1. No category

Université de Rennes 1
UFR Structure et Propriétés de la Matière
Yann Gueguen, Dr,
Maître de Conférence,
Département Mécanique et Verres
Institut de Physique de Rennes UMR CNRS 6251
B : Bât. 10B, Campus de Beaulieu
35042 Rennes Cedex,
: 02.23.23.58.06
t : 02.23.23.61.11
k : [email protected]
M´ecanique des milieux continus : Solides d´eformables
´
´
Licence 3, mention Mecanique
et Sciences de l’Ingenieur
ENS Rennes
Rennes, le 2 avril 2015
Sommaire
I
II
Introduction
5
1
MMC ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
La MMC, pourquoi faire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Milieux continus et homogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4
Quasi-statisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5
Résoudre un problème de solide déformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Notations indicielles et convention de l’indice r´ep´et´e
11
1
Tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2
Quelques opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3
Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
III D´eformation
15
1
Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3
Déplacement, vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4
Tenseur gradient de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
5
Tenseur des déformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6
Tenseur des déformations en hypothèse des petites perturbations . . . . . . . . .
22
7
Conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8
Tenseur antisymétrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
9
Des exemples simples... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
10
Invariants du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
11
Décomposition du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
12
Équations de compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
IV Contrainte
31
1
Force de surface et force de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2
Cohésion et principe de la coupure (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4
Vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5
Homogénéité des forces de cohésion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6
Petite perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7
Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4
8
Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
9
Symétrie du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
10
Invariants du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
11
Décomposition du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
12
Equation locale de la statique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
13
Et en dynamique ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
V Loi de comportement
51
1
Comportement élastique : réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2
Elasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3
Utilisation des parties sphériques et déviatoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4
Essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5
Valeurs possibles du coefficient de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
VI Outils compl´ementaire
61
1
Les équations de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2
Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales . . . . . . .
66
3
Vitesse de propagation du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4
Déformation propre : dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
VII Bilan
81
1
Vue d’ensemble du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2
Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3
Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4
Méthode des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5
Méthode des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6
Cas particulier : corps en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
VIII Modules d’´elasticit´e
85
CHAPITRE
I
Introduction
Sommaire
1
MMC ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
La MMC, pourquoi faire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3
Milieux continus et homogénéité . . . . .
3.1
Milieu continu . . . . . . . . . . .
3.2
Homogénéité . . . . . . . . . . .
3.3
Volume élémentaire représentatif
.
.
.
.
6
6
7
7
4
Quasi-statisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5
Résoudre un problème de solide déformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
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6
1
Chapitre I. Introduction
MMC ?
La MMC est la mécanique des milieux continus. C’est le domaine de la mécanique qui traite
de la déformation des milieux solides ou fluides, en faisant l’approximation que ces milieux sont
continus, au sens mathématique du terme. Traditionnellement, en école d’ingénieur, il n’existe
qu’un cours de MMC, regroupant mécanique des fluides et mécanique des solides déformables.
Les outils mathématiques et mécaniques pour traiter ces deux milieux sont en effet les mêmes,
et au sens stricte, seul le comportement de ces deux milieux est différents. Nous avons fait le
choix de traiter la MMC en L3 MSI en deux cours, le cours de Solides Déformables que voici, et
le cours de Mécanique des Fluides.
2
La MMC, pourquoi faire ?
Pour l’étudiant, depuis le lycée (le collège ?), la mécanique principalement étudiée jusqu’à la
L3, est la mécanique des solides indéformables (voire la mécanique du point). Cette branche de
la mécanique permet de traiter des problèmes de cinématique : les mouvements complexes d’un
robot, les efforts transmis à chaque actionneur, des trajectoires balistiques, le mouvement des
planètes, satellites... En revanche, elle ne permet pas de dire les efforts nécessaires pour emboutir
un pièce, de dimensionner les bras d’un robot, de connaître les efforts qui engendreront un départ de fissures, l’endommagement d’une pièce, ou le début de sa déformation plastique. C’est le
rôle de la mécanique des solides déformables, inclue dans la MMC, que de traiter ces problèmes.
Certains étudiants, arrivés en L3 ont déjà vu la théorie des poutres ("RdM"), qui peut être vue
comme une partie de la mécanique des solides déformables, limitée à des structures élancées.
La mécanique des solides déformables nous permet soit :
– pour une structure faite d’un ou de plusieurs matériaux de propriétés mécaniques connues
(élasticité, limite d’élasticité, contrainte à rupture...), de dimensionner cette structure pour
qu’elle ne se fissure pas, ne se déforme pas de manière permanente, ou au moins pour qu’elle
ne s’endommage pas de façon trop conséquente après une durée d’utilisation donnée.
– pour un matériau dont on ignore les propriétés, de pouvoir les évaluer via un essai mécanique.
3
3.1
Milieux continus et homogénéité
Milieu continu
Un milieu continu est un milieu où les propriétés peuvent être décrites par des fonctions
continues au sens mathématique du terme. Considérons un solide de volume V délimité par
une surface S. Considérons une propriété quelconque de ce solide, comme la masse volumique
(ρ), définie en tout point M de coordonnées {x, y, z} appartenant à V . L’évolution de la masse
volumique dans le solide est donnée par la fonction ρ(x, y, z). Le solide est considéré comme un
milieu continu si ρ(x, y, z) est une fonction continue et continuellement dérivable en tout point
M appartenant à V .
A notre échelle, macroscopique, ce concept de continuité paraît évident pour la plupart des
matériaux. Un verre, qui forme une fenêtre par exemple, semble un milieu continu, puisqu’on ne
perçoit, à l’oeil, aucune discontinuité dans la matière. Pourtant, si on considère une fonction décrivant une propriété dans un solide, la masse volumique à nouveau, par exemple, si le milieu est
4. Quasi-statisme
7
continu, alors cette fonction est continue et le long de tout trajet, par exemple sur une longueur
δ. Si elle est continue au sens mathématique du terme, elle est continue même si δ → 0. Dans
la matière, dès que δ approche la dimension d’une molécule formant cette matière, on se rend
compte qu’aucune propriété ne peut plus être décrite par une fonction continue. Un atome, par
exemple, est formé d’un noyau dense, entouré d’un grand vide, jusqu’au prochaine noyau d’un
atome voisin (la masse des électrons est négligeable par rapport à la masse du noyau d’un atome).
Le principe de la mécanique des milieux continus (MMC) consiste à ignorer les discontinuités
de la matière, c’est-à-dire à se placer à une échelle suffisamment grande pour que les milieux
traités paraissent continus. Sur cette base, la MMC peut donc traiter les caractéristiques d’un
milieu (masse volumique, pression, température...) comme des fonctions continues, qu’on pourra
dériver ou intégrer. Lorsqu’on traite un milieu continu, à un point M on associe une propriété
donnée, comme la masse volumique, qui est celle du volume dV de côtés dx, dy, dz qui entoure
ce point. En réalité, l’élément de longueur dx, infinitésimal au sens mathématique, est le le plus
petit élément de longueur à laquelle la matière puisse encore paraître continue.
A l’échelle où la matière apparaît comme discontinue, les approximations de la MMC étant
fausse, elle échoue à décrire son comportement. Cette échelle dépend du matériau : pour un
verre, cette échelle correspond à quelques nanomètres ; pour les métaux, c’est l’échelle du grain ;
pour un béton, c’est une échelle supérieure au granulat (sable, graviers)...
3.2
Homogénéité
On appelle "milieu homogène" un milieu continu dans lequel les propriétés sont les mêmes
en tout point. Un milieu homogène n’a pas nécessairement les mêmes propriétés dans toutes les
directions : un milieu transparent peut avoir un indice optique qui dépend de la direction de la
lumière tout en étant homogène.
Si un milieu n’est pas homogène (hétérogène, donc), à une certaine échelle, on peut le traiter comme un milieu homogène, à une échelle supérieure, via ce qu’on appelle les méthodes
d’homogénéisation.
3.3
Volume élémentaire représentatif
L’homogénéisation consiste à définir un volume, le plus petit possible, tel que les propriétés
de ce volume (la masse volumique par exemple) soient représentatif du solide tout entier. On
nomme ce volume "volume élémentaire représentatif" (VER). Dans ce cadre, lorsqu’en MMC on
parle de point M et de volume dV , il s’agit en réalité du VER. Cela signifie que la MMC ne
peut pas décrire correctement l’évolution d’une propriété sur une longueur plus courte que la
dimension du VER.
Comme on l’a vu, aucun matériau n’est réellement continu, donc aucun n’est réellement
homogène. La dimension du VER pour un verre, par exemple, est à la fois l’échelle où il paraît
homogène et continu.
4
Quasi-statisme
Les équations qui seront développées ici se fonderont essentiellement sur le principe fondamental de la statique. Nous analyserons la déformation d’un corps, donc sa transition d’un état
(considéré comme) non-déformé vers un état déformé. Il semble donc peu naturel d’appliquer le
8
Chapitre I. Introduction
principe fondamental de la statique puisqu’il y a un mouvement des différents points matériels
d’un corps pour aller de l’état non-déformé vers l’état déformé.
On appliquera le principe fondamental de la statique en faisant soit l’hypothèse que l’état
déformé est analysé après disparition de tout effet dynamique (inertie) qui a permis de l’atteindre, soit que la déformation est tellement lente que l’on peut négliger les effets dynamiques :
on dit alors que l’on travaille en quasi-statique.
Concrètement, lors d’un essai mécanique, comme un essai de traction, on fait en sorte que
les conditions de sollicitation respectent cette hypothèse de quasi-statisme. Pour respecter cette
hypothèse, il faut que la vitesse de déformation soit typiquement inférieure à 10−4 s−1 (0,01%
par seconde).
Dans la réalité, le fait que le "quasi-statisme" n’existe pas implique que quand on sollicite
une structure, elle ne se déforme pas instantanément : une onde de déformation traverse la
structure, à la vitesse du son dans le matériau, jusqu’à ce que la déformation s’équilibre. Pour
illustrer cela, imaginons une barre faite d’un matériau homogène, d’une longueur de 300 000 km.
Si je place un observateur à une extrémité et que j’applique un couple à l’autre extrémité, ce
couple ne peut pas être transmis instantanément d’une extrémité à l’autre (c’est ce qu’implique
le quasi-statisme). En effet, si tel était le cas, il me suffirait de placer un capteur de couple à une
extrémité pour savoir instantanément que quelqu’un applique un couple à l’autre extrémité et
donc transmettre une information plus vite que la lumière, ce qui viole le principe de relativité.
En pratique, aussi lentement que j’applique le couple à l’extrémité, ce couple ne sera transmis
à l’autre extrémité qu’après une durée qui correspond au temps que l’onde mécanique générée
p
met à parcourir le barreau. Ici c’est une onde de cisaillement dont la vitesse vaut v = µ/ρ.
Pour de l’acier, le couple serait transmis dans cette barre de 300 000 km en un peu plus d’une
journée.
5
Résoudre un problème de solide déformable
Lorsque l’on cherche à dimensionner une structure, ce qui nous intéresse généralement est
la force maximale que peut subir cette structure (le poids qu’elle supporte, la force du vent...).
Quand on étudie une structure élancée, on peut aussi s’attacher à connaître la déflexion de
cette structure, donc le déplacement généré par les efforts qu’elle subit. De la même façon qu’on
peut le voir en dimensionnement des poutres (RdM), ce qui nous intéresse, donc, est de faire le
lien entre les efforts extérieurs que subit une structure et les déplacements locaux que cela génère.
Il paraît évident pour un étudiant arrivé en licence 3, que cette relation entre les efforts
extérieurs et les déplacements locaux est à la fois conditionnée par la géométrie et les dimensions
de la structure, mais également par le matériau. Les forces et les déplacements ne sont donc pas
suffisants pour traiter le problème de solide déformables : il convient de passer par les contraintes
et les déformations. La loi de Hooke par exemple, déjà vu en RdM, lie contrainte et déformation
en 1D, et non directement force et déplacement :
σ = E ×
(I.1)
En effet, pour faire entrer en jeu la force F et le déplacement ∆L, il faut prendre en compte
les dimensions de l’éprouvette, incluant sa surface S et sa longueur L :
F =E×
∆L S
L
(I.2)
5. Résoudre un problème de solide déformable
9
Deux exemples simples permettent de comprendre l’utilité des contraintes et des déformations :
– Quelle est la force à rupture de l’acier ? Cette question n’a en soit pas de sens. On sait,
on voit, que la force à rupture n’est pas que liée à un paramètre intrinsèque au matériau
(la contrainte à rupture), elle dépend de la géométrie.
– Quel est l’allongement à rupture de l’acier ? Cette question n’a, à nouveau, pas de sens.
On sait que l’allongement à rupture dépend déjà au moins de la longueur initiale de notre
échantillon d’essai mécanique.
Les différents éléments de la MMC sont donc : le champ de déplacement, les forces extérieures, la déformation, la contrainte et la loi de comportement (loi de Hooke par exemple).
En dimensionnement des structures, le chemin à suivre, pour lier le champ de déplacement
aux forces extérieurs (et inversement) est le suivant :
Champ de déplacement
~u
O
Chapitre III : Déformation
Tenseur des déformations
¯
O
Chapitre V : Loi de comportement
¯
Tenseur des contraintes
σ
O
Chapitre IV : Contrainte
Actions extérieures F~
Les différents chapitres de ce cours correspondent à chacun de ces éléments.
10
Chapitre I. Introduction
CHAPITRE
II
Notations indicielles et convention de l’indice répété
Sommaire
1
Tenseur . . . . . . . . . .
1.1
Champ scalaire .
1.2
Champ vectoriel
1.3
Tenseur d’ordre 2
.
.
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12
12
12
12
2
Quelques opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3
Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
12
1
Chapitre II. Notations indicielles et convention de l’indice répété
Tenseur
Le tenseur est un objet mathématique qui permet de définir une grandeur dans un espace
vectoriel. C’est une sorte de généralisation des vecteurs à des objets de plus ou moins que n
composantes dans un espace à n dimensions. Cette grandeur peut être scalaire : on parle de
tenseur d’ordre zéro, vectoriel : on parle de tenseur d’ordre 1, ou "plus" : tenseur d’ordre n > 1.
On ne traite ici que de bases orthonormées directes, dans un espace de dimension 3. (~e1 ,~e2 ,~e3 )
la base orthonormée directe, et x1 , x2 , x3 les abscisses correspondantes.
1.1
Champ scalaire
Soit a un champ scalaire, et de façon analogue, le tenseur d’ordre 0 correspondant (la "représentation" de ce champ scalaire dans un espace vectoriel (~e1 ,~e2 ,~e3 )) est :
a(x1 , x2 , x3 )
Un scalaire n’étant pas dépendant d’un espace vectoriel, inutile de préciser la base. Jusqu’à
là, rien de nouveau.
1.2
Champ vectoriel
Soit ~v (x1 , x2 , x3 ) un champ de vecteur, et le tenseur d’ordre 1 correspondant. Il se représente
par la "matrice colonne" suivante :
v1 (x1 , x2 , x3 )


~v =  v2 (x1 , x2 , x3 ) 
v3 (x1 , x2 , x3 ) {~e


e2 ,~e3 }
1 ,~
En notation indicielle, on note vi avec i ∈ {1, 2, 3} chaque composante de ce tenseur d’ordre
1. Pour identifier de quelle composante de ~v on parle, il suffit d’un seul indice (i) pour décrire
chaque composante, il est d’ordre 1 (un tenseur d’ordre 0 ne nécessite aucun indice). Et même si
on travaillait dans un espace vectoriel de dimension 4, 8 ou 1567, ce tenseur est toujours d’ordre
1 (on aura un indice, i tel que 1 ≤ i ≤ N , N la dimension de l’espace). On a donc :
~v =
3
X
(II.1)
vi ~ei
i=1
1.3
Tenseur d’ordre 2
¯ , x , x ) un tenseur d’ordre 2 quelconque, qui dans un espace de dimension 3 contient
Soit A(x
1 2 3
9 termes. On le représente par une matrice carrée tel que :

A11 A12 A13



¯
A=
 A21


A22




A23 



A31 A32 A33
(II.2)
~e1 ,~e2 ,~e3
En notation indicielle, on note Aij avec i ∈ {1, 2, 3} et j ∈ {1, 2, 3}, chaque composante de ce
tenseur d’ordre 2. Ce tenseur ne nécessite que 2 indices pour décrire chaque composante, il est
d’ordre 2.
13
2. Quelques opérations
2
Quelques opérations
– Le produit d’un scalaire par un vecteur est un vecteur :
b1 (x1 , x2 , x3 )

~b = a.~c = 
 b2 (x1 , x2 , x3 ) 
b3 (x1 , x2 , x3 ) {~e


a × c1 (x1 , x2 , x3 )


=  a × c2 (x1 , x2 , x3 ) 
a × c3 (x1 , x2 , x3 ) {~e
}


e2 ,~e3
1 ,~
e2 ,~e3 }
1 ,~
On écrit de façon plus rapide, en notation indicielle :
bi = a.ci ∀i ∈ {1, 2, 3}
– Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire :
a1 (x1 , x2 , x3 )


~
~a.b = c =  a2 (x1 , x2 , x3 ) 
a3 (x1 , x2 , x3 ) {~e


b1 (x1 , x2 , x3 )


.  b2 (x1 , x2 , x3 ) 
b3 (x1 , x2 , x3 ) {~e
}


e2 ,~e3
1 ,~
= a1 ×b1 +a2 ×b2 +a3 ×b3
e2 ,~e3 }
1 ,~
En notation indicielle, on utilise la convention de l’indice répété (ou "convention des sommations d’Einstein") : tout indice répété 2 fois indique une somme de tous les indices
existant. Si c est le produit scalaire ~a.~b, on peut alors écrire :
c = ai .bi
Dans la convention de l’indice répété, ai .bi signifie explicitement : a1 ×b1 +a2 ×b2 +a3 ×b3 .
On remarquera qu’avec cette convention, il est inutile d’écrire :
~v =
3
X
(II.3)
vi ~ei
i=1
On peut directement écrire :
~v = vi ~ei
(II.4)
– On peut donner un autre exemple de l’utilisation de la convention de l’indice répété :
Aii est un scalaire. Il représente la somme de tous les termes de A¯ de mêmes indices :
Aii = A11 + A22 + A33 .
– Le produit d’un scalaire par un tenseur d’ordre 2 est un tenseur d’ordre 2 :
¯ = a.C¯
B
En notation indicielle, je peux directement écrire que :
Bij = a.Cij ∀i ∈ {1, 2, 3} & ∀j ∈ {1, 2, 3}
– Le produit d’un tenseur d’ordre 2 par un tenseur d’ordre 1 est un tenseur d’ordre 1 :

A11 A12 A13


¯ ~b = 
 A21
~c = A.



A22
 
b1

 

 

 

 b2 
.
A23 
 

 

 

A31 A32 A33
b3
14
Chapitre II. Notations indicielles et convention de l’indice répété
A11 .b1 + A12 .b2 + A13 .b3




~c = 
 A21 .b1 + A22 .b2 + A23 .b3










A31 .b1 + A32 .b2 + A33 .b3
En notation indicielle, on écrit, de façon plus rapide :
ci = Aij bj
d’où :
c1 = A1j bj = A11 b1 + A12 b2 + A13 b3
c2 = A2j bj = A21 b1 + A22 b2 + A23 b3
c3 = A3j bj = A31 b1 + A32 b2 + A33 b3
3
Dérivation
La convention de l’indice répété permet aussi de simplifier l’écriture de dérivation. Soit
~v (x1 , x2 , x3 ) un champ de vecteur à 3 composantes vi . On notera :
vi,j =
∂vi (x1 , x2 , x3 )
∂xj
En combinant avec la convention de l’indice répété, on remarque :
vi,i =
∂v1 ∂v2 ∂v3
+
+
= div (~v )
∂x1 ∂x2 ∂x3
CHAPITRE
III
Déformation
Sommaire
1
Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2
Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3
Déplacement, vitesse et accélération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4
Tenseur gradient de transformation . . . . . . . . . . .
4.1
Points infiniment voisins et leurs images . . . .
4.2
Déplacements correspondants . . . . . . . . . .
4.3
Pourquoi "tenseur gradient de transformation" ?
.
.
.
.
17
17
18
19
5
Tenseur des déformations de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6
Tenseur des déformations en hypothèse des petites perturbations . . . . . . . .
22
7
Conditions d’existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
8
Tenseur antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
9
Des exemples simples... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
Traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
Glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
24
25
10
Invariants du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1
Premier invariant du tenseur des déformations : I1 . . . . . . . . . . .
10.2
Second et troisième invariants du tenseur des déformations : I2 et I3 .
25
26
26
11
Décomposition du tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1
Partie sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2
Partie déviatorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
27
12
Équations de compatibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
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.
.
.
16
1
Chapitre III. Déformation
Préambule
Le concept de déformation, tel que les étudiants l’ont vu jusqu’alors, semble simple : la déformation longitudinale est le rapport entre l’allongement et la longueur initiale, le glissement
est le rapport entre la différence de déplacement entre deux plans et la distance qui les sépare.
Dans la réalité, la déformation d’un corps peut être beaucoup plus complexe : une combinaison de déformations longitudinales et de glissements, de dilatation, de contraction et de
changements de forme. De plus, il faut faire le lien entre ce qui est généralement accessible, mesuré, c’est-à-dire le champ de déplacement ou au moins une partie du champ de déplacement, et
ce qu’on veut en déduire : la déformation et le déplacement global du corps étudié. Par exemple,
le champ de déplacement suivant :
~u = a ~ex + b ~ey + c ~ez
(III.1)
correspond à un mouvement de translation du corps, sans aucune déformation. Le champ de
déplacement suivant :
~u = a r ~eθ
(III.2)
correspond à un mouvement de rotation pur, sans aucune déformation. "L’objet" déformation
que l’on souhaite décrire doit donc être un objet qui découle du champ de déplacement, et qui
fasse la distinction entre les mouvements de corps solides (rotation, translation) et les dilatations, distorsions du corps. Nous allons décrire dans ce chapitre comment est défini le champ de
déformation.
2
Trajectoire
Considérons un milieu continu occupant un volume V à l’instant initial (t = 0). Ce volume
peut être vu comme l’assemblage d’une infinité de petits éléments de matière appelés "points
matériels". Sous l’action de forces extérieures, chaque point matériel va se déplacer et avoir sa
propre trajectoire. La trajectoire de chaque point matériel correspond à la fois au mouvement
global du volume (translation, rotation : mouvement de corps solide) et à la déformation de
ce volume. Cette trajectoire est définie par l’évolution de la position de ce point matériel en
~ la position initiale d’un point matériel, ~x sa position à un instant t :
fonction du temps. Soit X
~ X,
~ t)
~x = Φ(
(III.3)
~ est la fonction définissant la trajectoire du point matériel. La fonction Φ
~ est une transforΦ
~ à ~x. C’est de plus une bijection : à chaque point matériel X
~ ne
mation qui permet de passer de X
correspond qu’un seul et unique point spatial image ~x à tout instant t. On conçoit bien que deux
points matériels ne peuvent pas arriver "un même endroit" (il n’y a pas de fusion nucléaire...).
~ −1 telle que :
Puisqu’il s’agit d’une bijection, il existe une fonction Φ
~ −1 (~x, t)
~ =Φ
X
(III.4)
Du fait de cette bijection entre les coordonnées spatiales et matérielles, on peut choisir comme
variables indépendantes pour décrire le mouvement soit le couple (~x, t) dit "variables d’Euler"
~ t) dit "variables de Lagrange". On se réfère au cours de mécanique des fluides :
soit le couple (X,
Dans la description eulérienne, on ne se préoccupe pas de savoir ce qu’il advient de chaque
particule. En fait on étudie ce qui se passe, à chaque instant, en chaque point matériel : le couple
17
3. Déplacement, vitesse et accélération
(~x, t) ne dit pas d’où "vient" le point matériel, juste où il arrive.
~ t)
Dans la description lagrangienne, on se préoccupe de chaque point matériel. Le couple (X,
dit d’où "vient" le point matériel.
~ est en soit suffisante pour décrire complètement un
La connaissance seule de la fonction Φ
mouvement. On peut en tirer tout ce qui nous intéresse (déformation, translation, rotation).
3
Déplacement, vitesse et accélération
Tout comme pour la mécanique des fluides, le point de vue lagrangien conduit aux définitions
classiques de vitesse et de déformation. Commençons par le déplacement, qui n’est autre que la
~ et la position finale ~x. En point de vue lagrangien, on traite
différence entre la position initial X
~ t) :
le couple (X,
~ X,
~ t) = ~x(X,
~ t) − X
~ = Φ(
~ t) − X
~
~u(X,
(III.5)
Et de façon classique, la vitesse :
~ t) =
~v (X,
d ~
~u(X, t)
dt
(III.6)
et l’accélération :
~ t) = d ~v (X,
~ t)
~a(X,
(III.7)
dt
Nous ne traiterons pas ici les dérivées eulériennes qui seront vues en mécaniques des fluides.
4
Tenseur gradient de transformation
4.1
Points infiniment voisins et leurs images
Considérons deux points matériels infiniment voisins d’un corps supposé être un milieu
continu, P et Q, à l’instant t = 0 :
~ = P~Q
dX
(III.8)
Le corps subit des actions extérieures ou tout autre chose qui peut l’amener à se déformer
(dilatation par exemple), dont résultent un déplacement de ses points matériels. A un instant
t > 0, on identifie les deux points images correspondant à P et Q : P 0 et Q0 .
~ 0 = Φ(
~ 0 = Φ(
~ OP
~ OQ,
~ , t) et OQ
~ t)
OP
(III.9)
On cherche ici à trouver un opérateur F¯ pour décrire le lien entre P~Q et P ~0 Q0 , tel qu’on
puisse donc écrire :
¯ P~Q
P ~0 Q0 = F.
(III.10)
~ = x e~x + y e~y + z e~z
OP
(III.11)
On pose :
et
18
Chapitre III. Déformation
~ = (x + dx) e~x + (y + dy) e~y + (z + dz) e~z
OQ
(III.12)
P et Q sont infiniment voisins, et on suppose que P 0 et Q0 le resteront. On a donc :


dx


~
~
P Q =  dy  = dX
dz
(III.13)
dx0


P ~0 Q0 =  dy 0 
dz 0
(III.14)
et

4.2

Déplacements correspondants
Soit ~u(P ) le vecteur déplacement du point P définit par ~u(P ) = P~P 0 :
ux (x, y, z)


~u(P ) =  uy (x, y, z) 
uz (x, y, z)


(III.15)
~ 0:
Soit ~u(Q) le vecteur déplacement du point Q définit par ~u(Q) = QQ
ux (x + dx, y + dy, z + dz)


~u(Q) =  uy (x + dx, y + dy, z + dz) 
uz (x + dx, y + dy, z + dz)
(III.16)
~ 0 = −~u(P ) + P~Q + ~u(Q)
P ~0 Q0 = P~0 P + P~Q + QQ
(III.17)


On vérifie :
dx0 est définit comme la projection de P ~0 Q0 sur e~x :
dx0 = P ~0 Q0 .e~x = −ux (x, y, z) + dx + ux (x + dx, y + dy, z + dz)
Or :
(III.18)
19
4. Tenseur gradient de transformation
∂ux (x, y, z)
ux (x + h) − ux (x)
= lim
h→0
∂x
h
(III.19)
D’où :
ux (x + dx, y + dy, z + dz) − ux (x, y, z) =
∂ux (x, y, z)
∂ux (x, y, z)
∂ux (x, y, z)
dx +
dy +
dz (III.20)
∂x
∂y
∂z
On obtient :
∂ux (x, y, z)
∂ux (x, y, z)
∂ux (x, y, z)
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
dx0 = dx +
(III.21)
ou, en notation d’indices : dx0i = dxi + ui,j dxj .
Soit, en généralisant pour dy 0 et dz 0

dx + ∂ux (x,y,z)
dx + ∂ux (x,y,z)
dy + ∂ux (x,y,z)
dz
∂x
∂y
∂z

∂u (x,y,z)
∂u (x,y,z)
∂uy (x,y,z)
P ~0 Q0 = 
dx + y ∂y
dy + y ∂z
dz 

 dy +
∂x
(III.22)
¯ P~Q
P ~0 Q0 = F.
(III.23)
P ~0 Q0 = P~Q.F¯ T
(III.24)


dz +
∂uz (x,y,z)
dx + ∂uz (x,y,z)
dy + ∂uz (x,y,z)
dz
∂x
∂y
∂z
Donc
Ce qui est équivalant à :
Avec F¯ le "tenseur gradient de transformation" :
∂ux
 1 + ∂x






¯
F =





∂uy
∂x
∂uz
∂x
∂ux
∂y
1+
∂ux
∂z





∂uy 
 ¯
¯ u)
 = I + grad(~

∂z



∂uz 
∂uy
∂y
∂uz
∂y
1+
(III.25)
∂z
En effet :
∂ux
 1 + ∂x



dx0

 dy 0
dz 0
4.3



 
=






∂uy
∂x
∂uz
∂x
∂ux
∂y
1+
∂uy
∂y
∂uz
∂y
∂ux
∂z





 dx

∂uy  

  dy 

∂z

dz


∂uz 
1+
(III.26)
∂z
Pourquoi "tenseur gradient de transformation" ?
On peut voir que le tenseur F¯ s’écrit aussi :
~ X,
~ t)
∂ Φ(
¯ Φ(
~ X,
~ t)
= grad
F¯ =
~
∂X
(III.27)
20
Chapitre III. Déformation
D’où son nom de "tenseur gradient de transformation". On peut démontrer ceci de la façon
suivant :
~ X,
~ t) = ~x(X,
~ t) − X
~ = Φ(
~ t) − X
~
~u(X,
(III.28)
~ X,
~ t) = ~u(X,
~ t) + X
~ =X
~ + ~u(X,
~ t)
Φ(
(III.29)
~ X,
~ t) ¯ ∂~u(X,
~ t)
∂ Φ(
F¯ =
=I+
~
~
∂X
∂X
(III.30)
Donc :
Ce qui donne :
Or :
∂ux
 ∂x




 ∂u
∂~u
∂~u
y

=
=
~
∂x
dx ~ex + dy ~ey + dz ~ez 
∂X



 ∂uz
∂x
∂ux
∂y
∂uy
∂y
∂uz
∂y
∂ux
∂z 




∂uy 


∂z 



∂uz 
∂z
~ex ,~ey ,~ez
¯ (~u)
F¯ = I¯ + grad
5
(III.31)
(III.32)
Tenseur des déformations de Green-Lagrange
Les mouvements des points P et Q vers les points respectifs P 0 et Q0 sont composés de :
– mouvements de corps solides (rotation/translation), auquel cas : ||P~Q|| = ||P ~0 Q0 ||
– d’une déformation, auquel cas ||P~Q|| , ||P ~0 Q0 ||
Nous souhaitons ici définir un "objet" qui décrit la déformation, objet indépendant des mouvements de corps solides. On peut donc regarder la différence des normes des vecteurs P~Q
et P ~0 Q0 ou la différence des normes carrées ou la différence relative (relative, car rapportée à
||P~Q||2 ) : tout cela est indépendant des mouvements de corps rigides (donnerait un résultat nul
s’il n’y avait que des mouvements de corps rigides).
Recherchons la différence de normes carrées. On a :
¯ P~Q − P~Q.P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = P~Q.F¯ T F.
(III.33)
¯ P~Q − P~Q.I.
¯ P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = P~Q.F¯ T F.
(III.34)
¯ P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = P~Q.(F¯ T F¯ − I).
(III.35)
On introduit un facteur 2 que l’on justifiera par la suite :
21
5. Tenseur des déformations de Green-Lagrange
1
¯ P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = 2P~Q. (F¯ T F¯ − I).
2
(III.36)
¯ P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = 2P~Q.E.
(III.37)
¯ le tenseur des déformations de Green-Lagrange, défini par :
Avec E
¯=
E
F¯ T F¯ − I¯
1
2
(III.38)
On a donc :
¯=
E
1
2
¯ (~u) + grad
¯ T (~u) + grad
¯ T (~u) .grad
¯ (~u)
grad
(III.39)
¯ T (~u) .grad
¯ (~u) le produit contracté de ces deux tenseurs (C = A .B ).
Avec grad
ij
ik kj
→ C12 = A11 .B12 + A12 .B22 + A13 .B32
(III.40)
Prenons l’exemple d’un champ de déplacement qui vaut :
~u = ux (x) ~ex
(III.41)
Donc :
∂ux
 ∂x


¯ (~u) = 
grad


0



0

0 0 



0 0 



0 0
(III.42)
~ex ,~ey ,~ez
Et donc :
∂ux 1
+

 ∂x
2


¯=

E




∂ux
∂x
2

0 0 




0 



0
0
0
0 0
(III.43)
~ex ,~ey ,~ez
~ = dx ~ex , sa norme carrée vaut dx2 . Après déformation, on
Si on considère le vecteur dX
x
obtient le vecteur dx + ∂u
ex , de norme carrée :
∂x dx ~
∂ux 2
∂x
Et finalement, la différence relative de norme carrée entre ces deux vecteurs :
dx2
dx2
1+
∂ux 2
∂x
− dx2
dx2
2
∂ux
+
∂x
1+
∂ux
∂x
!
∂ux 2
= 1+
−1
∂x
2
(III.44)
= 2 Exx
(III.45)
(III.46)
¯ est donc bien un tenseur qui correspond à la variation relative de norme carrée
Le tenseur E
~ à un facteur 2 près, que nous allons détailler par la suite.
d’un vecteur local dX,
22
6
Chapitre III. Déformation
Tenseur des déformations en hypothèse des petites perturbations
L’hypothèse des petites perturbations (hpp), consiste à supposer que |ui,j | << 1 (que les
¯ (~u) sont petits), et donc u u ∼ 0 (que le terme quadratique grad
¯ T (~u) .grad
¯ (~u)
termes de grad
i,k k,j
est négligeable). En pratique, on considère que cette hypothèse est valide pour des taux de déformation inférieur à ∼ 3%. Il ne faut bien sûr pas s’imaginer que l’hypothèse est vraie jusqu’à
ce seuil de déformation puis fausse après : c’est une approximation dont l’erreur s’aggrave au
fur et à mesure qu’on approche ce seuil.
En hpp, le tenseur des déformations, noté ¯, s’écrit alors :
1 ¯
¯ T (~u)
grad (~u) + grad
¯ =
2
(III.47)
On peut remarquer que le tenseur des déformations, étant construit comme la somme d’un
tenseur (celui du gradient de déplacement) et de son transposé, est, par construction, symétrique
(ij = ji ). On a :

xx xy xz



¯
=
 yx


zx
yy
zy


 
 
 

yz 
 =  xy
 
 
zz
 ∂u
x
∂x
 
 
 

yz 
 =  sym.
 
 
xx xy xz
xz
yy
yz

zz
sym.
∂uy
∂x
x
+ ∂u
∂y
∂uy
∂y
sym.
∂uz
∂x
x
+ ∂u
∂z




∂uy 
∂uz
(III.48)
∂y + ∂z 


∂uz
∂z
Globalement, tous les termes de déformations peuvent s’écrire :
1
ij =
2
7
dui duj
+
dxj dxi
!
1
= (ui,j + uj,i )
2
(III.49)
Conditions d’existence
Le tenseur des déformations se calcule à partir des dérivées partielles du champ de déplacement. Le tenseur des déformations existent donc si le champ de déplacement est continu et
dérivable sur le domaine spatial correspondant au système étudié. Outre cet aspect mathématique, le tenseur des déformations, pour qu’il ait un sens physique, ne doit contenir que des
termes finis (d’autant plus qu’il est supposé valide qu’en petite déformation). Généralement,
cela implique que le champ de déplacement est fini (ce n’est pas toujours le cas : si le système
considéré est modélisé comme semi-infini, il se peut que le champ de déplacement ne soit pas
fini à l’infini, ex : lim ur (r) = ±∞).
r→+∞
8
Tenseur antisymétrique
~ On a :
Nous avons toujours deux points P et Q, tel que P~Q = dX.
¯ (~u) P~Q
P ~0 Q0 = F¯ P~Q = I¯ + grad
(III.50)
Ce expression revient simplement à dire qu’après transformation du corps (translation +
¯ P~Q)
rotation + déformation), le vecteur P~Q devient le vecteur P ~0 Q0 , qui est le vecteur P~Q ((I)
23
8. Tenseur antisymétrique
¯ (~u) P~Q).
plus sa transformation (grad
On a, avec I¯ P~Q = P~Q :
¯ (~u) P~Q
P ~0 Q0 = P~Q + grad
¯ :
ω
(III.51)
¯ (~u)), la déformation (¯) du reste, qu’on notera
On cherche à isoler de la transformation (grad
¯ (~u) − ¯
¯ = grad
ω
(III.52)
¯ (~u) − 1 grad
¯ (~u) + grad
¯ T (~u)
¯ = grad
ω
2
(III.53)
Donc :
¯ (~u) − grad
¯ T (~u)
¯ = 1 grad
ω
2
(III.54)
On l’appelle tenseur antisymétrique, car il n’est pas symétrique (sic), et construit par le signe
opposé à ¯. Au final, on a donc :
¯ P~Q + ¯P~Q
P ~0 Q0 = P~Q + ω
(III.55)
~ 0
P ~0 Q0 = P~0 P + P~Q + QQ
(III.56)
Or :
~ 0 = ~u(Q) :
Or : P~0 P = −~u(P ) et QQ
¯ P~Q + ¯P~Q
− ~u(P ) + P~Q + ~u(Q) = P~Q + ω
(III.57)
¯ P~Q + ¯ P~Q + ~u(P )
~u(Q) = ω
(III.58)
Le terme ~u(P ) correspond à la translation de corps solide du segment PQ, ¯ P~Q à la défor¯ P~Q.
mation du segment PQ, ne reste donc que la rotation qui correspond à ω
Par exemple, considérons ~u(P ) = ~0, P en r = 0, P~Q = dr ~er et ~u(r) = Ω r ~eθ (rotation de
corps solide). Donc ~u(Q) = ~u(r = dr) = Ω dr ~eθ . On obtient :
¯ = ¯0
(III.59)
¯ (~u) − grad
¯ T (~u)
¯ = 1 grad
ω
2
(III.60)

0



 Ω
¯ = 1
ω

2


0
−Ω 0
0
0


0
 
 
 

0 
 −  −Ω
 
 
0
0
Ω 0
0
0





0 



0
(III.61)
24
Chapitre III. Déformation

0



¯
ω=
 Ω


0
−Ω 0
0
0




0 



(III.62)
0
Et finalement :
¯ P~Q = ω
¯ dr~er = Ωdr~er
~u(Q) = ~u(r = dr) = ω
(III.63)
¯ l’analogue de ω
¯ du point de
Nous verrons en mécanique des fluides le tenseur tourbillon Ω,
vue du champ de vitesse.
9
Des exemples simples...
Isolons, dans un solide, un volume cubique dV , de côtés dx, dy et dz. Ce volume à deux
faces orientées par ("de normale") ~ex et −~ex respectivement, deux faces orientées par ~ey et −~ey
et deux faces orientées par ~ez et −~ez .
9.1
Traction
Isolons la face orientée par ~ex : elle peut se déplacer selon ~ex , alors que la face orientée
par −~ex reste immobile. La différence de déplacement entre ces deux faces est donc dux . Cette
différence provoque un allongement du cube (dux > 0) dans cette direction ou une contraction
(dux < 0). On note xx la déformation correspondante, le première indice renseignant la normale
à la surface, le second la direction du déplacement :
xx =
dux
dx
(III.64)
Remarque :
x
– s’il y a une translation de corps solide du
dx = 0.
– on rappelle qu’on avait dans le tenseur des déformations de Green-Lagrange un facteur
1/2 "injustifié" jusqu’alors :
¯ P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = P~Q.(F¯ T F¯ − I).
(III.65)
1
¯ P~Q
P ~0 Q0 .P ~0 Q0 − P~Q.P~Q = 2P~Q. (F¯ T F¯ − I).
2
(III.66)
Ce facteur est resté sur le tenseur des déformations :
1 ¯
¯ T (~u)
¯ =
grad (~u) + grad
2
(III.67)
x
Sans ce facteur xx = 2 du
dx , et xx n’est plus une variation relative de longueur, mais le
double de cette variation. C’est l’unique raison pour laquelle ce facteur 1/2 a été ajouté.
25
10. Invariants du tenseur des déformations
9.2
Glissement
Cette face, orientée par ~ex , peut également se déplacer de duy selon ~ey provoquant un glissement de cette face du cube dans cette direction. S’il n’existe que ce déplacement (cas 1D),
on note usuellement γ l’angle de distorsion induit, qui, en hypothèse des petites perturbations
(hpp), est équivalent à la tangente de cet angle (Figure III.1) :
γ=
duy
dx
(III.68)
Figure III.1 — Glissement
On retrouve bien le glissement tel que vu en RdM.
S’il existe à la fois un déplacement de la face orientée par ~ex selon ~ey et de la face orientée
par ~ey selon ~ex (Figure III.2), le glissement est la somme des deux angles induits (indiqués par
des flèches sur la figure), qui ne sont pas nécessairement égaux :
γ=
π
dux duy
−α =
+
2
dy
dx
(III.69)
Cela correspond toujours à la définition du glissement : il suffit de faire une rotation du
repère pour le comprendre (réaligner l’axe ~x avec le côté du losange).
Remarque : s’il y a une rotation de corps solide
dux
dy
=−
duy
dx
et γxy = 0.
On peut voir la déformation xy comme la moyenne des angles générés sur la figure III.2 :
xy =
10
γ 1
=
2 2
dux duy
+
dy
dx
(III.70)
Invariants du tenseur des déformations
Le tenseur des déformations, comme tout tenseur, est relatif à une base. Néanmoins, ce
tenseur "renferme" des informations telle que la variation de volume entre état initial et état
déformé. On comprend donc qu’on peut définir des "objets" scalaires au sein du tenseur des
déformations qui ne dépendent pas de la base considérée : ce sont les invariants. Le fait que le
tenseur soit symétrique implique l’existence de trois invariants. On notera In les invariants du
tenseur des déformations.
26
Chapitre III. Déformation
Figure III.2 — Glissement composé
10.1
Premier invariant du tenseur des déformations : I1
On montre que la trace du tenseur des déformations (la somme de ses termes diagonaux)
correspond à la variation de volume relative (la démonstration sera faite en TD). Soit dV un
volume élémentaire local non-déformé et soit dV 0 ce même volume après déformation :
dV 0 − dV
tr ¯ =
= xx + yy + zz
dV
(III.71)
La variation de volume relative n’est pas fonction du référentiel, la trace est donc un invariant.
I1 = tr ¯
(III.72)
On peut calculer le volume final
(V 0 )
d’un corps, après déformation d’un corps de volume
V :
dV 0 − dV
dV 0
=
−1
I1 = tr ¯ =
dV
dV
(III.73)
dV 0 = (I1 (x, y, z) + 1)dV
(III.74)
Donc :
Soit finalement :
V0=
Z
V
(I1 (x, y, z) + 1)dxdydz = V +
Z
V
I1 (x, y, z)dxdydz = V +
Z
V
tr ¯ dxdydz
(III.75)
On intègre sur le volume initial, puisqu’en petites déformations on peut estimer qu’intégrer
sur le volume initial ou la volume final la trace du tenseur des déformations revient quasiment
au même.
10.2
Second et troisième invariants du tenseur des déformations : I2 et I3
Les second et troisième invariants du tenseur des déformations sont définis classiquement
par le fait que le tenseur de déformations est symétrique :
I2 = xx yy + yy zz + xx zz − 2xy − 2yz − 2xz
(III.76)
I3 = det ¯ = xx yy zz + 2xy xy xz − xx 2yz − zz 2xy − yy 2xz
(III.77)
27
11. Décomposition du tenseur des déformations
11
Décomposition du tenseur des déformations
Le tenseur des déformations peut être décomposé en une partie sphérique et une partie
déviatorique.
11.1
Partie sphérique
¯ tel que :
On appelle partie sphérique de tenseur de déformation le tenseur Λ
¯ = 1 tr ¯ I¯
Λ
3
(III.78)
¯ est purement diagonale, seuls les termes diagonaux peuvent être nonLa partie sphérique Λ
nuls. Ils sont tous égaux et valent :
Λxx = Λyy = Λzz =
xx + yy + zz
3
(III.79)
1
3
(III.80)
On remarque donc d’une part que :
Λxx = Λyy = Λzz =
dV 0 − dV
dV
chaque terme de ce tenseur vaut un tiers de la variation de volume relative, et que :
¯ = tr ¯
tr Λ
(III.81)
En termes simples, la partie sphérique ne renseigne que sur la variation de volume.
11.2
Partie déviatorique
On appelle partie déviatorique, notée e¯, le reste, au sens littéral, du tenseur des déformations :
¯
e¯ = ¯ − Λ
(III.82)
On remarque donc que :
¯ =0
tr e¯ = tr ¯ − tr Λ
(III.83)
La partie déviatorique (ou déviateur) est donc indépendante des variations de volume : elle
ne contient que les termes qui engendre des distorsions, des changements de forme isochore
(isovolume). Attention à la confusion : la trace du déviateur est nulle, ce qui implique nullement
que les termes diagonaux soient tous nuls.
12
Équations de compatibilité
Lorsqu’on souhaite résoudre un problème de mécanique des milieux continus, donc établir la
relation entre actions extérieures et champ de déplacement, il se peut que le champ de déplacement soit explicitement connu, auquel cas :
Le tenseur des déformations ¯ est défini par :
1 ¯
¯ T (~u)
grad(~u) + grad
¯ =
2
28
Chapitre III. Déformation
Pour tout champ de déplacement, ~u = ux (x, y, z) e~x + uy (x, y, z) e~y + uz (x, y, z) e~z , il existe
un tenseur des déformations associé si ux , uy et uz sont continus et dérivables.
Inversement, il se peut que les actions extérieures soient explicitement connues, auquel cas on
remontera au champ de déplacement via le tenseur des déformations. Ceci revient à résoudre des
équations différentielles qui permettent d’établir ux , uy et uz . Ces équations sont les suivantes :
xx =
∂ux
∂x
(III.84)
yy =
∂uy
∂y
(III.85)
zz =
∂uz
∂z
(III.86)
1
xy =
2
∂ux ∂uy
+
∂y
∂x
(III.87)
1
2
∂ux ∂uz
+
∂z
∂x
(III.88)
1
yz =
2
∂uy ∂uz
+
∂z
∂y
(III.89)
xz =
Ce système d’équations est (assez) long à résoudre, et peut être en pratique très difficile. Il
s’agit donc, avant d’entreprendre la résolution de ce système de s’assurer qu’il existe réellement
une solution : il peut ne pas y avoir de solution tout simplement si le tenseur de déformation
est faux (pas physiquement admissible), en termes clairs, parce qu’il n’existe aucun champ de
déplacement continu pouvant générer ce tenseur des déformations.
On appelle équation de compatibilité les équations qui permettent de vérifier que le tenseur
de déformation est physiquement admissible, ou plus correctement qu’il est compatible avec un
champ de déplacement. Nous ne regarderons pas ici la façon dont les équations de compatibilité
sont établies, mais on peut remarquer simplement que : xx dérive de ux tout comme xy , donc
ces deux termes sont liés. Mais xy dérive aussi de uy , tout comme yz , donc ces trois termes
sont liés, etc...
Ces liens aboutissent à 6 équations de compatibilité :
∂ 2 kj
∂ 2 lj
∂ 2 ik
∂ 2 il
−
−
+
=0
∂xl ∂xj ∂xl ∂xi ∂xk ∂xj ∂xk ∂xi
Ou (ceci sera vu en TD) :
∂ 2 xx
∂
+
∂y∂z ∂x
∂yz ∂xz ∂xy
−
−
∂x
∂y
∂z
=0
(III.90)
∂ 2 yy
∂
+
∂x∂z ∂y
∂zx ∂xy ∂yz
−
−
∂y
∂z
∂x
=0
(III.91)
∂ 2 zz
∂
+
∂x∂y ∂z
∂xy ∂yz ∂xz
−
−
∂z
∂x
∂y
=0
(III.92)
29
12. Équations de compatibilité
∂ 2 xx ∂ 2 yy
∂ 2 xy
+
−
2
=0
∂y 2
∂x2
∂x∂y
(III.93)
∂ 2 yy ∂ 2 zz
∂ 2 yz
+
−
2
=0
∂z 2
∂y 2
∂y∂z
(III.94)
∂ 2 xz
∂ 2 zz ∂ 2 xx
+
−
2
=0
∂x2
∂z 2
∂x∂z
(III.95)
30
Chapitre III. Déformation
CHAPITRE
IV
Contrainte
Sommaire
1
Force de surface et force de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2
Cohésion et principe de la coupure (rappel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4
Vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5
Homogénéité des forces de cohésion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
6
Petite perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
7
Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
8
Tenseur des contraintes .
8.1
Définition . . . .
8.2
Inversion . . . . .
8.3
Exemples simples
.
.
.
.
37
37
39
40
9
Symétrie du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
Relation inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
43
10
Invariants du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1
Premier invariant du tenseur des contraintes : I1 . . . . . . . . . . . .
10.2
Second et troisième invariants du tenseur des contraintes : I2 et I3 . .
44
44
44
11
Décomposition du tenseur des contraintes
11.1
Partie sphérique . . . . . . . . . .
11.2
Partie déviatorique . . . . . . . .
11.3
Utilité . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
44
44
45
45
12
Equation locale de la statique des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1
Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
46
13
Et en dynamique ? . . . . . .
13.1
Symétrie . . . . . . .
13.2
Accélération . . . . .
13.3
Equation locale de la
13.4
Corps en chute libre
47
47
47
47
49
.
.
.
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dynamique des milieux continus
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32
1
Chapitre IV. Contrainte
Force de surface et force de volume
Comme nous avons pu le voir en mécanique des fluides, on peut différencier 2 types de forces :
– celles qui sont produites par contact : les forces de surfaces (ou "de contact"), F~C ou F~S
– celles qui sont produites dans tout le volume, comme le poids, la force centrifuge, les forces
électromagnétiques (on pense aux aimants), et les forces piézoélectriques : les forces de volume F~V
Comme nous avons déjà pu le faire remarquer lors du cours de mécanique des fluides, la
force volumique s’exerçant sur un volume dV , notée f~ (N.m−3 ), permet de remonter à la force
de volume totale :
F~V =
Z
f~ dV
(IV.1)
V
Isolons par exemple un volume dV , de masse dm, de masse volumique ρ. Ce volume subit
une force de volume : le poids. La force de volume subie par dV vaut :
~ = dm ~g = ρ dV ~g
dP
(IV.2)
La force volumique totale s’exerçant sur le volume V , sans faire l’hypothèse d’une masse
volumique homogène, vaut :
P~ =
Z
V
~ =
dP
Z
(IV.3)
ρ ~g dV
V
D’où f~ = ρ~g .
Les forces de contact et les forces de volume sont les seules s’appliquant sur un système
considéré : elles respectent donc le PFS en statique ou le PFD en dynamique.
2
Cohésion et principe de la coupure (rappel)
On considère un solide quelconque statique (pour commencer), subissant des actions extérieures (Figure IV.1). Ce solide étant statique, les forces qu’il subit, des forces de contacts et des
forces de volume, respectent le principe fondamental de la statique, et leur somme vectorielle
est nulle :
F~S + F~V = ~0
(IV.4)
En ne prenant en compte que le poids, en force de volume :
F~S +
Z
V
ρ~g dV = ~0 = F~1 + F~2 + F~3 + F~4 +
Z
ρ~g dV
V
(IV.5)
Le principe fondamental de la statique s’applique à un système isolé, mais ce système est
arbitrairement choisi, du moment qu’il est statique. On se propose donc de couper fictivement
notre solide en deux parties gauche (Vg ) et droite (Vd ), la surface séparant ces deux parties étant
purement arbitraire (Figure IV.2). On ne regarde désormais que la partie gauche.
Cette partie gauche subissait des efforts extérieurs, auparavant compensés, en partie, par
les actions exercées sur la partie droite. Cette partie gauche étant un système à l’équilibre, cela
signifie que les forces initialement compensée par la partie droite, le sont désormais sur ma
2. Cohésion et principe de la coupure (rappel)
33
Figure IV.1 — Solide statique soumis à des actions extérieures
Figure IV.2 — Coupure fictive arbitraire
surface de coupure fictive : ce sont les forces de cohésion (Figure IV.3). En d’autres termes, ce
qui garantie la cohésion du solide, c’est que les forces exercées sur une partie quelconque du
solide sont transmises à l’autre partie via la surface qui les sépare. On ré-écrira tout d’abord :
34
Chapitre IV. Contrainte
F~1 + F~2 + F~3 + F~4 +
Z
Vg
ρ~g dV +
Z
Vd
ρ~g dV = ~0
(IV.6)
Figure IV.3 — Force de cohésion sur la coupure
On applique le PFS sur la partie gauche :
F~1 + F~2 +
Z
Vg
ρ~g dV + F~coh = ~0
(IV.7)
Or :
F~1 + F~2 = −F~3 − F~4 −
Z
ρ~g dV −
Z
Vg
(IV.8)
ρ~g dV
Vd
D’où :
F~coh = F~3 + F~4 +
Z
(IV.9)
ρ~g dV
Vd
Littéralement, les forces de cohésion sont les forces qu’une partie transmet à l’autre.
3
Exemple
Considérons un cube de côté c, de masse volumique ρ, homogène dans le volume, posé sur
une de ses faces. On pose ~ez vertical, orienté vers le haut, avec z = 0 au niveau du sol. On fait
le bilan des forces extérieures appliquées sur le cube :
Z
V
~ = ~0 =
ρ~g dV + R
Z cZ cZ c
0
0
0
~ = ρ c3 ~g + R
~
ρ~g dxdydz + R
(IV.10)
~ la réaction du sol sur le cube. Donc :
Avec R
~ = ρ c3 g ~ez
R
(IV.11)
Réalisons une coupure fictive, horizontale, en 0 ≤ z ≤ c. Isolons la partie inférieure sous ce
plan de coupure. Faisons le bilan des forces extérieures ; cette partie subit :
– Son poids propre :
~
– La résultante R,
Z z Z c Z c
ρ~g dxdy dz,
0
0
0
35
4. Vecteur contrainte
– Les forces de cohésion sur la surface de coupure : F~coh
On vérifie le PFS :
Z zZ cZ c
~ + F~coh = ~0
ρ~g dxdydz + R
(IV.12)
− ρ c2 z g ~ez + ρ c3 g ~ez + F~coh = ~0
(IV.13)
F~coh = ρ c2 (z − c) g ~ez
(IV.14)
0
0
0
Remarque :
– si on se place à la surface du haut (z = c) :
F~coh = ρ c2 (c − c) g ~ez = ~0
(IV.15)
on retrouve un résultat logique : il n’y a pas de force appliquée sur la surface supérieure.
– Si on se place sur la surface inférieure :
~
F~coh = ρ c2 (0 − c) g ~ez = −R
(IV.16)
La force de cohésion compense exactement la réaction du sol. En z = 0, la partie du cube
isolée est d’épaisseur nulle, donc il n’y a plus de poids à compenser.
4
Vecteur contrainte
On considère toujours un solide, sur lequel on a réalisé une coupure fictive. La surface de
coupure n’est pas nécessairement plane. Sur cette surface S, s’exercent une force de cohésion F~coh .
Prenons un point M quelconque, sur cette surface S, de coordonnées {x, y, z}. dS est l’élément
de surface, dont la normale orientée vers l’extérieur de la partie considérée est ~n. La force de
cohésion F~coh s’exerçant sur la surface S est la résultante des forces dF~coh (M ) sur chaque élément
de surface dS de S :
F~coh =
Z
S
dF~coh (M )
(IV.17)
On nomme "vecteur contrainte" le vecteur défini en un point M d’une surface de coupure S,
entouré par dS, orienté par ~n, tel que :
dF~ (M )
T~ (M,~n) = coh
dS
(IV.18)
On remarquera que la norme de ce vecteur est homogène à une pression ou une contrainte,
d’où son nom.
On remarquera aussi que :
dF~coh = T~ (M,~n)dS
(IV.19)
D’où :
F~coh =
Z
S
T~ (M,~n)dS
(IV.20)
36
5
Chapitre IV. Contrainte
Homogénéité des forces de cohésion
Il faut faire attention, la force de cohésion n’est pas nécessairement homogène sur la section.
Si on reprend l’exemple du cube posé sur une de ses faces, la force de cohésion qu’on a trouvée
est :
F~coh = ρ c2 (z − c) g ~ez
(IV.21)
Il s’agit uniquement de la résultante des forces de cohésion dF~coh sur une surface en z orientée
par ~ez . On vérifie uniquement :
F~coh =
Z
S
dF~coh = ρ c2 (z − c) g ~ez
(IV.22)
Ce qui nous renseigne en rien sur comment dF~coh varie avec x et y. Donc cela renseigne en
rien sur T~ (M,~ez ). Au mieux, on sait que :
Z
S
T~ (M,~ez )dS = ρ c2 (z − c) g ~ez
(IV.23)
Une infinité de fonction (de dF~coh ) peuvent, intégrées sur S donner le même résultat (dont
effectivement une solution indépendante de x et de y : dF~coh = ρ (z − c) g ~ez ).
Pour le cube, la force de cohésion n’est effectivement pas homogène : dF~coh varie avec x et
y, de façon très complexe. Dans la plupart des exemples que nous traiterons, nous choisirons
cependant des forces de cohésion homogènes, ou nous ferons l’hypothèse qu’elles le sont.
6
Petite perturbation
Ce cours ne traite que des petites perturbations. Dans le cadre des grandes perturbations
(grands déplacements, grandes déformations), le fait d’appliquer une force, volumique ou surfacique, sur un corps, va produire une déformation suffisamment conséquente pour qu’on puisse
considérer qu’un élément de surface dS, entourant un point M va être modifiée. On considère
l’élément de surface initial dS, qui se trouve à la surface du corps considéré, il entoure un point
M , où une force dF~ , constante au cours de la déformation, est appliquée. L’élément de surface
dS se déforme et devient dS 0 . On considère que la normale à la surface est inchangée (~n) : la
surface ne subit aucune rotation. La force appliquée répond à l’équation :
dF~ = T~ (M,~n)dS = T~ 0 (M,~n)dS 0
(IV.24)
T~ (M,~n) , T~ 0 (M,~n)
(IV.25)
Si dS , dS 0 alors :
L’hypothèse des petites perturbations consiste aussi à dire que les déformation sont suffisamment faibles pour qu’on puisse toujours considérer que dS ∼ dS 0 . Dans l’hypothèse des
petites perturbations, nous calculerons les vecteurs contraintes sur la base des surfaces initiales,
non-déformées :
T~ (M,~n) ∼ T~ 0 (M,~n)
(IV.26)
37
7. Application
7
Application
La surface de coupure est une surface choisie arbitrairement, donc on peut choisir... la surface
extérieure du solide, comme nous l’avons fait pour le cube (en regardant la force de cohésion en
z = 0 et z = c).
Soit une sphère creuse de rayon intérieure Ri , de rayon extérieur Re , subissant sur sa surface
extérieure une force F~e répartie de façon homogène sur sa surface extérieure Se et subissant sur
sa surface intérieure une force F~i répartie de façon homogène sur sa surface extérieure Si :
F~e = −Fe ~er et F~i = Fi ~er
(IV.27)
Considérons un point M sur la surface extérieure, entouré d’une surface dSe orientée donc
par ~er . La force étant homogène sur la surface, on vérifie :
dF~e (M ) F~e
=
= −pe ~er
dSe
Se
(IV.28)
On obtient donc le vecteur contrainte au point M , pour la surface orientée par ~er :
dF~e (M ) F~e
Fe
T~ (M,~er ) =
=
=−
~er = −pe ~er
dSe
Se
Se
(IV.29)
Considérons un point M sur la surface intérieure, entouré d’une surface dSi orientée donc
par −~er (ATTENTION au signe !). La force étant homogène sur la surface, on vérifie :
dF~i (M ) F~i
=
= pi ~er
dSi
Si
(IV.30)
On obtient donc le vecteur contrainte au point M , pour la surface orientée par −~er :
dF~i (M ) F~i Fi
T~ (M, −~er ) =
=
=
~er = pi ~er
dSi
Si
Si
(IV.31)
On a établi les vecteurs contraintes sur les deux surfaces libres de la sphère.
8
8.1
Tenseur des contraintes
Définition
Le tenseur des contraintes décrit les 3 composantes des vecteurs contraintes en un point M ,
lorsqu’on réalise les coupures successivement telles que les surfaces dS aient pour normal ~ex , ~ey
et ~ez . 3 composantes pour 3 coupures possibles : 9 termes. Le tenseur des contraintes est donc
un tenseur d’ordre 2.
Imaginons un solide quelconque, et réalisons une coupure fictive quelconque, telle qu’en un
point M la surface dS entourant ce point ait pour normal ~ex . Les vecteurs ~ey et ~ez sont tangents
à cette surface, par définition d’un repère orthonormé. La force de cohésion locale, en M peut
avoir trois composantes :
dF~coh (M ) = dF~coh−x (M )~ex + dF~coh−y (M )~ey + dF~coh−z (M )~ez
De même, le vecteur contrainte a trois composantes :
(IV.32)
38
Chapitre IV. Contrainte
dF~coh−y (M )
dF~ (M ) dF~coh−x (M )
dF~
(M )
T~ (M,~ex ) = coh
=
~ex +
~ey + coh−z
~ez
dS
dS
dS
dS
(IV.33)
Ces trois composantes du vecteur contrainte sont les trois premiers termes du tenseur des
contraintes :
σxx = T~ (M,~ex ).~ex
(IV.34)
σxy = T~ (M,~ex ).~ey
(IV.35)
σxz = T~ (M,~ex ).~ez
(IV.36)
Réalisons ensuite la coupure telle que dS ait pour normal ~ey , ce qui nous donne le vecteur
contrainte T~ (M,~ey ) :
σyx = T~ (M,~ey ).~ex
(IV.37)
σyy = T~ (M,~ey ).~ey
(IV.38)
σyz = T~ (M,~ey ).~ez
(IV.39)
Et finalement, réalisons la coupure telle que dS ait pour normal ~ez , ce qui nous donne le
vecteur contrainte T~ (M,~ez ) :
σzx = T~ (M,~ez ).~ex
(IV.40)
σzy = T~ (M,~ez ).~ey
(IV.41)
σzz = T~ (M,~ez ).~ez
(IV.42)
On a donc le tenseur complet des contraintes :

σxx σxy σxz



¯=
σ
 σyx


σzx
σyy
σzy




σyz 



σzz
(IV.43)
~ex ,~ey ,~ez
où :
σij = T~ (M,~ei ).~ej ∀i ∈ {x, y, z} & ∀j ∈ {x, y, z}
(IV.44)
39
8. Tenseur des contraintes
Figure IV.4 — Coupure : équivalence gauche/droite
8.2
Inversion
8.2.1
Principe
Si lors de la coupure par une surface plane perpendiculaire à l’axe ~ex , on décide de traiter la
partie du solide vers les x croissants (voir Figure IV.4), ou autrement dit la partie pour laquelle
cette surface à pour norme −~ex , par équilibre des forces :
F~coh,x− = −F~coh,x+
(IV.45)
Ou de façon plus stricte, dS entourant M :
dF~coh,x− = −dF~coh,x+
(IV.46)
T~ (M,~ex ) = −T~ (M, −~ex )
(IV.47)
On en déduit :
Et donc, de façon générale, ∀i ∈ {x, y, z} :
T~ (M,~ei ) = −T~ (M, −~ei )
(IV.48)
σij = T~ (M,~ei ).~ej = T~ (M, −~ei ).(−~ej )
(IV.49)
On en déduit que :
Quelques soient i et j. Soit :
σxx = T~ (M,~ex ).~ex = T~ (M, −~ex ).(−~ex )
(IV.50)
σxy = T~ (M,~ex ).~ey = T~ (M, −~ex ).(−~ey )
(IV.51)
σxz = T~ (M,~ex ).~ez = T~ (M, −~ex ).(−~ez )
(IV.52)
40
Chapitre IV. Contrainte
8.2.2
σyx = T~ (M,~ey ).~ex = T~ (M, −~ey ).(−~ex )
(IV.53)
σyy = T~ (M,~ey ).~ey = T~ (M, −~ey ).(−~ey )
(IV.54)
σyz = T~ (M,~ey ).~ez = T~ (M, −~ey ).(−~ez )
(IV.55)
σzx = T~ (M,~ez ).~ex = T~ (M, −~ez ).(−~ex )
(IV.56)
σzy = T~ (M,~ez ).~ey = T~ (M, −~ez ).(−~ey )
(IV.57)
σzz = T~ (M,~ez ).~ez = T~ (M, −~ez ).(−~ez )
(IV.58)
Application
Revenons à notre sphère, sous pression externe pe , sous pression interne pi . On avait :
T~ (M ∈ Se ,~er ) = −pe ~er
(IV.59)
T~ (M ∈ Si , −~er ) = pi ~er
(IV.60)
On établit donc la contrainte σrr sur la surface externe :
σrr (M ∈ Se ) = T~ (M ∈ Se ,~er ).e~r = −pe
(IV.61)
Et sur la surface interne (attention aux signes !) :
σrr (M ∈ Si ) = T~ (M ∈ Si , −~er ).(−e~r ) = −pi
8.3
(IV.62)
Exemples simples
8.3.1
Traction
Considérons un élément de volume dV à l’équilibre, de côté dx, dy et dz. On applique une
~ = dF ~ex sur la face orientée par ~ex . Si l’équilibre est conservé, alors, par réaction, il
force dF
~ = −dF ~ex . Ces deux faces ont pour
s’exerce sur la face opposée, orientée par −~ex une force −dF
surface dS = dydz. On en déduit le vecteur contrainte pour la première face :
dF~
T~ (M,~ex ) =
dS
(IV.63)
et pour la seconde :
dF~
T~ (M, −~ex ) = −
dS
On en déduit le tenseur des contraintes :
dF
σxx = T~ (M,~ex ).~ex =
= T~ (M, −~ex ).(−~ex )
dydz
Tous les autres termes du tenseur de contrainte sont nuls.
(IV.64)
(IV.65)
41
9. Symétrie du tenseur des contraintes
dF
 dydz



¯=
σ




8.3.2
0
0

0 0 



0 0 



0 0
(IV.66)
~ex ,~ey ,~ez
Cisaillement
Considérons un élément de volume dV à l’équilibre, de côté dx, dy et dz. On applique une
~ = dF ~ey sur la face orientée par ~ex . Si l’équilibre est conservé en terme de force, alors,
force dF
~ = −dF ~ey . Ces deux
par réaction il s’exerce sur la face opposée, orientée par −~ey une force −dF
faces ont pour surface dydz. On en déduit le vecteur contrainte pour la première face :
dF~
T~ (M,~ex ) =
dS
(IV.67)
et pour la seconde :
dF~
T~ (M, −~ex ) = −
dS
On en déduit le tenseur des contraintes :
σxy = T~ (M,~ex ).~ey =
9
dF
= T~ (M, −~ex ).(−~ey )
dydz
(IV.68)
(IV.69)
Symétrie du tenseur des contraintes
Considérons un volume élémentaire cubique, à l’équilibre, de côté dx, dy et dz, centré sur
M. Simplifions le problème en 2D, et ne traitons que les faces orientées par ~ex , −~ex , ~ey et −~ey .
La sollicitation étant quelconque, les vecteurs contraintes sur ces faces sont, selon les définitions
déjà données :
T~ (M,~ex ) = σxx ~ex + σxy ~ey
(IV.70)
T~ (M, −~ex ) = −σxx ~ex − σxy ~ey
(IV.71)
T~ (M,~ey ) = σyx ~ex + σyy ~ey
(IV.72)
T~ (M, −~ey ) = −σyx ~ex − σyy ~ey
(IV.73)
Selon la définition des forces de cohésion et du vecteur contrainte :
dF~coh = T~ (M,~n)dS
(IV.74)
On en déduit les forces sur chaque face :
dF~x = σxx dydz ~ex + σxy dydz ~ey
(IV.75)
dF~x− = σxx dydz ~ex + σxy dydz ~ey
(IV.76)
42
Chapitre IV. Contrainte
dF~y = σyx dxdz ~ex + σyy dxdz ~ey
(IV.77)
dF~y− = −σyx dxdz ~ex − σyy dxdz ~ey
(IV.78)
Examinons le PFS en termes de forces :
σxx dydz ~ex − σxx dydz ~ex + σyx dxdz ~ex − σyx dxdz ~ex = ~0
(IV.79)
De même sur ~ey .
Examinons maintenant le PFS en termes de moment, en réalisant l’équilibre des moment de
M.
~ x le moment générée par la force dF~x en M :
M
~ x = dx ~ex ∧ dF~x = σxy dydz × dx ~ez
M
2
2
(IV.80)
~ x− = − dx ~ex ∧ dF~x− = σxy dydz × dx ~ez
M
2
2
(IV.81)
~ y = dy ~ex ∧ dF~y = −σyx dxdz × dy ~ez
M
2
2
(IV.82)
De même :
~ y− = − dy ~ex ∧ dF~y− = −σyx dxdz × dy ~ez
M
2
2
Au bilan, pour toutes les forces, on a le PFS :
2σxy dydz ×
dx
dy
− 2σyx dxdz ×
=0
2
2
(IV.83)
(IV.84)
Donc :
σxy = σyx
(IV.85)
σxz = σzx
(IV.86)
σyz = σzy
(IV.87)
σij = σji
(IV.88)
On démontre de la même façon :
Et donc, de manière générale :
Le tenseur des contraintes est donc symétrique :

σxx σxy σxz



¯=
σ
 σxy


σxz
σyy
σyz




σyz 



σzz
~ex ,~ey ,~ez
(IV.89)
43
9. Symétrie du tenseur des contraintes
9.0.3
Remarque
Il peut sembler complètement contre-intuitif qu’une contrainte σxy engendre une contrainte
σyx . Prenons l’exemple de livres sur une étagère (Figure IV.5). On applique une force F~ = F ~ex
sur le dessus de ces livres, donc sur la face supérieure, orientée par ~ey : cela génère une contrainte
σyx . Les livres vont tomber vers la droite en glissant les uns sur les autres, s’opposant faiblement
à cet effort.
Figure IV.5 — Pile de livre soumis à une contrainte σyx .
Collons maintenant ces livres entre eux. Appliquons à nouveau cette force : les livres ne vont
pas tomber, parce qu’ils ne peuvent pas glisser l’un sur l’autre. Ils ne glissent pas l’un sur l’autre
car des forces de cohésion s’exercent sur les surfaces collées entre livre. Cette force de cohésion
génère la contrainte σxy .
9.1
Relation inverse
On a montré la relation suivante entre le tenseur des contraintes et le vecteur contrainte :
σij = T~ (M,~ei ).~ej = T~ (M, −~ei ).(−~ej )
(IV.90)
Le vecteur contrainte peut être inversement retrouvé à partir du tenseur des contraintes,
grâce à sa symétrie :
¯.~
T~ (M,~ei ) = σ
ei
(IV.91)
Par exemple :

σxx σxy σxz



¯.e~x = 
σ
 σyx


σzx
σyy
σzy
 
1

 

 

 



ex + σyx ~ey + σzx ~ez
.
σyz   0 
 = σxx ~
 

 

σzz
0
(IV.92)
44
Chapitre IV. Contrainte
Or :
σxx ~ex + σyx ~ey + σzx ~ez = σxx ~ex + σxy ~ey + σxz ~ez = T~ (M,~x)
10
(IV.93)
Invariants du tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes, d’ordre 2 et symétrique, tout comme le tenseur des déformations,
a donc, tout comme lui, trois invariants. On notera encore In les invariants du tenseur des
déformations. Les invariants du tenseur des contraintes sont utilisés pour définir des critères de
limites d’élasticité par exemple. En effet, il serait bon que ce type de critère ne dépende pas du
référentiel...
10.1
Premier invariant du tenseur des contraintes : I1
La trace du tenseur des contraintes (la somme de ses termes diagonaux) correspond à la
pression moyenne (nous reverrons cela plus tard), c’est le premier invariant :
¯ = σxx + σyy + σzz
I1 = tr σ
10.2
(IV.94)
Second et troisième invariants du tenseur des contraintes : I2 et I3
Les second et troisième invariants du tenseur des contraintes sont définis classiquement par
le fait que le tenseur est symétrique :
2
2
2
I2 = σxx σyy + σyy σzz + σxx σzz − σxy
− σyz
− σxz
2
2
2
¯ = σxx σyy σzz + 2σxy σxy σxz − σxx σyz
I3 = det σ
− σzz σxy
− σyy σxz
(IV.95)
(IV.96)
Nous reviendrons plus tard sur ces deux invariants, qui permettent de définir des critères
d’élasticité par exemple : les critères ne peuvent pas dépendre de la base considérée, ils doivent
donc être définis par les invariants.
11
Décomposition du tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes peut être décomposé en une partie sphérique et une partie déviatorique, comme le tenseur des déformations. Nous verrons l’utilité de cette décomposition lors
des développements de lois de comportement.
11.1
Partie sphérique
On appelle partie sphérique de tenseur de contraintes le tenseur S¯ tel que :
1
¯ I¯
S¯ = tr σ
3
(IV.97)
La partie sphérique S¯ est purement diagonale, seuls les termes diagonaux peuvent être nonnuls. Ils sont tous égaux et valent la moyenne des contraintes diagonales (de traction/compression) :
σxx + σyy + σzz
(IV.98)
3
On appelle "pression isostatique" les termes de la partie sphérique du tenseur des contraintes.
On remarquera qu’on ne peut pas tracer de cercle de Mohr de cette partie sphérique : elle ne
génère donc pas de cisaillement.
Sxx = Syy = Szz =
45
12. Equation locale de la statique des milieux continus
11.2
Partie déviatorique
On appelle partie déviatorique, notée τ¯ le reste, au sens littéral, du tenseur des contraintes.
On le note τ , car les contraintes de traction/compression apparaissant dans la partie sphérique,
ce "reste" correspond au cisaillement :
¯ − S¯
τ¯ = σ
(IV.99)
On remarque donc que :
¯ − tr S¯ = 0
tr τ¯ = tr σ
(IV.100)
Attention à la confusion : la trace du déviateur est nulle, ce qui implique nullement que les
termes diagonaux soient tous nuls.
11.3
Utilité
La partie sphérique du tenseur des contraintes correspond à la pression isostatique et le
déviateur au cisaillement. Cette décomposition est particulièrement utile par exemple pour les
métaux. Dans les métaux, la plasticité est uniquement produite par le cisaillement et est insensible à la pression isostatique. Autrement dit, si la partie déviatorique du tenseur des contraintes
est nulle, on ne peut pas générer de plasticité dans un métal, quelque soit l’intensité des termes
de la partie sphérique.
Cette décomposition apparaît aussi dans la définition d’un fluide, au sens de la MMC : "un
fluide est un corps qui subit une déformation non-limitée sous contrainte déviatorique non-nulle".
12
Equation locale de la statique des milieux continus
Lorsqu’on étudie un système déformable en statique, la principe fondamental de la statique
s’applique à ce système, ainsi qu’à tout élément de ce système, donc à tout élément dV de ce
système. Le tenseur des contraintes sur un volume dV doit donc vérifier le principe fondamental
de la statique. Comment le vérifier ?
Isolons un volume V quelconque, fermé par une surface S. Ce volume subit un ensemble de
forces de surface F~S et de forces de volume F~V . Les forces de surface sont la résultantes d’actions
élémentaires dF~S s’exerçant sur chaque élément de surface dS :
F~S =
Z
S
(IV.101)
dF~S
Les forces de volumes sont la résultante d’actions s’exerçant sur chaque élément de volume :
F~V =
Z
F~S + F~V = ~0 =
Z
f~ dV
(IV.102)
V
Le PFS donne :
S
dF~S +
Z
V
f~ dV
(IV.103)
Sur chaque élément de surface dS orienté par ~n, on a :
dF~S = T~ (M ∈ S,~n)dS
Donc :
(IV.104)
46
Chapitre IV. Contrainte
Z
S
T~ (M ∈ S,~n)dS +
Z
V
f~ dV = ~0
(IV.105)
On exploite le fait que :
¯ (M ∈ S).~n
T~ (M ∈ S,~n) = σ
(IV.106)
Pour obtenir :
Z
S
¯.~n dS +
σ
Z
V
f~ dV = ~0
(IV.107)
On note bien que ce sont les forces de surface et non les forces de volume qui génèrent des
contraintes : si un solide est en chute libre, sous l’effet de son propre poids, il ne subit aucune
contrainte et ne se déforme pas (s’il se déforme, c’est à cause des frottements de l’air qui génère
des forces surfaciques). Posé au sol, s’il se déforme, c’est la réaction du sol qui provoque sa
déformation (cette réaction est bien sûr fonction du poids, mais sans sol, pas de contrainte).
On applique Green-Ostrogradsky, puisque S délimite V , et que ~n est la normale vers l’extérieur de V :
Z
S
¯.~n dS =
σ
Z
V
~ σ
¯ )dV
div(
(IV.108)
Pour obtenir :
Z
V
~ σ
¯ )dV +
div(
Z
V
f~ dV =
Z V
~ σ
¯ ) + f~ dV = ~0
div(
(IV.109)
En éliminant l’intégrale de volume (ce qui revient juste à choisir V = dV et S = dS) :
~ σ
¯ ) + f~ = ~0
div(
(IV.110)
C’est l’équation locale de la statique des milieux continus : tout tenseur des contraintes est
admissible (respecte la statique) si cette équation est vraie.
Si on ne prend en considération, comme force volumique, que le poids : f~ = ρ ~g . Si on néglige
le poids :
~ σ
¯ ) = ~0
div(
12.1
(IV.111)
Exemple
On reprend l’exemple du cube soumis à son poids propre. On avait :

0 0



¯
σ=
 0 0


0

0







0 0 ρ (z − c) g
Donc :
~ex ,~ey ,~ez
(IV.112)
47
13. Et en dynamique ?
∂σxx ∂σxy ∂σxz
 ∂x + ∂y + ∂z 







∂σyy ∂σyz
 ∂σyx
~
¯
+
+
div σ = 
 ∂x
∂y
∂z



 ∂σzx
∂σzy ∂σzz
∂x
+
∂y
+


 ∂σ
zz

~ez = ρ g ~ez
=

∂z




(IV.113)
∂z
Et on vérifie bien l’équation locale de la statique, avec f~ = −ρ g ~ez
~ σ
¯ ) − ρ g ~ez = ρ g ~ez − ρ g ~ez = ~0
div(
(IV.114)
Remarque : on voit bien ici que l’équation locale de la statique correspond à trois équations
(c’est une équation vectorielle) à 6 inconnues (les 6 termes du tenseurs des contraintes). Elle ne
permet pas, seule, de résoudre un problème de mécanique des milieux continus.
13
Et en dynamique ?
13.1
Symétrie
La démonstration de symétrie du tenseur des contraintes est basée sur le PFS. On admettra
ici, sans le démontrer qu’il en est de même avec le PFD : le tenseur reste symétrique.
13.2
Accélération
En mécanique des fluides, nous utilisons l’accélération eulérienne. Utiliser le point de vue
d’Euler simplifie le problème. En effet, via le point due d’Euler, le système mécanique isolé et
un système dont le contour reste identique à tout instant (c’est un volume fixe dans l’espace,
indépendant du mouvement du fluide), mais les "particules" qui le constituent changent au-furet-à-mesure qu’elle circule dans ce système (à l’instant t et t + dt ce ne sont plus les mêmes
particules au sein du volume). Pour le point de vue de Lagrange, le système qu’on considère est
un ensemble de particules. Au cours du temps, le contour du système change selon le déplacement des particules qui le constituent. Pour des fluides, le contour risque de varier de façon trop
complexe au court du temps pour qu’on puisse bien le définir : c’est bien pour cela qu’on utilise
le point de vue d’Euler.
En mécanique des solides déformables, et dans l’hypothèse des petites perturbations, les
déplacements relatifs des "particules" restent faibles. Le contour du système (le solide ou une
partie du solide) change peu au cours du problème. Les particules qui constituent le système
sont quasiment toujours les mêmes : ce sont tous les éléments du solide ou de la partie du solide
isolé. Le point de vue utilisé est donc celui de Lagrange. L’accélération que nous utiliserons est
donc l’accélération lagrangienne classique :
~a(x, y, z, t) =
13.3
13.3.1
∂2
~u(x, y, z, t)
∂t2
(IV.115)
Equation locale de la dynamique des milieux continus
Par similitude à l’équation locale de la statique des milieux continus
Isolons un volume élémentaire dV entourant un point M et fermé par une surface dS. M
subit une accélération ~a. La masse de dV est donnée par sa masse volumique : dm = ρ dV . Les
48
Chapitre IV. Contrainte
forces de surfaces dF~S et de volume dF~V = f~dV respecte le PFD
dF~S + f~dV = dm ~a = ρ dV ~a
(IV.116)
T~ (M ∈ S,~n)dS + f~dV = ρ dV ~a
(IV.117)
¯.~n dS + f~dV = ρ dV ~a
σ
(IV.118)
Donc :
Et :
On applique Green-Ostrogradsky, puisque dS délimite dV , et que ~n est la normale vers
l’extérieur de dV :
~ σ
¯.~n dS = div(
¯ )dV
σ
(IV.119)
~ σ
¯ ) + f~ = ρ ~a
div(
(IV.120)
Pour obtenir :
C’est l’équation locale de la dynamique des milieux continus : tout tenseur des contraintes
est admissible si cette équation est vraie.
13.3.2
Par une autre approche du PFD
Isolons un volume dV cubique, de côté dx, dy et dz. Simplifions le problème en 2D, et ne
traitons que les faces orientées par ~ex , −~ex , ~ey et −~ey . On notera Mx− un point situé sur la face
orientée par −~ex , situé en x, Mx+ un point situé sur la face orientée par ~ex , situé en x + dx. On
notera My− un point situé sur la face orientée par −~ey , situé en y, My+ un point situé sur la
face orientée par ~ey , situé en y + dy.
On a :
T~ (Mx+ ,~ex ) = σxx (x + dx) ~ex + σxy (x + dx) ~ey
(IV.121)
T~ (Mx− , −~ex ) = −σxx (x) ~ex − σxy (x) ~ey
(IV.122)
T~ (My+ ,~ey ) = σyx (y + dy) ~ex + σyy (y + dy) ~ey
(IV.123)
T~ (My− , −~ey ) = −σyx (y) ~ex − σyy (y + dy) ~ey
(IV.124)
On rappelle la définition des forces de sur chaque surface du cube et du vecteur contrainte :
dF~coh = T~ (M,~n)dS
(IV.125)
Le principe fondamentale de la dynamique sur le volume dV donne :
X
~ = dm ~a = ρ dV ~a = ρ dxdydz ~a = ρ dxdydz (ax~ex + ay ~ey )
dF
(IV.126)
On fait le bilan des forces, projeté d’abord sur ~ex , sans oublier les forces de volume dF~V =
f~dV = f~dxdydz :
49
13. Et en dynamique ?
f~ = fx ~ex + fy ~ey
(IV.127)
σxx (x + dx)dydz − σxx (x)dydz + σyx (y + dy)dxdz − σyx (y)dxdz + fx dxdydz = ρ dxdydzax
(IV.128)
On simplifie par dxdydz :
σxx (x + dx) − σxx (x) σyx (y + dy) − σyx (y)
+
+ fx = ρ ax
dx
dy
(IV.129)
Ce qui est équivalant à :
∂σxx ∂σyx
+
+ fx = ρ ax
∂x
∂y
(IV.130)
Si on avait pris en compte ce qui se passait sur l’axe ~ez :
∂σxx ∂σxy ∂σxz
+
+
+ fx = ρ ax
∂x
∂y
∂z
(IV.131)
~ σ
¯ ).~ex dans cette expression.
On reconnaît le terme div(
Et donc, finalement en reproduisant le PFD sur chaque axe :
~ σ
¯ ) + f~ = ρ ~a
div(
13.4
(IV.132)
Corps en chute libre
On considère un corps en chute libre dans le vide (pas de frottement dans l’air, donc aucune
action de surface). La seule force volumique qui s’exerce est le poids :
f~ = −ρ g e~z
(IV.133)
Par le principe fondamental de la dynamique, on sait que tout point matériel du corps subit
une accélération qui vaut tout simplement :
~a = −g ~ez
(IV.134)
~ σ
¯ ) + −ρ g e~z = −ρ g ~ez
div(
(IV.135)
~ σ
¯ ) = ~0
div(
(IV.136)
D’où :
D’où :
On en déduit que tout tenseur des contraintes vérifiant :
∂σxx ∂σxy ∂σxz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(IV.137)
∂σyx ∂σyy ∂σyz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(IV.138)
∂σzx ∂σzy ∂σzz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
(IV.139)
50
Chapitre IV. Contrainte
¯ = ¯0 est admissible.
est admissible. On remarque en particulier que σ
L’équation locale de la statique donne 3 équations à 6 inconnues et ne permet pas d’aboutir à
un tenseur des contraintes. On remarque en particulier que σxx peut dépendre de y et de z sans
affecter ces équations (et de façon similaire pour σyy et σzz ). L’équation locale de la statique
permet donc de valider un tenseur de contrainte, mais ne permet pas directement de l’identifier,
sauf pour des cas simples (contraintes homogènes par exemple), où l’identification des vecteurs
contraintes permet de connaître le tenseur des contraintes en tout point. Mais cela suppose de
faire une coupure pour estimer les forces de cohésion en tout point, ce qui n’est simple que pour
des géométries simples, c’est d’ailleurs l’un des intérêt de la RdM, puisqu’on traite simplement
de poutres.
Dans des problèmes plus complexes, on obtient le tenseur de contraintes en analysant les
déformations que génèrent les contrainte, et donc le champ de déplacement. Il nous faut donc
une loi de comportement pour passer de contraintes à déformation.
CHAPITRE
V
Loi de comportement
Sommaire
1
Comportement élastique : réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2
Elasticité linéaire . . . . . .
2.1
Définition . . . . . .
2.2
Loi de comportement
2.3
Loi de comportement
.
.
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.
52
52
53
55
3
Utilisation des parties sphériques et déviatoriques . . . . . .
3.1
Décomposition du tenseur des contraintes . . . . . .
3.2
Décomposition du tenseur des déformations . . . . .
3.3
Trace, pression, variation de volume, cisaillement pur
3.4
Inversion de la loi de comportement . . . . . . . . .
.
.
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.
.
55
56
56
56
57
4
Essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
5
Valeurs possibles du coefficient de Poisson
59
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
en élasticité
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
linéaire isotrope
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1
Chapitre V. Loi de comportement
Comportement élastique : réversibilité
Un comportement est dit élastique si toutes les déformations générées mécaniquement sont,
à n’importe quel instant, complètement réversible. Pour un comportement élastique, en isotherme, le tenseur des déformations à un instant t est nécessairement indépendant, en terme de
contrainte, du chemin suivi pour atteindre cet état de déformation.
Figure V.1 — Courbe de traction d’un matériau ductile.
On peut le voir sur la Figure V.1, à un état de déformation donné, correspond différents états
de contrainte : l’état de contrainte dépend de l’histoire du chargement. Il dépend du chemin suivi.
La réversibilité implique par exemple aussi que les paramètres de la loi de comportement
sont indépendant du temps. Par exemple, le comportement ne peut pas être élastique si la déformation évolue sous contrainte constante et inversement si la contrainte évolue sous déformation
constante.
2
2.1
Elasticité linéaire
Définition
Un comportement mécanique est dit élastique linéaire s’il est élastique et si l’état de contrainte
est linéairement dépendant du tenseur des déformations. Pour des mécanismes indépendant du
temps, cela se résumerait à :
σij = ”β”kl + ”ζ”
(V.1)
On postulera toujours qu’un état de contrainte nulle produit une déformation nulle, doù :
ζ = 0.
Autrement dit, chaque terme du tenseur des contraintes est proportionnel aux termes du
tenseur des déformations, et inversement. Si la contrainte n’est pas proportionnelle à même un
seul des termes du tenseur des déformations, alors le comportement est non-linéaire. La relation
de proportionnalité entre un terme de contrainte (σij ) et un terme du tenseur des déformations
(kl ) dépend de ce terme, donc :
53
2. Elasticité linéaire
σij = βkl kl
(V.2)
Nous sommes en convention de l’indice répété : cette dernière équation est une somme.
Inversement, un terme spécifique du tenseur des contraintes n’a pas la même relation de proportionnalité avec un terme spécifique du tenseur des déformations qu’un autre, donc :
σij = βijkl kl
(V.3)
En résumé, chaque facteur de proportionnalité se réfère spécifiquement à un terme du tenseur
des contraintes et un terme du tenseur des déformations.
2.2
Loi de comportement
Nous allons développer ici une loi de comportement élastique linéaire. A chaque terme du tenseur des contraintes est associé tous les termes du tenseur des déformations avec une constante
(β) pour chaque terme. Pour un solide homogène, les facteurs βijkl sont indépendants de la
position du point où la contrainte et la déformation sont traitée. La loi de comportement a donc
9 termes pour chacun des 9 termes du tenseur des contraintes : il y a 9 × 9 = 81 constantes
potentielles "β" dans notre loi...
Cependant, chacun des tenseurs (de contraintes et de déformations) est symétrique, et ne
possède donc que 6 termes indépendant : σxx , σxy , σxz , σyy , σyz et σzz pour les contraintes par
exemple. Notre loi de comportement n’a donc "que" 6 × 6 = 36 constantes potentielles "β".
Par exemple :
σxx = βxxxx xx + βxxxy xy + βxxxz xz + βxxyy xxyy + βxxyz yz + βxxzz zz
(V.4)
Les deux premiers indices de β sont ceux de la contraintes, les deux suivants ceux de la
déformation.
2.2.1
Tenseur des rigidité
La loi de comportement élastique linéaire, applicable à un solide quelconque, a donc 36 composantes. Pour exprimer la relation entre la contrainte et la déformation, ces constantes sont
formulées dans un tenseur. On note traditionnellement ce tenseur Cijkl , et on le nomme "tenseur
des rigidités". C’est un tenseur d’ordre 4 (puisqu’il a 4 indices). En convention de l’indice répété,
la loi de comportement s’écrit :
σij = Cijkl kl
(V.5)
Qu’on peut exprimer aussi :










σ11
σ22
σ33
σ23
σ13
σ12


 
 
 
 
=
 
 
 
 
C1111
C2211
C3311
C2311
C1311
C1211
C1122
C2222
C3322
C2322
C1322
C1222
C1133
C2233
C3333
C2333
C1333
C1233
C1123
C2223
C3323
C2323
C1323
C1223
C1113
C2213
C3313
C2313
C1313
C1213
C1112
C2212
C3312
C2312
C1312
C1212
 
 
 
 
 
.
 
 
 
 
ε11
ε22
ε33
ε23
ε13
ε12










Pour expliquer le principe de la sommation d’indice, calculons par exemple σxy :
(V.6)
54
Chapitre V. Loi de comportement
σxy = Cxykl kl = Cxyxl xl + Cxyyl yl + Cxyzl zl
(V.7)
On se rend compte ici, qu’en continuant à développer cette expression, on va avoir des termes
redondants, du fait de la symétrie du tenseur de déformation ;
Cxyxl xl = Cxyxx xx + Cxyxy xy + Cxyxz xz
(V.8)
Cxyyl yl = Cxyyx yx + Cxyyy yy + Cxyyz yz
(V.9)
Et :
laisse apparaître deux fois xy . Pour éliminer ce problème (pour tenir compte de la relation
entre Cxyyx et Cxyxy ) on utilise la notation de Voigt. Remplaçons ~ex , ~ey et ~ez par ~e1 , ~e1 et ~e3 ,
et utilisons la notation de Voigt :
σ1 = σ11 , σ2 = σ22 , σ3 = σ3 , σ4 = σ23 , σ5 = σ31 , σ6 = σ12
(V.10)
On fait de même pour ¯. La loi de comportement se résume à :
σi = Cij j
(V.11)
avec {i, j} ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 : Cij contient bien toujours 36 termes indépendants. Soit par
exemple :
σ1 = C1j j = C11 1 + C12 2 + C13 3 + C14 4 + C15 5 + C16 6
(V.12)
Cette écriture de loi de comportement est valable pour n’importe quel solide élastique linéaire homogène, isotrope ou non.
Par des conditions énergétiques, on peut montrer que Cij est nécessairement lui aussi symétrique (c’est le premier principe de la thermo.). Les méthodes énergétiques seront vues en
Master 1. Ce tenseur à 36 termes à 6 termes diagonaux (i = j), donc 30 termes hors diagonaux,
et, puisque ce tenseur est symétrique, seulement 15 termes indépendants parmi ces 30. Il ne
reste donc "que" 6 + 15 = 21 termes indépendants.
Pour un matériau quelconque, homogène mais anisotrope, en élasticité linéaire, le tenseur
des rigidités ne peut avoir, au maximum, "que" 21 composantes.
2.2.2
Isotropie
Un matériau est considéré comme isotrope si ses propriétés sont indépendantes de la direction de la mesure. L’isotropie implique que :
– Si on réalise un essai de traction les déformations transverses sont les mêmes dans toutes
les directions (principe de l’isotropie) : C12 = C23 =C13 → 19 composantes.
– Une contrainte de traction ne peut pas générer de glissement (dans quelle direction, sinon ?
Puisqu’il y a isotropie) : cela élimine C14 , C24 , C34 , C15 , C25 , C35 , C16 , C26 et C36 → 10
composantes.
– Une contrainte de cisaillement ne peut pas générer d’allongement (condition équivalente
à la précédente).
3. Utilisation des parties sphériques et déviatoriques
55
– L’amplitude de glissement est indépendant de la direction du cisaillement (à nouveau,
c’est le principe de l’isotropie : une contrainte de cisaillement donnée produira la même
déformation quelque soit la direction d’application) : C44 = C55 = C66 → 8 composantes.
– L’amplitude d’une déformation longitudinale ne dépend pas de la direction des contraintes
normales (même principe que la condition suivante en traction). C11 = C22 = C33 → 6 composantes.
– Une contrainte de cisaillement dans une direction n’engendre pas de glissement dans les
autres directions (dans quelle direction, sinon ? Puisqu’il y a isotropie). C45 = C46 = C56 =
0 → 3 composantes.
On peut ré-écrire pour la traction :
σ1 = C11 1 + C12 2 + C12 3
(V.13)
σ4 = C44 4
(V.14)
Pour le cisaillement :
La contrainte de traction dépend d’un repère : dans un autre repère, elle est décomposable en
traction et cisaillement. Par l’isotropie, les paramètres matériaux sont indépendants du repère :
C11 , C12 et C44 sont liés deux à deux : il n’y a que 2 paramètres indépendants.
2.3
Loi de comportement en élasticité linéaire isotrope
On obtient finalement un tenseur des rigidités où il n’y a que deux termes indépendants.
Ces deux paramètres sont le module de Young E, et le coefficient de Poisson ν. La loi de
comportement, pour un matériau homogène isotrope, à comportement élastique linéaire est :
1+ν ¯ ν
¯ )I¯
σ − tr(σ
¯ =
E
E
(V.15)
Qu’on peut noter aussi :
ij =
1+ν
ν
σij − σkk δij
E
E
(V.16)
δij est le symbole de Kroenecker. On a :
δij = 0 si i , j, 1 si i = j
3
(V.17)
Utilisation des parties sphériques et déviatoriques
On a posé la loi de comportement en élasticité linéaire, pour un matériau homogène et
isotrope, qui permet de déterminer le tenseur des déformations connaissant le tenseur des
contraintes. Nous allons chercher ici à établir la loi inverse, qui permet d’établir le tenseur
des contraintes connaissant le tenseur des déformations.
On part de la relation suivante :
1+ν ¯ ν
¯ )I¯
¯ =
σ − tr(σ
E
E
(V.18)
56
3.1
Chapitre V. Loi de comportement
Décomposition du tenseur des contraintes
On peut décomposer le tenseur des contraintes de la façon suivante :
¯ = S¯ + τ¯
σ
(V.19)
1
¯ I¯
S¯ = tr σ
3
(V.20)
1 + ν ¯ ¯ 3ν ¯
¯ =
S +τ − S
E
E
(V.21)
1+ν ¯
1 + ν 3ν ¯ 1 + ν ¯ 1 − 2ν ¯
¯ =
τ+
−
S=
τ+
S
E
E
E
E
E
(V.22)
avec :
D’où :
En factorisant :
3.2
Décomposition du tenseur des déformations
On peut décomposer le tenseur des déformations de la façon suivante :
¯ + e¯
¯ = Λ
(V.23)
¯ = 1 + ν τ¯ + 1 − 2ν S¯
e¯ + Λ
E
E
(V.24)
Donc :
3.3
Trace, pression, variation de volume, cisaillement pur
On a remarqué que : tr(e¯) = tr(τ¯) = 0. Donc :
1 − 2ν ¯ = tr 1 + ν τ¯ + 1 − 2ν S¯ = tr Λ
¯ =
tr e¯ + Λ
tr S¯
E
E
E
(V.25)
Isolons un volume dV subissant une pression isostatique, c’est-à-dire une même pression p
sur chacune de ses faces. On a alors :

0
−p



¯=
σ
 0


−p
0
0
0




¯
0 
=S


(V.26)
−p
On a alors :
dV 0 − dV
∆V
1 − 2ν ¯
3(1 − 2ν)
¯ =
tr Λ
=
=
tr S = −
p
dV
V
E
E
On note k le module de compressibilité tel que :
k=
E
3(1 − 2ν)
(V.27)
(V.28)
57
3. Utilisation des parties sphériques et déviatoriques
Et on obtient la relation :
∆V
p
=−
V
k
(V.29)
Le module k donne la relation entre la pression isostatique et la variation de volume.
On remarque donc qu’une contrainte purement déviatorique ne génère pas de changement
de volume.
Considérons désormais un cas où la contrainte est purement déviatorique :

A

σxy σxz



¯=
σ
 σxy


σxz
B
σyz



¯
σyz 
=τ


(V.30)
C
vérifiant A + B + C = 0. Cela donne S¯ = 0. On obtient :
 1+ν
A
 E




¯ =  xy




xz
xy
xz
1+ν
B
E
yz
yz
1+ν
C
E





 ¯
=e




(V.31)
ν
¯ ¯ 1+ν
En effet, pour les termes diagonaux : xx = 1+ν
E σxx − E tr σ I = E σxx .
On a par ailleurs (Eq. V.24) ij = 1+ν
E σij ∀i , j. On note µ le module d’élasticité en cisaillement tel que :
E
2(1 + ν)
µ=
(V.32)
Donc :
σij = 2µ ij ∀i , j
On remarque que, comme xy =
γ
2
:
σij = µ γ
3.4
(V.33)
(V.34)
Inversion de la loi de comportement
On peut reprendre l’équation V.24 :
¯ = 1 τ¯ + 1 S¯
¯ = e¯ + Λ
2µ
3k
¯ on rappelle que Λ
¯ = 1 tr ¯ I¯ et S¯ = 1 tr σ
¯ I¯
Reconstruisons Λ,
3
3
¯ = 1 tr(¯)I¯ = 1 tr 1 τ¯ + 1 S¯ I¯ = 1 tr S¯ I¯ = 1 tr σ
¯ I¯ = 1 S¯
Λ
3
3
2µ
3k
9k
9k
3k
(V.35)
(V.36)
58
Chapitre V. Loi de comportement
¯ est indépendant de τ¯, et e¯ est indépendant de S¯
On déduit que Λ
Et donc :
τ¯ = 2µ e¯
(V.37)
¯
S¯ = 3k Λ
(V.38)
Puis :
On reconstruit le tenseur des contraintes :
¯ = 2µ ¯ − Λ
¯ + 3k Λ
¯
¯ = τ¯ + S¯ = 2µ e¯ + 3k Λ
σ
(V.39)
¯
¯ = 2µ ¯ + (3k − 2µ) Λ
σ
(V.40)
¯ = 2µ ¯ + 3k − 2µ tr(¯)I¯
σ
3
On note généralement λ le terme :
λ=k−
2µ
3
(V.41)
(V.42)
On l’appelle "paramètre de Lamé". Il n’est spécifique à aucun essai simple.
On a donc finalement :
¯ = 2µ ¯ + λ tr(¯)I¯
σ
(V.43)
1+ν ¯ ν
¯ )I¯
¯ =
σ − tr(σ
E
E
(V.44)
Et, pour rappel :
4
Essai de traction
Appliquons, pour l’exemple, cette loi de comportement à un essai simple : l’essai de traction.
Sur une éprouvette on applique une force F~ selon la direction ~ex , de telle sorte que la force soit
répartie de façon homogène sur la surface S, orientée par ~ex , qui est constante.
On en déduit : T~ (M,~ex ) =
~
F
S
∀ M ∈ V . La seule contrainte non-nulle est la contrainte σxx :
σxx = T~ (M,~ex ).~ex =
F
S
(V.45)
Donc :




¯=
σ



F/S 0 0
0
0




0 0 



0 0
(V.46)
59
5. Valeurs possibles du coefficient de Poisson
On cherche le tenseur des déformations correspondant en appliquant la loi de comportement :
1+ν ¯ ν
¯ )I¯
¯ =
σ − tr(σ
E
E
(V.47)
¯ ) = F/S. Donc :
Or : tr(σ



1+ν 

¯ =
E 


F/S 0 0
0
0






 ν 

−
0 0 
 E




0 0

1
0


F 
 0 −ν
¯ =
SE 


0
0
0
F/S
0








0
F/S
0
0
0
F/S
0
(V.48)




0 



(V.49)
−ν
On remarquera que :
ν=−
yy
zz
=−
xx
xx
(V.50)
Donc (je dois vérifier les équations de continuité, mais le tenseur de déformation est constant,
donc ses dérivés sont nulles : c’est vérifié) :
F
∂uy
∂uz
F
∂ux
=
et
=
= −ν
∂x
SE
∂y
∂z
SE
(V.51)
Dont je déduits :
F
F
F
x + Cx , uy (y) = −ν
y + Cy et uz (z) = −ν
z + Cz
(V.52)
SE
SE
SE
Je sais que Cx ne dépend ni de y ni de z car xy = xz = 0, et c’est le même principe pour
Cy et Cz .
ux (x) =
5
Valeurs possibles du coefficient de Poisson
Les modules d’élasticité s’expriment en pascal Pa, puisqu’ils représentent le ratio entre
une contrainte (Pa) et une déformation (sans unité). Le coefficient de Poisson, en revanche,
et comme on peut le voir dans les équations précédentes, représente, lors d’un essai de traction/compression, le rapport, au signe près, entre la déformation dans les directions perpendiculaires à l’axe de traction et la déformation dans l’axe de traction. Il est donc sans unité.
Lors d’un essai de traction pure, on a :
σij = E ij ∀i = j
La déformation ne peut pas être négative si la contrainte est positive : E ≥ 0.
Lors d’un essai de cisaillement pur, on fait remarquer que :
(V.53)
60
Chapitre V. Loi de comportement
E
ij ∀i , j
(V.54)
1+ν
Le sens du glissement ne peut pas s’opposer au sens de cisaillement, donc σij et ij sont du
même signe, et :
σij = 2µ ij =
E
≥ 0, d’où 1 + ν ≥ 0 et ν ≥ −1
1+ν
On a également montré que :
(V.55)
∆V
p
=−
(V.56)
V
k
Le volume ne peut pas croître si la pression isotrope externe est positive : k ≥ 0. Donc
1
E
≥ 0 d’où 1 − 2ν > 0 et ν <
3(1 − 2ν)
2
(V.57)
On remarquera que ν = 1/2 signifie k → ∞. On a finalement :
−1 ≤ ν <
1
2
(V.58)
CHAPITRE
VI
Outils complémentaire
Sommaire
1
Les équations de Navier . . . . . . . . . . . .
1.1
Démonstration . . . . . . . . . . . .
1.2
Equation finale . . . . . . . . . . . .
1.3
Divergent en cylindrique et sphérique
1.4
Utilisation : Essai de traction . . . .
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62
62
63
63
64
2
Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales
2.1
Détermination des contraintes/déformations principales . . .
2.2
Exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
Directions principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
Exemple simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
Utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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66
67
68
69
70
73
3
Vitesse
3.1
3.2
3.3
3.4
4
Déformation propre : dilatation thermique
4.1
Dilatation thermique . . . . . . . .
4.2
Origine de la dilatation thermique
4.3
Ordre de grandeur . . . . . . . . .
4.4
Thermoélasticité linéaire découplée
4.5
Contrainte et déformation d’origine
de propagation du son . .
Onde longitudinale . . . .
Remarque : vitesse du son
Onde transversale . . . . .
Séisme . . . . . . . . . . .
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74
74
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76
76
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thermique
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77
77
78
78
78
79
62
1
1.1
Chapitre VI. Outils complémentaire
Les équations de Navier
Démonstration
Nous ne ferons qu’une démonstration allégée des équations de Navier pour les solides homogènes isotropes en élasticité linéaire, les relations vues ici étant les mêmes qu’en mécanique des
fluides, pour l’équation de Navier-Stokes.
Considérons l’équation locale de la dynamique des milieux continus :
~ σ
¯ ) + f~V = ρ~a
div(
(VI.1)
ρ la masse volumique, f~ les forces de volumes. La loi de comportement en élasticité linéaire,
pour un solide homogène et isotrope est :
¯ = 2µ ¯ + λ tr(¯)I¯
σ
(VI.2)
¯ + c div(
¯ on a :
~
~ B)
~ D),
¯ + c D)
¯ = a div(
En appliquant le fait que : div(a
B
~ σ
~ ¯) + λ div(tr(
~
¯
¯ ) = 2µ div(
div(
¯)I)
Le tenseur des déformations étant : ¯ =
1
2
(VI.3)
¯ (~u) + grad
¯ T (~u) .
grad
1 ¯
¯ (~u) + grad
¯ T (~u) + λ div(tr(
¯ T (~u) )I)
¯
~
~ σ
~ 1 grad
¯ ) = 2µ div
grad (~u) + grad
div(
2
2
(VI.4)
La trace du tenseur des déformations est égale à la divergence de ~u :
¯ (~u) + grad
¯ T (~u) + λ div(div
¯
~ σ
~ grad
~
¯ ) = µ div
div(
(~u)I)
(VI.5)
¯ = grad
~
~ (div(~u))
div(div
(~u)I)
(VI.6)
Or :
Et comme on a pu le voir en mécanique des fluides :
¯ (~u) + grad
¯ T (~u) = ∆
~ (~u) + grad
~ grad
~ (div(~u))
div
(VI.7)
~ (~u) + µ grad
~ σ
~ (div(~u)) + λ grad
~ (div(~u))
¯) = µ ∆
div(
(VI.8)
¯ ~v ) = grad
~ v = div(
~ grad
~ (div (~u))) − rot
~ rot
~ (~u)
∆~
(VI.9)
~ σ
~
¯ ) = (λ + 2µ)grad(div(~
~ rot(~
~ u))
div(
u)) − µ rot(
(VI.10)
Donc finalement :
On montre que :
Et donc :
On obtient l’équation de Navier :
~
~ rot(~
~ u)) + f~V = ρ~a
(λ + 2µ)grad(div(~
u)) − µ rot(
(VI.11)
Cette relation est vraie en élasticité linéaire, pour un matériau homogène et isotrope. Tout
champ de déplacement qui vérifie cette relation vérifie nécessairement l’équation d’équilibre.
63
1. Les équations de Navier
1.2
Equation finale
On a :
~
~ rot(~
~ u)) + f~V = ρ~a
(λ + 2µ)grad(div(~
u)) − µ rot(
(VI.12)
Avec f~V les forces volumiques. En statique (~a = ~0), dans le cas où ces forces volumiques
~ u) = ~0), on
sont négligées (f~V = ~0), et si en plus le champ de déplacement est irrotationnel (rot(~
obtient :
~
grad(div(~
u)) = ~0
(VI.13)
On rappelle qu’un déplacement purement radial est irrotationnel. Donc :
div(~u) = Cste
(VI.14)
Dans le cas où la forme du champ de déplacement est connue (par exemple, on sait qu’il est
purement radial), mais pas son équation, cette dernière équation permet de déterminer le champ
de déplacement à des constantes d’intégration près. Avant même de poursuivre la résolution du
problème, puisque div(~u) = Cste découle de l’équation locale de la statique des milieux continus,
on sait que le tenseur des contraintes que l’on obtiendra, sans même avoir à la vérifier, vérifiera
cette équation locale. De même, le tenseur des déformation qu’on calculera dérivera d’un champ
de déplacement, et il ne sera donc pas nécessaire de vérifier les équations de compatibilité. Donc
en résolvant simplement l’équation div(~u) = Cste, on s’assure dès le départ, d’avoir une solution
qui vérifie toutes les conditions de la MMC.
1.3
Divergent en cylindrique et sphérique
L’équation de Navier est simple à résoudre pour des déplacement purement radiaux, irrationnel, du type :
~u = f (r) ~er
(VI.15)
En coordonnées sphériques ou cylindriques.
En coordonnées cylindriques :
div (~u) =
∂f (r) f (r) 1 ∂(r f (r))
+
=
∂r
r
r
∂r
(VI.16)
En effet :
1 ∂(r f (r)) 1 ∂f (r)
=
r
+ f (r)
r
∂r
r
∂r
(VI.17)
En coordonnées sphérique, on a :
div (~u) =
∂f (r)
f (r)
1 ∂(r2 f (r))
+2
= 2
∂r
r
r
∂r
(VI.18)
En effet :
1 ∂(r2 f (r))
1
∂f (r)
∂f (r)
f (r)
= 2 r2
+ 2r f (r) =
+2
2
r
∂r
r
∂r
∂r
r
(VI.19)
64
1.4
Chapitre VI. Outils complémentaire
Utilisation : Essai de traction
L’équation de Navier est un outil puissant lorsque le champ de déplacement n’est pas connu,
mais sa forme (symétrie) est connue. Elle permet de proposer un champ de déplacement tel qu’on
est assuré de vérifier par la suite le principe fondamental de la statique (ou de la dynamique)
avant même de connaître le tenseur des contraintes.
On considère le problème de l’essai de traction. On réalise un essai de traction sur un cylindre, donc l’axe de révolution est colinéaire à l’axe ~ez , et on applique sur ce cylindre une force
F~ = F~ez . Il en résulte une contrainte σzz = FS , avec S la section du cylindre. Le matériau du
cylindre a un comportement élastique linéaire et il est isotrope.
Par symétrie du problème, le champ de déplacement ne dépend pas de θ, il n’y a également
pas de composante uθ au champ de déplacement. Le cylindre ayant une section constante et
la force appliquée étant normale à la section, le déplacement radial est le même pour chaque
section (donc indépendant de z). Le déplacement uz est le même sur une section, car la force
est considérée comme répartie de façon homogène sur la section (uz ne dépend pas de r) :
~u = ur (r) e~r + uz (z) e~z
(VI.20)
On doit vérifier l’équation local de la statique par l’équation de Navier :
~
~ rot(~
~ u)) + f~ = ~0
(λ + 2µ)grad(div(~
u)) − µ rot(
(VI.21)
Le champ de déplacement est irrotationnel (ur ne dépend que de r, uz que de z) et si on
néglige les forces volumiques :
~
grad(div(~
u)) = ~0
Soit :
1 ∂(r ur (r)) ∂uz (z)
+
r
∂r
∂z
(VI.22)
1 ∂(r ur (r))
∂ 2 uz (z)
e~r +
e~z = ~0
r
∂r
∂z 2
(VI.23)
uz (z) = A z + B
(VI.24)
1 ∂(r ur (r))
r
∂r
(VI.25)
div (~u) =
Et donc :
~ (div (~u)) = ∂
grad
∂r
D’où, sur e~z :
On pose uz (z = 0) = 0, soit B = 0.
Puis, sur e~r :
∂
∂r
=0
1 ∂(r ur (r))
= C0
r
∂r
(VI.26)
∂(r ur (r))
= C0 r
∂r
(VI.27)
65
1. Les équations de Navier
r ur (r) =
ur (r) =
C0 2
r +D
2
(VI.28)
C0
D
r+
2
r
(VI.29)
On pose C = C 0 /2, et le champ de déplacement devant être fini sur le domaine du cylindre
(plein), donc en r = 0, on a D = 0 :
ur (r) = C r
(VI.30)
On connaît désormais la forme du champ de déplacement, le tenseur des contraintes n’est pas
connu, mais on sait d’avance qu’il respectera l’équation locale de la statique des milieux continus.
On déduit alors le tenseur des déformations :
1 ¯
¯ T (~u)
¯ =
grad(~u) + grad
2
∂ur
 ∂r



¯ (~u) = 
grad





0

0 
0
ur
r
0
0
0
∂uz
∂z
0
0
C



0 



C
 
 
 
0
=
 
 
 
0
0

A
Donc :

C



¯
=
 0


0
0
0
C



0 



0
A

e~r ,e~θ ,e~z
On en déduit le tenseur des contraintes :




¯
¯
¯
¯
σ = 2µ + λ tr()I = 



2µC + λ(2C + A)
0
0








0
2µC + λ(2C + A)
0
0
0
2µA + λ(2C + A)
e~r ,e~θ ,e~z
Or, le seul terme de contrainte non-nul est σzz , donc :
2µC + λ(2C + A) = 0
(VI.31)
2C (µ + λ) + λ A = 0
(VI.32)
C =−
λA
2 (µ + λ)
(VI.33)
66
Chapitre VI. Outils complémentaire
Donc (Chapitre VIII) :
C = −ν A
(VI.34)
2µA + λ(2C + A) = σzz
(VI.35)
(2µ + λ) A + 2λ C = σzz
(VI.36)
Et :
On remplace C par son expression :
(2µ + λ) A − 2 νλ A = σzz
(VI.37)
(2µ + λ (1 − 2 ν)) A = σzz
(VI.38)
Or (Chapitre VIII) : λ (1 − 2 ν) = 2ν µ.
(2µ + 2ν µ) A = σzz
(VI.39)
2µ(1 + ν) A = E A = σzz
(VI.40)
Et finalement :





¯
=




−
ν σzz
E
0
−
0
ν σzz
E
0

0









σzz
E
0
ur (r) = −
2
0
e~r ,e~θ ,e~z
ν σzz
σzz
r et uz (z) =
z
E
E
(VI.41)
Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales
On considère un tenseur d’ordre 2, le tenseur des contraintes ou des déformations. Ce sont
tous les 2 des tenseurs symétriques, exprimés dans une base orthonormée, dont tous les termes
sont réels : ils sont donc diagonalisables, selon le théorème spectral (ou théorème de Karl Weierstrass). Soit un tenseur symétrique A¯ d’ordre 2, exprimé dans la base orthonormée (~e1 ,~e2 ,~e3 ) :

A11 A12 A13



¯
A=
 A21


A22




A23 



A31 A32 A33
(VI.42)
~e1 ,~e2 ,~e3
Il existe nécessairement, par le théorème spectral, une base orthonormée (~eI ,~eII ,~eIII ) où ce
tenseur peut s’écrire :
2. Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales

0
0

AII
0
0
AIII







AI



¯
A=
 0


0
67
(VI.43)
~eI ,~eII ,~eIII
On peut noter, déjà, que d’après le premier invariant des tenseurs de contraintes et de
déformations :
A11 + A22 + A33 = AI + AII + AIII
(VI.44)
AI , AII et AIII sont appelées contraintes ou déformations principales, et ~eI , ~eII et ~eIII sont
les directions principales (ils forment la base principale).
2.1
Détermination des contraintes/déformations principales
¯ en résolvant :
On diagonalise tout d’abord un tenseur d’ordre 2, A,
¯ =0
det(A¯ − X I)
(VI.45)
X sont les solutions de cette équation, au nombre de trois : X = {AI , AII , AIII }. Soit :
¯
¯ det(B)
¯ est le déterminant du tenseur B
¯ (de la matrice 3x3 représentation de ce
B = A¯ − X I.
¯
tenseur). Le déterminant de B est le troisième invariant de ce tenseur. On le calcule, pour une
matrice 3x3, par la règle de Sarrus. On a d’abord les termes sommés :

B11 B12 B13



¯
B=
 B21


B22




B23 



B31 B32 B33
(VI.46)
~e1 ,~e2 ,~e3
B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B21 B32 B13
(VI.47)
Puis les termes "soustraits" :

B11 B12 B13



¯
B=
 B21


B22




B23 



B31 B32 B33
(VI.48)
~e1 ,~e2 ,~e3
− B31 B22 B13 − B21 B12 B33 − B11 B32 B23
(VI.49)
¯ = B B B +B B B +B B B −B B B −B B B −B B B
det B
11 22 33
12 23 31
21 32 13
31 22 13
21 12 33
11 32 23
(VI.50)
¯
Si B est symétrique (Bij = Bji ) :
68
Chapitre VI. Outils complémentaire
¯ = B B B + 2 B B B − B2 B − B2 B − B B2
det B
11 22 33
12 23 13
11 23
13 22
12 33
(VI.51)
Ou, "plus simplement" :
¯ = produit des termesB +2 produit des termesB −somme des termesB 2 B (VI.52)
det B
ii
ij
ij kk
¯ = 0 devient :
Donc l’équation det(A¯ − X I)
det A¯ − X I¯ = (A11 − X)(A22 − X)(A33 − X) + 2 A12 A23 A13
(VI.53)
−A213 (A22 − X) − A212 (A33 − X) − A223 (A11 − X)
2.2
Exemple simple
On peut prendre l’exemple simple d’un essai de traction, dans la base (~e1 ,~e2 ,~e3 ), selon la
direction ~e1 . Dans ce cas σ11 est le seul terme non-nul du tenseur des contraintes, soit :
σ11 0 0




¯=
σ







0 



0
0
0
0 0
(VI.54)
~e1 ,~e2 ,~e3
Il est complètement inutile de diagonaliser ce tenseur... Il est déjà diagonal ! Mais, au moins,
on est sûr du résultat de notre calcul...
Donc :
¯ − X I¯
det σ
= (σ11 − X)(0 − X)(0 − X) + 2 × 0 − 0 × (0 − X) − 0 × (0 − X) − (σ11 − X) × 0
(VI.55)
Donc :
¯ − X I¯ = (σ11 − X)(0 − X)(0 − X) = 0
det σ
(VI.56)
Equation qui a pour solution : X = {σ11 , 0, 0}. On a donc trois possibilité : soit σI = σ11 et
le autres termes (σII et σIII ) sont nuls, soit σII = σ11 , soit σIII = σ11 :




¯
σ=



σ11 0 0




0 



0
0
0
0 0
(VI.57)
~eI ,~eII ,~eIII
soit :

0



¯
σ=
 0


0
0
σ11
0
0




0 



0
~eI ,~eII ,~eIII
(VI.58)
2. Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales
69
soit :

0 0



¯
σ=
 0 0


0

0







0 0 σ11
(VI.59)
~eI ,~eII ,~eIII
Le choix est purement arbitraire. Le tenseur des contraintes était déjà diagonal, donc on
s’attend, après diagonalisation à retrouver ce tenseur et sa base : ~e1 = ~eI , ~e2 = ~eII et ~e3 = ~eIII
(cas où σI = σ11 ), mais les vecteurs de la base peuvent être échangés : si σII = σ11 alors ~eII = ~e1
et si σIII = σ11 alors ~eIII = ~e1 . En d’autres termes, il y a 3 solutions de bases principales
possibles, à choisir arbitrairement. Par exemple, si on choisit :

0 0



¯=
σ
 0 0


0

0







0 0 σ11
(VI.60)
~eI ,~eII ,~eIII =~e1
Dans ce cas ~eI et ~eII sont deux vecteurs orthogonaux de norme unitaire quelconques, dans
le même plan que (~e2 ,~e3 ).
2.3
Directions principales
¯ est diagonal, de valeurs principales B , B
La base orthonormée dans laquelle le tenseur B
I
II
et BIII , est définie par les direction principales (~eI ,~eII ,~eIII ) qui vérifient :

BI


¯ e =
 0
B.~
I



0
0
1
0
 
BII
0
0
BIII

 
 

 
 
 

 
. 0  =  0 

 
 
 

 
 

 

0

BI

(VI.61)
0
Soit :
¯ e = B ~e
B.~
I
I I
(VI.62)
¯ e = B ~e
B.~
II
II II
(VI.63)
¯ e =B
B.~
eIII
III
III ~
(VI.64)
Puis de la même façon :
Ces relations sont vraies dans n’importe quelle base, dont la base (~e1 ,~e2 ,~e3 ). Si, par exemple :
~eI = a1 ~e1 + a2 ~e2 + a3 ~e3
(VI.65)
¯ e = B ~e
B.~
I
I I
(VI.66)
Alors :
70
Chapitre VI. Outils complémentaire
Donne pour le terme de gauche, pour la composante suivant ~e1 :
B11 a1 + B12 a2 + B13 a3
(VI.67)
Car :

 
B11 B12 B13
a1


 

 

 


B23  .  a2 


 

 
(VI.68)
BI ~eI = BI (a1 ~e1 + a2 ~e2 + a3 ~e3 )
(VI.69)



¯
B.~eI = 
 B21


B22
a3
B31 B32 B33
Pour le terme de droite, on a :
La composante suivant ~e1 de ce terme vaut donc : BI a1 . D’où :
B11 a1 + B12 a2 + B13 a3 = BI a1
(VI.70)
B21 a1 + B22 a2 + B23 a3 = BI a2
(VI.71)
B31 a1 + B32 a2 + B33 a3 = BI a3
(VI.72)
Sur ~e2 :
Sur ~e3 :
Nous avons donc trois équations à trois inconnus. On n’a travaillé que sur BI ~eI , il nous
reste BII ~eII et BIII ~eIII , pour exprimer ~eII et ~eIII . La base (~eI ,~eII ,~eIII ) étant orthonormée
directe, connaître deux vecteurs suffit à avoir le dernier (inutile de refaire ces mêmes calculs pour
le dernier vecteur). Des équations supplémentaires sont fournies par le fait que tous les vecteurs
de la base ont une norme de 1.
2.4
Exemple simple
On prend l’exemple suivant, un cas de cisaillement pur :

0



¯
σ=
 σ12


0
σ12 0
0
0




0 



0
(VI.73)
~e1 ,~e2 ,~e3
On cherche d’abord les contraintes principales :
¯ − X I¯ = (σ11 − X)(σ22 − X)(σ33 − X) + 2 σ12 σ23 σ13
det σ
2
2
2
−σ13
(σ22 − X) − σ12
(σ33 − X) − σ23
(σ11 − X)
Soit :
(VI.74)
2. Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales
71
2
0 = (0 − X)(0 − X)(0 − X) + 0 − 0 − σ12
(0 − X) − 0
(VI.75)
On a une première solution évidente : X = 0, puis
2
X 2 = σ12
(VI.76)
Soit X = ±σ12 . On choisit arbitrairement :




¯=
σ



σ12
0
0
0
−σ12
0
0




0 



0
(VI.77)
~eI ,~eII ,~eIII
On cherche désormais les directions principales. On pose le problème :
~eI = a1 ~e1 + a2 ~e2 + a3 ~e3
(VI.78)
~eII = b1 ~e1 + b2 ~e2 + b3 ~e3
(VI.79)
~eIII = c1 ~e1 + c2 ~e2 + c3 ~e3
(VI.80)
Et on cherche les 9 inconnus du problèmes (ai , bi et ci ), par les équations suivantes :
2.4.1
¯.~eI = σI ~eI = σ12 ~eI
σ
(VI.81)
¯.~eII = σII ~eII = −σ12 ~eII
σ
(VI.82)
¯.~eIII = σIII ~eIII = ~0
σ
(VI.83)
¯.~eI = σ12 ~eI
σ
(VI.84)
Première équation
Soit :

0



 σ12



0
σ12 0
0
0
 
a1


σ12 a1

 
 

 
 

 
 

 a2  =  σ12 a2 
.
0 
 
 

 
 

 
 

0
a3
(VI.85)
σ12 a3
Et finalement :

0 × a1 + σ12 a2 + 0 × a3



 σ12 a1 + 0 × a2 + 0 × a3



0 × a1 + 0 × a2 + 0 × a3


σ12 a1

 

 

 

 =  σ12 a2 
 

 

 

σ12 a3
(VI.86)
72
Chapitre VI. Outils complémentaire
Donc : a3 = 0 et a1 = a2 . On ne peut bien sûr pas prendre a1 = 0. En effet, pour conserver
une base à vecteur unitaire, la norme de ~eI doit être 1, d’où :
a21 + a22 = 2 a21 = 1
(VI.87)
√
Soit : a1 = a2 = ± 2/2. On prend arbitrairement la solution positive (on verra l’impact de
ce choix après).
√
2.4.2
√
2
2
~eI =
~e1 +
~e2
2
2
(VI.88)
¯.~eII = σ12 ~eII
σ
(VI.89)
Deuxième équation
Soit :

0
σ12 0



 σ12



0
0
0
 
b1


−σ12 b1

 
 

 
 

 
 





0  .  b2  =  −σ12 b2 

 
 

 
 

0
(VI.90)
−σ12 b3
b3
Et finalement :

σ12 b2


−σ12 b1


 


 


 

 σ12 b1  =  −σ12 b2 

 


 


 

0
(VI.91)
−σ12 b3
Donc : b3 = 0 et b1 = −b2 . Pour conserver une base à vecteur unitaire, la norme de ~eII doit
être 1, d’où :
b21 + b22 = 12
Soit : b1 =
encore.
√
√
2/2 et b2 = − 2/2. On prend la solution positive, pour b1 , arbitrairement
~eII
2.4.3
(VI.92)
√
√
2
2
=
~e1 −
~e2
2
2
(VI.93)
Troisième équation
Il n’est pas utile de passer par la troisième équation : la base principale est une base directe
orthonormée donc :
~eIII = ~eI ∧ ~eII
(VI.94)
2. Diagonalisation des tenseurs : contraintes et déformations principales

c1


a1




b1
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 c2  =  a1  ∧  −b1  = 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

0
0
c3
0

0







−2 a1 b1
73
(VI.95)
On se rend compte que le choix arbitraire qu’on a pu faire sur les signes de a1 et b1 influe
juste sur le signe de c3 . On a finalement :
~eIII = −~e3
(VI.96)
Mais si on peut vérifier la troisième équation :
¯.~eIII = ~0
σ
(VI.97)
Soit :

0



 σ12



0
σ12 0
0
0
 
0


0


 
 

 
 

 
 




0 . 0  =  0 


 
 

 
 
0
−1
(VI.98)
0
Ce qui est effectivement bon.
2.4.4
Remarques
On pourra remarquer, avec cet exemple, que :
– Un essai de cisaillement pur (torsion pure par exemple) dans une base donnée correspond,
dans la base principale, à un essai "biaxial" de traction dans une direction et de compression
dans une autre.
– La base principale est alors à 45° de la base d’origine.
En effet, cisailler un carré produit un losange, ce qui revient à étirer une diagonale (à 45°
d’un côté) et à comprimer l’autre.
2.5
2.5.1
Utilisation
Matériaux fragiles
Dans la plupart des matériaux fragiles, on peut postuler que la rupture, qui arrivera sans
déformation plastique, se produira par ouverture de fissure, dit "en mode 1", c’est-à-dire du fait
des contraintes de traction. Pour déterminer la valeur maximale des contraintes de tractions, il
suffit de diagonaliser le tenseur des contraintes : la contraintes maximales de traction que subit
le matériau est la valeur maximale des trois contraintes principales. De plus, la fissure va plutôt
se propager (avancer) dans le plan orthogonale à la direction principale associée à la contrainte
principale maximale.
74
Chapitre VI. Outils complémentaire
2.5.2
Matériaux ductiles
Les métaux développent, au delà d’une certaine contrainte, une déformation plastique. Ce
seuil de contrainte est indépendant de la pression hydrostatique. La plasticité s’amorce dès que,
localement, on a atteint une contrainte de cisaillement telle que les dislocations se propagent (scission critique). Vous l’avez normalement vu en RdM, on peut démontrer que la demi-différence
des contraintes principales extrêmes (le rayon du cercle de Mohr) correspond au cisaillement
maximal. Il y a plasticité si cette demi-différence, en valeur absolue, dépasse la limite d’élasticité
du matériau (τe ) : c’est le critère de Tresca.
| σI − σII | | σII − σIII | | σI − σIII |
M ax
,
,
2
2
2
< τe
¯ donc pour une pression hydrostatique pure,
On remarque que, pour ce critère, si σ
¯ = −p I,
les demi-différences des contraintes principales sont nulles : quelque soit la pression, on atteindra
jamais la limite d’élasticité selon le critère de Tresca.
3
Vitesse de propagation du son
Les équations de Navier permettent également, très rapidement, de déterminer la vitesse de
propagation du son dans un matériau homogène isotrope dans le cadre de l’élasticité linéaire.
3.1
Onde longitudinale
On suppose que dans un matériau se propage une onde sonore, dont l’équation du champ de
déplacement correspondant est :
ω
~u(x, t) = ux (x, t) ~ex = A cos
x
vL
cos (ωt) ~ex
(VI.99)
Il s’agit d’une onde longitudinale, d’amplitude maximale A. Il y a ici ni atténuation, ni amortissement. L’onde ne se propage que dans une direction ~x, en étant fonction que de la variable
spatiale associée à cette direction x. De ce fait, ce champ de déplacement est irrotationnel. Dans
cette équation, on assume une décomposition spatial et temporel de l’onde. Du côté temporel,
on a la pulsation ω :
ω = 2πf
(VI.100)
f la fréquence. Du côté spatial, on a vL est la vitesse de propagation de l’onde. On constate
qu’un point en x = 0 et en x = 2πωvL subissent le même déplacement au même instant. Or :
2π vL vL
=
ω
f
(VI.101)
est la longueur d’onde de l’onde sonore. On appelle ce type d’onde "onde stationnaire".
La particularité de ce type d’onde est qu’il existe des points pour lequel, à tout instant le déplacement est nul : les noeuds. Ces noeuds sont en x = (2N + 1) × π2 × ωv pour N entier, soit tout
les x = 2N4+1 L où L est la longueur d’onde.
vL
f
L’équation de Navier donne :
~
~ rot(~
~ u)) + f~ = ρ~a
(λ + 2µ)grad(div(~
u)) − µ rot(
Donc, en négligeant les forces volumiques :
(VI.102)
75
3. Vitesse de propagation du son
2
∂ ~u
~
(λ + 2µ)grad(div(~
u)) = ρ 2
∂t
(VI.103)
Et :
(λ + 2µ)
ω
(λ + 2µ) −Aω cos (ωt) cos
x
vL
2
∂ 2 ~u
∂ 2 ~u
=
ρ
∂x2
∂t2
(VI.104)
ω
1
× 2 = ρ −Aω 2 cos (ωt) cos
x
vL
vL
(
(
((
((
1
((ω(
((ω(
2
2
(
(
(
(
(
(
x
×
x
(λ + 2µ) −Aω(
=
ρ
cos
(ωt)
cos
−Aω
cos
(ωt)
cos
((
((
2
vL
vL
vL
((((
(((
(VI.105)
(VI.106)
Et donc :
s
vL =
λ + 2µ
ρ
(VI.107)
On remarque donc que la forme globale de l’équation de propagation d’onde est :
∂ 2 ~u
1 ∂ 2 ~u
=
∂x2 v 2 ∂t2
(VI.108)
2
λ + 2µ = ρ vL
(VI.109)
En effet :
Autre remarque :
On rappelle que pour un solide élastique linéaire quelconque :
σi = Cij j
(VI.110)
λ + 2µ = C11
(VI.111)
S’il est isotrope, alors :
C11 est appelée "module longitudinale" d’élasticité.
3.2
Remarque : vitesse du son
La vitesse vL est la vitesse du son dans le matériau et non la vitesse de déplacement de la
matière, qui, en moyenne, sur une période, est nulle, pour une onde stationnaire. On remarque en
effet que le déplacement des noeuds de vibration étant nul à tout instant, leur vitesse est nulle.
On peut prendre en comparaison la houle : il n’y a, en moyenne, aucun mouvement de matière :
l’eau oscille autour d’une position fixe (une bouée ne se déplace pas du fait de la houle). Mais
l’oscillation de l’eau produit un déplacement des vagues, qui ont, elles, une vitesse. La vitesse
d’une vague est la vitesse de déplacement de sa crête, qui n’est pas le déplacement de matière. Au
sens stricte, en physique on préfère parler de célérité (pour une onde, sans déplacement globale
de matière) que de vitesse (déplacement de matière).
76
3.3
Chapitre VI. Outils complémentaire
Onde transversale
On suppose que dans un matériau se propage une onde sonore, dont l’équation du champ de
déplacement correspondant est :
ω
~u(x, t) = uy (x, t) ~ey = A cos
x
vT
cos (ωt) ~ey
(VI.112)
Il s’agit d’une onde transversale, d’amplitude maximale A, elle ne se propage que dans une
direction ~y , en étant fonction que de la variable spatiale non-associée à cette direction y (ici x).
De ce fait, ce champ de déplacement est rotationnel et son divergent est nul.
L’équation de Navier donne, en négligeant les forces volumiques :
2
~ rot(~
~ u)) = ρ ∂ ~u
− µ rot(
∂t2
(VI.113)
On obtient donc une équation de la même forme que pour l’onde longitudinale :
− µ × (−
∂ 2 ~u
∂ 2 ~u
)
=
ρ
∂x2
∂t2
(VI.114)
Qui a donc pour solution :
vT =
r
µ
ρ
(VI.115)
Etant donnée que λ > 0, on remarque que les ondes longitudinales se déplacent toujours plus
vite que les ondes transversales.
Une application numérique : pour l’aluminium pur, (E = 69 GPa, ν = 0, 346) pour lequel
µ = 25, 6 GPa et ρ = 2700 kg.m−3 , on a :
vT =
r
µ
=
ρ
s
25, 6 × 109
= 3079, 2 m.s−1
2700
(VI.116)
On a également : λ = 21, 4 GPa, donc :
s
vL =
3.4
λ + 2µ
=
ρ
s
21, 4 × 109 + 2 × 25, 6 × 109
= 5185, 45 m.s−1
2700
(VI.117)
Séisme
Lors d’un séisme on distingue deux types d’ondes. Les ondes de surface, qui comptent les
ondes de Love (les plus dévastatrices : une sorte d’interaction d’onde de cisaillement confinées
à la surface qui détruit par exemple les fondations de bâtiment) et les ondes de Rayleigh, et les
ondes de volumes qui comptent les ondes longitudinales et les ondes transversales.
Les ondes de volumes sont plus rapides que les ondes de surfaces, et dans les ondes de volume,
les ondes longitudinales sont les plus rapides (on les appelle donc "primaire") : elles provoquent
le grondement qu’on peut entendre avant l’arrivée des ondes transversales (ondes secondaires).
Ces deux ondes s’enregistrent sur les sismographes, et leur décalage permet de déterminer la
distance de l’épicentre, et avec un nombre suffisant de sismographes de le localiser.
77
4. Déformation propre : dilatation thermique
4
Déformation propre : dilatation thermique
On appelle "déformation propre" au sens de Mura, une déformation qui n’est pas élastique,
~ σ
¯ = ~0) sans aucune force
et qui, si elle génère des contraintes, celles-ci sont équilibrées (div
extérieure. La dilatation thermique est une déformation propre, elle n’est pas élastique et elle
n’est pas même due à une force extérieure.
4.1
Dilatation thermique
La dilatation thermique est un gain de volume produit par un incrément de température. Le
coefficient de dilatation thermique volumique isobare est défini par :
β(T ) =
1 ∂V V ∂T p
(VI.118)
Si on considère un incrément de température ∆T où β est constant, à pression constante :
β(T ) =
1 ∆V
V ∆T
(VI.119)
Soit :
∆V = β(T ) V ∆T
(VI.120)
Si on considère un volume élémentaire dV à T, atteignant dV 0 à T + ∆T :
dV 0 − dV = β dV ∆T
(VI.121)
dV 0 − dV
= β ∆T
dV
(VI.122)
Donc :
Nous avons vu, dans l’hypothèse des petites perturbations, on peut écrire :
dV 0 − dV
= β ∆T = tr ¯
dV
(VI.123)
Pour un matériau isotrope, il n’y a aucune raison qu’un incrément de température produise
une déformation qui dépende de la direction, donc :
xx = yy = zz
(VI.124)
dux
β ∆T = tr ¯ = 3 xx = 3
dx
(VI.125)
D’où, par exemple :
dux =
β
dx ∆T
3
(VI.126)
On appelle coefficient de dilatation linéaire ou par réduction simplement "coefficient de dilatation" le ratio β/3 et on le note α :
dux = α dx ∆T ou, simplement : ∆L = α L ∆T
(VI.127)
L’unité du coefficient de dilatation, dans le SI et le K−1 , qui est aussi homogène à des ◦ C−1 .
78
4.2
Chapitre VI. Outils complémentaire
Origine de la dilatation thermique
La position d’un atome par rapport à un autre, dans un matériau, dépend des forces d’interactions entre ces atomes, et donc du potentiel dont elles dérivent. Ce potentiel est asymétrique
(voir Figure VI.1). A 0 K, l’atome se trouve à sa position d’équilibre en r = re , en un niveau de
potentiel U (re ) = −U0 . Lorsque la température augmente, l’atome va vibrer autour d’une position d’équilibre, entre un rmin et un rmax , grâce à l’énergie due à la température UT = kT . Son
énergie potentielle est de −U0 + UT . Le couple rmin et rmax sont les deux solutions de l’équation
U (r) = −U0 + UT . La position statistique moyenne de l’atome n’est alors plus en re , c’est la
moyenne des positions extrêmes rmoy . Le fait que le puits de potentiel ne soit pas symétrique
signifie que rmoy diffère de re . On peut montrer que quelque soit UT > 0, la position moyenne
est nécessairement supérieure à re : dès lors que la température augmente, l’atome s’éloigne de
la position d’équilibre de T = 0 K.
Figure VI.1 — Asymétrie du puits de potentiel : quand la température augmente, la position moyenne de
l’atome s’éloigne de la position d’équilibre à 0 K
4.3
Ordre de grandeur
Voir le tableau VI.1.
4.4
Thermoélasticité linéaire découplée
Sous l’effet de sa propre déformation, un solide élastique est susceptible de subir des changements de température, ceux-ci pouvant être assez marqués pour les polymères par exemple.
Ces changements se décrivent selon les principes de la thermodynamique, tout comme pour un
gaz qu’on comprime ou qu’on détend. Nous ne traiterons pas cet aspect : on n’applique des
changements de température sans spécifier leurs origines ni un lien avec l’état de contrainte. On
parle de thermoélasticité découplée.
De même, lorsque la température augmente, les modules d’élasticité changent (généralement
ils diminuent, mais ce n’est pas une règle). On ne prendra pas en compte ces changements, qu’on
79
4. Déformation propre : dilatation thermique
Table VI.1 — Coefficient de dilatation
Matériaux
α (×10−6 K−1 )
Diamant
Verre Pyrex
Carbure de tungstène
Alumine
Acier
Aluminium (pur)
Glace
PVC
1, 2 (20◦ C)
4 (20◦ C)
5, 2 (20◦ C)
7, 1 (25◦ C)
10 − 12 (20◦ C)
22 (20◦ C)
46 (-15◦ C)
50 (20◦ C)
considère faibles sur des petites gammes de température (il ne serait cependant pas compliqué
de la faire).
4.5
Contrainte et déformation d’origine thermique
4.5.1
Déformation thermique
Notons ¯th la déformation thermique, pour la différentier de la déformation élastique due à
la contrainte, qu’on notera ¯e . On a :
β ∆T = tr ¯th
(VI.128)
Par isotropie, les termes diagonaux étant tous égaux, et en conséquence, les termes hors
diagonaux étant nuls (la dilatation ne change que le volume), on a :
¯th = α ∆T I¯
(VI.129)
En effet, cela donne :
th
xx
= th
yy
= th
zz
= α ∆T
(VI.130)
On pose ici le changement de température comme homogène dans tout le corps, sinon, on a
une équation locale :
¯th (x, y, z) = α ∆T (x, y, z) I¯
4.5.2
(VI.131)
Déformation totale
En petite déformation, on peut considérer que la déformation totale et la somme des déformations particulières (en grandes déformations, on ne peut pas : soit les déplacements sont
les sommes des déplacements particuliers, soit la déformation, mais les relations n’étant pas
linéaires, on ne peut pas avoir les deux). Notons ¯ la déformation totale du corps, telle que :
¯ = ¯th + ¯e
(VI.132)
1+ν ¯ ν
¯ )I¯
¯ = α ∆T I¯ +
σ − tr(σ
E
E
(VI.133)
Donc :
80
Chapitre VI. Outils complémentaire
Attention, la relation entre champ de déplacement et déformation concerne bien la déformation totale et non élastique. En effet, nous n’avons fait aucune hypothèse sur l’origine de la
déformation lorsque nous avons posé ces relations :
1 ¯
¯ T (~u) = α ∆T I¯ + 1 + ν σ
¯ )I¯
¯ − ν tr(σ
grad (~u) + grad
2
E
E
4.5.3
(VI.134)
Contrainte d’origine thermique
Inversement, on a :
¯ = 2µ ¯e + λ tr(¯e )I¯
σ
(VI.135)
¯ = 2µ ¯ − ¯th + λ tr ¯ − ¯th I¯
σ
(VI.136)
Donc :
4.5.4
Exemple
On remarque que si on empêche un corps de se déformer (¯ = ¯0), par exemple en bloquant
les déplacements dans toutes les directions, la dilatation thermique produit une contrainte :
¯ = −2µ ¯th − λ tr ¯th I¯
σ
(VI.137)
¯
I¯
(VI.138)
¯ = −2µ ¯th − λ (α ∆T + α ∆T + α ∆T ) I¯
σ
(VI.139)
¯ = −2µ α ∆T I¯ − 3 λ α ∆T I¯
σ
(VI.140)
3 λ + 2 µ = 3k
(VI.141)
¯ = −2µ ¯th − λ th
σ
xx + th yy
+ th
zz
Or :
¯ = −3kα ∆T I¯ = −
σ
E
α ∆T I¯
(1 − 2ν)
(VI.142)
Ceci explique l’existence de joint de dilatation, notamment sur les ponts. Si le pont n’est pas
libre de se dilater dans toutes les directions, alors il va être soumis à des contraintes dans les
directions où il n’est pas libre de se dilater, ce qui peut endommager soit le pont, soit ce qui
l’entoure.
CHAPITRE
VII
Bilan
Sommaire
1
Vue d’ensemble du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2
Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3
Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4
Méthode des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5
Méthode des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Méthode classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
Cas particulier : le champ de déplacement irrotationnel . . . . . . . . .
83
83
83
6
Cas particulier : corps en contact
84
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
1
Chapitre VII. Bilan
Vue d’ensemble du problème
/ continu, dérivable et fini (pour un solide fini)
Champ de déplacement
~u
O
¯ u)+grad
¯ T (~
¯= 21 grad(~
u)
2
2
/ ∂ 2 ik − ∂ kj − ∂ 2 il + ∂ lj = 0
∂xl ∂xj
∂xl ∂xi
∂xk ∂xj
∂xk ∂xi
Tenseur des déformations
¯
O
¯ )I¯ σ
¯ − ν tr(σ
¯ =2µ ¯+λ tr(¯)I¯
¯= 1+ν
σ
E
E
Tenseur des contraintes
σ
¯
O
¯.~
n)=σ
n et
σij =T~ (M,~
ei ).e~j T~ (M,~
Actions extérieures F~
2
/ div
~ σ
¯ + f~ = ρ~a
R
~=
F
S
T~ (M,~
n)ds
/ PFS ou PFD
Unicité
Dans le cadre des relations posées dans ce cours (voir le schéma ci-dessus), pour un jeu donné
de conditions aux limites (en vecteurs contraintes et/ou en déplacement), lorsqu’on résout le
problème, et qu’on trouve une solution (le champ de déplacement, le tenseur des déformations
et le tenseur des contraintes), cette solution est la solution. Il y a unicité des solutions.
3
Méthode
A partir de cette vue d’ensemble, il faut se poser les questions suivantes : qu’est-ce que je
sais sur :
– Le déplacement ?
– La déformation (généralement peut de chose, on connaît plutôt le déplacement) ?
– La contrainte (généralement peu de chose, je connais des forces extérieures dont je déduis
la contrainte) ?
– Les forces extérieures ?
On peut donc voir deux grandes classes de méthodes de résolution, la méthode des forces et
la méthodes des déplacements.
4
Méthode des forces
Cette méthode est plutôt rare, et réservée à des cas très simples : traction, compression, et
cisaillement pur.
83
5. Méthode des déplacements
/ forces/pressions aux frontières ?
Hypothèse sur F~
R
~=
F
S
T~ (M,~
n)ds
Vecteurs contraintes sur les frontières T~ (M,~n)
T~ (M,~ei ).~ej =σij
¯
Tenseur des contraintes sur les frontières σ
~ σ
¯ )+f~=ρ~a
div(
¯
Equations différentielles sur σ
¯ )I¯
¯ − ν tr(σ
¯= 1+ν
σ
E
E
/ Equations de compatibilité
Tenseur des déformations ¯
¯ u)+grad
¯ T (~
¯= 12 grad(~
u)
Champ de déplacement ~u
¯ , des conditions aux limites sur
Eventuellement, s’il manque des conditions aux limites sur σ
~u permettent de résoudre le problème.
5
5.1
Méthode des déplacements
Méthode classique
Hypothèse sur ~u
/ ux , uy , uz dépendent de quelles variables ?
¯ u)+grad
¯ T (~
¯= 12 grad(~
u)
Tenseur des déformations ¯
¯ =2µ ¯+λ tr(¯)I¯
σ
¯
Tenseur des contraintes σ
~ σ
¯ )+f~=ρ~a
div(
¯
Elimination de constantes σ
¯.~
T~ (M,~
n)=σ
n
Vecteurs contraintes T~ (M,~n)
R
~=
F
S
T~ (M,~
n)ds
Forces F~
Eventuellement, s’il manque des conditions aux limites sur ~u, des conditions aux limites sur
~
F permettent de résoudre le problème.
5.2
Cas particulier : le champ de déplacement irrotationnel
On ne peut pas exprimer directement le champs de déplacement, mais sa forme, et cette
forme montre que le champs de déplacement est irrotationnel. L’exemple typique est celui du
tube ou de la sphère sous pression. Le déplacement est purement radial, est les symétrie du
84
Chapitre VII. Bilan
problème indique qu’il ne dépend que de r. soit :
~u = ur (r)e~r
L’équation locale de la statique, pour un solide homogène isotrope, en élasticité linéaire,
donne :
~
~ rot(~
~ u)) + f~ = ~0
(λ + 2µ)grad(div(~
u)) − µ rot(
(VII.1)
Si le champs de déplacement est irrotationnel et si on néglige les forces volumiques :
~
grad(div(~
u)) = ~0
(VII.2)
Cette équation fournit la forme de ur (r) à une ou deux constantes d’intégration près. De
cette forme, on déduit le tenseur des déformations en fonction des constantes d’intégrations :
1 ¯
¯ T (~u)
¯ =
grad(~u) + grad
2
Puis le tenseur des contraintes en fonction des constantes d’intégrations :
¯ = 2µ ¯ + λ tr(¯)I¯
σ
(VII.3)
(VII.4)
Il est inutile de vérifier si le tenseur des contraintes vérifie l’équation locale de la statique,
cela est déjà vérifié par le champs de déplacement.
On exprime le tenseur des contraintes, en fonction des deux constantes d’intégration, sur les
surfaces libres, où le tenseur est connu grâce au vecteur contrainte. Ceci permet de déterminer
les constantes d’intégrations.
6
Cas particulier : corps en contact
Si deux corps sont en contact, il faut traiter individuellement les deux corps, à partir de la
méthode de déplacement ou des forces suivant ce que l’on connaît. Il ne restera qu’une inconnue
globale (le champ de déplacement, les forces à la frontière) au problème : que se passe-t-il à la
frontière des deux corps qui correspondent à la surface de contact ?
– Le champ de déplacement de la surface de contact est la même pour les deux corps,
– Les forces extérieures sur la surface de contact sont des actions réciproques.
CHAPITRE
VIII
Modules d’élasticité
Le tableau VIII.1 donne les relations entre les différents modules d’élasticité vus dans ce
cours. On rappelle que pour un solide isotrope, il n’existe que deux modules d’élasticité indépendant : tout module introduit peut être exprimé comme une fonction de deux autres.
– E : module de Young (Pa) : rapport entre la contrainte de traction ou compression et la
déformation longitudinale qu’elle génère.
– ν : coefficient de Poisson (sans unité) : rapport, au signe près, entre la déformation
transverse et la déformation longitudinale lors d’un essai de traction (−1 ≤ ν < 0, 5).
– k : module de compressibilité (Pa) : rapport entre la pression isostatique et le changement
de volume relatif.
– µ : module d’élasticité en cisaillement (Pa) : rapport entre la contrainte de cisaillement
et le glissement qu’elle génère.
– λ : paramètre de Lamé (Pa) : pas définissable par un essai mécanique simple.
ν=
µ=
λ=
E=
k=
λ
2(λ + µ)
λ, µ
2µ
λ+
3
µ(3λ + 2µ)
λ+µ
E
−1
2µ
µ(E − 2µ)
3µ − E
E, µ
Eµ
3(3µ − E)
3(k − λ)
2
λ
3k − λ
9k(k − λ)
3k − λ
k, λ
3k − 2µ
2(3k + µ)
9kµ
3k + µ
2µ
k−
3
k, µ
λ(1 − 2ν)
2ν
λ, ν
λ(1 + ν)
3ν
λ(1 + ν)(1 − 2ν)
µ
2µν
1 − 2ν
2µ(1 + ν)
µ, ν
2µ(1 + ν)
3(1 − 2ν)
Eν
(1 + ν)(1 − 2ν)
E
2(1 + ν)
E, ν
E
3(1 − 2ν)
3kν
1+ν
3k(1 − 2ν)
2(1 + ν)
3k(1 − 2ν)
k, ν
3k(3k − E)
9k − E
3kE
9k − E
3k − E
6k
k, E
86
Chapitre VIII. Modules d’élasticité
Table VIII.1 — Relation entre les différents modules d’élasticité.