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Mathématiques
Devoir maison n°9
1
ère
À rendre le
21 mai 2015
S4
Exercice 1 Une réserve africaine
Dans une réserve africaine les observateurs en place ont constaté que la population d’antilopes est en
baisse de 10% tous les ans depuis plusieurs années. Actuellement, en 2014, cette population a été évaluée
à 500 animaux. On fait l’hypothèse que cette tendance va se poursuivre dans les années à venir. On
s’intéresse à l’évolution de la population d’animaux à partir de 2014. La situation peut être modélisée
par une suite (Un ), le terme Un donnant une estimation du nombre d’animaux dans la réserve l’année
2014 + n.
Partie A :
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
1.
- P et Q sont des nombres réels
- N est un nombre entier
- Saisir une valeur pour Q
- Affecter à N la valeur 0
- Affecter à P la valeur 500
Tant que P > Q faire
- Affecter à P la valeur 0, 9 × P
- Affecter à N la avaleur N + 1
Fin du tant que
- Afficher N
a) On saisit la valeur 300 pour Q. Pour cette valeur de Q, en suivant pas à pas l’algorithme
précédent, recopier le tableau ci-dessous et le compléter en ajoutant autant de colonnes que
nécessaire (c’est-à-dire jusqu’à avoir un faux dans la boucle "Tant que").
Valeur de P
Valeur de N
Tant que P > Q
500
0
vrai
b) Pour la valeur 300 saisie, comment interpréter le résultat de cet algorithme ?
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice ou d’Algobox, la plus petite valeur de n telle que Un < 1 et
interpréter ce résultat.
Partie B :
Afin de compenser cette baisse de population, on décide d’introduire dans cette réserve, tous les ans
dès 2015, 80 antilopes dans une autre réserve.
1. Donner dans un tableau, l’évolution de cette population de 2014 à 2020.
2. On se place dans l’hypothèse d’une disparition de 10% de la population tous les ans et d’une
introduction de 80 animaux nouveaux (dont la mortalité est supposé nulle). Pour tout entier naturel
n, on note Vn la population de ces animaux en 2014 + n. On a V0 = 500.
Donner l’expression de Vn+1 en fonction de Vn .
3. On considère la suite (Wn ) définie pour tout entier naturel n par Wn = Vn − 800.
a) Montrer que (Wn ) est une suite géométrique de raison 0, 9.
b) En déduire que, pour tout entier naturel n, Vn = 800 − 300 × 0, 9n .
c) En procédant ainsi, les responsables de la réserve ont-ils endigué la chute de la démographie
des antilopes ? Expliquer.
Exercice 2 Philatélie mathématique
Un mathématicien philatéliste acquiert un lot très important de timbres en vrac aux sujets variés.
Son fournisseur lui a assuré que le lot contenait 5% de timbres sur le thème des mathématiques.
Partie A :
Le philatéliste tire cinq timbres au hasard. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de timbres
de mathématiques obtenus. Compte tenu de la quantité importante de timbres, on considère que la
probabilité de succès reste identique après chaque tirage. Dans cette partie, on suppose aussi que le
fournisseur dit la vérité.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité d’obtenir un seul timbre de mathématiques.
3. Calculer la probabilité d’obtenir au moins un timbre de mathématiques.
Partie B :
Le philatéliste pioche à présent 80 timbres. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de timbres
de mathématiques obtenus.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par Y.
2. À l’aide de la table de probabilités cumulées ci-dessous, déterminer l’intervalle de fluctuation à 95%
de la fréquence correspondant à Y.
3. Parmi les 80 timbres, seulement deux font référence aux mathématiques. Peut-on suspecter le fournisseur d’avoir menti ?
Bonus ! Répondez à l’énigme de la quinzaine
sur :
http://rallymaths.free.fr/