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Sujet type-bac
Exercice 1
Dans l’espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des triangles rectangles
et isocèles en A. On désigne par E, F et G les milieux respectifs des côtés [AB], [BC] et [CA].
D
G
A
C
E
F
B
# » # » # »
On choisit AB pour unité de longueur et on se place dans le repère orthonormé (A; AB, AC, AD) de l’espace.
1. On désigne par P le plan perpendiculaire à la droite (DF ) et qui contient A.
On note H le point d’intersection du plan P et de la droite (DF ).
a) Donner les coordonnées des points D et F puis une représentation paramétrique de la droite (DF ).
b) Déterminer une équation cartésienne du plan P.
÷ est droit.
c) Calculer les coordonnées du point H puis justifier que l’angle EHG
# »
# »
2. On désigne par M un point de la droite (DF ) et par k le réel tel que DM = k DF .
÷
On note α la mesure en radians de l’angle géométrique EM
G.
Le but de cette question est de déterminer la position du point M pour que α soit maximale.
3
5
5
a) Établir que M E 2 = k 2 − k + .
2
2
4
b) Démontrer que le triangle M EG est isocèle en M .
√
Å ã
α
2
En déduire que M E × sin
=
.
2
4
Å ã
α
est maximal.
2
En déduire que α est maximale si et seulement si M E 2 est minimal.
c) Justifier que α est maximale si et seulement si sin
d) Déterminer la valeur du réel k qui maximise α ainsi que les coordonnées du point M correspondantes.
Exercice 2
Soit (zn ) la suite de nombres complexes définie par :
√
z0 = 3 − i et ∀n ∈ N zn+1 = (1 + i)zn
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |.
1. Démontrer que la suite (un ) est géométrique et préciser ses éléments caractéristiques (premier terme et raison).
2. Exprimer un en fonction de n puis déterminer la limite de la suite (un ).
3. Étant donné un réel positif p, on souhaite déterminer, à l’aide d’un algorithme, la plus petite valeur de l’entier
naturel n telle que un > p.
Recopier l’algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher
la valeur cherchée.
Variables :
Entrée :
Initialisation :
u et p sont des réels
n est un entier
Demander la valeur de p
Affecter à n la valeur 0
Affecter à u la valeur 2
Traitement :
Sortie :
Partie B
1. Déterminer la forme algébrique de z1 .
2. Déterminer une écriture sous forme exponentielle de z0 et de 1 + i.
En déduire une écriture sous forme exponentielle de z1 .
Å ã
Å ã
π
π
3. Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de cos
et sin
.
12
12
Exercice 3
On désire réaliser un portail comme indiqué ci-dessous pour lequel chaque vantail mesure deux mètres de large.
vantail de gauche
vantail de droite
pilier gauche
pilier droit
On modélise
leãbord supérieur du vantail de droite du portail avec une fonction f définie sur l’intervalle [0; 2] par
Å
1 −4x
f (x) = x +
e
+ b où b est un nombre réel.
4
1. a) Calculer f ′ (x), où f ′ désigne la fonction dérivée de la fonction f .
b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0; 2].
2. Déterminer le nombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à 1,5 m.
Å
ã
1 −4x 5
3. Dans la suite, on admet que la fonction f est définie sur [0; 2] par f (x) = x +
e
+ .
4
4
Chaque vantail étant réalisé à l’aide d’une plaque métallique dont le bord inférieur est situé 5 cm au-dessus du
sol, on souhaite calculer l’aire de chacune de ces plaques.
a) Montrer qu’il existe deux réels m et p, que l’on déterminera, pour lesquels la fonction F , définie sur l’intervalle
5
[0; 2] par F (x) = (mx + p)e−4x + x, est une primitive de f .
4
b) En déduire que chaque vantail a une aire de 2,52 m2 (valeur approchée arrondie à 10−2 m2 près).
4. On désire réaliser un portail de même forme mais à partir de planches rectangulaires disjointes de largeur 0,12 m,
espacées de 0,05 m.
Pour le vantail de droite, le coin supérieur gauche de chaque planche est situé sur le bord supérieur du vantail
(voir figure ci-dessous) et le bas de chaque planche à 5 cm de hauteur. Les planches sont numérotées à partir
de 0 (la première planche à gauche porte le numéro 0).
1, 5
1, 0
0, 5
0
0, 5
1, 0
1, 5
2, 0
La distance entre le bas du portail et le sol est de 0,05 m.
a) Justifier que la planche numéro k a pour aire (0,12 × f (0,17k) − 0,006) m2 .
b) Recopier et compléter les deux lignes grisées de l’algorithme suivant afin que ce dernier calcule l’aire A de
bois utilisé pour un ventail puis donner une valeur approchée arrondie à 0,01 cm2 près de A .
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
X et S réels
Affecter à S la valeur 0
Affecter à X la valeur 0
Tant Que X + 0,17 6 . . .
S prend la valeur S + . . .
X prend la valeur X +0,17
Fin Tant Que
Afficher S
Exercice 4
Dans cet exercice, les probabilités devront être données sous forme décimale et arrondies au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.
Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
1. On appelle X la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre,
exprimé en mm.
On admet que X suit une loi normale d’espérance 10 et d’écart-type inconnu σ.
Déterminer une valeur approchée à 10−2 près de σ sachant que la probabilité qu’une bille choisie au hasard
dans la production ait un diamètre inférieur à 10,2 mm est égale à 0,6791.
2. À partir de cette question, on considère que σ = 0,43.
a) Vérifier que la probabilité qu’une bille choisie au hasard dans la production soit hors norme est proche de
0,0200.
b) Calculer la probabilité qu’une bille prélevée au hasard dans la production ait un diamètre supérieur à
10,5 mm.
c) Déterminer, à 0,01 mm près, le diamètre maximal des 25 % des billes de plus petit diamètre.
3. On met en place un contrôle de production tel que 97 % des billes hors norme sont écartées et 99 % des billes
correctes sont conservées.
On choisit une bille au hasard dans la production. On note N l’événement « La bille choisie est aux normes. »
et A l’événement « La bille choisie est acceptée à l’issue du contrôle. ».
a) Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l’énoncé.
b) Calculer la probabilité de l’événement A.
c) Quelle est la probabilité pour qu’une bille acceptée soit hors norme ?
4. Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l’entreprise, il est abandonné.
Dorénavant, toutes les billes produites sont conservées et conditionnées par sacs de 100.
On considère que la probabilité qu’une bille soit hors norme est de 0,02 et on admet que le nombre de billes
produites est suffisamment grand pour que la constitution d’un sac puisse être assimilée à un tirage avec remise
de 100 billes dans l’ensemble des billes fabriquées.
On appelle Y la variable aléatoire qui à tout sac de 100 billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.
a) Indiquer, sans justifier, la loi suivie par la variable aléatoire Y puis calculer et interpréter son espérance.
b) Quelle est la probabilité qu’un sac contienne exactement trois billes hors norme ?
c) Calculer la probabilité qu’un sac contienne au moins cinq billes hors norme.
5. Ces billes sont utilisées dans des roulements et leur durée de vie, notée V et exprimée en mois, suit une loi
exponentielle de paramètre λ = 0,0208 (λ ∈ R∗+ ).
a) Déterminer, à un mois près, la durée de vie moyenne d’une bille.
b) Quelle est la probabilité pour qu’une bille soit hors d’usage au bout de trois ans ?
c) Déterminer, à un mois près, la durée de vie médiane d’une bille.