . (n!)2 22n+1 Soit x un nombre réel. n 2k X |u|2n+1 k u a) Justifier, pour tout réel u et tout entier naturel n, l’inégalité : cos(u) − (−1) . 6 (2k)! (2n + 1)! k=0 n 2k 2X |x|2n+1 k x b) En déduire, pour tout entier naturel n, l’inégalité : J0 (x) − (−1) I2k 6 π (2k)! (2n + 1)! k=0 ! n +∞ X X (−1)k 2k (−1)k 2k c) En déduire que J0 (x) = lim x = x n→+∞ 4k (k!)2 4k (k!)2 k=0 k=0 V Équation différentielle Z a) Établir, pour tout réel x, l’égalité π Z 2 x cos θ cos(x sin θ)dθ = 0 π sin θ sin(x sin θ)dθ. 0 b) En déduire que la fonction J0 est solution, sur ]0; +∞[, de l’équation différentielle xy 00 + y 0 + xy = 0. 2/2