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Théorème de la base de Burnside
Soit G un p-groupe, étudions ces sous-groupes maximaux :
Lemme 1. Soit
H
un sous groupe maximal, alors
H C G,
et
G/H = Z/pZ
Démonstration :
• On fait agir H sur G/H par multiplication des classes à gauche, on a par la formule des classes : 0 ≡
Card(G/H) ≡ Card(G/H)H [mod p], ainsi p|Card(G/H)H .
gH ∈ (G/H)H ⇐⇒ ∀h ∈ H hgH = gH ⇐⇒ HgH = gH ⇐⇒ Hg = gH ⇐⇒ g ∈ NG (H)
NG (H) → (G/H)H
On peut alors considérer ψ :
bien dénie et surjective, dont le nombre d'antég
7→
gH
cédents d'un élément est CardH , donc par principe des tiroirs CardNG (H) = CardH × Card(G/H)H , et
{z
}
|
≥p
donc Card(NG (H)) > CardH donc
H ( NG (H) ⊂ G
Ainsi NG (H) = G par maximalité, ainsi H C G.
• Comme H est maximal G/H n'a pas de sous groupe propre (correspondance des sous groupes de G/H ),
donc G/H est cyclique et pour des raisons de cardinalité G/H = Z/pZ
Théorème 2. Les parties génératrices minimales de
Démonstration :
ϕ(G) =
T
G
ont le même cardinal.
H CG, notons π : G → G/ϕ(G)
H∈spec(G)
Soit H ∈ spec(G), G/H est abélien (voir lemme 1), donc D(G) ⊂ H , donc D(G) ⊂ ϕ(G), donc G/ϕ(G) est
abélien, en particulier c'est un Z-module.
Soit x ∈ G, soit H ∈ spec(G) on note σ : G → G/H = Z/pZ, alors σ(xp ) = pσ(x) = 0, ainsi xp ∈ ker σ = H ,
ainsi ∀x ∈ G, xp ∈ ϕ(G), donc π(x)p = 1, ainsi la structure de Z-module sur G/ϕ(G) est en fait un Fp -espace
vectoriel de dimension nie, dont toutes les familles génératrices minimales sont des bases, et en particulier ont
donc le même cardinal. On a démontré le théorème dans le cas particulier de G/ϕ(G), le lemme suivant conclut la preuve :
Lemme 3.
(gi )i∈I
est génératrice de
G
si et seulement si
(π(gi ))i∈I
est génératrice de
G/ϕ(G).
Démonstration : =⇒ : Évident π surjectif
⇐= : Si (gi ) pas génératrice, on crée une suite de sous groupes H0 =< (gi ) >( H1 ( ... ( Hn ( G ce processus
s'arrête nécessairement (car G est un groupe ni et a donc qu'un nombre ni de sous- groupes).
On a donc construit H ∈ spec(G) qui contient les (gi ), ainsi ϕ(G) ⊂ H ( G, et π(H) ( π(G), (par correspondance des sous groupes de G/ϕ(G)), ainsi π(H) ⊃ (π(gi ))i∈I n'est pas une famille génératrice. 1