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M´ecanique des fluides - Bachelor 2015 - TD 5
TD5
Correction
Exercice 1
Apr`es les inondations de la Nouvelle-Orl´eans vous avez ´et´e mandat´e pour v´erifier le dimensionnement des
nouvelles digues. Ces nouvelles digues se pr´esentent sous la forme d’un barrage-poids en b´eton, dont la masse
volumique est ´egale `
a ϱb . Lors d’une crue, l’eau de masse volumique ϱe atteint le sommet de la structure. Pour
le calcul de la stabilit´e de la structure on admet que la section du barrage est triangulaire (figure 1).
– Calculer les deux composantes de la force de pression due `
a l’eau, appliqu´ee au parement du barrage (consid´erer
les axes x et z indiqu´es).
– Quelle devra ˆetre la valeur minimale de la densit´e du b´eton ϱb pour garantir l’´equilibre des moments autour
du point O ? Admettre une sous-pression Fs agissant sur la face horizontale du barrage. Cette derni`ere varie
lin´eairement le long de cette face depuis la pression maximale jusqu’`
a z´ero (point O).
– Quelles sont les faiblesses de ce mod`ele ? Que devriez-vous inclure en plus ?
Donn´ees : ϱe = 1030 kg/m3 , h = 30 m , α = 65˚, β = 45˚.
Figure 1 – Barrage-poids en b´eton
R´
eponse
Soit n la normale `a la surface orient´ee de la surface vers le fluide. La force de pression qui s’applique au parement
du barrage peut s’´ecrire :
∫
−pe ndS
Fp =
(
Avec
n=
− sin α
− cos α
Et
pe = ϱe gz
Les composantes de Fp qui agissent sur dS sont
dFx = dF sin α
dFz = dF cos α
On exprime dS en fonction de dz
dS =
dz
sin α
1
)
Figure 2 – Composantes de la force de pression
Et l’int´egrale devient
(
Fx
Fz
)
)
dz
− sin α
=
−ϱe gz
−
cos
α
sin
α
0
(
)∫ h
1
= ϱe g
zdz
cot α 0
(
)
h2
1
= ϱe g
.
cot
α
2
∫
(
h
Il faut trouver la densit´e minimale du b´eton pour avoir l’´equilibre des moments en O.
On a donc d1 Fs + d2 Fx = e1 W1 + e2 W2 + e3 Fz
Figure 3 – Moments du barrage-poids
2
2
Les composantes de la force de pression sont : Fx = ϱe g h2 et Fz = ϱe g h2 cot α
Le point d’application de la force de pression peut se trouver ainsi
(
)
∫ max
sin α
dz
∫
ϱe gz
z sin
α
0
cos α
zdF
S
(
)
zp = ∫
=
∫ max
dF
sin α dz
S
ϱe gz
0
cos α sin α
Apr`es l’annulation de la plupart des termes, on obtient
∫ l1
z 2 dz
2l1
xp = ∫0l1
=
3
zdz
0
et
∫h
z 2 dz
2h
zp = ∫0h
=
3
zdz
0
NB : z est ici une variable libre, on peut donc l’utiliser pour trouver xp et zp .
2
Par cons´equent, e3 = l2 + 23 l1 et d2 = 13 h (z agit de haut vers bas.) Avec l1 =
h
tan α
et l2 =
h
tan β .
Force de sous-pression : la force peut ˆetre vue comme la force de l’eau que le barrage a remplac´e. Ce serait
Fs = ϱe g hl
eairement le long de cette face, on peut utiliser la mˆeme formule pour voir que
2 , et si elle varie lin´
2
h
h
d1 = 2l
,
ou
bien
d1
=
(
+
3
3 tan α
tan β ).
Le poids du barrage peut ˆetre d´ecompos´e en deux partie :
W1 = ϱb g
hl1
2
et W2 = ϱb g
hl2
2
Avec pour points d’application :
1
e1 = l2 + l1 et
3
e2 =
2
l2
3
Donc on a d1 Fs + d2 Fx = e1 W1 + e2 W2 + e3 Fz
Par substitution, on trouve :
2
hl 1
h2
l × ϱe g + h × ϱe g
=
3
2
3
2
(
)
(
)
1
hl1 2
hl2
2
h2
l2 + l1 × ϱb g
+ l2 × ϱb g
+ l2 + l1 × ϱe g cot α
3
2
3
2
3
2
Avec ϱe = 1000 kg/m3, h = 30 m , α = 65˚ et β = 45˚.
On obtient alors l1 = tanh α = 14 m, l2 =
34,67 m, e2 = 20 m et e3 = 39,3 m.
h
tan β
= 30 m, l = l1 + l2 = 44 m, d1 = 29,3 m, d2 = 10,0 m, e1 =
Ainsi, Fx = 4410 kN/m, Fz = 2056,4 kN/m, Fs = 6468 kN/m, et donc ϱb = 957, 7 kg/m3 . La masse volumique
de b´eton est d’environ 2, 5 × 103 kg/m3 , il n’y a donc pas de risques de soul`evement.
Une limitation de ce mod`ele est qu’il ne consid`ere pas l’ancrage du barrage. Il faudrait v´erifier que la force Fx
ne fait pas glisser la digue.
Exercice 2
Un bassin contenant de l’eau sur une profondeur de 9 m est ferm´e par une porte verticale constitu´ee par 3
panneaux plans A, B et C (figure 4).
1. Quelle doit ˆetre la hauteur de chaque panneau pour que chacun supporte le mˆeme effort total ? Donner les
profondeurs z1 et z2 .
2. Chaque panneau doit ˆetre renforc´e au niveau du centre de pouss´ee. Calculer la position de ces renforts.
3. Quelle est la valeur de la force agissant sur chaque panneau ?
Figure 4 – Sch´ema des 3 panneaux plans
R´eponse
Ici on utilise des trap`ezes pour calculer la force sur chaque panneau.
3
∫
0
−ρgzdz = ρg
FA =
∫
z1
z1
z12
2
ρg 2
(z − z12 )
2 2
z2
∫ z2
ρg 2
FC =
−ρgzdz =
(h − z22 )
2
h
−ρgzdz =
FB =
Pour l’´equilibre, on veut que FA = FB = FC , qui donne :
z22
,
2
z12 = h2 − z22 .
z12 =
√
En r´esolvant ces equations, on obtient z2 = h 23 = −7, 35m et z1 =
HB = z2 − z1 = 2, 15 m et HC = h − z2 = 1, 65 m.
z2
√
2
=
= −5, 2 m, ou bien HA = 5, 2 m,
h
√
3
Pour le centre de pression zc , on utilise la formule
∫
zb
(z − zc )ρgzdz
za
Qui vient de
∫
zb
MC =
r ∧ dF = 0.
za
Donc pour chaque panneau,
[
]z
z3
z2 b
ρg
− zc
=0
3
2 za
(
)
2 zb3 − za3
.
zc =
3 (zb2 − za2 )
Qui donne pour A (za = z1 = −5, 2 m, zb = 0) zcA = 23 z1 = −3, 46 m
Pour B (za = z2 = −7, 35 m, zb = z1 = −5, 2 m) zcB = −6, 33 m
Pour C (za = h = −9 m, zb = z2 = −7, 35 m) zcC = −8, 2 m.
Et la force qui agit sur chaque panneau, FA = FB = FC = ρg
z12
2
= 1, 35 × 105 N/m.
Exercice 3
Une Vanne de fond CD de 1,8 m de large et de 2 m de long est dispos´ee selon la figure 3. On suppose que la
vanne est compos´ee d’un mat´eriau homog`ene et on n´eglige le frottement en C. D´eterminer le poids n´ecessaire
de la vanne pour la garder ferm´ee jusqu’`
a ce que le niveau d’eau atteigne 2 m au dessus de C.
R´eponse
Pour commencer, il faut trouver le moment en O, dˆ
u `a la force de pression :
∫
∫
l
r ∧ dF =
MOP ress =
0
∫
l
rdFP ress =
0
∫
l
rP (r)dS =
0
l
rP (r)Ldr
0
O`
u L est la largeur de la vanne, l la longueur (2 m), et P (r) = ρg(2 + r cos θ) la pression hydrostatique. Par
remplacement, l’int´egrale devient :
4
Figure 5 – Vanne de fond
Figure 6 – Vanne de fond avec forces
∫
∫
l
l
rP (r)Ldr = Lρg
0
0
[
r2
r3
r(2 + r cos θ)dr = ρgL 2 +
cos θ
2
3
]l
0
Et le moment en O dˆ
u au poids :
l
l
∧ FPoids = mg sin θ
2
2
)
(
ρgL
2 2
= MOP ress , d’o`
u mg = sin
θ 2l + 3 l cos θ = 180 kN (m = 18, 4 tonnes).
MOP oids =
Donc, pour l’´equilibre, on a MOP oids
Exercice 4
Une vanne radiale maintient un niveau d’eau constant `
a 10 m au dessus du sommet d’un barrage `
a Manchester
(Figure 7). Le rayon de la vanne est de 22 m et sa longueur 10 m. Le point de pivot A est situ´e `
a 10 m du
sommet du barrage C. D´eterminer la norme de la r´esultante des forces sur la vanne. La r´esultante passe t’elle
`
a travers le pivot ?
R´eponse
dF = P × dS
P = ρgz
5
Figure 7 – Vanne semi-circulaire
Figure 8 – Vanne semi-circulaire avec dimensions
dS = rLdθ
O`
u z = profondeur, ρ = masse volumique de l’eau, L = longueur de vanne (perpendiculaire `a la page), et r et
θ d´efinis comme sur la Figure 8.
Norme de la r´esultante des forces sur la vanne :
dF = ρgzrLdθ
avec z = r sin θ
dFx = dF cos θ = ρgr2 L sin θ cos θdθ
dFz = dF sin θ = ρgr2 L sin2 θdθ.
Donc
∫
Fx
θmax
ρgr2 L sin θ cos θdθ
=
[
=
=
0
ρgr2 L
sin2 θ
2
ρgh2 L
2
6
]θmax
0
Car θmax = sin−1
(h)
r
.
∫
Fz
θmax
ρgr2 L sin2 θdθ
=
∫
0
(1 − cos 2θ)
dθ
2
0
[
(
)]θmax
ρgr2 L
sin 2θ
=
θ−
2
2
0
θmax
ρgr2 L
=
=
=
ρgr2 L
(θmax − sin θmax cos θmax )
2 (
)
√
( )
2
h
ρgr2 L
h
h
sin−1
1− 2
−
2
r
r
r
Oui, comme la vanne est circulaire et que la pression est normale `a la surface de la vanne, cette derni`ere agit
sur le rayon de la vanne (force centrip`ete). La r´esultante de la force de pression passe donc `a travers le pivot.
Pour v´erifier, il faut calculer le centre de pression (c.f. q.2) et montrer que les moments autour de A s’annulent.
M´ethode alternative :
Figure 9 – Vanne semi-circulaire avec dimensions
∫h
2
Force lat´erale : 0 ρgzdzL = ρgL h2
Poids du volume d’eau d´eplac´e :
(
V =
πr2
hr cos θmax
θmax −
2π
2
(
Pouss´ee d’Archim`ede (force verticale) : ρV g = ρgL
r2
2
−1
sin
(h)
r
−
)
hr cos sin−1 ( h
r)
2
)
Ce qui est le mˆeme r´esultat qu’avant.
Exercice 5
Appliquer le th´eor`eme de Bernoulli pour calculer la hauteur maximale d’un jet unidimensionnel de section S et
de d´ebit Q.
R´eponse
` z = hmax , vz = 0. A
` z = 0, vz =
A
Q
S.
Le th´eor`eme de Bernoulli dit :
v2
p
+ gz + = const
2
ρ
Donc
1
2
(
Q
S
)2
+g·0+
1
ph
p0
= (0)2 + g · hmax +
ρ0
2
ρh
Nous supposons que ph = p0 = patm et la fluide est incompressible,
7
1
2
(
Q
S
hmax
)2
= g · hmax
1
=
2g
8
(
Q
S
)2