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PHYSIQUE
DM 05
Un des plus grands jets d’eau du monde est celui du roi Fahd (Arabie Saoudite) qui culmine à
plus de 300 m, loin devant le jet d’eau de Gênéve (140 m).
On alimente un jet d’eau à partir d’un réservoir au moyen d’une pompe de débit volumique
QV = 250 L.s−1 et d’un tuyau de longueur L = 20 m et de diamètre d = 50 cm. Le tuyau comporte
un coude à 90◦ ayant un coefficient de pertes de charge singulière de Ks = 0, 3 ainsi qu’un convergent
de diamètre d′ = 3, 0 cm de coefficient de perte de charge négligeable. L’ensemble sera supposé
horizontal, à la surface de l’eau.
Les pertes de charges linéaires peuvent être estimées selon le régime d’écoulement grâce à la
formule suivante :
V2 ( L )
JL = −λ
2 d
où V est la vitesse moyenne de l’écoulement, L la longueur de la conduite, d le diamètre de la conduite
et λ le coefficient de perte de charge linéaire défini par :
– régime d’écoulement laminaire (Re < 2000) :
64
λ=
Re
– régime turbulent (2000 < Re) :
λ = 0, 32Re−0.25
(3)
d’
d
(2)
Pompe
Convergent
(1)
L
2 1 - Calculer la vitesse V d’écoulement d’eau dans la conduite et en déduire le nombre de Reynolds
Re.
2 2 - Préciser la nature de l’écoulement et determiner le coefficient de perte de charges linéaire.
Calculer les pertes de charges linéaires JL .
2 3 - Calculer les pertes de charges singulières JS .
2 4 - Déterminer la vitesse moyenne de l’eau en sortie du convergent.
2 5 - Appliquer le théorème de Bernoulli généralisé entre les points (1) et (2) et en déduire la
puissance de la pompe.
2 6 - En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (2) et (3), déterminer la hauteur du
jet d’eau.
Données :
– accélération de la pesanteur g = 9, 81 m.s−2 .
– masse volumique de l’eau : ρ = 1, 0.103 kg.m−3
– viscosité dynamique de l’eau η = 1, 0.10−3 Pa.s
M.Barthes
PHYSIQUE
♣♣♣
Solution
2 1 - En supposant le fluide parfait, le débit volumique est relié à la vitesse d’écoulement par
4Qv
QV = V × π(d/2)2 soit V =
πd2
Application numérique :
V=
4 × 250.10−3
= 1, 3 m.s−2
π(30.10−2 )2
On en déduit que le nombre de Reynolds vaut
dV
= 6, 4.105
ν
Re =
2 2 - Le régime est turbulent, le coefficient de perte de charge linéaire vaut donc :
λ = 0, 32Re−0.25 = 1, 1.10−2
.
Les pertes de charges valent
JL = −λ
V2 L
= 0, 42 J.kg−1
2 d
2 3 - Les pertes de charges singulières valent
JS = −KS
V2
= 0, 24 J.kg−1
2
2 4 - L’eau étant considérée comme incompressible, la vitesse au point (2) peut être calculée grâce
à la relation de continuité :
v2 × πd′2 /4 = v1 × πd2 /4
soit
v2 = v1
d2
= 12.4 m.s−1
d′2
2 5 - Appliquons le théorème de Bernoulli généralisé entre les points 1 et 2 :
1 2
P2 1 2
P1
Pu
v2 + gz2 +
− v1 − gz1 −
=
+ J L + JS
2
ρ
2
ρ
Dm
Les pressions au point (1) et (2) au contact de l’air atmosphérique sont identiques. En négligeant la
différence de hauteur d’eau entre les points (1) et (2), on obtient :
)
(
d’où
Pu = Dm − JL − JS + v22 /2 = 19 kW
2 6 - En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (2) et (3), on obtient :
P2
P0
1 2
1
v2 + gz2 +
= v32 + gz3 +
2
ρ
2
ρ
soit
M.Barthes
P0
P0
1 2
v2 + 0 +
= 0 + gh +
2
ρ
ρ
PHYSIQUE
d’où
h=
v22
=
2g
♣♣♣
M.Barthes