Orthogonale Fehlermethoden
Übung zur Vorlesung im Sommersemester 2015
Dipl.-Math. Christoph Gersbacher
Dipl.-Math. Andrea Korsch
Abteilung für Angewandte Mathematik
29. April 2015
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 (Satz von Kahan)
Sei A ∈ Rn×n mit aii 6= 0, i = 1, . . . , n. Sei weiter Gω ∈ Rn×n die Iterationsmatrix des zugehörgien
SOR-Verfahrens mit Relaxationsparameter ω. Zeigen Sie, dass
ρ(Gω ) ≥ |ω − 1|
für alle ω ∈ R.
Aufgabe 2 (Richardson-Verfahren)
Betrachten Sie das sogenannte Richardson-Verfahren
xk+1 = (I − ωA)xk + ωb,
k = 0, 1, . . . ,
mit ω ∈ R und x0 ∈ Rn beliebig. Dies entspricht einem Splitting-Verfahren bei Wahl der Iterationsmatrix
Gω = I − ωA.
Sei A symmetrisch, positiv definit mit λmin und λmax als kleinstem bzw. größtem Eigenwert. Zeigen Sie:
i) Es ist ρ(Gω ) = max{|1 − ωλmax |, |1 − ωλmin |} für alle ω ∈ R.
ii) Das Richardson-Verfahren konvergiert genau dann, wenn ω ∈ (0, 2/λmax ) ist.
iii) Der Wert ω∗ =
iv) Es ist ρ(Gω∗ ) =
2
λmax +λmin
minimiert den Spektralradius ρ(Gω ) für ω ∈ R.
λmax −λmin
λmax +λmin .
Aufgabe 3
Sei A ∈ Rn×n , so dass das Gesamt- bzw. das Einzelschrittverfahren für alle rechten Seiten b ∈ Rn und alle
Startwerte x0 ∈ Rn konvergiert. Sei D ∈ Rn×n eine invertierbare Diagonalmatrix – bleibt die Konvergenz
der Verfahren erhalten, wenn A durch AD bzw. DA ersetzt wird?
Aufgabe 4 (Reguläres Splitting)
Sei A ∈ Rn×n und M, N ∈ Rn×n , M regulär, mit A = M − N. Zeigen Sie: Es gilt ρ(M −1 N ) < 1 genau
dann, wenn A regulär und A−1 nichtnegativ ist. Dabei heißt eine Matrix A nichtnegativ, kurz A ≥ 0, wenn
alle Matrixelemente nichtnegativ sind.
Alle Übungsaufgaben finden Sie auf der Homepage zur Vorlesung:
http://portal.uni-freiburg.de/aam/abtlg/wissmit/agkr/gersbacher/lehre/SS15/ofm/FrontPage