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Probabilités. Exercices conseillés
1) On considère une variable aléatoire X à valeurs (discrètes) dans [0; 1], de moyenne p.
Montrer que le moment m d’ordre 2 véri…e p2
m
p, et préciser les cas d’égalité.
2) Soit (Xn )n2N une suite de v.a. i.i.d. de même loi que X d’espérance …nie et de moment d’ordre 2 …ni.
P
On pose Sn = n1 nk=1 Xk . Montrer que pour tout " > 0, limn!+1 P (jSn
j ") = 1:
3) a) Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre p 2]0; 1[ : 8k 2 N, P (X > k) = q k .
On considère Y = 21 X si X est pair, et 0 sinon. Calculer E(Y ).
b) Soit X une v.a. suivant la loi de Poisson de paramètre
> 0. On pose : Y = ( 1)X : Calculer E(Y ).
P
P+1 k
pq
q
2k 1 =
= 2k) = +1
= (1+q)
2 p , car
k=1 kpq
k=1 kx
(1 q 2 )2
P
k
b) Par le théorème du transfert, E(Y ) = +1
e =e 2 :
k=0 ( 1) P (X = k) = e
Solution : a) E(Y ) =
P+1
k=0 kP (X
1
= (1
2:
x)
4) Soit n 2 N . On considère n boules numérotées de 1 à n que l’on place au hasard dans n urnes numérotées aussi
de 1 à n, chaque urne pouvant recevoir de 0 à n boules.
a) Calculer la probabilité pn que chaque urne contienne exactement une boule. Déterminer limn!+1 pn :
b) Calculer la probabilité qn qu’au moins une urne contienne la boule de même numéro. Déterminer limn!+1 qn :
5) Soient n particules radioactives ayant chacune une probabilité p de se désintégrer durant une durée :
a) Donner la loi de Xn , où Xn le nombre de particules désintégrées entre les instants 0 et :
Que peut-on dire de la loi de Xn si n grand et p =
n
?
b) Pour une particule donnée, on pose Y = k si elle se désintègre entre les instants k et (k + 1) .
Préciser la loi et la série génératrice de Y .
6) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent des lois de Poisson de paramètres
et .
Montrer que la loi de X sachant X + Y = n est binomiale.
7) Soient p 2]0; 1[, et X, Y deux variables aléatoires à valeurs dans N: On suppose que :
- X suit une loi de Poisson de paramètre
>0;
- Pour tout n 2 N, la loi conditionnelle de Y sachant (X = n) est une loi binomiale de paramètres n et p:
a) Déterminer la loi du couple (X; Y ). Montrer que Y suit une loi de Poisson de paramètre p.
b) Déterminer la loi de X
Y . Etablir l’indépendance des variables aléatoires Y et X
Y:
c) Calculer le coe¢ cient de corrélation linéaire de X et Y .
Solution : a) P (Y = k; X = n) = P (Y = k j X = n)P (X = n) = nk pk q n
k
P
1 k q k
e = e p ( k!p) :
Donc P (Y = k) = +1
n=k P (Y = k; X = n) = k! p e
b) On passe de Y à X
On a P (Y = k; X
Y en inversant les rôles de p et q. donc X
Y =n
k) = P (Y = k; X = n) =
pk k
k!(n k)! e
p
n
ke
n!
=
1
k n k ne
k!(n k)! p q
:
Y suit une loi de Poisson de paramètre q.
qn k n k
(n k)!
e
q
= P (Y = k)P (X
Y =n
k):
Y; Y ) = 0, donc par bilinéarité, cov(X; Y ) = cov(Y; Y ) = V (Y ) = (Y )2 :
p
p
)
(Y )
pp =
Donc le coe¢ cient de corrélation linéaire est r = cov(X;Y
p:
(X) (Y ) = (X) =
c) Par b), on a : cov(X
Remarque : La variance d’une loi de Poisson se calcule à l’aide de G00 (1) + G0 (1)
G0 (1)2 , où G(z) = e
(z 1) :
8) Loi binomiale négative.
a) Soient p 2]0; 1[ et m 2 N . On pose q = 1
b) On considère une suite de variables aléatoires (Xn )n2N
m
p
p. Déterminer les coe¢ cients du DSE de f (z) =
.
1 qz
indépendantes de même loi de Bernoulli B(p):
On note N le nombre d’échecs précédant le m-ième succès dans (Xn )n2N , c’est-à-dire le nombre d’entiers k < n tels
que Xk = 0, où Xn est le n-ième terme de la suite valant 1: Déterminer la loi de N .
Solution : a) Le coe¢ cient en z n est pm q n
n+m 1
n
car (1
z)
m
=
P+1
n=0
n+m 1
n
zn:
b) N est la somme de m variables indépendantes qui suivent la loi (géométrique) du premier succès G(p).
9) a) Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ; A; P ):
Pour A 2 A, on note E(X j A) l’espérance de X pour la probabilité conditionnelle PA :
P
Soit (Bn )n2J est une partition de . Montrer que E(X) = n2J E(X j An )P (An ):
b) Formule de Wald. On considère un poulaillier.
Le nombre de poules suit une loi N . Le nombre d’œufs par poule suit une loi M: On note T le nombre total d’œufs.
Montrer que E(T ) = E(N )E(M ): Indication : On pourra justi…er que GT (z) = GN (GM (z)) ou bien utiliser a).
10) Un ascenseur dessert n étages d’un immeuble. À chaque voyage, le nombre de personnes qui montent dans
l’ascenseur au rez-de-chaussée est une variable aléatoire réelle notée X qui suit une loi de Poisson de paramètre :
On émet les hypothèses suivantes :
- Aucun arrêt n’est dû à des personnes désirant monter dans l’ascenseur à un autre niveau que le rez-de-chaussée.
- Chaque personne choisit son étage au hasard et indépendamment des autres passagers. Ces choix se font dans
l’ordre d’entrée des passagers dans l’ascenseur. On note S le nombre d’arrêts de l’ascenseur lors d’un voyage donné.
a) Soit k 2 N et 1
j
n.
Trouver une relation entre P (S = j j X = k + 1), P (S = j j X = k) et P (S = j
1 j X = k).
b) En déduire, pour tout entier naturel k, l’espérance de S sachant que X = k, puis E(S).
11) Nombre de points …xes d’une permutation. On note Sn l’ensemble des permutations de f1; 2; :::; ng.
Pour
2 Sn , on note X( ) le nombre de points …xes de . Calculer E(X) et V (X).
Solution : Posons X =
Pn
j=1 Xj ,
où Xj ( ) = 1
(j)=j ,
c’est-à-dire Xj (!) = 1 si !(j) = j et 0 sinon.
Comme Xj suit une loi de Bernoulli B( n1 ). Par conséquent, E(Xj ) =
1
n
et V (Xj ) =
1
n(n 1) , donc Cov(Xi ; Xj )
1) n2 (n1 1) = 1:
Et 8i 6= j, E(Xi Xj ) = P (Xi = 1)P (Xj = 1 j Xi = 1) =
Donc E(X) = n
1
n
= 1 et V (X) = n
n 1
n2
+ n(n
12) Loi du plus petit numéro. Soient m et n 2 N , avec m
=
n 1
:
n2
1
n(n 1)
1
n2
=
1
:
n2 (n 1)
n. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n.
On e¤ectue m tirages. On cherche la loi du plus petit numéro X obtenu dans les deux cas suivants :
n k
a) Les tirages sont e¤ectués avec remise. Montrer que pour tout k 2 f1; 2; :::; ng, P (X > k) =
n
n
En déduire que, à m …xé, E(X)
lorsque n tend vers l’in…ni.
m+1
b) Les tirages sont e¤ectués sans remise. Montrer que pour tout k 2 f1; 2; :::; n
m + 1g, P (X = k) =
m
:
n k
m 1
n
m
:
13) Une puce fait une suite de sauts de longueur 1 dans un plan muni d’un repère orthonormé (O; i; j) ; chaque
saut est e¤ectué au hasard et avec équiprobabilité dans l’une des quatre directions portées par les deux axes.
Pour tout n 2 N, on note Mn = (Xn ; Yn ) la position de la puce après n sauts.
On suppose qu’à l’instant initial 0, la puce est à l’origine O du repère, c’est-à-dire que M0 = (0; 0):
a) Les variables aléatoires Xn et Yn sont-elles indépendantes ?
b) Calculer E(Xn ) et E(Xn2 ): On note Zn la distance OMn . Montrer que E(Zn )
p
n:
c) Pour tout n 2 N, on note pn la probabilité que la puce soit revenue à l’origine O après n sauts.
On suppose n = 2m pair. Montrer que pn = 4
2m 2m 2 :
m
Remarque : On utilisera l’identité :
d) On propose une autre preuve. On considère Sn = Xn + Yn et Dn = Xn
Montrer que Sn et Dn sont indépendantes, et que P (S2m = 0) = 2
2m 2m
m
2m
m
=
Yn .
. Retrouver pn = 4
Pm
k=0
m 2
k :
2m 2m 2 .
m
14) Loi de succession de Laplace. On dispose de N urnes (N > 1) notées U1 ; :::; UN :
Pour tout k 2 [[1; N ]], l’urne Uk contient k boules rouges et N
On choisit une urne Uk avec une probabilité pk =
k boules blanches.
1
N:
Dans l’urne ainsi choisie (et uniquement dans celle-ci), on procède à une suite de tirages avec remise.
Pour m 2 N , on considère l’événement Am : “Au cours des m premiers tirages, on a obtenu m boules rouges”.
Et l’événement Bm : “La boule tirée au cours du m-ième tirage est rouge”.
a) Exprimer P (Am ) sous forme d’une somme, puis donner une expression de la probabilité P (Bm+1 j Am ).
m+1
.
b) Montrer que limN !+1 P (Bm+1 j Am ) =
m+2
c) Supplément : Que vaut limN !+1 P (Bm+1 j Am ) si on prend pk proportionnel à k (pour 1 k N ) ?
1 PN
Solution : a) P (Am ) =
N k=1
k
N
m
et P (Bm+1 j Am ) =
P (Am+1 )
. b) Sommes de Riemann.
P (Am )
15) Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans N , dé…nies sur un même espace
probabilisé ( ; T; P ). et suivant toutes la loi géométrique de paramètre p, avec 0 < p < 1. On pose q = 1
Autrement dit, P (Xn > k) = q k pour tout k 2 N:
Soit
> 0 distinct de 1: L’objet de cet exercice est de calculer la probabilité que la série de terme général
converge, c’est-à-dire calculer la probabilité de l’événement A =
!2
j
P+1
n=1
1
< +1 :
n Xn (!)
< 1 et on pose = 1
a) Calculer la probabilité de A lorsque > 1. On suppose désormais que 0 <
S
T+1
b) Montrer que q +1
n ) = 1: En déduire que q(A) = 0:
k=1
n=k (Xn
Q
Q
Solution : Le produit in…ni (1 q (n ) ) converge, donc limk!+1 +1
q (n ) ) = 1:
n=k (1
S
T+1
P1
Si ! 2 +1
n ) , alors n Xn (!) n pour n assez grand, donc ! 2
= A (car
k=1
n=k (Xn
n diverge).
16) Nombre d’essais nécessaires pour retrouver une valeur déjà obtenue.
Soit E un ens …ni de cardinal n, et les Xi des variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme à valeurs dans E.
On considère T la variable aléatoire dé…nie par T = minfj 2 f2; :::; n + 1g j Xj 2 fX1 ; :::; ; Xj
P
P
k!
1
n! P
nk
a) Montrer que E(T ) = nk=0 nk k = (n!) nk=0 k
= n nk=0
:
n
k!
n
n (n k)!
R +1
n! P
nk
x n x
b) On pose In = n nk=0
. Montrer que In = 0
1+
e dx:
n
k!
n
r
p
n
En utilisant le changement de variable x = nt, montrer que In
:
2
1 gg:
p.
P
:
1
n Xn
17) Matrice de covariance. Soit X1 ; :::; Xn des variables aléatoires réelles dé…nies sur un même univers.
Autrement dit, X = (X1 ; :::; Xn ) est un vecteur aléatoire à valeurs dans Rn :
On considère la matrice de variance-covariance M = (mij )1
dé…nie par mij = Cov(Xi ; Xj ):
i n;1 j n
Montrer qu’il existe U 2 On (R) telle que les n composantes de Y = XU sont deux à deux de covariance nulle.
Indication : Il est essentiel de noter que ' : (X; X 0 ) 7 ! Cov(X; X 0 ) est bilinéaire.
P P
P
P
Donc '( ni=1 ai Xi ; nj=1 bj Xj0 ) = ni=1 nj=1 ai bj '(Xi ; Xj0 ):
P P
On cherche donc U orthogonale telle que ni=1 nj=1 uik ujl mij = 0 pour tous k 6= l, c’est-à-dire t U M U diagonale.
18) Inégalité sous-gaussienne d’une somme de variables aléatoires de Rademacher.
Soient X1 ; X2 ; :::; Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes. Posons Sn = X1 + X2 + ::: + Xn .
Q
a) On suppose les Xk d’espérances …nies. Montrer que E(e Sn ) = nk=1 E(e Xk ) (
P (Xk = ak ) = 12
On suppose désormais que Xk = ak Yk , où Yk variables de Rademacher, c’est-à-dire
P (Xk = +ak ) = 12
P
b) Montrer que E(e Sn ) exp( 12 2n 2 ), où 2n = nk=1 (ak )2 :
Remarque : On pourra utiliser les DSE de ch et exp pour justi…er que ch t
c) Montrer que pour a > 0,
d) En déduire que P (jSn j
> 0, on a P (jSn j
a)
a2
2 exp
2
2
n
2 exp( 21
a)
2 2
n
exp( 21 t2 ).
a).
2
, et en conclure que P (jSn j
n)
2 exp
2
:
Solution : a) Les e Xk sont mutuellement indépendants, car les Xk sont mutuellement indépendants.
Q
1
1
b) E(e Sn ) = nk=1 ch( ak ) exp( 21 2n 2 ), car ch t exp( 12 t2 ) puisque
:
(2k)!
2k k!
c) e
x
e
x
+e
x,
donc E(e
jSn j )
E(e
Sn
Sn )
+e
2 exp( 12
E(e jSn j )
2 exp( 21
a
a
d) On optimise le second membre en prenant = 2 :
Pour a > 0,
> 0, on a P (jSn j
a)
2 2 ).
n
2 2
n
a).
n
On obtient bien P (jSn j
a)
2 exp
a2
, et avec a =
2 2n
n,
on obtient le résultat.
Dénombrement
1) Soit E un ensemble de cardinal n. Calculer
P
X E
card X.
r est d(n) =
2) Montrer que le nombre de diviseurs de n = p1m1 :::pm
r
Qr
k=1 (mk
+ 1):
3) a) On note an le nombre de couples (u; v) 2 N2 tels que u + 2v = n: Justi…er que an 12 (n + 1):
P
1
n
Pour jzj < 1, on pose f (z) = +1
.
n=0 an z . Montrer que f (z) =
(1 z)(1 z 2 )
1
Remarque culturelle : f (z) = 14 1 1 z + 14 1+z
+ 12 (1 1z)2 , donc an = 14 (1 + ( 1)n + 2(n + 1)):
b) On note cn;m le nombre de m-uplets (x1 ; :::; xm ) 2 Nn tels que x1 + x2 + ::: + xm = n:
Justi…er brièvement (avec Fubini) que pour jzj < 1,
P+1
n=0 cn;m z
n
=
1
: En déduire que cn;m =
(1 z)m
n+m 1
m
:
4) a) (Di¢ cile) On note Dn le nombre de dérangements d’un ensemble E de cardinal n, c’est-à-dire les bijections de
P
P
E dans E qui n’admettent aucun point …xe. Montrer que nk=0 nk Dn k = n!, ce qui s’écrit aussi nk=0 nk Dk = n!
Solution : On dé…nit une permutation
de E par l’ensemble I de ses k points …xes et par un dérangement s de
P
parties I possibles, et à I …xée, il y a Dn k dérangements, donc n! = nk=0 nk Dn k :
n
k
E r I: Pour k …xé, il y a
b) En déduire que Dn = n!
Pn
k=0
( 1)k
et que Dn
k!
Remarque : On pourra inverser la matrice
Solution : La matrice
On a u
1
j
i
0 i n;1 j n
: P (X) 7 ! P (X
Donc Dn =
Pn
k=0 (
1)n
k n
k
j
i
Pn
1 n!
0 i n;1 j n
lorsque n ! +1.
en considérant u : Kn [X] ! Kn [X] P (X) 7 ! P (X +1):
est la matrice de u dans la base canonique.
j
i
1), donc l’inverse de
k! = n!
e
k=0 (
1)n
k
0 i n;1 j n
1
(n k)!
= n!
Pn
est ( 1)j
k=0 (
i j
i
0 i n;1 j n
1
1)k k!
: Et limn!+1
Pn
k=0 (
:
1
1)k k!
=e
1:
Remarque : cf exo 4) b) : si on considère les applications (et non les permutations), la proportion d’applications
sans point …xe vaut (1
1 n
n)
qui converge aussi vers e
1: