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3^A - Verifica su ellisse e iperbole
Le risposte non giustificate non verranno valutate.
Livello di sufficienza: sei risposte corrette e correttamente giustificate.
La domanda n° 13 equivale a tre delle altre domande.
1. Determina l'equazione del luogo dei punti tali che la somma delle loro distanze dai punti
A−8 , 0 , B 8 , 0 sia uguale a 20.
2. Determina l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione 4 x 2 y 2=8 nel suo punto
P −1 , 2 .
3. Determina l'equazione dell'ellisse che ha un vertice B 0 ,  5 e un fuoco F −2 , 0 .
4. Determina l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine che ha un fuoco F −3 , 0 ed
eccentricità e=3/  34 .
5. Determina il centro di simmetria e le lunghezze dei semiassi dell'ellisse di equazione
12 x 25 y 2−24 x−30 y−3=0 .
6. Disegna il grafico della funzione y=2  1− x 2 descrivendo la curva ottenuta.
7. Determina l'equazione del luogo dei punti tali che la differenza delle loro distanze dai punti
A0 ,−  11 , B 0 ,  11 sia uguale a 6.
8. Determina l'equazione dell'iperbole che ha un asintoto di equazione y=4 x e un fuoco
F 2  17 , 0 .
9. Determina l'equazione dell'iperbole che ha un vertice (reale) A3 , 0 ed eccentricità e=4/3 .
10.Determina l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti avente un vertice
V −4 , 4 .
11.Disegna il grafico della funzione y=
5−2 x
(unità di misura = 4 quadretti).
2 x−4
12.Disegna il grafico della funzione y=2  x 2−1 descrivendo la curva ottenuta.
13.Per ciascuna delle seguenti equazioni, descrivi il luogo dei punti le cui coordinate la rendono
vera (ad esempio: nessun punto; un punto, specificando quale; due punti, specificando quali;
una retta, specificando l'equazione; due rette, specificando le equazioni; una circonferenza,
un'iperbole, una parabola ...):
a.
x 2 y 2=0
b.
x 2 y 2=−1
c.
x 2−1=0
d.
x 22 xy y 2=0
e.
x 2 xy y 2=0
f.
x 2− y 2=0
g.
x 2−3 x2=0
h.
 x12 y12=0
i.
 x 2−12 y 2=0
3^A - Correzione verifica su ellisse e iperbole
1. Si tratta di un'ellisse avente i fuochi sull'asse x; c=8 ; 2 a=20 ⇒ a=10 ⇒
x2
y2
 =1 .
b=  a −c =  100−64=6 . Equazione ellisse:
100 36
2
2
2. Formula di sdoppiamento: 4⋅−1 x2 y=8 ⇒ y=2 x4 .
3. Abbiamo b=  5 , c=2 . Poiché i fuochi si trovano sull'asse x: a=  b 2c 2=  54=3 .
x2 y2
 =1 .
Equazione ellisse:
9 5
4. Abbiamo c=3 . Poiché i fuochi si trovano sull'asse x: e=c / a ⇒ a=c /e=  34 ⇒
2
2
b=  a −c =  34−9=5 . Equazione ellisse:
x2 y2
 =1 .
34 25
5. Possiamo applicare all'equazione il metodo del “completamento del quadrato”:
12 x 2 −2 x15 y 2−6 y9=31245 ⇒
 x−12  y−32

=1 .
5
12
Quindi l'ellisse ha centro C 1 , 3 e semiassi a=  5 , b=2  3 .
In alternativa, possiamo determinare la traslazione che, eliminando i termini di primo grado
in x e y, porti il centro nell'origine degli assi.
2
6. Scriviamo l'equazione nella forma x 
y2
=1 con la condizione y≥0 .
4
Quindi, data l'ellisse di centro l'origine e semiassi a=1 , b=2 dobbiamo
considerarne l'arco situato nel semipiano delle ordinate positive.
7. Si tratta di un'iperbole avente i fuochi sull'asse y; c=  11 ; 2 b=6 ⇒ b=3 ⇒
2
2
a=  c −b =  11−9=  2 . Equazione iperbole:
8. Impostiamo il sistema:
Equazione iperbole:
x2 y2
− =−1 .
2 9
{
c 2=a 2b 2=68
⇒ a 216 a 2=68 ⇒ a 2=4 ⇒ a=2 ⇒ b=8 .
b / a=4 ⇒ b=4 a
x2 y2
− =1 .
4 64
9. Sappiamo che i fuochi sono sull'asse x e che: a=3 , e=c / a=4/3 ⇒ c=4 ⇒
2
2
b=  c −a =  16−9=  7 . Equazione iperbole:
2
2
x
y
− =1 .
9 7
10.Data l'equazione xy=k , imponiamo il passaggio per V: xy=−16 .
11.Funzione omografica di centro C ≡−d /c , a /c≡2 ,−1 , che interseca gli assi cartesiani in
A5/ 2 , 0 , B0 ,−5/ 4 (vedi grafico sul retro).
y2
12.Scriviamo l'equazione nella forma x − =1 con la condizione y≥0 .
4
2
Quindi, data iperbole di centro l'origine e semiassi a=1 , b=2 dobbiamo considerarne l'arco
situato nel semipiano delle ordinate positive.
13.
a. origine degli assi (somma di quadrati);
b. nessun punto reale (somma di quadrati);
c. due rette parallele all'asse y: x=±1 ;
d. due rette coincidenti:  x y2=0 ; bisettrice del 2° e del 4° quadrante;
e. origine degli assi (falso quadrato);
f. due rette:  x y x− y=0 ; bisettrici dei quadranti;
g. due rette parallele all'asse y: x=1 ∨ x=2 ;
h. un punto: −1 ,−1 ;
i. due punti: ±1 , 0 .
n. 11
n. 12