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Cours
1b-2
Théorème
de Thalès
Sommaire
1 Une introduction historique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Configuration de Thalès, sens direct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3 Configuration de Thalès, sens réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
La tradition attribue à Thalès de Milet l’introduction en Grèce
de la géométrie égyptienne. Par rapport à leurs prédécesseurs, les
Grecs étudient de nouvelles figures, dont des courbes, surfaces et
solides. Mais surtout, ils innovent au niveau de la méthode, en
généralisant des lois à partir des nombreuses règles empiriques
connues depuis longtemps.
Thalès de Milet n’a laissé aucun écrit, ce qui rend donc difficile la
réalisation d’une biographie incontestée de ce sage.
C’est un commerçant suffisamment riche, pour se permettre de
consacrer sa vie aux voyages et aux études. En Egypte, il aurait
mesuré les grandes pyramides grâce à leur ombre et à « son fameux théorème ».
De retour à Milet, il devient homme politique, homme d’affaires
et philosophe. Ses travaux portent sur les mathématiques, l’astrologie et la philosophie. On dit qu’il est mort de déshydratation en
regardant un concours gymnique.
Thalès de Milet (environ -623 -547)
Théorème de Thalès
CM1b-2
M1-MEEF-PE
1 Une introduction historique
Voici une histoire qui se raconte :
Thalès partit un jour pour l’Égypte. Il pénétra dans le lac Maréotis et s’embarqua
sur une felouque afin de remonter le Nil. Après quelques jours de voyage il aperçut,
dressée au milieu d’un large plateau, la pyramide de Kheops. Les dimensions du
monument âgé alors de 2 000 ans, dépassaient de loin tout ce qu’il avait imaginé.
— « Comment mesurer cette pyramide ? »
Thalès regardant son ombre eut alors cette idée :
— « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la
pyramide entretient avec la sienne. »
Il en déduisit ceci :
— « à l’instant où mon ombre sera égale à ma taille, l’ombre de la pyramide
sera égale à sa hauteur. »
Cependant, certains documents historiques montrent que cette propriété était déjà
connue bien avant par les Babyloniens et les Égyptiens : ils ont remarqué que deux
triangles ayant leurs côtés communs ou parallèles ont des longueurs de côtés proportionnelles. Ils ont considéré cette propriété évidente et donc sans nécessité d’être
démontrée.
Finalement, ce résultat porte le nom de Thalès car il a été le premier à l’avoir utilisé de façon concrète. La première démonstration écrite connue de ce théorème est
donnée dans les Éléments d’Euclide.
Le théorème de Thalès affirme que, dans un plan, une droite parallèle à l’un des
côtés d’un triangle sectionne ce dernier en un triangle semblable. En anglais, il est
connu sous le nom de Intercept theorem (théorème d’intersection) ; en allemand il
est appelé Strahlensatz, c’est-à-dire théorème des rayons.
2 Configuration de Thalès, sens direct
Propriété 1.
Soient (d) et (d′ ) sont deux droites sécantes en A, B et M deux points de la
droite (d), distincts de A, et C et N deux points de la droite (d′ ), distincts
AM
AN
de A. Si les droites (BC) et (M N ) sont parallèles, alors :
=
.
AB
AC
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Théorème de Thalès
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Remarque 2
MN
puisque dans ce cas, les triangles ABC et
Ce rapport est également égal à
BC
AM N sont semblables.
(d)
b
(d)
B
b
b
b
M
b
A
B
(d′ )
b
N
C
b
b
configuration « classique »
b
N
b
A
M
(d′ )
C
configuration « papillon »
Autrement dit, les longueurs des côtés des triangles ABC et AM N sont proportionnelles.
Exemple 3
ABC est un triangle, M ∈ [AB], N ∈ [AC], AM = 5 cm, AN = 6 cm, AB = 8 cm et
BC = 4 cm. De plus, les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
C
N
4 cm
m
6c
A
5 cm
8 cm
M
B
D’après le théorème de Thalès, avec des mesures en cm, on a :
AN
MN
5
6
MN
AM
=
=
soit
=
=
AB
AC
BC
8
AC
4
6×8
5×4
= 2, 5 et AC =
= 9, 6.
donc, M N =
8
5
Conséquence : théorème de la droite des milieux.
Propriété 4.
Dans un triangle, la droite qui joint les milieux de deux côtés est parallèle
au troisième côté et la longueur du segment qui joint milieux de deux côtés
est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
dans le triangle ABC, I milieu
de [AB] et J milieu de [AC].
Si
(IJ) // (BC)
alors
A
A
∼
I
∼
B
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IJ =
et
≡
I
J
1
× BC
2
A
J
I
J
1
2 BC
≡
C
B
C
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B
C
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Démonstration d’Euclide :
• A(DEB) = A(DEC) ;
=⇒
A(DEB)
A(DEC)
=
;
A(DEA)
A(DEA)
• les triangles DEB et DEA ont la même hauteur issue de E : h1 ;
les triangles DEC et DEA ont la même hauteur issue de D : h2 ;
CE × h2
DB × h1
2
2✁
✁
=
=⇒
DA × h1
EA × h2
2✁
2✁
=⇒
CE
DB
=
DA
EA
3 Configuration de Thalès, sens réciproque
Propriété 5.
Si les points A, M et B d’une part, et les points A, N et C d’autre part,
AN
AM
et
sont égaux,
sont alignés dans le même ordre, et si les rapports
AB
AC
alors les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
Exemple 6
Les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C d’autre part, sont alignés dans le
même ordre. De plus, AM = 5, AN = 6, AB = 7, 5 et AC = 9.
C
9
5
A
M
7,5
B
6
N
On calcule :
5
2
AM
=
=
AB
7, 5
3
d’une part, et
AN
6
2
= =
AC
9
3
d’autre part.
AN
AM
=
;
AB
AC
d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (M N ) et (BC) sont parallèles.
On constate que
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En utilisant un raisonnement par l’absurde et le théorème de Thalès, on peut montrer
que des droites ne sont pas parallèles.
Exemple 7
ABC est un triangle, M ∈ [AB], N ∈ [AC] et AM = 5 cm, AN = 6 cm, AB = 8 cm,
AC = 9 cm.
C
N
9 cm
6 cm
A
B
5 cm
8 cm
5
AM
=
d’une part, et
AB
8
AM
AN
On constate que
6=
;
AB
AC
On calcule :
M
AN
6
2
= =
AC
9
3
d’autre part.
or, si les droites (M N ) et (BC) étaient parallèles, le théorème de Thalès nous dirait que
cette égalité est vraie. Comme ce n’est pas le cas, on peut en conclure que les droites (M N )
et (BC) ne sont pas parallèles.
Conséquence : réciproque du théorème de la droite des milieux.
Propriété 8.
Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté parallèlement
à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu.
Si
dans le triangle ABC,
I milieu de [AB],
(IJ) // (BC) avec
J ∈ (AC)
J milieu de [AC]
alors
A
A
∼
I
≡
J
I
∼
≡
B
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J
C
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B
C
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