TD 17 : VARIABLES ALÉATOIRES

´
TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES
PT
2014-15
Exercice 17.1
n2 + 1
Soit X une variable al´eatoire `
a valeurs dans N telle que pour tout n ∈ N, on ait : P (X = n) = a
, o`
u a est
n!
un r´eel fix´e.
D´eterminer le r´eel a puis montrer que X admet une esp´erance et une variance finies, que l’on d´eterminera.
Exercice 17.2
On consid`ere un jeu de 32 cartes. On tire ind´efiniment une carte du jeu en la remettant apr`es chaque tirage.
1. On note X la variable al´eatoire ´egale au rang d’apparition du premier as. D´eterminer la loi de X, son
esp´erance et sa variance.
2. Soit Y la variable al´eatoire ´egale au nombre de cartes autres qu’un as qu’il a fallu tirer avant d’obtenir le
premier as. D´eterminer la loi de Y , son esp´erance et sa variance.
Exercice 17.3
On lance un d´e n fois de suite et on note X le plus grand num´ero obtenu. D´eterminer la loi et l’esp´erance de X.
Exercice 17.4
1. On suppose que la variable al´eatoireX suit la loi g´eom´etrique de param`etre p ∈]0, 1[. Montrer que ∀l, k ∈
N∗ , P (X > k + l | X > k) = P (X > l).
On dit que la loi g´eom´etrique est une loi sans m´emoire.
2. Soit X une variable al´eatoireprenant toutes les valeurs de N∗ . On suppose que P (X = 1) ∈]0, 1[ et que
∀l, k ∈ N∗ , P (X > k + l | X > k) = P (X > l). Montrer que X suit une loi g´eom´etrique.
Exercice 17.5
On lance deux fois de suite un d´e ´equilibr´e. On note X la variable al´eatoire ´egale au premier num´ero obtenu et
Y celle ´egale au deuxi`eme num´ero obtenu. On note U la variable al´eatoire ´egale au minimum des deux num´eros
obtenus.
1. D´eterminer la loi du couple (X, Y ), puis celles de X et de Y . X et Y sont-elles ind´ependantes ?
2. D´eterminer la loi du couple (X, U ), puis celle de U . X et U sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 17.6
Soit p ∈]0, 1[, soit λ ∈ R∗+ . Le nombre N de visiteurs d’un mus´ee suit une loi de Poisson de param`etre λ. Les
visiteurs choisissent ind´ependamment les uns des autres de voir la peinture (avec une probabilit´e p) ou la sculpture
(probabilit´e q = 1−p). Soit X (respectivement Y ) le nombre de visiteurs choisissant la peitnure (resp. la sculpture).
1. Donner la loi de X conditionn´ee `
a N = n.
2. En d´eduire la loi de X et celle de Y .
3. Donner la loi de N conditionn´ee `
a X = k.
Exercice 17.7
Une urne contient une boule blanche, une verte et une noire. On effectue une suite de tirages ind´ependants avec
remise. X est la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules tir´ees quand apparaˆıt pour la premi`ere fois une
deuxi`eme couleur. Y est la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules tir´ees quand apparaˆıt pour la premi`ere
fois une troisi`eme couleur.
Par exemple, pour la suite de tirage BBNBNV, on a X = 3 et Y = 6.
1. D´eterminer la loi de X.
2. Soient (k, m) ∈ N tel que m ≥ 3 et 2 ≤ k ≤ m − 1. D´eterminer la probabilit´e de (Y = m) conditionn´ee `
a
(X = k).
Magali Hillairet
1
Lyc´ee Franklin, Orl´eans
´
TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES
PT
2014-15
3. En d´eduire la loi de Y et l’esp´erance de Y .
Exercice 17.8
X et Y sont deux variables al´eatoires r´elles discr`etes ind´ependantes. On suppose que X et Y suivent une loi
binomiale B(n, p) et B(m, p) respectivement. On pose Z = X + Y . D´eterminer la loi de Z.
Exercice 17.9
X et Y sont deux variables al´eatoires r´elles discr`etes ind´ependantes. On suppose que X et Y suivent une loi de
Poisson de param`etre λ et λ0 respectivement. On pose Z = X + Y . D´eterminer la loi de Z.
Exercice 17.10
2
Soit X une variable al´eatoire `
a valeurs dans N de fonction g´en´eratrice GX d´efinie par ∀u ∈ R, GX = ae1+u .
D´eterminer a puis donner la loi de X et calculer son esp´erance et sa variance.
Exercice 17.11
On effectue une s´erie d’´epreuves de Bernoulli, ind´ependantes, avec une probabilit´e de succ`es commune not´ee p
(p ∈]0, 1[).
On note Tn le nombre de lancers n´ecessaires pour obtenir le n−i`eme succ`es.
1. Identifier la loi de T1 .
2. Donner la loi de T2 puis celle de Tn pour n quelconque.
3. Pour n ∈ N∗ , et i ∈ Tn (Ω), d´eterminer la loi de Tn+1 − Tn conditionn´ee `a (Tn = i). En d´eduire la loi de
Tn+1 − Tn .
4. En utilisant la relation Tn − T1 =
n
X
Tk − Tk−1 , d´eterminer E(Tn ).
k=2
5. Pour n ∈ N∗ , d´emontrer que Tn+1 − Tn et Tn sont ind´ependantes. En d´eduire V (Tn ).
6. En tirant partie de l’ind´ependance de Tn+1 − Tn et Tn , calculer la fonction g´en´eratrice de Tn . En d´eduire la
+∞ X
1
k
=
xk−n .
formule du binˆ
ome n´egatif : ∀n ∈ N, ∀x ∈] − 1, 1[,
n
(1 − x)n+1
k=n
Indication : poser x = qt dans la formule obtenue pour n + 1.
Exercice 17.12
On pioche simultan´ement 3 jetons d’une urne contenant quatre jetons num´erot´es de 1 `a 4. On note U le plus petit
num´ero et V le plus grand. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire de U et V .
Exercice 17.13
X/Y
0
1
2
0
1/9 2/9 0
.
Soit (X, Y ) un couple de variables al´eatoires dont la loi conjointe est donn´ee dans le tableau
1
0 1/9 2/9
2
2/9 0 1/9
Montrer que Cov(X, Y ) = 0, mais que X et Y ne sont pas ind´ependantes. D´eterminer les s´eries g´en´eratrices GX , GY
et GX+Y . V´erifier que l’on a GX+Y = GX GY .
Magali Hillairet
2
Lyc´ee Franklin, Orl´eans
´
TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES
PT
2014-15
Exercice 17.14
Une urne contient une boule rouge et deux boules blanches. On effectue dans cette urne une succession de tirages
d’une boule selon le protocole suivant :
• si la boule tir´ee est rouge , elle est remise dans l’urne,
• si la boule tir´ee est blanche, elle n’est pas remise dans l’urne.
Pour tout entier i sup´erieur ou ´egal `
a 1, on note Bi (respectivement Ri ) l’´ev´enement ”on obtient une boule blanche
(respectivement rouge) lors du i−`eme tirage”.
Pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `
a 1, on note Xn le nombre de boules blanches contenues dans l’urne `a l’issue
du n−i`eme tirage et on pose X0 = 2.
On note enfin T1 le num´ero du tirage o`
u l’on extrait la premi`ere fois une boule blanche et T2 le num´ero du tirage
o`
u l’on extrait la derni`ere boule blanche.
On admet qu’il existe un espace probabilis´e (Ω, P(Ω), P ) permettant de mod´eliser cette exp´erience et que Xn , T1 et
T2 sont des variables al´eatoires d´efinies sur cet espace ( P(Ω) est l’ensemble des parties de Ω, c’est-`a-dire l’ensemble
des ´ev´enements).




1 1/2 0
P (Xn = 0)
On consid`ere la matrice M d´efinie par M =  0 1/2 2/3 , et la matrice-colonne : Un =  P (Xn = 1) .
0 0 1/3
P (Xn = 2)
1.
a. D´eterminer pour tout entier naturel n, l’ensemble des valeurs prises par la variable al´eatoire Xn (on
distinguera les trois cas : n = 0, n = 1 et n ≥ 2).
b. En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, on
a l’´egalit´e suivante : Un+1 = M Un .
c. Montrer que M est diagonalisable et la diagonaliser.
d. En d´eduire une expression de Un en fonction de n pour tout n ∈ N.
e. Donner la loi de probabilit´e de Xn .
2. Calculer E(Xn ), esp´erance de Xn , ainsi que sa limite lorsque n tend vers +∞.
3. Reconnaˆıtre la loi de T1 .
´
4. Ecrire
les ´ev´enements (T2 = 2) et (T2 = 3) `a l’aide de certains des ´ev´enements Bi et en d´eduire les valeurs
des probabilit´es P (T2 = 2) et P (T2 = 3).
5.
a. Pour tout entier sup´erieur ou ´egal `
a 2, ´ecrire l’´ev´enement (T2 = n) en fonction des ´ev´enements (Xn−1 = 1)
et (Xn = 0).
1
1
b. En d´eduire que, pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, on a P (T2 = n) = 2 n−1 − n−1 .
2
3
Magali Hillairet
3
Lyc´ee Franklin, Orl´eans
´
TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES
PT
2014-15
Exercice 17.15 Soient n et p deux entiers naturels. On rappelle que :
n!
n
n
si p ≤ n et, par convention
= 0 si p > n ,
=
p
p
p!(n − p)!
n+1
n
n
et que
=
+
.
p+1
p
p+1
1. Soient n et p deux entiers naturels tels que p ≤ n.
a. On veut montrer par r´ecurence la propri´et´e suivante, d´ependant de l’entier naturel n :
X
n n+1
k
∀p ∈ [[0, n]],
=
.
p+1
p
k=p
V´erifier l’´egalit´e pour les couples (n, p) ´egaux `a (0, 0), (1, 0) et (1, 1). Soit un entier naturel n tel que
X
n+1
n X k n+1
k
n+2
∀p ∈ [[0, n]],
=
. Montrer qu’alors on a ∀p ∈ [[0, n]],
=
.
p+1
p
p+1
p
k=p
k=p
Conclure.
b. En choisissant judicieusement des valeurs particuli`eres pour p dans la relation trouv´ee en 1.1.b., donner
pour tout entier n non nul, une expression des sommes suivantes :
S1 =
n
X
k=1
k
S2 =
n
X
k(k − 1)
S3 =
n
X
k(k − 1)(k − 2) .
k=1
k=1
Dans la suite du probl`eme, n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2.
On consid`ere une urne contenant n jetons num´erot´es de 1 `a n. On tire simultan´ement deux jetons au hasard.
On note X la variable al´eatoire ´egale au plus petit des deux num´eros tir´es et Y la variable al´eatoire ´egale au
plus grand des deux num´eros tir´es.
j
2
.
2. Soit j ∈ [[2, n]]. Montrer que P (Y ≤ j) = n
2
En d´eduire P (Y = j). V´erifier que la formule donnant P (Y = j) est encore valable pour j = 1.
3. Soit i ∈ [[1, n − 1]], d´eterminer P (X ≥ i) et P (X = i). V´erifier que la formule donnant P (X = i) est encore
valable pour i = n.
4. D´eterminer la loi du couple (X, Y ) et retrouver les r´esultats de 1.2 et 1.3. Les variables X et Y sont-elles
ind´ependantes ?
5.
a. Comparer les lois des variables al´eatoires n + 1 − X et Y . En d´eduire que E(n + 1 − X) = E(Y ) et
V (n + 1 − X) = V (Y ).
b. Exprimer E(X) en fonction de E(Y ) et V (X) en fonction de V (Y ). Puis exprimer E(X) et E(Y ) en
fonction de n.
6. D´eterminer E(Y (Y − 2)), puis exprimer E(Y 2 ), V (X) et V (Y ) en fonction de n.
7. Calculer E(X(Y − 2)) et montrer que E(XY ) =
(n + 1)(3n + 2)
12
8. En d´eduire la covariance de X et Y . Pour quelles valeurs de l’entier n le coefficient de corr´elation lin´eaire de
X et Y est-il d´efini ? D´eterminer la valeur du coefficient de corr´elation lin´eaire de X et Y dans ce cas. Que
remarque-t-on ?
Magali Hillairet
4
Lyc´ee Franklin, Orl´eans