TS DS 7 du vendredi 13 mars 2h Exercice 1 ( 8 points ) Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au dix-millième près. Une société de vente par correspondance de matériel informatique a étudié le fichier clientèle pour connaître l'utilisation du modèle A100 de disque dur externe de son catalogue. L'enquête a porté sur 1280 personnes ayant acheté ce modèle au cours des trois derniers mois. Partie A L'enquête de satisfaction indique que 64 % des acquéreurs de ce disque en sont satisfaits. On interroge au hasard 160 acquéreurs du disque A100 et on note la variable aléatoire donnant le nombre de clients satisfaits par leur achat. 1. On répète 160 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Chaque épreuve consiste à interroger un acquéreur du disque A 100 pour connaitre son avis sur le disque. Le succès est « le client est satisfait de son achat » de probabilité = 0,64. La variable aléatoire Y, qui compte le nombre de clients satisfaits, suit la loi binomiale de paramètre = et = , . 2. la probabilité que, parmi les personnes interrogées par l'opérateur, moins de la moitié des personnes soient satisfaites est égale à : < = ≤ ≈ 3. la probabilité que, parmi les personnes interrogées par l'opérateur, il y ait entre la moitié et les trois quart de personnes satisfaites est : ≤ ≤ = ≤ − ≤ ≈ , 4. L’espérance de la variable aléatoire est = = × , = , . Cela signifie qu’en moyenne, lorsqu’on interroge au hasard 160 acquéreur du disque A100, il y a environ 102 personnes satisfaites On décide d'approcher la loi de la variable type . par la loi normale de moyenne et d'écart- 5. Le théorème de Moivre-Laplace nous permet d’affirmer que si est grand (c’est bien sur très vague mais on n’a pas de conditions précise), une variable aléatoire Y suivant la loi ℬ , peut être approchée par une variable aléatoire Z suivant la loi " , # avec =$ On a ici & = = = et , = =% et ' = % 1− − ≈ , 6. On note ( la variable aléatoire qui suit cette loi normale. , a) )⩾ ,+ ≈ ,+ × b) On sait d’après le cours que si Z suit la loi " , # , alors - − 2 ≤ ( ≤ − 2 ≈ 0,95 On a ici − 2 = 102,4 − 2 × 6,1 = 90,2 et + 2 = 102,4 + 2 × 6,1 = 114,6. Donc , ≤)≤ , ≈ , + On peut donc choisir par exemple 2 = , et 2 = , Partie B On considère que la variable aléatoire 3 donnant la durée de fonctionnement d'un disque A100, exprimée en mois avant la première défaillance, suit une loi exponentielle de paramètre 4. Le service après-vente a pu établir que 30 % des disques A100 ont eu une défaillance avant la fin du 18e mois. 1. On a - le disque a eu une défaillance avant la fin du 18ème mois = 0,3 Donc - 3 < 18 = 0,3 ⇔ 1 − J KLM = 0,3 ⇔ J KLM = 0,7 ⇔ −184 = ln 0,7 Donc O ≈ , ⇔O= PQ , Pour les questions suivantes, on prendra pour 4 la valeur 0,02. 2. La probabilité qu'un disque n'ait pas de défaillance au cours des 3 premières années est R≥, =T , O=T , ≈ , 3. La durée moyenne de fonctionnement avant la première défaillance de ces disques durs est R = =+ O mois. 4. Notons Me la durée médiane de bon fonctionnement. On doit avoir : - "Le disque a fonctionné au moins Me mois" = 0,5 Soit - 3 ≥ XJ = 0,5 ⇔ J YZ×M = 0,5 ⇔ −XJ × 0,02 = ln 0,5 ⇔ [T = PQ , ,+ Donc [T ≈ , , + La durée médiane de bon fonctionnement est d’environ 34 mois et 20 jours. 5. Un disque dur fonctionne sans aucune défaillance depuis 2 ans et six mois. La probabilité qu'il fonctionne 4 ans avant sa première défaillance est égale à -\]^_ 3 ≥ 48 = -\]^_ 3 ≥ 30 + 18 = - 3 ≥ 18 car une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement = 1 − - 3 < 18 = 1 − 0,3 = , Exercice 2 ( 7 points ) Soit ` la fonction définie sur a par ` b = bJ c . 1. a. Etudier les variations de la fonction `et calculer les limites de ` aux bornes de son ensemble de définition. La fonction `est un produit de deux fonctions dérivables sur IR, elle est donc dérivable sur −e T e IR et pour tout réel x, `′ b = 1 × J c + b × −J c = La fonction exponentielle étant strictement positive sur IR, la fonction `′ a le même signe que la fonction affine b → 1 − b , on en déduit les variations de`: b –∞ `′ b ` b 1 + –∞ 0 +∞ – 1 J 0 Calcul des limites : mêmes calculs que dans le DS précédent… d'où l'intérêt d'étudier les corrigés !! en – ∞ : hijc→ k −b = +∞ et hijl→mk Jb n = +∞ donc, par composition, hijc→ k Jb −b = +∞ puis par produit hijc→ Jb −b = −∞ soit opqe→ k r e = −∞ en + ∞ : il y a une forme indéterminée mais on sait que hijc→mk K hijl→mk = 0, on en déduit par composition que hijc→mk l opqe→mk r e = . c Zcs c Zcs c c kb × = +∞ et = 0 c'est-à-dire que b. Quelle est l’interprétation graphique de l’intégrale de la fonction `entre 0 et 1 ? La fonction r est continue (car dérivable) sur IR et positive sur [0;1] (d'après son tableau de variation), on en déduit que l'intégrale de la fonction rentre 0 et 1 est l'aire du domaine limité par la courbe représentative de r, l'axe des abscisses et les droites d'équations e = et e = . K 2. Calcul approché de l'intégrale t = u_ ` b vb par la méthode des trapèzes. Principe de la méthode : on partage l'intervalle [0;1] en n intervalles de longueur 1/n, puis on remplace l'aire sous la courbe de la fonction à intégrer par l'aire d'un trapèze. La somme des aires des trapèzes fournit une valeur approchée de l'intégrale cherchée : voici une illustration avec n = 2. a. Calculer, à 0,01 près, la somme des aires des deux trapèzes représentés ci-contre. Le premier trapèze est en réalité un rectangle, son aire est égale à 3K = _,w×xyz # où {|z = ` 0,5 ≈ 0,303 donc 3K ≈ 0,076 Le second pour hauteur 0,5 et pour bases {|z = ` 0,5 ≈ 0,302et {|} = ` 1 ≈ 0,368 son aire est alors 3# = _,w×~xyz mxy} • # ≈ _,w× _,^_^m_,^€L # ≈ 0,168 La somme des aires est donc 3K + 3# ≈ 0,076 + 0,168 d'où R + R ≈ , b. On donne l'algorithme suivant : Saisir Affecter à „ la valeur 0 Pour … variant de 0 à − 1 faire † Affecter à „ la valeur „ + 0,5 × •‡ × J FinPour Afficher „ †⁄‡ + †mK ‡ ×J †mK ⁄‡ K ƒ×‡ Expliquer le calcul effectué dans la boucle. Avant la boucle, la variable s est initialisée à 0, à chaque passage dans la boucle (n passages) on lui ajoute l'aire d'un nouveau trapèze, de ‚ ‚m hauteur et de bases r • ƒ et r • ƒ. à la sortie de la boucle, s est la somme des aires des trapèzes. c. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme lorsque l'utilisateur choisit n = 10 ? La calculatrice affiche 0,2634. 3 - a. Réécrire l'algorithme de la question 2 pour qu'il calcule une valeur approchée de l'aire du domaine sous la courbe entre 0 et A, le nombre positif A étant choisi par l'utilisateur. Attention : rien ne dit que A est un entier, on ne peut donc pas se contenter de changer le nombre de rectangles en nA. Si on conserve n trapèze, la largeur de chacun d'entre-eux est alors A/n, d'où le nouvel algorithme : Saisir A Saisir Affecter à „ la valeur 0 Pour … variant de 0 à − 1 faire Ž• Affecter à „ la valeur „ + 0,5 × • • × J FinPour Afficher „ †|⁄‡ + †mK | ‡ ×J †mK |⁄‡ | ƒ×‡ b. Conjecturer la valeur de la limite de l'intégrale de ` entre 0 et b lorsque b tend vers +∞. En utilisant l'algorithme ci-dessus avec n = 1000 et A = 10 on obtient s ≈ 0,9995 on peut donc émettre la conjecture selon laquelle la limite de l'intégrale de ` entre 0 et b lorsque b tend vers +∞ est égale à 1. 4 – On considère la fonction ‰ définie sur a par ‰ b = −b − 1 J c . a. Vérifier que ‰ est une primitive de `. La fonction ‰est un produit de deux fonctions dérivables sur IR, elle est donc dérivable sur IR, de plus pour tout réel x, ‰′ b = −1 × J c + −b − 1 × −J c = b × J c = ` b ce qui prouve que la fonction Š est une primitive de rsur IR. b. En déduire la valeur exacte de t. La primitive donnée par l'énoncé permet d'écrire : K t = ‹ ` b vb = Œ‰ b •K_ = ‰ 1 − ‰ 0 = −2J _ K − −J _ = − T c. Calculer la limite de l'intégrale de ` entre 0 et b lorsque b tend vers + ∞. On obtient de même : c ‘ b = ‹ ` b vb = Œ‰ b •_c = ‰ b − ‰ 0 = −b − 1 J _ = pour tout réel x, b + 1 J − e+ c = bJ c T c e +J − −J _ c or, en procédant comme au le début de l'exercice hijc→mk Jb −b = 0 et on a montré que hijc→mk bJb −b = 0 donc opqe→mk ’ e = ce qui est cohérent avec le résultat conjecturé à la question précédente. Exercice 3 ( 5 points ) 1. Dans un repère orthonormé direct “; • –—, ˜— d’unité 2 cm, on considère les points A, B, C w et D d’affixes respectives : ™ = −4 ; š = i ; # a) › = −3 − 3i et –—; ––––––— On a |Ÿ| = ¡ = ; ¢£¤ Ÿ = ~¥ ¡• = ¦ §¨© ¦ Et donc Ÿ = ª¨« ¦ + p «¬Q ¦ On a |-| = ®= + + ; ¦ –—; ––––––— ¢£¤ - = ~¥ ®• = ¦ Et donc - = •ª¨« + p «¬Q ƒ ¦ §¨© ¦ v=− w√^ • w − i • ° = %,² + ,² = ,√ On a |¯| = Et donc ¯ = ,√ •ª¨« •− b) |²| = ³•− ´ # = •− |´| w +√, w√^ • + ,¦ ƒ + p «¬Q •− + ƒ + •− ƒ = ³ √^ # w − iƒ = − • Donc ² = •ª¨« •− +¦ K + + + ƒ + p «¬Q •− +¦ ,¦ ,¦ ƒƒ =³ − i = cos •− # –—; ––––––— ¢£¤ ¯ = ~¥ °• = − ; = wµ = §¨© ¦ + ƒ + i sin •− € wµ ƒ € +¦ ƒƒ et ¢£¤ ² = − §¨© ¦ Pour placer D, on peut tracer un cercle trigonométrique et placer le point E d’affixe − √^ # K − i : D est sur la demi droite [OE). # w On trace alors le cercle de centre O et passant par B (il est de rayon ) : D est alors à # l’intersection de ce cercle et de la demi-droite [OE). 2. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants : a) • ¶−1 + √3 i¶ = ³ −1 # Km√^¸ # √^ i # + ~√3•² = √4 = 2 Donc ·~− + √, p• · = ¶− + √, p¶ • On a K =− + # #µ = #µ = = cos • ƒ + i sin • ƒ ^ ^ #µ #µ Donc −1 + √3 i = 2 •cos • ƒ + i sin • ƒƒ et arg~−1 + √3 i• = ^ ^ K_ Alors arg •~−1 + √3 i• ƒ = 10 arg~−1 + √3 i• = 10 × = = #_µ ^ ¦ , b) • · m√,p , ,p • arg • ¶ m√,p¶ ·=| Km√^¸ ƒ ^ ^¸ , ,p| = ,√ = √ , = arg~1 + √3i• − arg −3 − 3i µ = − •− ^ µ = + = ^µ ^ • ,¦ ^µ • ƒ mod 2» mod 2» §¨© ¦ mod 2» #µ ^ #µ ^ mod 2» − 6» mod 2» §¨© ¦ mod 2»