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soluzioni
con passaggi
dei problemi
di livello “tre”
del volume 2
1
FISICA! Le regole del gioco
unità 11 Unità 11 Le proprietà dei moti ondulatori
85 In generale una funzione d’onda è una funzione armonica nel cui argomento sono presenti la coordinata spaziale e quella
temporale. Nel caso in esame l’origine spaziale degli assi è posta nel punto indicato e il primo vincolo che il problema pone è lo
spostamento nullo di questo punto nell’istante iniziale: la funzione armonica che è nulla quando il suo argomento è nullo è il
seno. Si ha così:

 x t 
y ( x,t ) = A sin  2 π  −  
λ T

in cui λ = v T = v /f è la lunghezza d’onda e T è il periodo. Sostituendo i valori indicati si ottiene:
y (x, t) = 4,00 · 10-2 sin [2 p (10,0 x - 5,00 t)].
In un’onda trasversale gli elementi della corda oscillano perpendicolarmente rispetto alla direzione di propagazione dell’onda
come se fossero soggetti a una forza elastica. Si può quindi applicare quanto si conosce dei moti periodici tipici delle molle e in
particolare l’espressione dell’accelerazione, a = -w2 y, ricavata a partire dall’espressione della forza F = -k y = m a e avendo
k
definito la pulsazione w =
. Sostituendo la funzione d’onda precedentemente trovata, si ha un massimo quando il seno ha
m
valore unitario, quindi:
a max = -w2 A = 2 p f A = 39,5 m/s2
Dato il mezzo di propagazione, la velocità di un’onda è data da v =
T
= 0,125 N, con T tensione della corda e d densità lineare.
d
86 La funzione d’onda richiesta è una funzione armonica che dipende dalla coordinata spaziale lungo la corda e da quella temporale. Si tratta di una sinusoide, perché lo spostamento dell’origine deve essere nullo nell’istante iniziale:
[
]
x t
y (x, t) = A sin 2 p  −  = 0,3 sin [100 p (x - t)]
λ T
con T = 1/f periodo dell’onda e le quantità numeriche espresse nelle unità del SI.
Per osservare il moto oscillatorio del solo punto d’origine della corda, è sufficiente porre x = 0 e ottenere così una funzione nella
sola coordinata temporale:
t
y(x = 0, t) = A sin (2 p − ) = -0,3 sin (100 p t)
T
La y si annulla quando l’argomento del seno è un multiplo del pi greco:
n
s
100
Ogni elemento della corda si muove di moto oscillatorio armonico, per cui si ha che l’accelerazione massima vale
100 p tn = n p, quindi tn =
a max = w2 A = 3000 p2 m/s2
e la velocità massima vale
v max = w A = 30 p m/s.
In unità del SI, dalle espressioni delle due funzioni d’onda si hanno le due pulsazioni, da cui si ricavano le frequenze:
ω1
f1 =
= 20 Hz, con w1 = 40 p = w2 f2 = f1 = 20 Hz.
2π
La sovrapposizione di due onde produce un’onda di frequenza pari alla media aritmetica delle frequenze di base. In questo caso
entrambe le onde hanno la stessa frequenza, per cui anche l’onda risultante ha f = 20 Hz e quindi w = 2 p f = 40 Hz.
Utilizzando la relazione trigonometrica cos (a + b) = cos (a) cos (b) – sin (a) sin (b), l’onda risultante dalla sovrapposizione ha
funzione d’onda y (t) = y1 (t) + y2 (t) = 0,8 [cos (40 p t) – sin (40 p t)]. Il valore minimo dello spostamento si ha quando si annulla
p
+ n p, con
il contenuto della parentesi quadrata, quindi quando il seno e il coseno assumono lo stesso valore: 40 p tmin =
4
1+ 4 n
n = 0, 1 nel primo periodo, da cui tmin ( n ) =
.
160
3
Il valore massimo si ha invece quando seno e coseno hanno lo stesso valore assoluto, ma segno opposto: 40 p tmax =
p + n p,
4
3+4 n
.
da cui tmax ( n ) =
160
87
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2
Soluzioni con passaggi dei problemi
di livello “tre” del volume 2
88 Nella sua posizione di equilibrio stabile, la pallina è in quiete perché la forza di gravità verso il basso è contrastata dalla forza
di tensione del filo diretta in verso opposto. Quindi T = F = m g. La velocità di propagazione di un’onda meccanica in un mezzo è legata alla tensione e alla densità del mezzo stesso:
v=
T
mg
=
d
d
Invertendo questa relazione si ottiene l’accelerazione di gravità cercata:
g=
d v2
= 6,91 m/s2 .
m
unità 12 Il suono
80 Adottando il sistema di riferimento dell’aria, sia la sorgente del suono sia il ricevente sono in moto: Pierangelo si allontana dal fronte d’onda a vp9= vv = 3,50 m/s, mentre Lula si avvicina a vl9 = vl + vv = 5,60 m/s. Si può considerare quindi l’effetto
Doppler in entrambi i casi. La frequenza del fischietto nel sistema di riferimento adottato è più bassa di quella emessa perché la
 vs 
3
sorgente si allontana: f ′ = 
 f = 2,62 ⋅ 10 Hz. La frequenza percepita da Lula è invece più alta di questa, perché dal suo
 v s + v ′p 
 1 + v ′l 
3
punto di vista la sorgente si sta avvicinando: f ′′ = 
 f ′ = 2, 67 ⋅ 10 Hz. Da notare che il sistema di riferimento solidale
 vs 
all’aria è equivalente a quello solidale a Lula in cui la velocità del suono è maggiore a causa del vento: v9s = vs + vv = 333,5 m/s.
Una sfera di raggio r = 10 m centrata nell’altoparlante ha una superficie S = 4 p r2 = 200 p m2. Se sono valide le assunzioni
P
= 2,55 W/m 2 . Senza la predel problema, la potenza sonora si distribuisce solo su metà di questa superficie, per cui I =
S2
senza del muro l’onda sarebbe libera di propagarsi in tutte le direzioni, per cui la sua potenza si distribuirebbe su una superficie
doppia e in ogni punto l’intensità sarebbe quindi la metà di quella calcolata.
82
2
l = 40 cm . Cono3
scendo la frequenza di vibrazione, si può ricavare la velocità di propagazione dell’onda: v = l f = 160 m/s. La tensione della corda
necessaria per sostenere questa velocità è T = d v2 = 51 N.
84
Come mostrato nella figura, la vibrazione di terza armonica corrisponde a una lunghezza d’onda l =
85 Come suggerito, è utile scomporre l’evento in due fasi: un ricevitore in moto di avvicinamento alla sorgente (frequenza incidente f9 > f0) e un emettitore in moto alla stessa velocità (frequenza dell’onda riflessa f  > f9).

f 
Prima fase - L’ostacolo incontra un’onda con una frequenza f' =  1 + ost  f 0 = 4048 Hz .

f 
Seconda fase - L’ostacolo riflette l’onda con la stessa frequenza incidente della precedente fase, ma il ricevitore incontra un’onf
da con una frequenza f =
f = 4048 Hz . La differenza così vale Df = f  - f 0 = 98 Hz.
f − f ost
unità 13 Le proprietà ondulatorie della luce
La relazione fondamentale alla base dell’interferometro a doppia fenditura di Young lega la posizione delle frange della figura
y d
d’interferenza alla geometria dell’esperimento e alle caratteristiche della luce incidente: n = n l , considerando con buona
L
nL
l . La prima riga luminosa (n = 1) è spostaapprossimazione d << L. Essendo interessati alla distanza tra le frange, si ha yn =
d
l
raddoppia anche la distanza
ta rispetto a quella centrale di y1 = 0,26 mm. Essendo proporzionali, raddoppiando la quantità
d
della prima frangia: y91 = 2 y1 = 0,52 mm. Nel caso invece di un indice di rifrazione maggiore di 1 (indice di rifrazione del vuoto),
y
λ
, per cui diminuisce anche la distanza tra le frange: y1′′ = 1 = 0,19 mm .
la lunghezza d’onda della luce si riduce, λ ′ =
1, 4
1,4
95
3
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FISICA! Le regole del gioco
96 Per ricavare la condizione di interferenza costruttiva delle onde luminose di due sorgenti coerenti è necessario trovare per
quali valori dei parametri geometrici del sistema la differenza di cammino ottico delle due onde è pari a un multiplo della semiλ
λ
lunghezza d’onda: 2 d sin ( θ ) = ( 2 n + 1) . Viene richiesto solo il primo massimo d’interferenza (n = 0), quindi sin ( θ ) =
.
4d
2
y
Considerando ora il triangolo rettangolo PS0O, con S0 proiezione della sorgente S sullo specchio, si ha tan ( θ ) = , da cui
L
lL
y = L tan (q) ; L sin (q). Sostituendo nella relazione precedente si ha y =
.
4d
97 Per un reticolo di diffrazione, la condizione per ricavare le frange di interferenza costruttiva, e quindi i massimi di intensità
luminosa, è d sin (q) = n l, con d distanza tra le linee del reticolo. La dispersione della luce produce così il primo massimo (n = 1)
 λ
a un angolo q = arcsin   = 0,3' .
d
unità 14 La carica e il campo elettrico
97 Affinché la goccia rimanga in sospensione, è necessario che la forza peso (rivolta verso il basso) e la forza elettrica (repulsiva, rivolta verso l’alto) abbiano la stessa intensità: m g = -E q. Invertendo la relazione si trova la carica q della goccia:
4
mg
q=−
= −2,74 ⋅ 10−13 C , con m = V ρ = π r 3 ρ massa della goccia sferica.
3
E
La carica della goccia risulta negativa, quindi c’è un eccesso di elettroni. Il rapporto tra la carica totale e quella dell’elettrone
q
fornisce il loro numero: N e = = 1,71 ⋅ 106 .
e
Il numero di elettroni in eccesso proposto è inferiore a quello appena ricavato, quindi ci si aspetta che la goccia sia attratta verso
F
E N 'e e
m g – E q'
=g= 9,24 m/s2 .
il basso dalla forza di gravità con un’accelerazione a = tot =
m
m
m
99 Inizialmente la forza agente sulla particella è perpendicolare alla sua traiettoria, quindi l’accelerazione è puramente trasversale e tende a farla deviare. All’interno di un condensatore (due piastre cariche parallele) il campo elettrico è uniforme e
σ
perpendicolare alle piastre e la sua intensità è legata alla densità superficiale di carica dalla relazione E =
. L’accelerazione
ε0
F Eq
σq
3
2
è dunque a = =
=
= 1,13 ⋅ 10 m/s . Nella direzione parallela al campo la forza F = E q è costante, quindi produce
m
m
ε0 m
1
un moto uniformemente accelerato: S ( t ′ ) = a t' 2 = 5,65 m .
2
Non appena la traiettoria della particella inizia a deviare, il campo elettrico produce un’accelerazione anche tangenziale, per cui
la velocità (e quindi anche l’energia cinetica) della particella aumenta. Scomponendo la velocità totale nelle due componenti parallela e perpendicolare al campo, però, solo la prima aumenta, mentre il valore della seconda rimane costante, uguale a quello
1
1
2 = v 2 + a 2 t2
e l’energia cinetica a t = t vale K ( t = t'' ) = m v 2 = m ( v 02 + a2 t'' 2 ) = 1,06 J .
iniziale. Così v ( t ) = v 2⊥ + v //
0
2
2
Si parte dal teorema di Gauss, che fornisce il flusso del campo elettrico attraverso la superficie di un conduttore nota la
Q
sua carica superficiale: Φ =
. Sostituendo le definizione di flusso (Φ = E S) e densità superficiale di carica (Q = s S) si ottiene
e0
σ
σS
= 1,7 ⋅ 102 N/C .
ES=
, da cui E =
ε0
ε0
100
Qq
. Dopo il contatto la carica totale si distribuisce uniformemente
r2
9 Qq
( Q + q )2 9
= F0 = k 2 . Quest’ultima relazione fornisce l’equasulle due sfere, per cui il campo elettrico risulta essere F = k
4 r2
8
8 r
101
La forza prima del contatto tra le due sfere è F0 = k
zione (di secondo grado) cercata:
( Q + q )2
4
2
–
1 Q
5Q 1
9
+ = 0. I due possibili valori del rapporto Q/q
Q q = 0, da cui   –
4 q
8q 4
8
sono 2 e 1/2, cioè una sfera ha il doppio della carica rispetto all’altra.
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4
Soluzioni con passaggi dei problemi
di livello “tre” del volume 2
qA
= 2 q.
All’inizio la sfera C è neutra: qC = 0. Dopo essere stata messa a contatto con A, assume una carica qC′ = q A′ =
2
qC′ + qB 3
= q . In generale la forza elettrica
Una volta carica, con il contatto con la sfera B assume la nuova carica qC′′ = qB′ =
2
2
q A qB
4 q2
q1 q2
q′ q′
3 q2
tra due corpi carichi è descritta dall’espressione F = k 2 , per cui si ha F = k 2 = k 2 e F' = k A 2 B = k 2 . Il
r
r
r
r
r
F 4
= .
rapporto vale
F' 3
F′
q q′
8
I medesimi passaggi si applicano al secondo quesito: BC = B C = .
FBC
qB′ qC′′ 9
′′
102
La forza elettrica agente tra le sfere è orizzontale e per avere una situazione di equilibrio deve essere bilanciata dalla compoToriz
T
q2
; oriz = 0,17 N , avendo
nente orizzontale della tensione del filo: Toriz = FE = k 2 . La tensione totale è quindi T =
sin ( θ ) tan ( θ )
r
r
.
fatto l’approssimazione suggerita sin ( θ ) ; tan ( θ ) =
2l
Tver T
; = 17 g , considerando come sugLa componente verticale, invece, controbilancia la forza peso: Tver = m g, da cui m =
g
g
gerito l’approssimazione cos (q) ; 1.
103
Nella configurazione descritta, il sistema è in equilibrio quando la forza elettrica controbilancia esattamente la forza peso. È
mg
σ
sufficiente che siano uguali i moduli delle due forze, in quanto giacciono sulla stessa retta. Da q E = m g si ha così E =
=
.
q
ε0
2
2
Da cui E = 7,8 · 10 N/C e s = 6,9 nC/m .
104
105 Una volta che l’elettrone entra nel condensatore, assume un moto uniformemente decelerato. Data la velocità iniziale, la distanza massima che percorre all’interno si ha quando la sua velocità si annulla, per poi cambiare direzione:
v
v (t = t ) = v0 – a t = 0, da cui t = 0 . La legge oraria del moto fornisce la distanza percorsa in questo intervallo temporale:
a
v 02
me v 02
1
F
Ee
2
s max = v 0 t – a t =
=
= 4,6 mm , avendo sostituito a = E =
. L’elettrone così non riesce a raggiungere la
2
2a 2Ee
me
me
2Eed
piastra carica,che sarebbe riuscito a raggiungere se avesse avuto una velocità iniziale v' =
= 780 m/s , ottenuta inme
vertendo la precedente relazione e imponendo smax = d = 5,0 mm.
Applicando il teorema di Gauss, si trova che il campo elettrico prodotto da un filo carico è legato alla sua densità di carica
λ
. A una distanza di 1,5 m il campo ha modulo E (r = 1,5 m) = 4,8 · 105 N/C.
elettrica: E ( r ) =
2 π ε0 r
Le due forze agenti sulla sferetta del pendolo sono la forza elettrica (orizzontale) e la forza peso (verticale). All’equilibrio le
componenti orizzontale e verticale della tensione del filo bilanciano esattamente queste due forze. Vettorialmente si ha

 
q E + m g + T = 0 , mentre per le due componenti separatamente si ha T sin (q) = q E e T cos (q) = m g. Non conoscendo ancora
l’angolo di inclinazione del pendolo non è possibile calcolare i valori delle singole componenti, ma si può ricavare direttamente

2
2
il modulo della tensione totale: T = T 2 ( sin2 ( θ ) + cos2 ( θ ) ) = ( q E ) + ( m g ) = 0,10 N.
 q E
= 68 .
L’angolo è ricavabile dal rapporto tra le due componenti della tensione: θ = arctan 
 m g 
106
unità 15 Unità 15 Il potenziale e la capacità
q
= 1,8 ⋅ 104 V
4 π ε0 r
nel caso di r = 1,0 m. Nel caso di r = 2,0 m, invece, il potenziale è V2 = 9,0 · 103 V. Il lavoro compiuto per spostare la seconda
carica dal primo al secondo punto è pari alla differenza di potenziale per la carica di prova stessa: L = Q DV = 9,0 · 10-3 J. Notare
che DV = V2 - V1 < 0.
103
Il potenziale prodotto da una carica elettrica è inversamente proporzionale alla distanza: V1 ( r ) =
La differenza di potenziale tra due punti del campo è definita come il rapporto tra il lavoro compiuto dalla forza elettrica per
L
= 1,6 · 10-19 C.
spostare una carica elettrica di prova da un punto all’altro e la carica stessa: invertendo si ha q =
DV
104
5
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Per ricavare invece l’energia cinetica, in assenza di altre forze a parte quella elettrica, basta notare come tutta l’energia potenziale non può che trasformarsi in energia cinetica, quindi:
DK = L = 4,8 · 10-14 J
Il problema è facilmente affrontabile a partire da considerazioni energetiche, mentre risulta arduo risolverlo mediante le
qQ
leggi del moto. Nell’istante iniziale la carica in moto q possiede un’energia potenziale U ( r = d 0 ) =
dovuta al campo
4 π ε0 d 0
1
elettrico generato dalla carica Q e un’energia cinetica K = m v 02 dovuta al suo moto di avvicinamento. Nel momento in cui
2
qQ
si ferma e inverte il suo moto, la sua energia cinetica è nulla, mentre l’energia potenziale è data da U ( r = r' ) =
.
4 π ε0 r'
105
Indicata con E l’energia meccanica totale posseduta dalla particella nella configurazione iniziale, inserendo i valori numerici si
ottiene:
E = U ( r = d 0 ) + K = 2,6 ⋅ 10−3 J
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica essendo
U ( r = r9 ) = E
risulta
r9 =
qQ
2,0 ⋅ 10−12 C
=
= 6,9 m
4 π ε0 E 4 π ε0 ( 2,6 ⋅ 10−3 J )
106 Per un condensatore qualsiasi la capacità è definita come il rapporto tra la carica accumulata e la differenza di potenziale
tra le armature. Nel caso di un condensatore piano la capacità è legata ai parametri geometrici del condensatore dalla relazione
S
S
DV = 1,77 · 10-8 C.
C = e0 . Invertendo la definizione si ha Q = C DV = e0
d
d
L’energia immagazzinata da un condensatore è proporzionale al prodotto tra carica e differenza di potenziale:
U=
1
Q DV = 8,85 · 10-6 J.
2
La densità di energia, invece, è misurata in unità di volume, che nel caso di un condensatore piano è un semplice parallelepipeU
U
= 4,43 J/m3 .
do: u = =
V Sd
107 Collegando i due condensatori come descritto si ottengono due condensatori in parallelo, le cui capacità si sommano direttamente: Ctot = C1 + C2. La carica positiva e quella negativa si distribuiscono sulle rispettive armature: Qtot = Q1 + Q2 = C1 V1 + C2 V2, con
Q1 = 2,67 · 10-4 C e Q2 = 5,33 · 10-4 C. La differenza di potenziale dopo il collegamento è quindi:
DVtot =
Q tot
= 267 V
C tot
108 Con considerazioni analoghe a quelle proposte nel Problema 1 di Strategie di problem solving a pagina 184 del volume 2,
detta Q- la carica puntiforme negativa e Q+ quella positiva, indichiamo con x1 l’ascissa di un punto a potenziale nullo supponendo che questo si trovi nel segmento compreso fra le due cariche, a distanza xl da Q- e a distanza d – x1 da Q+.
Dall’equazione
Q−
Q+
+
=0
4 π ε0 x1 4 π ε0 ( d − x1 )
si ricava
x1 =
− (1,0 m ) ( −4,0 ⋅ 10−5 C )
−d Q −
=
= 0,66 m
−
+
−Q + Q
− ( −4,0 ⋅ 10−5 C ) + 2,0 ⋅ 10−5 C
il che equivale a dire che, all’interno del segmento di congiunzione fra le due cariche, il potenziale si annulla a una distanza dalla
carica positiva pari a (1,0 - 0,66) m = 0,33 m.
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6
Soluzioni con passaggi dei problemi
di livello “tre” del volume 2
In modo analogo, cercando un altro punto di ascissa x2 a potenziale nullo sulla destra di Q+, distante x2 da Q- e x2 - d da Q+, si
trova:
Q−
Q+
+
=0
4 π ε0 x2 4 π ε0 ( x2 − d )
da cui
x2 =
d Q−
(1,0 m ) (−4,0 ⋅ 10−5 C)
=
= 2,0 m
−
+
Q +Q
−4,0 ⋅ 10−5 C + 2,0 ⋅ 10−5 C
il che equivale a dire che il potenziale si annulla anche all’esterno del segmento di congiunzione, a una distanza dalla carica
positiva pari a (2,0 - 1,0) m = 1,0 m.
Con ragionamento analogo, si trova che il campo elettrico è nullo nel punto di ascissa x3, distante x3 da Q- e x3 - d da Q+:
Q−
Q+
+
=0
2
4 π ε0 x3 4 π ε ( x − d ) 2
0
3
equazione che risulta soddisfatta, all’esterno del segmento di congiunzione, a 2,4 m di distanza dalla carica positiva.
S
. Una volta inserita, la lastra si polarizd
1
1
1
C
=
+
, da cui C' = , dato che C1 = C2 = C. Il sinza e il risultato finale è un sistema di due condensatori in serie:
C' C1 C2
2
109
Prima dell’inserimento della lastra, il condensatore ha capacità C0 = e 0
S
d
. Non resta quindi che calcolare la diffe, quindi in totale C' = C0
d−h
d –h
2
renza di energia immagazzinata nel condensatore con o senza la lastra per ricavare il lavoro compiuto (o estratto):
golo condensatore ha capacità C = ε 0
L = U' – U 0 =
densatore.
1  Q2 Q2  1 Q2  d – h

–
=
– 1 = −3,5 ⋅ 10−6 J . La lastra viene letteralmente risucchiata all’interno del con

2  C' C0  2 C0  d
unità 16 La corrente elettrica nei metalli
127 In un circuito composto da sole resistenze in serie scorre ovunque la medesima corrente. È possibile ricavarla conoscendo
potenziale e resistenza di uno dei resistori: i = V2 R2 = 450 A. La stessa corrente scorre quindi nel terzo resistore, che dissipa una
potenza P3 = R3 i 2 = 1,2 · 107 W. Il circuito composto dai tre resistori in serie è equivalente a un circuito con un solo resistore di
resistenza la somma delle singole resistenze: R = R1 + R2 + R3 = 100 W. Il potenziale ai suoi capi è dunque V0 = R i = 4,5 · 104 V,
che coincide con la forza elettromotrice del generatore ideale. Eliminando ora la prima resistenza, a parità di forza elettromoV0
= 500 A . La nuova potenza dissipata dal terzo resistore è così P93= R3 i9 2 = 1,5 · 107 W.
trice la corrente aumenta: i' =
R2 + R3
L’aumento in percentuale è
P3′ – P3 i' 2 – i2
=
= 23% .
P3
i2
128 Prima di tutto è necessario calcolare la quantità di energia richiesta per portare a ebollizione l’acqua. Una caloria è la
quantità di energia richiesta per innalzare di un grado la temperatura di un grammo d’acqua ed equivale a 4,187 J. Nel caso
in esame si deve innalzare di 80° la temperatura di 5000 g di acqua, quindi sono necessari E = 4,187 m DT = 1,7 MJ. Dovendo
E
= 930,4 W . A causa delle perdite di calore, però, questo
erogare questa energia in 30 minuti, è richiesta una potenza P =
t
P
è solo l’80% della potenza richiesta al resistore, quindi Pr =
= 1163 W . Un resistore attraversato da corrente sviluppa una
0,8
2
V2
V
= 43 W e, grazie alla legge di Ohm, una
, per cui invertendo la relazione si ottiene una resistenza R =
potenza P = R i2 =
Pr
R
V
corrente i = = 5,1 A .
R
7
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unità 17 La conduzione elettrica nei fluidi e attraverso il vuoto
47
È necessario applicare la legge di Faraday, calcolando la quantità di carica come prodotto della corrente per il tempo:
m z NA e
Mit
, da cui i =
. Non è necessario considerare i valori delle costanti presenti nell’ultima formula, perché
Mt
z NA e
R1 + R
i
mediante la legge di Ohm si ha V0 = (R1 + R) i1 = (R2 + R) i2, quindi
= 2 : nel rapporto tra le correnti, tutte le costanti
2
R
+
R
i1
1
si elidono.
m=
Risolvendo l’equazione per R1 si ottiene:
m2 m1
–
i2 – i1
t
t1
R1 = R
=R 2
= 0,5 W
m
m
i1 – 2 i2
1
–2 2
t1
t2
48
Per rispondere al quesito è sufficiente applicare due volte la legge di Faraday, prima per calcolare la corrente, poi il tem-
po. Nella prima fase si ha i =
mO zO N A e
2
2
M O tO
2
. Nella seconda fase invece si ha tAg =
2
mAg z Ag N A e
M Ag i
=
M O mAg z Ag
2
M Ag mO zO
2
2
tO = 167 s .
2
In questo caso è utile non calcolare i valori intermedi (come la corrente), perché il più delle volte le costanti universali si semplificano nell’equazione finale.
49
Prima di tutto è necessario ricavare la massa totale del rame sufficiente alla copertura sferica richiesta:
mCu = 4 p r2 h rCu = 17,9 g
Poi è sufficiente applicare la legge di Faraday per ricavare il tempo:
tCu =
mCu zCu N A e
= 15,5 h
M Cu i
unità 18 Il magnetismo
µ i
Ogni filo percorso da corrente produce un campo magnetico B = 0 che agisce sull’altro filo sottoponendolo a una
πd
2
µ l i2
. Mantenere il sistema in quiete significa introdurre un campo magnetico esterno che contrasti quello
forza F = i l B = 0
2πd
prodotto dai fili, quindi uguale in modulo e opposto in verso rispetto a quest’ultimo:
123
B0 =
µ0 i
= 1,0 ⋅ 10−5 T
2πd
124 Il problema ha una chiara simmetria cilindrica, per cui l’unico parametro geometrico in gioco è la distanza r dall’asse del
cavo. Si considerino separatamente tre intervalli di r : [0, Ri], [Ri, Re], [Re, infinito].
[0, Ri] - Per la legge di Biot-Savart si ha 2 p r B = m0 i. Ma all’interno del conduttore la corrente stessa da considerare dipende da r:
i
. Per ogni circonferenza di
si suppone che sia distribuita uniformemente e si introduce quindi la densità di corrente j =
p Ri2
r2
r2
raggio r, quindi, la corrente concatenata è I ( r ) = j π r 2 = i 2 . La legge di Ampère 2 π r B = µ 0 I ( r ) = µ 0 i
fornisce così
Ri
Ri2
ir
.
il campo magnetico in funzione di r: B ( r ) = µ 0
2 π Ri2
[Ri, Re] - Per circonferenze che contengono interamente il filo interno il campo magnetico è dato semplicemente dal teorema di
µ i
Ampère, considerando la sola corrente interna: B = 0 .
2πr
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8
Soluzioni con passaggi dei problemi
di livello “tre” del volume 2
[Re, infinito] - Per il teorema di Ampère, al campo magnetico esterno al cavo contribuiscono entrambe le correnti, che sono però
uguali in modulo e opposte in verso, quindi si elidono a vicenda. I cavi coassiali sono progettati appositamente per annullare i
campi magnetici residui prodotti dal passaggio della corrente. Quindi per r > Re si ha B = 0.
125 Il campo complessivo della bobina di Helmotz è la somma vettoriale dei campi magnetici prodotti separatamente dalle due
spire circolari. In entrambi i casi nel punto centrale del sistema il campo è diretto lungo l’asse (x nella figura), nella direzione
indicata dalla freccia. Stessa direzione e verso ha quindi il campo complessivo. Per ricavare il modulo è sufficiente applicare la
µ0 i r2
formula B =
3 e notare che la coordinata x entra solo con una potenza pari, per cui c’è una perfetta simmetria tra
2 ( r 2 + x2 )
le due facce della spira.
2
Il modulo del campo totale è quindi la somma dei moduli dei singoli campi valutati in x =
r 8µ i

Btot = 2 B  x =  = 3 0

2
54 r
r
:
2
126 Un filo percorso da corrente produce un campo magnetico attorno a sé con simmetria cilindrica: le linee di campo sono
quindi circonferenze centrate sul filo. La legge di Biot-Savart permette di ricavare l’intensità del campo prodotto data la distanza
dal filo:
µ i
B (r ) = 0 .
2πr
2
d
Il punto P si trova a una distanza rP =   + h2 = 10 cm da entrambi i fili, per cui il triangolo giacente sul pia 2
no perpendicolare ai fili con vertici i due fili e il punto P risulta equilatero. Nel punto P i due campi magnetici formano quindi un angolo di 60°, che va preso in considerazione quando si calcola la somma vettoriale dei due cam
pi: BP = B1 + B2 = B12 + B22 + 2 B1 B2cos ( 60 ) = B 2 1 + cos ( 60 ) = 6,93 ⋅ 10−5 T , con B1 = B2 = B.
(
)
Tra i due fili esiste una forza attrattiva (la corrente scorre in entrambi nello stesso verso) data dalla legge di Ampère:
F µ 0 i2
=
= 8,0 ⋅ 10−4 N/m .
l 2πd
Il passo di una traiettoria elicoidale si ricava dal prodotto della velocità tangenziale con il periodo di rotazione. La prima,
v
. Il secondo,
data l’inclinazione del campo magnetico rispetto alla traiettoria di ingresso del protone, è v par = v cos ( 45 ) =
2
pmv
2pm
= 2,1 m .
dall’espressione della forza di Lorentz, è T =
. Il passo vale dunque s = v par T = 2
eB
eB
127
129 Nella figura, i cavi con il puntino rosso (S, R, P) hanno una corrente uscente dal foglio, mentre il cavo Q ce l’ha entrante.
Mediante la regola della mano destra, il campo prodotto da S è diretto verso R, quello di R verso Q, quello di Q verso R e quello
di P verso S. I campi generati da R e da P nel centro del sistema sono uguali in modulo e contrari in verso, quindi si annullano.
I campi generati da S e Q sono invece paralleli, quindi è sufficiente sommarne i moduli per ottenere l’intensità del campo totale,
diretto verso R:
µ0
Btot = BB + BD =
( iB + iD ) = 6,0 ⋅ 10−5 T,
2 π rO
l
con rO =
semidiagonale del quadrato.
2
Un filo di corrente posto al centro del quadrato e parallelo agli altri è immerso in un campo magnetico rivolto verso R, per cui è
F
soggetto a una forza diretta verso S con intensità = Btot i = 1,2 ⋅ 10−4 N/m .
l
130 Le correnti sono tutte uguali in modulo e uscenti dal foglio, quindi la disposizione dei vettori del campo magnetico nel punto centrale O ha una perfetta simmetria centrale: il campo totale in O è nullo. Al centro di ogni lato, invece, si annullano a vicenµ i
da i campi magnetici prodotti dai due estremi e contribuisce solo il campo prodotto dal filo opposto: B = 0 = 1,33 ⋅ 10−5 T,
2πr
3
l altezza del triangolo.
con r =
2
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