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Capitolo 4 – Il lavoro e l'energia
TEORIA
⃗
W =⃗
F ⋅⃗
s → W =F ⋅s ⋅cos α [J](Joule)
ΔW
P=
[W][J/s](Watt)
Δt
1
2
K = m v energia cinetica [J] - Teorema energia cinetica: K 2 =K 1 + W
2
U g =mgh energia potenziale gravitazionale [J]
1
U e = K s 2 energia potenziale elastica [J]
2
Definizione di variazione di energia potenziale: Δ U =U 2 −U 1 =−W
Dal teorema dell'energia cinetica e dalla definizione di variazione di energia
potenziale si ha:
U f + K f =U i + K i (E f =E i ) Il teorema di conservazione della energia meccanica.
Il teorema di conservazione dell'energia può essere esteso a qualunque tipo di energia
e prende la forma di conservazione della energia totale. In particolare si ha:
U g 1 +U e 1 + K 1 =U g 2 +U e 2 + K 2
(E i =E f )
esercizio n° 1 pagina 174
Uno sciatore di 80 kg affronta un dosso alto 3,1 m alla velocità di 50 km/h. Durante
la salita, l'attrito con la neve e con l'aria trasforma 3,3·103 J della sua energia
meccanica in altre forme di energia.
• Quanto vale la velocità dello sciatore quando raggiunge la sommità del dosso?
[7,0 m/s]
1
1
2
2
Combinando la E i = 2 m v 1 con la E f = 2 m v 2 + mgh+ Q si ha, con E i =E f :
√
v 2 = v 2i −2 gh−2
√
m
Q
50 2
3,3 ⋅103
m
≈7,0 s
= (
) −2 ⋅9,8 ⋅3,1−2
=7,04565
m
3,6
80
s
esercizio n° 2 pagina 174
Un bambino di massa 30,0 kg si sta dondolando sull'altalena. Le corde a cui è fissata
l'altalena sono lunghe r = 2,00 m. Scegliendo come livello di zero la posizione più
bassa che il bambino può assumere, calcolare l'energia potenziale gravitazionale del
bambino nelle situazioni seguenti:
• quando le corde dell'altalena sono orizzontali;
• quando le corde dell'altalena formano un angolo di 45,0° rispetto alla verticale;
• quando le corde dell'ìaltalena sono perpendicolari al terreno.
[588 J ; 172 J ; 0 J]
h1 =r
2
h2 =r (1− √ )
2
h3 =0
U 1 =m g h1 =30,0 ⋅9,80 ⋅2,00=588 J
2
U 2 =mgh 2 =30,0 ⋅9,80 ⋅2,00 ⋅(1− √ )=172,221 J ≈172 J
2
U 3 =0
esercizio n° 4 pagina 175
Il carrello che trasporta le persone lungo la pista delle montagne russe ha la velocità
di 90,0 km/h in un punto all'altezza di 20,0 m dal suolo.
• Quale sarà la sua velocità dopo essere sceso in un punto all'altezza di 11,0 m
dal suolo? (trascurando gli attriti).
[102 km/h]
1
1
2
2
Combinando la E i = 2 m v 1 + m g h1 con la E f = 2 m v 2 + m g h2 si ha, con E i =E f :
√
km
90 2
m
km
≈102 h
v 2 = √v + 2 g (h1−h2 )= (
) + 2 ⋅9,8 (20,0−11,0)=28,309 =101,91
3,6
s
h
2
1
esercizio n° 7 pagina 175
Tarzan è appeso a una liana lunga 30,0 m con un'inclinazion
iniziale di 37° dalla verticale.
Calcolare il valore della velocità nel punto più basso della sua
traiettoria:
• quando si lancia partendo da fermo;
• quando si lancia con una velocità iniziale di 4,0 m/s.
[11 m/s ; 12 m/s]
Si applica la conservazione dell'energia meccanica:
1
m v2
2
2 m g h (1−cos α)
m
v=
= √ 2 gh (1−cos α)= √ 2 ⋅9,8 ⋅30,0 ⋅(1−cos 37 °)=10,881
m
s
m
≈11 s
mgh (1−cos α)=
√
Quando è presente anche la velocità iniziale bisogna considerare anche la relativa
energia cinetica:
m g h (1−cos α)+
1
1
m v 2i = m v 2f
2
2
v f = √ 2 g h (1−cos α)+v i = √2 ⋅9,8 ⋅30 ⋅(1−cos 37 ° ) + 4,0 =11,593
2
2
m
m
≈12
s
s
Esercizio n° 8 pagina 175
Uno sciatore m = 70 kg si lancia da una collinetta di altezza h1 = 10 m. Nell'ultimo
tratto della sua corsa incontra una rampa come mostrato nella figura.
Nel tratto L = 10 m tra la discesa e la rampa agisce una forza costante d'attrito di
modulo Fa = 30 N. Trascurare gli attriti con le rampe e con l'aria, e la massa degli
sci.
• A quale altezza massima arriva lo sciatore?
[9,6 m]
Alla fine della discesa, per la conservazione della energia meccanica si ha:
1
2
m g h1 = m v .
2
All'inizio della rampa l'energia dello sciatore è diventata l'energia cinetica meno il
1
2
lavoro fatto nel tratto L dalle forze d'attrito: 2 m v −F a ⋅L .
Nella salita per la conservazione dell'energia meccanica si può scrivere:
m g h1 −F a L =m g h2
m g h1 −F a L 70 ⋅9,8 ⋅10−30 ⋅10
h2 =
=
=9,563 m ≈ 9,6 m
mg
70 ⋅9,8
Esercizio n° 11 pagina 176
Un oggetto di massa m = 1,0 kg viene lanciato verso l'alto su un piano inclinato,
senza attrito, con velocità iniziale v0 = 10 m/s. Nel suo moto l'oggetto è fissato ad un
astremo di una molla, di massa trascurabile (altrimenti sarebbe necessario mettere in
conto l'elevazione del suo centro di massa che può essere supposto presente a
metàdella sua lunghezza) costante elastica k, che è inizialmente alla lunghezza di
riposo a = 50 cm ed alla fine assume una lunghezza b = 1,5 m. Il corpo si ferma
esattamente al bordo superiore dl piano inclinato, all'altezza del punto di
sospensione della molla come mostarto in figura.
• Quanto vale la costante elastica?
[90 N/m]
Ei =
1
2
m v0
2
1
2
E f =m g a + k (b−a)
2
Queste energie iniziale e finale devono essere uguali poichè non è presente nessun
1
1
2
2
elemento che tende a disperdere energia: E i = 2 m v 0 =m g a + 2 k (b−a) percui
isolando la costante elastica k si ha:
2
k=
m v 0 −2 m g a
(b−a)2
=
2
N
1,0 ⋅10 −2 ⋅1,0 ⋅9,8 ⋅0,50
N
=90,2
≈
90
2
m
m
(1,5−0,50)
Capitolo 5 – La quantità di moto ed il momento angolare
TEORIA
CONFRONTO (CORRISPONDENZA) FRA MOTO LINEARE E MOTO ROTATORIO
s
spostamento su una traiettoria linare retta o
curvilinea (con origine e verso)
di un punto materiale o del baricentro di un
corpo rigido [m]
θ (theta)
spostamento angolare (con asse x di origine e
senso antiorario positivo)
di un corpo rigido o di un insieme di corpi intorno
al baricentro [rad]
Δs
ω= Δ θ velocità angolare media (o istanatnea)
v=
velocità media (o istantanea)
Δt
Δt
[rad/s]
[m/s]
Variazione
dell'angolo
fratto l'inervallo di tempo
Variazione della posizione fratto l'intervatto di
nel
quale
avviene.
In
una
circonferenza:
tempo nel quale avviene. In un circonferenza:
2π v →
C 2πR
ω=
=
v =ω R
=
modulo: v =
dir: variabile
Δt R
Δt
Δt
a=
Δv
(accelerazione lineare)
Δt
[m/s2]
α= Δ ω (accelerazione angolare) → a=α R
Δt
[rad/s2]
m (massa in kg)
I(momento d'inerzia in kg·m2)
F(forza in N [Newton])[N][kg·m/s2]
F =m ⋅a
M(momento di una forza)[N·m][kg·m2/s2]
⃗
M =I ⋅α
M = ⃗r x ⃗
F
prodotto vettoriale
il risultato si considera simbolicamente sull'asse
perpendicolare al piano di rotazione (o ai piani ad
esso paralleli) ai soli fini della possibile somma
algebrica. Quando ci sono più piani su cui
agiscono le forze e non sono paralleli fra di loro ha
senso la somma vettoriale dei risultati che
individuano univocamente il piano delle risultanti.
Legge della mano destra: ⃗
M dalla sua punta,
quando positivo, vede girare ⃗r nella direzione
di ⃗
F in senso antiorario
caso particolare:
C(coppia di forze a risultante nulla)
Quantità di moto
⃗
q =m ⋅⃗
v [kg·m/s]
prodotto semplice
il risultato ha la stessa dir. e verso di v
Momento angolare
⃗
L= ⃗r x q⃗ [k·m2/s]
prodotto vettoriale
il risultato si considera simbolicamente sull'asse
perpendicolare al piano di rotazione ai soli fini
della possibile somma algebrica. Ecc. Ecc → vedi
discorso simile a quello fatto per il momento di
una forza
CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ
DI MOTO
Se in un sistema non agiscono forze esterne,
COSERVAZIONE DEL MOMENTO DELLA
QUANTITÀ DI MOTO
Se in un sitema è nullo il momento totale delle
la quantità di moto totale si conserva costante. forze esterne, il momento angolare di un sistema
di corpi si conserva costante.
Teorema dell'impulso (di una forza)
I=F ⋅Δ t =Δ p [kg·m/s]
purtroppo ha lo stesso simbolo del momento
d'inerzia! (qui I = impulso di una forza)
Teorema dell'impulso (di un momento)
I M =M ⋅Δ t =Δ L=I ⋅Δ ω [k·m2/s]
(il simbolo I qui significa momento d'inerzia)
(il simbolo IM è introdotto per compensare una
carenza)
m1 x 1 + m 2 x 2
CENTRO DI MASSA caso di due particelle su una retta: x cm =
m1 + m 2
URTO ELASTICO Un urto si dice elastico se in esso si conserva (oltre alla quantità di moto) anche
l'energia cinetica totale dei corpi che interagiscono.
m 1 v 1 + m 2 v 2 =m1 V 1 +m 2 V 2
Dove per v minuscolo e V maiuscolo si intendono le velocità prima e dopo l'urto.
L'equazione precedente insieme alla equazione della conservazione della energia cinetica fornisce le
due equazioni nelle due incognite che consentono di trovare i valori delle incognite (velocità dopo
l'urto).
(m 1−m 2 ) v 1 + 2 m 2 v 2
2 m 1 v 1 −( m 1−m 2 ) v 2
V 1=
V 2=
e
m1 + m 2
m1+ m2
URTO ANELASTICO Un urto si dice completamente anelastico quando i due corpi che urtano
procedono alla stessa velocità che è determinata dalla sola conservazione della quantità di moto
m 1 v 1 + m 2 v 2 =(m 1 + m 2 ) V da cui facilmente si può trovare V.
Esercizio n° 1 pag 214
Billy the Kid si sta esercitando con la sua pistola. Spara un proiettile di 10g contro
un pezzo di legno di massa 500 g posto su un muretto. Il proiettile colpisce il
bersaglio alla velocità di 550 m/s e lo attraversa tutto. Il pezzo di legno balza via dal
muretto alla velocità di 6,0 m/s.
• Di quanto diminuisce l'energia cinetica totale del sistema?
Si distinguono le velocità prima (V maiuscola) e dopo (v minuscola) poichè sembra
la modalità ottimale per evitare l'uso di troppi pedici.
DATI: mp = 10 g = 1,0·10-2 kg
vp = 550 m/s
Vp = ?
mL = 500 g = 0,500 kg
vL = 0 m/s
VL = 6,0 m/s
ΔK = ?
Per quanto riguarda la conoscenza della velocità del proiettile dopo l'urto, dalla
relazione sulla conservazione della quantità di moto, si ha:
m p v p + m L v L =m p V p + mL V L da cui
V p=
m p v p +m L v L −m L V L 1,0 ⋅10−2 ⋅550−0,500 ⋅6,0
m
=
=250
−2
mp
s
1,0 ⋅10
Per conoscere la variazione della energia cinetica dovuta all'urto si ha Δ K =K 2 −K 1
1
1
1
1
1
Δ K = m p V 2p + m L V 2L − m p v 2p + m L v L2 = [10−2⋅2502 + 0,500 ⋅6,02 −10−2 ⋅5502 ]=−1191 J
2
2
2
2
2
ossia si ha una perdita di circa 1,2·103 J.
Esercizio n° 2 pag 214
In un autoscontro al luna park, Alice che guida un veicolo in moto rettilineo di massa
100 kg urta in modo elastico il veicolo di Claudia, che ha massa 125 kg ed è fermo.
Prima dell'urto, il veicolo di Alice si muoveva verso destra (verso considerato
positivo) con velocità di modulo 1,25 m/s.
• Quali sono le velocità finali di Alice e Claudia dopo l'urto?
• Calcolare la velocità del centro di massa del sistema.
Si distinguono le velocità prima (V maiuscola) e dopo (v minuscola) in quanto
sembra la modalità ottimale per evitare l'uso di troppi pedici.
DATI: mA = 100 kg
mC = 125 kg
vA = 1,25 m/s
vC = 0 m/s
Vp = ?
VL = ?
vCM = ?
A causa del fatto che non viene fornita anticipatamente nessuna delle due velocità
finali, ci si presenta un vero e proprio problema di due equazioni in due incognite in
cui la prima delle due equazioni è determinata con la conservazione della quantità di
moto e la seconda con la conservazione della somma delle energie cinetiche.
Essendo vC =0, si ha:
m A v a =m A V A +mC V C
1
1
1
m A v 2A = m A V 2A + m C V 2c
2
2
2
mA
dalla prima si ricava V C = m (v A−V A) che sostituita nella seconda da:
C
2
mA
1
1
1
2
mA V A + mC [
(v A−V A )] = m A v 2A
2
2
mC
2
2
2
1
1 mA 2
1
m A V 2A +
(v A−2 v A V A + V 2A ) = m A v 2A
2
2 mC
2
2
2
2
m
1 mA
1 m
(
+m A ) V 2A − A v A V A + ( A −m A ) v 2A =0
2 mC
mC
2 mC
m 2A
m2
m2
+ m A ) V 2A −2 A v A V A +( A −m A )v 2A =0
mC
mC
mC
2
(80+ 100) V A−160 ⋅1,25 V A +(80−100) 1,5625=0
180 V 2A −200 V A −31,25=0
(
VA1 = -0,1388888 ≈ -1,39 m/s
VA2 = 1,25 m/s (da scartare)
Per quanto riguarda il calcolo del centro di massa è più comodo calcolarlo prima
dell'urto:
v CM =
mA v A
100 ⋅1,25
=
=0,555555555
m A + mC 100+ 125
≈ 0,556 m/s
Come riprova si potrebbe calcolara la velocità del centro di massa anche dopo l'urto!
Esercizio n° 3 pagina 214
Una stella di raggio 7,00·105 km compie un giro su se stessa in 30,0 giorni. Alla fine
della sua vita collasserà in una stella di neutroni rotante di raggioi 15,0 km chiamata
pulsar.
• Qunto vale la velocità angolare della stella nella prima fase della sua vita?
• Quanti giri compirà in un secondo la pulsar?
(considerare la stella come una sfera uniforme e assumere che non vi siano
dispersioni di materia).
[2,42·10-6 rad/s ; 840]
ω1 =
2π
2π
rad
=
=2,42 ⋅10−6
4
T
s
30,0 ⋅8,64 ⋅10
Per la conservazione del momento della quantità di moto non essendo presente
nessun momeno di forze: L1 =L2 ed essendo L=I ω dove
I è proporzionale ad r 2
(oltre alla massa ed al coefficiente di forma e
concentrazione delle masse che non cambiano in questo caso essendo una sfera
2
2
omogenea è I= 5 m r ) ed
ω
1
è proporzionale a f = T ( ω=2 π ) si ha: r 21 f 1 =r 22 f 2 da cui:
r 21
2
1 r1
1
7,00 ⋅105 2
giri
f 2 =f 1 2 = ( ) =
(
) =840
4
15,0
s
r2 T1 r2
30,0 ⋅8,64 ⋅10
esercizio n° 7 pagina 214
Una pallina sferica solida di massa 2,50 kg e di raggio 0,50 m rotola partendo da
ferma lungo un piano inclinato alto 3,00 m e inclinato di 30°.
Calcolare il valore dlla velocità finale con cui la pallina arriva alla fine della discesa.
[6,48 m/s]
1
1
2
v 2 1
2
7
2 1
2
2
2
E f = m v + I ω = [m v +( m r ) ( ) ]= (m v 2 + m v 2 )=
m v2
2
2
2
5
r
2
5
10
7
2
e per la conservazione dell'energia E f =E i → 10 m v =m g h da cui:
10 g h
10⋅9,81 ⋅3,00
v=
=
=6,48 m
7
7
E i =m g h
√
√
Capitolo 6 – La gravitazione
TEORIA
I legge di Keplero: Le orbite descritte dai pianeti intorno al Sole sono ellissi ed il Sole occupa
uno dei due fuochi.
II legge di Keplero: Il raggio vettore che va dal Sole ad un pianeta spazza aree uguali in
intervalli di tempo uguali.
III legge di Keplero: Il rapporto fra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita ed il quadrato
del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti.
La forza di gravitazione universale o di Newton con cui si attraggono nel vuoto due masse m 1
ed m2 i cui cntri di massa sono ad una distanza r é:
m ⋅m
F =G 1 2 2 con G = 6,67·10-11 N·m2/ kg2
r
la forza di gravitazione terreste g si può trovare uguagliando la forza peso a quella derivante
G MT
dalla formula appena scritta relativa alla Terra ed alla superficie terrestre. Si ha: g =
RT2
La velocità di un satellite in orbita circolare si ottiene uguagliando la formula di Newton alla
GM
forza di accelerazione centripeta ed è uguale a: v =
in cui sostituendo i valori della
R
massa e del raggio terrestre si ottiene v = 7,91 · 103 m/s che è la velocità minima perchè un
oggetto entri in orbita intorno alla Terra.
Sviluppare autonomamente la ricerca della quota che devono avere i satelliti geostazionari.
Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Nel risultato dell'integrale della forza per lo spostamento si risale al risultato :
mM
U (r )=−G
+ k in cui si sceglie di porre k = 0 ossia porre il livello zero dell'energia
r
potenziale nel caso in cui le due masse si trovano fra loro a distanza infinita.
√
esercizio 9 pagina 256
Due asteroidi con densità ρ = 2,515 g/cm3 e raggio R = 10 km, si trovano molto
distanti fra loro e precipitano uno sull'altro per effetto dell'attrazione gravitazionale.
• Calcolare il modulo della velocità v di uno dei due asteroidi al momento
dell'impatto;
• Calcolare l'accelerazione a su un asteroide al momento dell'impatto.
• Se solo uno dei due asteroidi avesse avuto il raggio di 10 km e l'altro lo
avesse avuto doppio quale sarebbe stata la risposta alle due domande?
√
[ v =R 2 π G ρ ; a= π G ρ R ] TROVARE I VALORI NUMERICI?!
3
3
I due asteroidi, quando sono a distanza molto grande, hanno energia potenziale molto
piccola ed energia cinetica nulla: per il teorema di conservazione dell'energia
meccanica possiamo considerare che, al momento dell'impatto, la somma dell'energia
cinetica e dell'energia potenziale sia pari a zero. Per il sistema dei due asteroidi la
distanza tra i centri, al momento dell'impatto, è pari a 2R:
1
1
mm
m v 2 + m v 2 −G
=0 ,da cui abbiamo
2
2
√
v= G
2R
√
√
m
G 4
2π
=
ρ π R3 =R
Gρ
2R
2R 3
3
L'accelerazione si ottiene dal secondo principio della dinamica:
a=
F
=
m
G
mm
2
( 2 R)
Gm
G
4
3
=
=
ρ π R =π G ρR
2
2
m
3
3
4R
4R
esercizio 10 pagina 256
Un pianeta di forma sferica, ha massa e raggio MP = 9,686·1024 kg e RP = 2,546·106
m, rispettivamente. Inoltre, il periodo di rotazione attorno al proprio asse è TP =
8,0·105 s.
1. Trascurando completamente gli attriti, che velocità minima v dovrebbe avere
un proiettile di cannone per effettuare un giro intorno al pianeta?
2. Calcolare il raggio R dell'orbita per un satellite geostazionario di massa m =
1000 kg. Nel risultato scrivere il rapporto R/RP . (fare l'analisi dimensionale
nelle unità di misura del SI).
3. Calcolare l'energia totale E del satellite.
4. Calcolare con che velocità V casca sulla superficie del pianeta un meteorite
proveniente da distanza molto grande con velocità nulla.
√
√
√
2
GM P
−GM P m
2 G MP
R 3 G MP T P
;
=
; E=
; V=
[ v=
]
2
3
RP
RP
2R
RP
4 π RP
per la seconda risposta correggere quella del libro che è stata scritta in quel modo per
una piccola confusione fra radice quadrata e cubica
Approssimiamo il raggio dell'orbita del proiettile con quello del pianeta e uguagliamo
i moduli della forza centripeta e della forza gravitazionale sul satellite:
m MP
m v2
=G
da cui si ha
RP
R2P
√
v= G
MP
RP
Per il satellite geostazionario il periodo di rivoluzione dell'orbita deve essere uguale a
quello di rotazione del pianeta su se stesso; la velocità di rotazione si ha dalla formula
precedente, per un valore di R generico:
√
v= G
√
MP
;
R
2 π R =v T = G
MP
T
R P
Elevando al quadrato i due membri dell'equazione abbiamo
M P T 2P
R =G
R 4 π2
2
√
3
R= G
2
MP T P
4 π2
, da cui otteniamo
e, dividendo per RP la formula, si ottiene
√
2
R 3 MP T P
= G
.
RP
4 π 2 R 3P
Per ogni satellite in orbita, il valore dell'energia cinetica vale metà del modulo del
valore dell'energia potenziale:
G MP
1
1
m v 2= m (
)
2
2
RP
Quindi l'energia totale vale:
E =K +U =
m MP
1
1 m MP
2
m v −G
=− G
2
RP
2
RP
da cui:
m MP
1
m V 2 −G
=0 ed infine:
2
RP
√
V= 2G
MP
RP
Cosa vuol dire fare una analisi dimensionale usando le unità di misura del SI ?
Con essa si possono scoprire, inequivocabilmente, eventuali difetti, ad esempio, della seconda
domanda!