Lutz Heindorf
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Sommersemester 2015
Aufgaben zur Analysis II (Lehramt)
Abgabe bis Freitag 29. Mai 14:00 Uhr
Aufgabe 6.1 (4 Punkte)
In einem metrischen Raum (X, d) m¨
oge die Punktfolge (xn ) (im Sinne von Definition 2.3.2) sowohl
gegen den Punkt a als auch gegen den Punkt b konvergieren. Beweisen Sie, daß dann a = b sein
muß.
Aufgabe 6.2 Eine exotische Metrik auf R. (0 + 2 + 1,5 + 0,5 Punkte)
F¨
ur x, y ∈ R definieren wir d(x, y) := |arctan x − arctan y|
¨
(a) Uberlegen
Sie sich (keine Abgabe), daß es sich um eine Metrik handelt, bei der zwei beliebige
Punkte h¨
ochstens den Abstand π voneinander haben.
(b) Zeigen Sie: eine Zahlenfolge (xn ) konvergiert genau dann im metrischen Raum (R, d) gegen
die Zahl y, wenn die Folge (arctan xn ) im gew¨ohnlichen Sinn gegen arctan y konvergiert.
Und das ist genau dann der Fall, wenn (xn ) im gew¨ohnlichen Sinne gegen y konvergiert.
Benutzen Sie dazu die Stetigkeit der Tangens und Arcustangenfunktion.
(c) Zeigen Sie, daß die Folge der nat¨
urlichen Zahlen in (R, d) eine Cauchy-Folge ist.
(d) Schließen Sie, daß der Raum (R, d) nicht vollst¨andig ist.
Aufgabe 6.3 (4 Punkte)
f, g : [a, b] → R seien stetig. Beweisen Sie, daß
{(x, y) ∈ R2 : x ∈ [a, b] und f (x) ≤ y ≤ g(x)}
eine abgeschlossen Teilmenge von R2 (mit der euklidischen Metrik) ist.
Aufgabe 6.4 (1+3 Punkte) Betrachtet wird die f¨
ur x, y > 0 definierte Funktion
f (x, y) =
x2 y 2
.
x2 y 2 + (x − y)2
Bei festem x > 0 kann man dann limy→0 f (x, y) betrachten. Dadurch entsteht eine einstellige
Funktion von x. Analog ist limx→0 f (x, y) eine Funktion von y. Deren Grenzwerte f¨
ur x → 0 bzw.
y → 0 nennt man iterierte Grenzwerte. Zeigen Sie, daß
lim lim f (x, y) = lim lim f (x, y) = 0,
x→0
y→0
obwohl lim(x,y)→(0,0 f (x, y) nicht existiert.
y→0
x→0