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DM no 9 de mathématiques
à rendre au plus tard le mardi 7 avril
Le but de ce DM est d’étudier un paradoxe de la théorie des jeux découvert par Juan Parrondo, un
chercheur espagnol en physique théorique. Etant donné un couple de nombres réels (a, b) ∈] − 1, 1[2 ,
1+b
on considère deux pièces de monnaie notées A et B qui donnent «pile» avec probabilité 1+a
2 et 2
respectivement. Le jeu de Parrondo noté P(a, b) consiste en une série de lancers d’une des deux
pièces (qui peut être différente à chaque lancer). Le joueur débute le jeu avec une cagnotte nulle et à
chaque lancer il gagne 1e s’il obtient «pile» et il perd 1e s’il obtient «face» (la cagnotte peut évoluer
négativement). Le montant de la cagnotte avant le n-ième lancer est noté cn ∈ Z, ainsi c1 = 0. Le
choix de la pièce au n-ième lancer se fait de la façon suivante : si cn est un multiple de 3 alors le
joueur joue avec la pièce A, sinon il joue avec la pièce B. Pour tout n ∈ N? , on définit les événements
suivants :
• Xn : «le montant de la cagnotte avant le n-ième lancer est un multiple de 3» («∃k ∈ Z, cn = 3k») ;
• Yn : «∃k ∈ Z, cn = 3k + 1» ;
• Zn : «∃k ∈ Z, cn = 3k + 2» ;
• Gn : «le joueur gagne 1e au n-ième lancer».
Si la limite limn→+∞ P (Gn ) existe, on dira que le jeu P(a, b) est :

 favorable si limn→+∞ P (Gn ) > 1/2
équilibré si limn→+∞ P (Gn ) = 1/2 .

défavorable si limn→+∞ P (Gn ) < 1/2
I) Etude d’un cas particulier. Pour cette question, on suppose que les pièces A et B sont identiques et qu’elles donnent «pile» plus souvent que «face». On suppose donc que a = b = ε
avec ε ∈]0, 1[. Montrer que le jeu P(ε, ε) est favorable.
II) Le critère de Parrondo. On considère le jeu P(a, b) avec (a, b) ∈] − 1, 1[2 quelconque.
1. Déterminer P (X1 ), P (Y1 ) et P (Z1 ).
2. Déterminer P (X2 ), P (Y2 ) et P (Z2 ).
3. Soit n ∈ N? . Que peut-on dire des événements Xn , Yn et Zn (sans justifier votre réponse) ?
4. Justifier que P (Xn+1 ) =
(1−b)
2 P (Yn )
+
(1+b)
2 P (Zn ).
5. Déterminer des expressions similaires pour P (Yn+1 ) et P (Zn+1 ) en fonction de a, b, P (Xn ),
P (Yn ) et P (Zn ).






P (Xn+1 )
P (Xn )
0
1−b 1+b
0
1 − b .
6. En déduire que  P (Yn+1 )  = M  P (Yn )  où M = 12  1 + a
P (Zn+1 )
P (Zn )
1−a 1+b
0


 
P (Xn )
1
7. Montrer que ∀n ∈ N? ,  P (Yn )  = M n−1  0 .
P (Zn )
0
8. On admet qu’il existe une matrice Q ∈ G`3 (R) telle que Q−1 M Q = diag(1, λ, µ) où
(λ, µ) ∈ C2 avec |λ| < 1 et |µ| < 1. Justifier que M n−1 = Q × diag(1, λn−1 , µn−1 ) × Q−1
pour tout n ∈ N? .
BCPST 1A lycée Hoche 2014-2015
Sébastien Godillon
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9. On admet de plus que les matrices Q et Q−1 sont de la forme :




0
0
1 q1,2
q1,3
b2 + 3
q1,2 q1,3
1
0
0

 ab + a − b + 3 q2,2 q2,3  et Q−1 =  1 q2,2
q2,3
Q=
2ab + b2 + 9
0
0
ab − a + b + 3 q3,2 q3,3
1 q3,2 q3,3
0 ) sont des nombres réels. A l’aide des questions précédentes,
où les coefficients (qi,j ) et (qi,j
déterminer des expressions de P (Xn ), P (Yn ) et P (Zn ) en fonction de a, b, λ, µ, n et (qi,j ).
10. En déduire les valeurs de limn→+∞ P (Xn ), limn→+∞ P (Yn ) et limn→+∞ P (Zn ).
11. Déterminer une expression de P (Gn ) en fonction de a, b, P (Xn ), P (Yn ) et P (Zn ).
12. A l’aide des questions précédentes, montrer que limn→+∞ P (Gn ) =
1
2
+
3(ab2 +a+2b)
.
2(2ab+b2 +9)
13. Justifier que ∀(a, b) ∈] − 1, 1[2 , 2ab + b2 + 9 > 0.
14. En déduire le critère de Parrondo :

 favorable si δ(a, b) > 0
équilibré si δ(a, b) = 0
le jeu P(a, b) est

défavorable si δ(a, b) < 0
où δ(a, b) = ab2 + a + 2b.
III) Etudes d’exemples. Les questions suivantes utilisent le critère de Parrondo énoncé ci-dessus.
1. Montrer que le jeu P 54 , − 21 est équilibré.
ε
que δ 45 + ε, − 12 + ε = 20
(20ε2 − 4ε + 49) et en déduire que le
2. Soit ε ∈ 0, 15 . Montrer
4
1
jeu P 5 + ε, − 2 + ε est favorable.
3. Montrer que le jeu P 25 , − 41 est défavorable.
4. Sans développer l’expression de δ 25 + ε, − 41 + ε , justifier que le jeu P 25 + ε, − 14 + ε
reste défavorable pour tout ε suffisamment proche de 0.
IV) Le paradoxe de Parrondo. On considère désormais un nouveau jeu qui consiste toujours en
une série de lancers de pièces dont chaque «pile» augmente le montant de la cagnotte de 1e
et chaque «face» le baisse de 1e. Mais avant chaque lancer, le joueur choisit au hasard et
avec même probabilité (par exemple à l’aide d’un autre lancer d’une pièce équilibré) s’il va
utiliser le couple
de pièces du jeu P(ε, ε) ou bien le couple de pièces du jeu P 45 + ε, − 12 + ε
où ε ∈ 0, 15 . Autrement dit, le joueur joue alternativement et aléatoirement à deux jeux de
Parrondo favorables. On fixe n ∈ N? et pour tout (a, b) ∈]−1, 1[2 on note Pn (a, b) l’événement
«le joueur utilise le couple de pièces du jeu P(a, b) au n-ième lancer».
1. Justifier que PXn (Gn ) = 21 PXn ∩Pn (ε,ε) (Gn ) + 12 PXn ∩Pn ( 4 +ε,− 1 +ε) (Gn ) et en déduire une
5
2
expression de PXn (Gn ) en fonction de ε.
2. Déterminer des expressions similaires pour PYn (Gn ) et PZn (Gn ).
3. Montrer que jouer à ce nouveau jeu revient à jouer au jeu P 52 + ε, − 14 + ε , c’est-à-dire
que P (Gn ) = PPn ( 2 +ε,− 1 +ε) (Gn ) pour tout n ∈ N? , et expliquer pourquoi ce résultat est
5
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paradoxal.
BCPST 1A lycée Hoche 2014-2015
Sébastien Godillon
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