´ TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES PT 2014-15 Exercice 17.1 n2 + 1 Soit X une variable al´eatoire ` a valeurs dans N telle que pour tout n ∈ N, on ait : P (X = n) = a , o` u a est n! un r´eel fix´e. D´eterminer le r´eel a puis montrer que X admet une esp´erance et une variance finies, que l’on d´eterminera. Exercice 17.2 On consid`ere un jeu de 32 cartes. On tire ind´efiniment une carte du jeu en la remettant apr`es chaque tirage. 1. On note X la variable al´eatoire ´egale au rang d’apparition du premier as. D´eterminer la loi de X, son esp´erance et sa variance. 2. Soit Y la variable al´eatoire ´egale au nombre de cartes autres qu’un as qu’il a fallu tirer avant d’obtenir le premier as. D´eterminer la loi de Y , son esp´erance et sa variance. Exercice 17.3 On lance un d´e n fois de suite et on note X le plus grand num´ero obtenu. D´eterminer la loi et l’esp´erance de X. Exercice 17.4 1. On suppose que la variable al´eatoireX suit la loi g´eom´etrique de param`etre p ∈]0, 1[. Montrer que ∀l, k ∈ N∗ , P (X > k + l | X > k) = P (X > l). On dit que la loi g´eom´etrique est une loi sans m´emoire. 2. Soit X une variable al´eatoireprenant toutes les valeurs de N∗ . On suppose que P (X = 1) ∈]0, 1[ et que ∀l, k ∈ N∗ , P (X > k + l | X > k) = P (X > l). Montrer que X suit une loi g´eom´etrique. Exercice 17.5 On lance deux fois de suite un d´e ´equilibr´e. On note X la variable al´eatoire ´egale au premier num´ero obtenu et Y celle ´egale au deuxi`eme num´ero obtenu. On note U la variable al´eatoire ´egale au minimum des deux num´eros obtenus. 1. D´eterminer la loi du couple (X, Y ), puis celles de X et de Y . X et Y sont-elles ind´ependantes ? 2. D´eterminer la loi du couple (X, U ), puis celle de U . X et U sont-elles ind´ependantes ? Exercice 17.6 Soit p ∈]0, 1[, soit λ ∈ R∗+ . Le nombre N de visiteurs d’un mus´ee suit une loi de Poisson de param`etre λ. Les visiteurs choisissent ind´ependamment les uns des autres de voir la peinture (avec une probabilit´e p) ou la sculpture (probabilit´e q = 1−p). Soit X (respectivement Y ) le nombre de visiteurs choisissant la peitnure (resp. la sculpture). 1. Donner la loi de X conditionn´ee ` a N = n. 2. En d´eduire la loi de X et celle de Y . 3. Donner la loi de N conditionn´ee ` a X = k. Exercice 17.7 Une urne contient une boule blanche, une verte et une noire. On effectue une suite de tirages ind´ependants avec remise. X est la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules tir´ees quand apparaˆıt pour la premi`ere fois une deuxi`eme couleur. Y est la variable al´eatoire ´egale au nombre de boules tir´ees quand apparaˆıt pour la premi`ere fois une troisi`eme couleur. Par exemple, pour la suite de tirage BBNBNV, on a X = 3 et Y = 6. 1. D´eterminer la loi de X. 2. Soient (k, m) ∈ N tel que m ≥ 3 et 2 ≤ k ≤ m − 1. D´eterminer la probabilit´e de (Y = m) conditionn´ee ` a (X = k). Magali Hillairet 1 Lyc´ee Franklin, Orl´eans ´ TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES PT 2014-15 3. En d´eduire la loi de Y et l’esp´erance de Y . Exercice 17.8 X et Y sont deux variables al´eatoires r´elles discr`etes ind´ependantes. On suppose que X et Y suivent une loi binomiale B(n, p) et B(m, p) respectivement. On pose Z = X + Y . D´eterminer la loi de Z. Exercice 17.9 X et Y sont deux variables al´eatoires r´elles discr`etes ind´ependantes. On suppose que X et Y suivent une loi de Poisson de param`etre λ et λ0 respectivement. On pose Z = X + Y . D´eterminer la loi de Z. Exercice 17.10 2 Soit X une variable al´eatoire ` a valeurs dans N de fonction g´en´eratrice GX d´efinie par ∀u ∈ R, GX = ae1+u . D´eterminer a puis donner la loi de X et calculer son esp´erance et sa variance. Exercice 17.11 On effectue une s´erie d’´epreuves de Bernoulli, ind´ependantes, avec une probabilit´e de succ`es commune not´ee p (p ∈]0, 1[). On note Tn le nombre de lancers n´ecessaires pour obtenir le n−i`eme succ`es. 1. Identifier la loi de T1 . 2. Donner la loi de T2 puis celle de Tn pour n quelconque. 3. Pour n ∈ N∗ , et i ∈ Tn (Ω), d´eterminer la loi de Tn+1 − Tn conditionn´ee `a (Tn = i). En d´eduire la loi de Tn+1 − Tn . 4. En utilisant la relation Tn − T1 = n X Tk − Tk−1 , d´eterminer E(Tn ). k=2 5. Pour n ∈ N∗ , d´emontrer que Tn+1 − Tn et Tn sont ind´ependantes. En d´eduire V (Tn ). 6. En tirant partie de l’ind´ependance de Tn+1 − Tn et Tn , calculer la fonction g´en´eratrice de Tn . En d´eduire la +∞ X 1 k = xk−n . formule du binˆ ome n´egatif : ∀n ∈ N, ∀x ∈] − 1, 1[, n (1 − x)n+1 k=n Indication : poser x = qt dans la formule obtenue pour n + 1. Exercice 17.12 On pioche simultan´ement 3 jetons d’une urne contenant quatre jetons num´erot´es de 1 `a 4. On note U le plus petit num´ero et V le plus grand. Calculer le coefficient de corr´elation lin´eaire de U et V . Exercice 17.13 X/Y 0 1 2 0 1/9 2/9 0 . Soit (X, Y ) un couple de variables al´eatoires dont la loi conjointe est donn´ee dans le tableau 1 0 1/9 2/9 2 2/9 0 1/9 Montrer que Cov(X, Y ) = 0, mais que X et Y ne sont pas ind´ependantes. D´eterminer les s´eries g´en´eratrices GX , GY et GX+Y . V´erifier que l’on a GX+Y = GX GY . Magali Hillairet 2 Lyc´ee Franklin, Orl´eans ´ TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES PT 2014-15 Exercice 17.14 Une urne contient une boule rouge et deux boules blanches. On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule selon le protocole suivant : • si la boule tir´ee est rouge , elle est remise dans l’urne, • si la boule tir´ee est blanche, elle n’est pas remise dans l’urne. Pour tout entier i sup´erieur ou ´egal ` a 1, on note Bi (respectivement Ri ) l’´ev´enement ”on obtient une boule blanche (respectivement rouge) lors du i−`eme tirage”. Pour tout entier n sup´erieur ou ´egal ` a 1, on note Xn le nombre de boules blanches contenues dans l’urne `a l’issue du n−i`eme tirage et on pose X0 = 2. On note enfin T1 le num´ero du tirage o` u l’on extrait la premi`ere fois une boule blanche et T2 le num´ero du tirage o` u l’on extrait la derni`ere boule blanche. On admet qu’il existe un espace probabilis´e (Ω, P(Ω), P ) permettant de mod´eliser cette exp´erience et que Xn , T1 et T2 sont des variables al´eatoires d´efinies sur cet espace ( P(Ω) est l’ensemble des parties de Ω, c’est-`a-dire l’ensemble des ´ev´enements).     1 1/2 0 P (Xn = 0) On consid`ere la matrice M d´efinie par M =  0 1/2 2/3 , et la matrice-colonne : Un =  P (Xn = 1) . 0 0 1/3 P (Xn = 2) 1. a. D´eterminer pour tout entier naturel n, l’ensemble des valeurs prises par la variable al´eatoire Xn (on distinguera les trois cas : n = 0, n = 1 et n ≥ 2). b. En utilisant la formule des probabilit´es totales, montrer que pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, on a l’´egalit´e suivante : Un+1 = M Un . c. Montrer que M est diagonalisable et la diagonaliser. d. En d´eduire une expression de Un en fonction de n pour tout n ∈ N. e. Donner la loi de probabilit´e de Xn . 2. Calculer E(Xn ), esp´erance de Xn , ainsi que sa limite lorsque n tend vers +∞. 3. Reconnaˆıtre la loi de T1 . ´ 4. Ecrire les ´ev´enements (T2 = 2) et (T2 = 3) `a l’aide de certains des ´ev´enements Bi et en d´eduire les valeurs des probabilit´es P (T2 = 2) et P (T2 = 3). 5. a. Pour tout entier sup´erieur ou ´egal ` a 2, ´ecrire l’´ev´enement (T2 = n) en fonction des ´ev´enements (Xn−1 = 1) et (Xn = 0). 1 1 b. En d´eduire que, pour tout entier n sup´erieur ou ´egal `a 2, on a P (T2 = n) = 2 n−1 − n−1 . 2 3 Magali Hillairet 3 Lyc´ee Franklin, Orl´eans ´ TD 17 : VARIABLES ALEATOIRES PT 2014-15 Exercice 17.15 Soient n et p deux entiers naturels. On rappelle que : n! n n si p ≤ n et, par convention = 0 si p > n , = p p p!(n − p)! n+1 n n et que = + . p+1 p p+1 1. Soient n et p deux entiers naturels tels que p ≤ n. a. On veut montrer par r´ecurence la propri´et´e suivante, d´ependant de l’entier naturel n : X n n+1 k ∀p ∈ [[0, n]], = . p+1 p k=p V´erifier l’´egalit´e pour les couples (n, p) ´egaux `a (0, 0), (1, 0) et (1, 1). Soit un entier naturel n tel que X n+1 n X k n+1 k n+2 ∀p ∈ [[0, n]], = . Montrer qu’alors on a ∀p ∈ [[0, n]], = . p+1 p p+1 p k=p k=p Conclure. b. En choisissant judicieusement des valeurs particuli`eres pour p dans la relation trouv´ee en 1.1.b., donner pour tout entier n non nul, une expression des sommes suivantes : S1 = n X k=1 k S2 = n X k(k − 1) S3 = n X k(k − 1)(k − 2) . k=1 k=1 Dans la suite du probl`eme, n d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 2. On consid`ere une urne contenant n jetons num´erot´es de 1 `a n. On tire simultan´ement deux jetons au hasard. On note X la variable al´eatoire ´egale au plus petit des deux num´eros tir´es et Y la variable al´eatoire ´egale au plus grand des deux num´eros tir´es. j 2 . 2. Soit j ∈ [[2, n]]. Montrer que P (Y ≤ j) = n 2 En d´eduire P (Y = j). V´erifier que la formule donnant P (Y = j) est encore valable pour j = 1. 3. Soit i ∈ [[1, n − 1]], d´eterminer P (X ≥ i) et P (X = i). V´erifier que la formule donnant P (X = i) est encore valable pour i = n. 4. D´eterminer la loi du couple (X, Y ) et retrouver les r´esultats de 1.2 et 1.3. Les variables X et Y sont-elles ind´ependantes ? 5. a. Comparer les lois des variables al´eatoires n + 1 − X et Y . En d´eduire que E(n + 1 − X) = E(Y ) et V (n + 1 − X) = V (Y ). b. Exprimer E(X) en fonction de E(Y ) et V (X) en fonction de V (Y ). Puis exprimer E(X) et E(Y ) en fonction de n. 6. D´eterminer E(Y (Y − 2)), puis exprimer E(Y 2 ), V (X) et V (Y ) en fonction de n. 7. Calculer E(X(Y − 2)) et montrer que E(XY ) = (n + 1)(3n + 2) 12 8. En d´eduire la covariance de X et Y . Pour quelles valeurs de l’entier n le coefficient de corr´elation lin´eaire de X et Y est-il d´efini ? D´eterminer la valeur du coefficient de corr´elation lin´eaire de X et Y dans ce cas. Que remarque-t-on ? Magali Hillairet 4 Lyc´ee Franklin, Orl´eans