Lutz Heindorf 6 Sommersemester 2015 Aufgaben zur Analysis II (Lehramt) Abgabe bis Freitag 29. Mai 14:00 Uhr Aufgabe 6.1 (4 Punkte) In einem metrischen Raum (X, d) m¨ oge die Punktfolge (xn ) (im Sinne von Definition 2.3.2) sowohl gegen den Punkt a als auch gegen den Punkt b konvergieren. Beweisen Sie, daß dann a = b sein muß. Aufgabe 6.2 Eine exotische Metrik auf R. (0 + 2 + 1,5 + 0,5 Punkte) F¨ ur x, y ∈ R definieren wir d(x, y) := |arctan x − arctan y| ¨ (a) Uberlegen Sie sich (keine Abgabe), daß es sich um eine Metrik handelt, bei der zwei beliebige Punkte h¨ ochstens den Abstand π voneinander haben. (b) Zeigen Sie: eine Zahlenfolge (xn ) konvergiert genau dann im metrischen Raum (R, d) gegen die Zahl y, wenn die Folge (arctan xn ) im gew¨ohnlichen Sinn gegen arctan y konvergiert. Und das ist genau dann der Fall, wenn (xn ) im gew¨ohnlichen Sinne gegen y konvergiert. Benutzen Sie dazu die Stetigkeit der Tangens und Arcustangenfunktion. (c) Zeigen Sie, daß die Folge der nat¨ urlichen Zahlen in (R, d) eine Cauchy-Folge ist. (d) Schließen Sie, daß der Raum (R, d) nicht vollst¨andig ist. Aufgabe 6.3 (4 Punkte) f, g : [a, b] → R seien stetig. Beweisen Sie, daß {(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b] und f (x) ≤ y ≤ g(x)} eine abgeschlossen Teilmenge von R2 (mit der euklidischen Metrik) ist. Aufgabe 6.4 (1+3 Punkte) Betrachtet wird die f¨ ur x, y > 0 definierte Funktion f (x, y) = x2 y 2 . x2 y 2 + (x − y)2 Bei festem x > 0 kann man dann limy→0 f (x, y) betrachten. Dadurch entsteht eine einstellige Funktion von x. Analog ist limx→0 f (x, y) eine Funktion von y. Deren Grenzwerte f¨ ur x → 0 bzw. y → 0 nennt man iterierte Grenzwerte. Zeigen Sie, daß lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0, x→0 y→0 obwohl lim(x,y)→(0,0 f (x, y) nicht existiert. y→0 x→0
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