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M´ethodes variationnelles pour la segmentation
d’images m´edicales
a
a
b
c
Olivia MIRAUCOURT , St´ephanie SALMON , Hugues TALBOT , Nicolas PASSAT
a
b
c
Universit´e de Reims, LMR ; Universit´e Paris-Est, ESIEE, LIGM ; Universit´e de Reims, CReSTIC
Contexte : projet ANR VivaBrain
1
ARM
Soient γ1, γ2 et γ3 les valeurs propres de la matrice
hessienne. Pour une structure tubulaire id´eale, on a
• |γ1| ≈ 0
• |γ1| |γ2|
• |γ2| ≈ |γ3|
Equipes médicales
Simulation
d'images virtuelles
Segmentation
Equipes informatiques
Equipes physiques
Tubularit´
e de Frangi
Simulation
d'écoulements sanguins
Equipes mathématiques
Fonction de tubularit´
e de Frangi (1998)
V(x) = (1 − e
2
−RA
− 2α2
)·e
2
−RB
− 2β 2
· (1 − e
−S 2
− 2γ 2
)
γ2 • RA = γ3 discrimine les structures planaires et tubulaires
|γ1|
√
• RB =
discrimine les structures isotropes (blob) et le bruit
|γ2γ3|
p
• S = Σi γi2 ´evalue le niveau de bruit du voisinage
Mod`
ele hybride
λ = λreg + (1 − α)V(x)
Segmentation : un double challenge
Difficult´
es : D´etecter des structures tubulaires :
• tr`es fines
• bruit´ees
• g´eom´etriquement complexes
Double objectif :
• d´ebruitage
• segmentation/r´ehaussement
• λreg : param`etre de r´egularisation
• V(x) : tubularit´e de Frangi
• α ∈ [0, 1] : pond´eration entre r´egularisation et tubularit´e
Image originale
Image bruit´ee
Mod`ele ROF
ROF+tubularit´e
R´
esultats de segmentation
Etat de l’art : m´
ethodes variationnelles
Soit l’image observ´ee f : Ω ⊂ RN 7→ R telle que f = u + n
• u : image originale
• n : bruit gaussien
Mod`
ele Tykhonov (1963) : le probl`eme revient `a minimiser un crit`ere de
r´egularit´e convexe sous la contrainte que l’image obtenue u soit la plus proche de
l’image observ´ee f :
Z
Z
+ λ ku − f k2dx
min
|∇u|2
u
}
| Ω {z }
| Ω {z
terme de r´egularisation
terme de fid´elit´e
R
Mod`
ele ROF (1992) : terme de r´egularisation = Ω |∇u|
R
Mod`
ele TV-L1 (1992) : terme de fid´elit´e = Ω |u − f |
Image r´etinienne
V´erit´e terrain
Mod`ele Chan-Vese non-local
Tubularit´e de Frangi
TV-L1+tubularit´e (α = 0.3)
TV-L1+tubularit´e (α = 0.7)
Comment bien choisir l’´energie ?
Norme Approche statistique R´
egularisation
Fid´
elit´
e
|.|
M´ediane
Bords lisses Bruit laplacien
k.k2
Moyenne
Bords saillants Bruit gaussien
Perspectives
Algorithme d’optimisation convexe
Importance de la convexit´e ?
• minimum local = minimum global
• ne d´epend pas de la condition initiale
Choix de l’algorithme : Primal-dual [Chambolle et Pock, 2011]
• convergence garantie et rapide
• impl´ementation facile
1
Cette recherche est financ´ee en partie
par l’Agence Nationale de la Recherche
(R´ef´erence projet ANR-12-MONU-0010)
• Inclure le mod`ele de Chan-Vese [Jezierska, 2014]
Z
Fid´elit´e =
2
2
2
2
kuk
ku
−
f
k
+
k1
−
uk
ku
−
f
k
dx
1
0
|
{z
}
|
{z
}
Ω
r´egion d’int´erˆet
fond
• Tests sur le r´eseau vasculaire c´er´ebral 3D