¨
Ubungen zu Physik II, SoSe 2015
Prof. Dr. U. Thiele , Prof. Dr. S. Demokritov
¨
Ubungen
im WWW: http://pauli.uni-muenster.de/tp/menu/studium/aktuelles-semester/physikii-ss-2015.html
¨
Ubungsblatt
5: (16 P.)
Abgabe: 18.05.15 bzw. 19.05.15
¨
Aufgabe 1: Anderung
der Entropie bei einem reversiblen Prozess
¨
a) [1 P.] Bestimmen Sie die Anderung
der Entropie von 1 mol eines idealen Gases, die durch einen reversiblen
Prozess verursacht wird, wenn sich die Temperatur um den Faktor 2 vergr¨oßert. Betrachten Sie die 2
unterschiedlichen F¨
alle, wenn der Prozess a) isochor (Volumen V = const) und b) isobar (Druck P = const)
ist.
¨
b) [2 P.] Bestimmen Sie die Anderung
der Entropie von 2 mol eines idealen Gases, die durch einen reversiblen
Prozess verursacht wird, wenn sich das Volumen um den Faktor α = 2, 0 vergr¨oßert, und der Druck um
C
den Faktor β = 3, 0 verkleinert wird. Dr¨
ucken Sie das Ergebnis durch den Adiabatenindex γ = CVp und die
W¨
armekapazit¨
at des idealen Gases bei konstantem Volumen CV = 3R/2 aus.
c) [2 P.] Die innere Energie U und die Entropie S sind Zustandsgr¨oßen, d.h. dU und dS sind vollst¨andige
Differentiale. Zeigen Sie, dass daher f¨
ur ein System, an dem Volumenarbeit dW = −pdV verrichtet wird,
folgender Zusammenhang besteht
∂p
∂U
+p=T
,
∂V T
∂T V
wobei T die Temperatur, p der Druck und V das Volumen sind.
d) [1 P.] 2 mol des idealen Gases werden erst isochorisch erw¨armt und dann isobarisch abgek¨
uhlt, sodass die
¨
Temperatur des Gases wieder zur anf¨
anglichen Temperatur wird. Bestimmen Sie die Anderung
der Entropie
bei dem beschriebenen Prozess, wenn sich der Druck um den Faktor n = 3, 3 vergr¨oßert.
Aufgabe 2: Maxwell Relationen
a) [1 P.] Benutzen Sie die Relationen dU = T dS − pdV , F = U − T S, H = U + pV , G = U + pV − T S (bei
konstanter Teilchenzahl N = const) und die Maxwell-Relationen, die Sie aus der Vorlesung kennen, um die
folgenden Ableitungen von T durch die Ableitungen von p und V auszudr¨
ucken:
∂T
∂T
∂T
∂T
,
,
,
,
∂V S
∂V p
∂p S
∂p V
wobei T die Temperatur, p der Druck, V das Volumen und S die Entropie sind.
b) [2 P.] Zeigen Sie, dass (bei konstanter Teilchenzahl N = const)
∂U
∂S
∂p
p+
=T
=T
,
∂V T
∂V T
∂T V
∂V
∂U
∂V
p
+
= −T
∂p T
∂p T
∂T p
gilt.
Aufgabe 3: Elektronengas
Viele thermodynamische Eigenschaften von Festk¨orpern lassen sich gut im Modell des Elektronengases
beschreiben. Unter Ber¨
ucksichtigung quantenmechanischer Effekte ergibt sich in diesem Modell die innere
Energie bei niedrigen Temperaturen zu
5
U (S, V, N ) = a
N3
+b
S2
2
2
1 .
V3
V 3N 3
Dabei sind a und b positive Konstanten, die von der Elektronenmasse, dem Planck’schen Wirkungsquantum
und der Boltzmannkonstante abh¨
angen.
a) [2 P.] Berechnen Sie aus U (S, V, N ) die freie Energie F (T, V, N ) des Gases.
b) [2 P.] Bestimmen Sie den Druck p(T, V, N ) und die W¨armekapazit¨at CV (T, V, N ). Wie verhalten sich
diese Gr¨
oßen bei T → 0?
1
Aufgabe 4: W¨
armestro
¨me
Ein w¨
urfelf¨
ormiger Beh¨
alter habe ein Innenvolumen von l m3 . Seine W¨ande haben eine Isolierschicht von
l = 5cm Dicke mit einer W¨
armeleitf¨
ahigkeit (W¨armeleitzahl) λ. Eine Heizleistung von P = 250W wird
ben¨
otigt, um das Wasser bei einer Umgebungstemperatur von T1 = 20◦ C auf einer Temperatur von T2 =
90◦ C zu halten.
a) [1 P.] Wie groß ist die W¨
armeleitf¨
ahigkeit der Isolierschicht? (Der spezielle Temperaturverlauf entlang
der W¨
urfelkanten soll dabei nicht ber¨
ucksichtigt werden.)
b) [2 P.] Wie sinkt die Wassertemperatur T (t) zeitlich ab, wenn die Heizung abgestellt wird? Wie lange dauert es, bis die Temperatur auf 55◦ C abgesunken ist? (Die W¨armekapazit¨at der Isolierschicht soll
vernachl¨
assigt werden.)
kJ
ist.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass die spezifische W¨armekapazit¨at des Wassers c = 4, 186 kg·K
2