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Lorraine
Année 2014-2015
Promo 22 – 1ère Année
INP
Cycle Préparatoire
Polytechnique
Programme de Colle
Semaine 19 – du 4 au 8 Mai 2015
En début de colle, on demandera en plus de la question de cours (sur 8 points) :
 Un DL usuel en 0, (on donnera les deux formes : « éclatées » et « avec « sigma ») (sur 2 points).
Analyse
Chapitre 8 : Développements limités
1. Définitions et premières propriétés
2. Obtention des développements limités usuels en 0
2.1. La formule de Taylor-Young
2.2. Primitivation et dérivation des développements limités
3. Opérations sur les développements limités
4. Applications
4.1. Développements limités au voisinage d’un point autre que 0
4.2. Calculs de limites et recherche d’équivalents
4.3. Étude locale d’une fonction au voisinage d’un point
4.4. Étude locale d’une fonction au voisinage de l’infini
Développements limités et équivalents usuels en 0
Questions de cours :
Q1.
Énoncé et démonstration du théorème « Unicitédelapartierégulièred’undéveloppementlimité».
Théorème
Unicitédelapartierégulièred’undéveloppementlimité
Soit f : I - R une fonction, a Î I Ç R et n Î N .
Si f admet un DLn ( a ) , alors la partie régulière est unique.
Q2.
Énoncé et démonstration du théorème « Développementlimitéetparité».
Théorème
Développementlimitéetparité
Soit f : I - R une fonction, n Î N .
On suppose que 0 Î I , que I est symétrique par rapport à 0 et que f à un DLn ( 0 ) de partie régulière P.
(i) Si f est paire alors P est pair.
Dans ce cas seuls subsistent dans le DLn ( 0 ) les termes de degré pair.
(ii) Si f est impaire alors P est impair.
Dans ce cas seuls subsistent dans le DLn ( 0 ) les termes de degré impair.
Lionel BÉAL
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http://omegamaths.free.fr/
Programme de Colle
Q3.
Semaine 19 – du 4 au 8 Mai 2015
Énoncé et démonstration du théorème « FormuledeTaylor‐Young».
FormuledeTaylor‐Young
Théorème
Soit n Î N , f Î  ( I , R ) et a Î I .
n
Alors, f admet un DLn ( a ) :
f (x ) =
Q4.
(FormuledeTaylor‐Young)
Énoncé et démonstration du théorème « DLn ( 0 ) desfonctionpuissances».
Théorème
"a Î R,
Q5.
f (k ) (a )
( x - a )k + o ( x - a )n
k!
x a
k =0
n
å
DLn ( 0 ) desfonctionpuissances
( 1 + x )a = 1 + a x +
a ( a - 1) 2
a ( a - 1 )( a - n + 1 ) n
x ++
x + o xn
2!
n!
x 0
Énoncé et démonstration du théorème « Primitivationdesdéveloppementslimités».
Théorème
Primitivationdesdéveloppementslimités
Soit n Î N , f Î  ( I , R ) et a Î I .
Si f ¢ admet un DLn ( a ) : f ¢ ( x ) =
n
å ak ( x - a )k + x o a ( x - a )n
k =0
alors f admet un DLn +1 ( a ) : f ( x ) = f ( a ) +
n
å ak
k =0
( x - a )k +1
k +1
, avec a 0, a 1,  , a n Î R ,
+ o ( x - a )n +1
x a
Algèbre
Espaces vectoriels euclidiens
. produit scalaire et norme euclidien(ne) sur Rn .
. sous-espace orthogonal à un autre, formule des dimensions, supplémentaire orthogonal
. base orthonormale d'un (sous-)espace, expressions des coordonnées dans une telle base : x =
n
å ( x |ui )ui
i =1
. projection orthogonale : vue comme corollaire immédiat de la somme directe d'un sous-espace et de son
supplémentaire orthogonal, et donc décomposition unique de tout vecteur x en y + z , y dans F et z dans
l'orthogonal de F
( F ^ ) , et on note
pF ( x ) = y et pF ^ ( x ) = z .
Questions de cours :
Q1.
( F Ç G )^ = F ^ + G ^ et ( F + G )^ = F ^ Ç G ^ .
Q2.
Les théorèmes de projection :

dim ( F ^ ) = dim E - dim F .

Lorraine
INP
d ( x , pF ( x ) ) = min x - y .
Cycle Préparatoire
Polytechnique
y ÎF
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Promo 22 – 1ère Année
Lionel BÉAL - http://omegamaths.free.fr/