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DS 6 Mathématiques
08 avril 2015
Restitution organisée de connaissances (2 points)
Soit une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre  (strictement positif), c’est-à-dire
que pour tout t  0, P  X  t  

t
0
e xdx .
Pré-requis : Pour tout t  0 on a P(X > t) = e-t.
Démontrer que la variable X suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c’est-à-dire que pour tout
réel s > 0, la probabilité conditionnelle P X>t (X> t+ s) ne dépend pas du nombre t > 0.
Exercice 1 (8 points)
Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal
séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « temps de fonctionnement ».
Partie A
Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement du réseau, exprimé en heures.
On admet que X suit une loi exponentielle de paramètre λ. Le paramètre λ est un réel strictement positif.
On rappelle que, pour tout réel t  0 ,
0 X t 
t
 e x dx .
0
1) On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.
Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.
Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats seront donnés à 10−2
près.
2) Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5
heures est égale à 0,52.
3) Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu
de panne au cours des quatre premières heures.
4) Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.
5) Quelle est le temps de fonctionnement moyen du réseau ?
Partie B
On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants.
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement
supérieurs ou égaux à 5 heures.
1) Quelle est la loi suivie par Y ?
2) Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures.
3) Calculer l’espérance mathématique de Y.
Exercice 2 (10 points)
Partie A (3,5 points)
Soit f la fonction dérivable, définie sur l’intervalle  0 ;    par f(x) =xln(x).
1) a) Déterminer la limite de f en  .
b) Déterminer la limite de f en 0 en posant X = lnx.
2) On appelle f’ la fonction dérivée de f sur  0 ;    . Déterminer f’(x).
3) Déterminer les variations de f sur  0 ;    .
Partie B (5 points)
Soit C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal.
Soit A l’aire, exprimée en unités d’aire, de la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C et
les droites d’équations respectives x = 1 et x = 2.
On utilise l’algorithme suivant pour calculer, par la méthode dite « des rectangles », une valeur approchée de
l’aire A. (voir la figure ci-après).
ALGORITHME
Variables :
k, n sont des entiers naturels ;
U, V sont des nombres réels.
Initialisation :
U prend la valeur 0
V prend la valeur 0
n prend la valeur 4
Traitement :
Pour k allant de 0 à n – 1 :
1 
k
Affecter à U la valeur U + f  1  
n 
n
1 
k 1 
Affecter à V la valeur V + f  1 

n 
n 
Fin pour
Affichage :
Afficher U, Afficher V.
1) a) Que représentent U et V sur le graphique précédent ?
b) Faire fonctionner l’algorithme en recopiant et complétant le tableau ci-dessous avec autant de lignes
que nécessaire. Quelles sont les valeurs U et V affichées en sortie de l’algorithme (on donnera une valeur
approchée de U par défaut à 10–4 près et une valeur approchée par excès de V à 10–4 près) ?
Variables
k
Initialisation
Traitement
U
V
n
0
0
4
…
….
0
1
…
Affichage
c) En déduire un encadrement de A.
2) Soient les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier n non nul par :
Un 

1
1
 f 1   f 1 
n
n




2
n 1  
1 
1
  f  1    ...  f  1 
  et Vn   f  1 
n
n 
n 
n






2
n 1
  f  1    ...  f  1 
n
n





  f 2   .


On admettra que, pour tout n entier naturel non nul, Un ≤A ≤Vn.
2ln(2)
.
n
b) Trouver le plus petit entier n tel que Vn - Un < 0,1.
c) Quelle valeur de n doit-on rentrer dans l’algorithme pour qu’il permette d’obtenir un encadrement de A
d’amplitude inférieure à 0,1 ? Et inférieure à 0,01 ?
a) Vérifier que Vn - Un =
Partie C (1,5 points)
Soit F la fonction dérivable, définie sur  0 ;    par F(x) =
1) Montrer que F est une primitive de f sur  0 ;    .
2) Calculer la valeur exacte de A.
x²
x²
ln(x) 
.
2
4