Institut für Angewandte Mathematik
Universität Heidelberg
Prof. Ekaterina Kostina
22.05.2015
Übungen Nr. 6 zur Numerik 0
Sommersemester 2015
Aufgabe 6.1 (3 Punkte): Die QR-Zerlegung kann zum Berechnen des Ausgleichsproblems
minx kAx − bk2 für überbestimmte Gleichungssysteme verwendet werden. Mit der Notation
der Vorlesung:
A = Q R,
mit A ∈ Rm×n , Q ∈ Rm×m , R ∈ Rm×n ,
sowie
 
 
˜
R
c
QT b =   , c ∈ Rn ,
d
˜ ∈ Rn×n ,
R =  , R
0
beweise für den Fall rang(A) = n die Relation
x löst min
kAx − bk2
x
˜ = c.
Rx
⇔
Aufgabe 6.2 (4 Punkte): Man bestimme eine beste Approximation nach der Methode
der kleinsten Fehlerquadrate des überbestimmten linearen Gleichungssystems:



2 −1


0


2

1
 

 

−3
y

2
x

1
=
6





 9 

.


−5


11
Man berechne die Lösung mit Hilfe der QR-Zerlegung ohne Aufstellen des Normalgleichungssystems (vgl. Aufgabe 6.1).
Aufgabe 6.3 (5 Punkte): Für zweimal stetig differenzierbare Funktionen F konvergiert
das Newton-Verfahren lokal quadratisch gegen eine einfache Nullstelle z . Man zeige, dass
es für (nur) stetig differenzierbare Funktionen immer noch “super-linear” konvergiert:
kxt+1 − zk
→ 0 (t → ∞),
kxt − zk
d.h.: Es ist asymptotisch schneller als die einfache Fixpunktiteration. Bei der Argumentation
darf die Existenz einer einfachen Nullstelle z von F angenommen werden.
1
Aufgabe 6.4 (Praktische Aufgabe): Man implementiere das mehrdimensionale NewtonVerfahren für den allgemeinen Fall einer Funktion F : Rn → Rn mit bekannter Ableitung
F 0 : Rn → Rn×n nach der Defekt-Korrektur-Schreibweise:
dk = −F (xk )
F (xk )uk = dk
xk+1 = xk + λk uk
0
(Defekt)
(Korrektur)
(Update)
mit einem sog. Dämpfungsparameter λk ∈ (0, 1]. (Für λk = 1 erhält man das klassische
Newtonverfahren.)
Man teste die Implementierung an folgender Funktion:
F : Rn+1 → Rn+1 ,


Ax − κ x
F (x, κ) = 
kxk2 − 1
,
mit der Zerlegung x ∈ Rn , κ ∈ R. Für A verwende man die die symmetrische, positiv,
definite Matrix aus Aufgabe 4.4. Was wird berechnet?
Dokumentieren Sie das Konvergenzverhalten in Grafiken und Tabellen. Was für Aussagen
können Sie über das Konvergenzverhalten und den Aufwand für unterschiedliche Wahlen
der Startwerte und des Parameters λ machen?
Abgabe: am 29.05. in der Vorlesung; die praktischen Aufgaben bis zum 05.06. in den
praktischen Übungen
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