1. No category

 Curso: Matemática
SOLUCIONARIO
CONÉCTATE A LA PSU 4º MEDIO
MATEMÁTICA
1. La alternativa correcta es D
Por no existir paréntesis y las operaciones son multiplicaciones y divisiones, se
resuelve de derecha a izquierda.
2
1
42
:
6
1
12 2
⋅
3 5 25 1 2 3 3 25 3 ⋅ 25
: ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
=3
5 3 3
2 1 5 5 3
25
2. La alternativa correcta es E
2−1
5−1
1
1 1 1 5 5
= 2 = : = ⋅ = = 2,5
1 2 5 2 1 2
5
3. La alternativa correcta es B
5−
1
3
−1
4
=5−
1
1
1
4
=5−
= 5 − 1: − = 5 − 1 ⋅ − = 5 + 4 = 9
3−4
1
4
1
−
4
4
4. La alternativa correcta C
I)
Falsa
1,40555…. Redondeado a la milésima 1,406
1,40555…. Truncado a la centésima 1,40
II)
Falsa
1,40555…. Redondeado a la décima 1,4
1,40555…. truncado a la milésima 1,405
III)
Verdadera 1,40555…. Redondeado a la centésima 1,41
1,40555…. truncado a la décima 1,4
1,41 > 1,4
5. La alternativa correcta es D
I)
Falsa
2 + 5 = 3,65028925 redondeado a la décima es 3,7
II)
Verdadera
− 5 = −2,2360679 redondeado a la centésima -2,24 y es
III)
Verdadera
menor que - 5 luego la aproximación es por defecto.
la cifra que ubica el lugar de la millonesima sube en una
cifra, 1,414213
1
6. La alternativa correcta es C
Al reemplazar las operaciones binarias definidas para dar solución a la ecuación
quedaría:
a * b = 3a + 2b + 1
a ⊗ b = a2 − ab + b2
2*x = 4⊗ x
3 ⋅ 2 + 2x + 1 = 42 − 4x + x2
6 + 2x + 1 = 16 − 4x + x2
7 + 2x = 16 − 4x + x2
x2 − 6x + 9 = 0
( x − 3)
2
=0→x=3
7. La alternativa correcta es B
N=
2 1 2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 3 8 + 3 11
+ =
=
=
= 0,916
3 4
12
12
12
N = 0,916 redondeado a la centésima es 0,92
8. La alternativa correcta es E
I)
Es un número real
II)
III)
Es un número real
Es un número real
4 ⋅ π2 = 2π ∈ !
4− 5 =
16 − 5 , 16 − 5 > 0 luego
16 − 5 ∈ !
las raíces de indice impar siempre seran números reales,
exceptuando si se tiene una fracción con denominador 0.
9. La alternativa correcta es E
2⋅ 3 = 6
2 2 = 22 ⋅ 2 = 4 ⋅ 2 = 8
2 3 = 22 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12
7
5
3 2 = 32 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 18
18 es el valor que se encuentra más alejado
de los 5 números irracionales dados,
de
6
2
10. La alternativa correcta es D
Para este ejercicio buscaremos tres números que cumplan la condición del problema
y luego probaremos cada una de las alternativas, hasta llegar a aquella que es la
falsa.
x=4
y=8
z = 24
A) Verdadera, 4 divide a 24
B) Verdadera, 4 divide a (8 – 24), es decir 4 divide a -16
C) Verdadera, 4 no divide a 9
D) Falsa, 4 divide a (8 – 24)
11. La alternativa correcta es A
I)
II)
Verdadera
Falsa
2 2 = 4 ⋅2 = 8 > 7
cualquier número negativo es menor que un número positivo
III)
Falsa
3 7 = 9 ⋅ 7 = 63; 2 15 = 4 ⋅15 = 60;
63 > 60
12. La alternativa correcta es C
Lo primero es tener claro que x e y son números reales positivos, luego al multiplicar
y/o dividir los miembros de una desigualdad por estos valores, esta no cambiará.
0 < x < y → x < y / + xy
x + xy < y + xy
/factorizando
( ) ( ) / : y ( y + 1)
x (1 + y )
y (1 + x )
<
y ( y + 1)
y ( y + 1)
x 1+ y < y 1+ x
x x +1
<
y y +1
13. La alternativa correcta es D
z−1 =
1
→z=2
2
z3 − z−3
z−3
=
23 − 2−3
2−3
=
1 64 − 1 63
63 1 63 8
8 =
8
= 8 =
: =
⋅
= 63
1
1
1
8 8
8 1
8
8
8
8−
3
14. La alternativa correcta es E
log
8
(log 2)
2
log 2 = x →
2
log
8
( 2)
x
(log 2) = log
2
log 2 = y →
8
( )
8
y
x
x
⎛ 1⎞
x
= 2 → ⎜ 22 ⎟ = 2 → 2 2 = 21 → = 1 → x = 2
2
⎝ ⎠
2
8
y
⎛ 1⎞
= 2 → ⎜ 82 ⎟ = 2 → 23
⎝ ⎠
( )
y
2
3y
= 21 → 2 2 = 21 →
3y
2
= 1 → 3y = 2 → y =
2
3
15. La alternativa correcta es D
I)
Verdadera
II)
III)
Falsa
Falsa
3,87298 redondeado a la unidad es 4, pues la décima es mayor
o igual que 5, luego la cifra a redondear sube en una unidad.
3,87298 truncado a la milésima es 3,872
3,87298 con 3 cifras significativas sería 3,87 y la aproximación
por exceso sería 3,88
16. La alternativa correcta es D
(3
24
)
− 323 : 322 =
324 − 323
22
3
=
324
22
3
−
323
22
3
= 324−22 − 323−22 = 32 − 31 = 9 − 3 = 6
17. La alternativa correcta es C
(
) (
) (
)(
k = xt − yz − ty + zx = xt + zx − yz − ty = x t + z − y z + t = z + t x − y
(z + t ) ( x − y ) > 0
I)
Falsa
II)
III)
Falsa
Verdadera
)
no hay información suficiente para deducir que (x + y) sea un
valor real positivo
no existe informacion que permita concluir que t > z
si no fuese así la expresión sería 0, lo cual no es posible ya que
por condición del problema es mayor que 0
F
M
18. La alternativa correcta es A
La situación planteada se resume en el esquema
adjunto. M: matemática
F: física
L: lenguaje
8
2
10
9
10
6
Con esto se deduce que de los 50, 2 no aprueban
ninguna de las asignaturas.
4
3
L
19. La alternativa correcta es C
(
)(
)
x − 2 x +1
x2 − x − 2
1
=
= 5 → x − 2 = 5 → x = 7 → x −1 = 7−1 → x −1 =
x +1
7
x +1
(
)
Observación: el factor (x + 1) se pudo simplificar ya que por condiciones del
problema x era distinto de -1, luego (x + 1) es distinto de 0.
20. La alternativa correcta es B
−6
2
1
⎛ 0,125 ⎞ ⎛ − 3 ⎞
m
n ⎟
⎜
⎜
⎟ ⋅
1
⎜
⎟ ⎜ 1⎟
3
⎝ n ⎠ ⎜⎝ m2 ⎟⎠
2
⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 ⎞
m8
n3
= ⎜ 1 ⎟ ⋅⎜ 1 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜⎝ n3 ⎟⎠ ⎜⎝ m2 ⎟⎠
−6
2
=
1
6
84
m
n
⋅
2
3
−
n
=m
m
( )
1
− −3
4
2
2−
3
n
2
1
31
6
3
=
m4
2
3
⋅
n
21
1
+3 2−
= m4 n
n2
m−3
2
3
1+12
4
=m
6−2
3
n
13
4
= m 4 n3
21. La alternativa correcta es E
m−1 = 2 → m =
1
;
2
n = 3 → n−1 =
1
, reemplazando en expresión dada, quedaía:
3
1 1
n−1 2 3 1 1 1 1 1
1
3 2 3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 9 + 4 13
+
= + = : + : = ⋅3 + ⋅2 = + =
=
=
−1
m
1 1 2 3 3 2 2
3
2 3
6
6
6
n
3 2
13 26
2⋅
=
6
6
m
22. La alternativa correcta es B
/()2
x+y= 5
x2 + 2xy + y2 = 5 → x2 + y2 = 5 − 2xy
pero xy = 3, luego 2xy =6, reemplazando quedaría
x2 + y2 = 5 − 2xy → x2 + y2 = 5 − 6 = −1 (
lo pedido: x − y
)
2
(
)
= x2 − 2xy + y2 = x2 + y2 − 2xy reemplazando quedaría:
(x
2
+y
2
) − 2xy = −1 − 2 ⋅ 3 = −1 − 6 = −7 5
23. La alternativa correcta es A 1
−1
→ −x =
a −1
a −1
⎛ 1 ⎞
1
→ x −1 = ⎜
El recíproco de x es x-­‐1, luego x =
⎟ = a − 1 a −1
⎝ a − 1⎠
El inverso aditivo de x es –x, luego x =
24. La alternativa correcta es D (2a + 1)
−1
=
1
1
1
→
= → 2a + 1 = 5
5
2a + 1 5
(
) (
) = (a + 2b)
lo pedido: b2 + 4ab + 4a2 = b + 2a
2
2
= 52 = 25
25. La alternativa correcta es A
Al ser x e y los números pedidos y plantear la ecuación quedaría:
x+y=9
2
2
x −y =9
→
x+y=9
(x + y) (x − y) = 9
→
x+y=9
(
)
9 ⋅ x − y = 9 /:9
→
x+y=9
x−y =1
Al resolver por reducción el sistema quedaría:
x+y=9
+ → 2x = 10 → x = 5
x−y =1
Al reemplazar en la primera ecuación para determinar y quedaría:
x+ y = 9→5+ y = 9→ y = 9−5→ y = 4
26. La alternativa correcta es A
Si
-1 < x < 3, entonces
x<3
x > −1
Luego, si x < 3 entonces x2 < 9, como x2 no puede tomar valores negativos,
entonces S1 : 0 ≤ x2 < 9
Si x > -1, entonces S2 : x2 ≥ 0
Luego S1 ∩ S2 : 0 ≤ x2 < 9
6
27. La alternativa correcta es C
S1 : x < 6
6
S2 : x ≥ −2
-2
La solución del istema sería entonces los números que se encuentran entre -2 y 6,
tomando el -2 y dejando fuera el 6.
28. La alternativa correcta es B
El perímetro del rectángulo de lados (a – 1) y (a +3) es a lo menos 12 cm, entonces
la inecuación quedaría:
(
) (
)
2 a − 1 + 2 a + 3 ≥ 12
2a − 2 + 2a + 6 ≥ 12
4a + 4 ≥ 12 → 4a ≥ 8 → a ≥ 2
El menor valor que puede tomar a es 2, luego los menores valores para los lados
rectágulo serían:
a −1 = 2 −1 = 1 y a + 3 = 2 + 3 = 5
Luego el menor valor para el área del rectángulo sería:
A = 1 ⋅ 5 = 5 cm2
29. La alternativa correcta es B
Al plantear la ecuación quedaría:
2 ⋅ 324−x = 4 ⋅ 83x+5
( )
2 ⋅ 25
4−x
( )
= 22 ⋅ 23
3x+5
21 ⋅ 220−5x = 22 ⋅ 29x+15
21+20−5x = 22+9x+15
21 − 5x = 17 + 9x
−5x − 9x = 17 − 21
4
2
−14x = −4 → x =
→x=
14
7
⎛ 2⎞
2
El recíproco de x es x , luego x = → x −1 = ⎜ ⎟
7
⎝ 7⎠
-1
7
−1
→ x −1 =
7
2
30. La respuesta correcta es E
f(x) = 2x + 1, g(x) = x2
Si f(g(x))= 9, entonces, reemplazando las funciones quedaría:
( ( )) = 9 → f (x ) = 9 → 2x
2
f g x
2
+ 1 = 9 → 2x2 = 8 → x2 = 4 → x = ± 4 → x = ±2
luego el valor que puede tomar x es 2 o -2
31. La alternativa correcta es D
a
b
1
2
2 ⋅1
2
16
2⋅8
3
54
2 ⋅ 27
4
128
2 ⋅ 64
5
250
2 ⋅125
2 ⋅13
2 ⋅ 23
2 ⋅ 33
2 ⋅ 43
2 ⋅ 53
De la tabla se puede concluir que b = 2 ⋅ a3 , si a = 2,5 entonces
b = 2 ⋅ 2,53 = 2 ⋅15,625 = 31,25
32. La alternativa correcta es B
La función se define según f(2x + 1) = x2 – 7x + 6
Se pide f(3), el valor de x para que que 2x + 1 sea igual a 3, luego:
2x + 1 = 3 → 2x = 2 → x = 1 , luego se debe reemplazar por x = 1
() (
)
f 3 = f 2 ⋅1 + 1 = 12 − 7 ⋅1 + 6 = 1 − 7 + 6 = 0
33. La alternativa correcta es E
El punto a es el vértice de la parábola dada de ecuación y =
x2 – 3x – 1 , la distancia del punto a al eje de las abscisas
(eje x) es el valor absoluto de la ordenada del vértice (k),
2
4ac − b
,
4a
quedaría:
para determinar k se debe utilizar la relación k =
reemplazando
2
daa = 2k = 2 ⋅ −
1
valores
( )
4 ⋅1 ⋅ −1 − −3
4ac − b
=
4a
La
distancia
k=
los
4 ⋅1
entre
2
a
=
correspondientes
−4 − 9
13
=−
4
4
y
su
homólogo
13
26
13 13
= −
= −
=
4
4
2
2
8
y
-k
a1
│2k│
k
a1
es
a
x
34. La alternativa correcta es D
( ) x − 1 para x ≥ 1
g(x) =
⎪⎧5 si x < 1
f (x) = ⎨
⎩⎪−2 si x ≥ 1
g x =
Se define
I)
II)
III)
Verdadera
y
f(g(x)) solo estará definida para x ≥ 1 por estar g(x)
definida solo para estos valores.
( ( )) ( 1 − 1 ) = f (0 ) = 5
g ( f (1)) = g ( −2) y g(-2) no esta definida
g ( f ( −5)) = g (5) = 5 − 1 = 4 = 2 ≠ 4
f g1 =f
Falsa
Falsa
35. la alternativa correcta es D
2x − 1
> 0 entonces
3x + 4
2x − 1 > 0
2x − 1 < 0
ó
3x + 4 > 0
3x + 4 < 0
Si f(x) =
Se solucionaran cada uno de los sistemas y luego las soluciones seran unidas.
2x − 1 > 0
2x > 1
→
→
3x + 4 > 0
3x > −4
x>
1
2
x>−
4
3
→x>
⎤1
⎡
1
→ x ∈ ⎥ ,+∞ ⎢ 2
⎦2
⎣
2x − 1 < 0
2x < 1
→
→
3x + 4 < 0
3x < −4
x<
1
2
x<−
4
3
→x<−
⎤
4
4⎡
→ x ∈ ⎥ −∞,− ⎢
3
3⎣
⎦
⎤
⎡
4 ⎡ ⎤1
Solución: ⎥ −∞,− ⎢ ∪ ⎥ ,+∞ ⎢ 3 ⎣ ⎦2
⎦
⎣
36. La alternativa correcta es C
I)
II)
Verdadera
Verdadera
III)
Falsa
por criterio LLA>
las bisectrices correspondiente a los ángulos basales por
criterio ALA
solo si el triángulo es acutángulo
9
37. La alternativa corecta es D
( −3,5) + t (h,k ) = (2,−4)
t (h,k ) = (2,−4) − ( −3,5)
t (h,k ) = (2 − (−3),−4 − 5)
t (h,k ) = (5,−9)
38. La alternativa correcta es B
Para que el cuadrilátero sea un rectángulo, el producto de las pendientes de las
rectas que contienen dos lados consecutivos debe ser -1. En caso que uno de los
lados del rectángulo sea paralelo al eje x, una de las rectas tendrá pendiente 0 y la
otra esta indeterminada, pues deberá ser paralela al eje y
Los vértices dados son A(4,-5) y B(-2,-5), el tercer vértice que se dará en cada una
de las opciones será 0.
I)
No puede ser vértice
A(4,-5), B(-2,-5) y C(0,4)
No puede ser vértice
−5 − (−5)
=0
−2 − 4
4 − (−5)
9
mAC =
=− ≠∞
0−4
4
A(4,-5), B(-2,-5) y C(5,-2)
mAB =
II)
−5 − (−5)
=0
−2 − 4
−2 − (−5) 3
=
= ≠∞
5−4
1
mAB =
mAC
III)
Puede ser vértice
A(4,-5), B(-2,-5) y C(4,5)
−5 − (−5)
=0
−2 − 4
5 − (−5) 10
=
=
→∞
4−4
0
mAB =
mAC
39. La alternativa correcta es D
I)
II)
Verdadera
Verdadera
III)
Verdadera
por tener los vectores la misma dirección y sentido
al ser los vectores perpendiculares, el vector suma
corresponde a la hipotenusa del triángulo de catetos 3 y
4
al tener igual dirección y sentido el vector suma
corresponde a la suma de los vectores de cada uno de
ellos.
10
40. La alternativa correcta es D
( ) ( )
(5 − 1) + (5 − 2) = 4 + 3 = 25 = 5
B (5,5) ,C (11,m) → d = (m − 5) + (11 − 5) = (m − 5) + 6 = (m − 5)
2
A 2,1 ,B 5,5 → dAB =
2
2
2
2
2
2
2
2
BC
por condiciones del problema
dAB =
+ 36
1
⋅ d , reemplazando
2 BC
(m − 5) + 36 / ⋅2
10 = (m − 5) + 36 / ()
100 = (m − 5) + 36
100 − 36 = (m − 5)
64 = (m − 5) /
5=
1
⋅
2
2
2
2
2
2
2
8 = m − 5 → m = 13
41. La alternativa correcta es B
D
El area del círculo es A = π ⋅ r2 , el área del circulo dado es
A=
12
169
π , igualando, quedaría:
4
169
169
13
13
A
π → r2 =
→r =
4
4
2
El díametro AB de la circunferencia sería entonces
13
AB = 2r = 2 ⋅
= 13
2
El triángulo ABC es rectángulo en D por estar inscrito en una semicircunferencia.
π ⋅ r2 =
B
Por trío pitagórico el cateto AD mide 5.
42. La alternativa correcta es D
F
G
Por condiciones del problema ACEG y BDFH son cuadrados,
pues el rombo no es posible inscribirlo en una circunferencia.
I)
Verdadera
por ser ACEG cuadrado
II)
Verdadera
III)
Verdadera
por HD diámetro de la circunferencia,
luego el triángulo HAD es rectángulo en
A
por ser la cuarta parte de la
circunferencia, las cuerdas iguales
determinar arcos congruentes
11
E
D
H
C
A
B
43. La alternativa correcta es B
x es el doble de y, entonces x = 2y
y es la cuarta parte de z, entonces y =
al reemplazar en lo pedido quedaría:
1
z → 4y = z
4
x 2y 2 1
=
= =
z 4y 4 2
44. La alternativa correcta es D
R
Para resolver este ejercicio nos apoyaremos en el triángulo
especial 30º, 60º, 90º
a 3
A punto medio del lado del triángulo, luego AP = 8 cm
Triángulo PQR, triángulo especial 30º, 60º, 90º, si AP = 8 cm,
entonces por condición del triángulo PB = 4 cm (revisar medidas
de triángulo especial). 8
30º
2a
60º
A
C
6 3
8
a
60º
P
4
B
12
Si PB = 4 cm entonces BQ = 8cm
Triángulo BQC, triángulo especial 30º, 60º, 90º, si BQ = 12 cm, entonces por
condición del triángulo BC = 6 3 cm (revisar medidas de triángulo especial).
45. La alternativa correcta es B
El perímetro de la circunferencia es P = 2πr , el perímetro de la circunferencia dada es
9
2
Triángulo APO rectángulo de hipotenusa 7,5 cm y cateto 4,5 cm, al aplicar el teorema
de Pitágoras se determina valor del cateto AP.
P = 9π , al igualar quedaría: 2 πr = 9 π → 2r = 9 → r =
OA2 + AP2 = OP2
(4,5)
2
2
7,5
( )
+ AP2 = 7.5
⎛ 9⎞
⎛ 15 ⎞
2
⎜ 2 ⎟ + AP = ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
O
2
4,5
A
81
225
+ AP2 ==
4
4
225 81
AP2 =
−
4
4
144
AP2 =
→ AP = 36 → AP = 6
4
12
P
Q
46. La alternativa correcta es A
D
4
60º
30º
C
8
4 3
4 3
30º
60º
A
B
4
Por ser DB diámetro, triángulo BAD rectángulo en A, de hipotenusa 8 y cateto 4 3 ,
al aplicar elteorema de pitágoras quedaría:
( ) = 8 → AB + 16 ⋅ 3 = 64
AB2 + AD2 = DB2 →→ AB2 + 4 3
2
2
2
AB2 = 64 − 48 → AB2 = 16 → AB = 16 → AB = 4
Por ser DB diámetro, triángulo BCD rectángulo en C, de hipotenusa 8 y cateto 4,
al aplicar el teorema de Pitágoras quedaría:
BC2 + CD2 = DB2 → BC2 + 42 = 82 → BC2 + 16 = 64
BC2 = 64 − 16 → BC2 = 48 → BC = 48 → BC = 16 ⋅ 3 → BC = 4 3
Triángulo BCD triángulo especial, !BDC = 60º , !DBC = 30º
I)
Verdadera
II)
III)
Falsa
Falsa lados opuestos congruentes, lados consecutivos
diferentes, ángulo interiores rectos
!BDC = 60º
el ángulo recto queda dividido en 30º y 60º 47. La alternativa correcta es C
D
ΔABG ∼ ΔCDG , por teorema AA, los lados AB y DC son
homólogos, luego la razón de semejanza será
AB 2 x 2
k=
=
=
DC
1
x
los lados AG y GD son
AG 2
AG 2
2 ⋅2
= →
= → AG =
=4
GC 1
2
1
1
homólogos,
13
luego
E
A
x
G
2x
C
F
B
48. La alternativa correcta es A
D
El triángulo ABC rectángulo en C, por trío
pitagórico AC = 16 cm, por ser DC = 1 cm, AD =
15 cm.
El
área
del
triángulo
ABC
es
AC ⋅ BC 16 ⋅12
A ΔABC =
=
= 96 cm2
2
2
C
α
15
12
9
β
α
12
A
E
20
ΔABC ∼ ΔADE por teorema A-A
20 4
=
15 3
La razón de las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón
de dos lados homólogos, luego
Los lados AB y AD son lados homólogos, luego la razón de semejanza será k =
A ΔABC
A Δ ADE
6
2
⎛ 4⎞
A
16
96
16
96 ⋅ 9
= ⎜ ⎟ → ΔABC =
→
=
→ A Δ ADE =
→ A Δ ADE = 54 cm2
A Δ ADE
9
A Δ ADE
9
⎝ 3⎠
16 1
Área achurada pedida: A A = A ΔABC − A ΔADE = 96 − 54 = 42 cm2
49. La alternativa correcta es E
Para encontrar la pendiente de una recta de ecuación dada lo más conveniente es
escribirla en forma principal, es decir: y = mx +n
Ax + 3y − 5 = 0 → 3y = −Ax + 5 → y = −
A
5
A
x + → m1 = −
3
3
3
2y + x
2y + x
1
1
+7 = 0→
= −7 → 2y + x = −14 → 2y = −x − 14 → y = − x − 7 → m2 = −
2
2
2
2
Para que las ectas sean perpendiculares, el producto de sus pendientes debe ser -1,
es decir: m1 ⋅ m2 = −1 → −
A 1
A
⋅ − = −1 → = −1 → A = −6
3
2
6
50. La alternativa correcta es C
La relación para determinar la longitud de un
arco AB, de circunferencia de radio r que se
encuentra sobre un ángulo de centro α , es
! 2πr ⋅ α
AB =
360
En la figura, !ACB = 30º → !AOB = 60º (ángulo de
centro que subtiente igual arco que ángulo de
centro).
1
10
5
! 2π ⋅ 5 ⋅ 60
Lo pedido AB =
=
π= π
6
3
360 6
14
C
O
α
B
A
B
51. La alternativa correcta es A
I)
Verdadera
al reemplazar (-6,3) en la ecuación x + 4y – 6 = 0,
?
?
resulta x + 4y − 6 = 0 → −6 + 4 ⋅ 3 − 6 = 0 → −12 + 12 = 0
luego el punto pertenece a la recta.
II)
Falsa
al escribir la ecuación en forma principar resulta
x + 4y − 6 = 0 → 4y = −x + 6 → y = −
1
6
1
3
x+ →y= − x+
4
4
4
2
la pendiente de la recta sería m = −
III)
Falsa
el coeficiente de posición es n =
1
4
3
2
52. La alternativa correcta es C
La ecuación de una recta se puede determinarval conocer dos puntos que contiene,
en este caso tenemos el punto A(2,1) y el segundo lo determinaremos al resolver el
sistema asosiaco a las ecuaciones de la recta L1 y L2.
2x + 3y = 6 / ⋅ − 2
2x + 3y − 6 = 0
→
5x + 2y − 4 = 0
5x + 2y = 4 / ⋅3
→
()
−4x − 6y = −12
+ → 11x = 0 → x = 0
15x + 6y = 12
Para determinar y, reemplazamos en la primera ecuación:
2x + 3y = 6 → 2 ⋅ 0 + 3y = 6 → 3y = 6 → y = 2 , entonces el punto B(0,2) es el
punto de intersección de las rectas L1 y L2.
La ecuación de la recta que pasa por 2 puntos se determina según la relación
y − y1 y2 − y1
=
x − x1 x2 − x1
luego la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y B(0,2) sería
y − y1 y2 − y1
y −1 2 −1
y −1
1
=
→
=
→
=
x − x1 x2 − x1
x−2 0−2
x − 2 −2
(
)
(
)
1 x − 2 = −2 y − 1
x − 2 = −2y + 2
2y = −x + 4
1
y = − x+2
2
15
53. La alternativa correcta es E
y
A
x
B
El centro de simetría del segmento BA corresponde al punto medio de éste, si
llamamos P a este punto, se tendrá:
⎛ −1 + 3 −2 + 0 ⎞
⎛ 2 2⎞
P⎜
,
= P ⎜ ,− ⎟ = P 1,−1
⎟
2 ⎠
⎝ 2
⎝ 2 2⎠
(
)
54. La alternativa correcta es E
I)
Falsa
II)
III)
Falsa
Falsa
esto solo se cumple cuando la razón de homotecia es
k = -1
solo es verdadero en el caso que k = -1
la homotecia generalmente varía tamaño de las figuras
y/o cambia posición de ellas respecto a su centro
55. La alternativa correcta es D
!
!
Al ser los vectores a y b iguales, significa que tienen igual dirección (son paralelos),
igual sentido y módulo (de igual tamaño), por esta razón además el cuadrilatero
ABCD determinado, es un paralelogramo.
I)
Verdadera
II)
III)
Verdadera
Falsa
tienen igual dirección (paralelos), sentido y módulo (igual
tamaño)
expuesto más arriba
no existe información que permitaconcluir que los
vectores sean perpendiculas
16
56. La alternativa correcta es A
D
C
7A
A
E
F
9A
4p
15A
A
B
Diremos que el cuadrado ABCD tiene área 32A, luego área de los triángulos ABD y
DCB es 16A.
AD
CF 1
→
= → CF = p y AD = 4p , por ser las rectas paralelas, entonces DE = p
4
AD 4
y CB = 4P
CF =
DE
p
1
=
=
DA 4p 4
la razón de las área de estos triángulos es igual al cuadrado de la razón de los lados
ΔEHD ∼ ΔABD , la razón de semejanza sería k =
homólogos, luego A Δ
A ΔEHD
A ΔABD
2
⎛ 1⎞
A
1
= ⎜ ⎟ → ΔEHD =
A ΔABD 16
⎝ 4⎠
como A ΔABD = 16A → A ΔEHD = A
BF 3p 3
=
=
BC 4p 4
la razón de las área de estos triángulos es igual al cuadrado de la razón de los lados
ΔBHF ∼ ΔBDC , la razón de semejanza sería k1 =
homólogos, luego
A ΔBHF
A ΔBDC
2
⎛ 3⎞
A
9
= ⎜ ⎟ → ΔEHD =
A ΔABD 16
⎝ 4⎠
como A ΔBDC = 16A → A ΔBHF = 9A y AHFCD = 7A
Lo pedido, razón entre razón de área achurada y no achurada.
Área achurada: 15A + 7A = 22A
22 A
10 A
=
Área no achurada: A + 9A = 10A
22
11
10 5
=
17
11
5
57. La alternativa correcta es C
4
π ⋅ r3 , en este
3
caso el volumen es conocido, este dato permite determinar el radio de la esfera
4
32
4
32
V = π ⋅ r3 →
π =
π ⋅ r3 → 32 = 4 ⋅ r3 → r3 =
→ r3 = 8 → r = 3 8 → r = 2
3
4
3
3
La relación que permite determina el volumen de una esfera es V =
Si el radio de la esfera es 2, entonces el radio de la base del cilindro es r = 2 y su
altura es h = 4 (h=2r).
El área de un cilindro de radio y altura conocida es V = 2πrh + 2πr2 , reemplazando:
V = 2πrh + 2πr2 = 2π ⋅ 2 ⋅ 4 + 2π ⋅ 22 = 16π + 8π = 24π
58. La alternativa correcta es B
Para que el punto pertenezca a la recta al reemplazar las coordenadas, el valor del
parámetro t resultante debe ser igual, así el punto (-1,6) pertenece a la recta
porque:
() (
) (
) (
v t = 2 − 3t,1 + 5t → −1,6 = 2 − 3t,1 + 5t
)
−1 = 2 − 3t → 3t = 3 → t = 1
6 = 1 + 5t → 5 = 5t → 1 = t
Como en ambos casos t = 1, el punto (-1,6) pertenece a la recta.
59. La alternativa correcta es A
!
!
!
a = 4,−1,2 , b = 1,2,3 , c = −3,0,1
! "! ! !
2a + x = b − c
"!
2 4,−1,2 + x = 1,2,3 − −3,0,1
"!
8,−2,4 + x = 1 − (−3),2 − 0,3 − 1
"!
x = 4,2,2 − 8,−2,4
"!
x = 4 − 8,2 − (−2),2 − 4
"!
x = −4,4,−2
(
(
(
(
(
(
)
)
(
)
) (
)
(
)
(
(
) (
)
)
)
18
)
)
60. La alternativa correcta es E
Si el número impar central es p, entonces los 5 números consecutivos serían:
p–4
p–2
p
p+2
p+4
la media aritmética de estos datos sería:
x=
(p − 4) + (p − 2) + p + (p + 2) + (p + 4) = 5p = p
5
5
la varianza de un conjunto de datos, siendo n el número de ellos y x la media
aritmética, se determina según la relación:
(x − x) + (x − x) + (x − x) + .........(x − x)
V=
2
2
1
2
2
2
3
n
n
al reemplazar los datos quedaría:
(p − 4 − p) + (p − 2 − p) + (p − p) + (p + 2 − p) + (p + 4 − p)
V=
2
( −4) + ( −2)
2
V=
2
Falsa
Verdadera
III)
Verdadera
2
2
5
2
+ 0 + 22 + 42
5
I)
II)
2
=
16 + 4 + 4 + 16 40
=
=8
5
5
la varianza es 8
mayor de los datos: p + 4 menor de los datos: p – 4
(p + 4) – (p – 4) = p + 4 – p + 4 = 8
si en particular el número central es 5, la varianza
siempre será 8.
61. La alternativa correcta es D
Promedio
6,0
6,2
6,5
6,7
Alumnos (frecuencia)
2
5
8
5
I)
II)
Falsa
Verdadera
III)
Verdadera
la moda es 6,5 y tiene frecuencia 8
15 alumnos tienen promedio inferior a 6,6 que
corresponde al 75% de los 20 alumnos que son
la mediana corresponde al promedio de los datos que se
encuentran en el lugar 10 y 11, en este caso ambos datos
son 6,5
19
Frecuencia acumulada
2
7
15
20
62. La alternativa correcta es C
Escribiremos en función de la variable x la probabilidad que gane cada uno de ellos.
Probabilidad que gane Rocío:
x
Probabilidad que gane Felipe:
3x
Probabilidad que gane Sofía:
6x
La suma de las probabilidades será 1, luego:
x + 3x + 6x = 1 → 10x = 1 → x =
la probabilidad que gane Rocío es entonces
1
10
1
10
63. La alternativa correcta es C
Probabilidad que ninguna de las fichas extraídas sea blanca es P(X = 0) =
Probabilidad que ambas fichas extraídas sea blanca es P(X = 2) =
3 2
6
⋅ =
7 6 42
4 3 12
⋅ =
7 6 42
La probabilidad entonces que el número de fichas blancas extraídas sea par (0 ó 2)
3
6 12 18
3
será: p =
+
=
=
7
42 42 42
7
64. La alternativa correcta es D
I)
2
, entonces la 9
Verdadera
si la probabilidad que este dañada es
Falsa
7
9
si llamamos x al número de manzanas sanas, entonces
probabilidad que este sana (el complemento) es
II)
20
III)
Verdadera
7
x
7 ⋅ 180
=
→
= 7 ⋅ 20 = 140
9 180
91
como la razón entre las dañadas y el total es 2 es a 9,
entonces por cada 9 manzanas 2 estarán dañadas
65. La alternativa correcta es A
Como so deben ser marraquetas, los casos favorables serán 5 (colisas ó hallullas)
5
4
1
1
3
5
p=
⋅
⋅
==
7
42
93 82
20
66. La alternativa correcta es E
Si la probabilidad que llueva es 15%, la probabilidad que no llueva es 85% (el
complemento)
67. La alternativa correcta es C
Es una permutación de 6 elementos, pues cada matrimonio por ir junto se cuente
como 1 elemento, luego el número de maneras de ordenarse es 6!
68. La alternativa correcta es B
Son 7 las ampolletas no quemadas de 10, si al extraer 3 la probabilidad que todas
21
1
7
6
5
7
no estén quemadas es p =
⋅
⋅
=
10 2 9 3 8 4 24
69. La alternativa correcta es A
De todos los 13 posibles amigos secreto que le pueda tocar, solo dos de ellos son
favorables para ella, luego la probabilidad que le toque alguno de sus amigos es
p=
2
13
70. La alternativa correcta es E
I)
II)
III)
Verdadera al ser todos los valores iguales la desviación estándar es 0
Verdadera al ser la desviación estándar 0 (I), la varianza también lo es
Verdadera la media y la mediana coinciden, por ser los datos iguales
71. la alternativa correcta es A
Los elementos del conjunto serían:
4
5
6
7
I)
II)
III)
Falsa
8
10
la mediana es 7
4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 49
=
= 7 que coincide con el
7
7
valor de la mediana
Verdadera
el rango es diferencia entre el dato de mayor valor y el
dato de menor valor, en este caso [10 – 4 = 6]
Verdadera
x=
21
9
72. La alternativa correcta es C
Puntaje
30
35
40
45
50
I)
Verdadera
II)
Verdadera
III)
Falsa
No alumnos
6
8
12
18
3
alumnos con 40 puntos: 12
alumnos con 35: 8
Hay 4 alumnos mas con 40 puntos que con 35; el 4
corresponde al 50% de los alumnos con 35 puntos (8).
alumnos con 50 puntos: 3
alumnos con 30: 6
3 es el 50% de 6
alumnos con 35 puntos: 8
La décima parte de 18 es 1,8
alumnos con 45: 18
73. La alternativa correcta es E
X
P(X ≤ xi)
P(X = xi)
1
0,10
2
0,25
3
0,35
4
0,7
5
0,85
6
1
0,10
0,15
0,10
0,35
0,15
0,15
P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) =0,35 + 0,15 + 0,15 = 0,65
74. La alternativa correcta es C
Si escribimos la ecuación en forma principal quedaría:
a
4
ax − by + 4 = 0 → −by = −ax − 4 → y = x +
b
b
Al reemplazar el punto en la ecuación quedaría:
(
) (
)
ax − by + 4 = 0 → a z + 1 − b z − 3 + 4 = 0
(1) Insuficiente
(2) Insuficiente
(1) y (2)
al conocer el valor de m, es decir la razón entre a y b no es
suficiente para determinar el valor de z
conocer el valor de b no es suficiente para determinar el valor
de z
suficiente, al conocer el valor de b y la pendiente es posible encontrar
el valor de a también, y al reemplazar a y b en la ecuación se
despejará z
22
75. La alternativa correcta es C
(1) Insuficiente
(2) Insuficiente
(1) y (2)
son muchos los números de 2 cifras que sus dígitos suman 13
son 4 los números que cumplen la condición, 31, 52, 73 y 94.
No se puede saber cual de ellos es el número buscado
suficiente, de los 4 posibles números solo en uno de ellos la suma de
sus dígitos es 13, el número 94
76. La alternativa correcta es E
x
La
función
exponencial
−x
f(x) = ka
⎛ 1⎞
+ 2 → f(x) = k ⎜ ⎟ + 2
⎝ a⎠
es
creciente
si
1
>1→ 0 < a <1
a
(1) Insuficiente
(2) Insuficiente
el signo de k no permite concluir que la función es creciente
no permite concluir que la función es creciente
(1) y (2) insuficiente, no es posible determinar si la función es creciente
77. La alternativa correcta es C
(1) Insuficiente
con esta información solo se concluye que las bolitas verdes
representan el 60%
(2) Insuficiente
con esta información solo se tiene la relación entre bolitas de
madera y piedra de color verde
(1) y (2)
suficiente al saber el porcentaje de bolitas de color verde y la relación
entre las que son de madera y de piedra es posible determinar la
probabilidad que al extraer una bolita esta sea verde y de madera
78. La alternativa correcta es A
(1) Suficiente
(2) Insuficiente
si 3a + 4b es positivo, la raíz cuadrada será un número real
si 3a > 4b entonces 3a – 4b >0, esta relación no permite
determinar que la raíz cuadrada de 3a + 4b sea un número real
79. La alternativa correcta es B
(1) Insuficiente
(2) Suficiente
con esta información no es posible saber la frecuencia de cada
una de las notas
al conocer todas frecuencias de los datos involucrados es posible
determinar la media aritmética del conjunto
23
80. La alternativa correcta es C
(1) Insuficiente que la base mida 6 cm no permite
encontrar lo pedido
(2) Insuficiente si la bisectriz del triángulo mide 4 cm no
es posible determinar el radio de la circunferencia que
es lo que permitiría determinar la longitud (perímetro
de la circunferencia)
(1) y (2) por ser CD altura, transversal de gravedad
además de bisectriz CE es diámetro de la
circunferencia. Por teorema de las cuerdas es posible
encontrar ED, con esto el diámetro lo cuál es
suficiente para encontrar la longitud de la circunferencia.
24
C
4
A
3
3
D
E
B