´matiques II (G. Favi)
Mathe
Section d’Architecture
EPFL
Exercices — S´
erie 9
Exercice 1.
(a) Donner une ´equation param´etrique de la sph`ere de rayon 1 centr´ee en 0
x2 + y 2 + z 2 = 1 .
(b) L’´equation implicite d’un ellipso¨ıde est
x2 y 2 z 2
+
+
=1
a2 b2 c2
(o`
u a, b et c sont des constantes). Modifier l’´equation param´etrique de la sph`ere ci-dessus
pour obtenir une ´equation param´etrique de l’ellipso¨ıde, puis expliquer ce que repr´esentent les
constantes a, b et c dans l’ellipso¨ıde.
Exercice 2. La trompette de Gabriel est la surface obtenue en faisant tourner l’hyperbole
y=
1
x
pour 1 ≤ x
autour de l’axe Ox:
donne
y
y= x1
x
(a) Calculer le volume engendr´e par cette surface de r´evolution, et v´erifier qu’il est fini.
(b) Montrer que la surface lat´erale de cette surface de r´evolution est infinie.
Exercices du 1 mai 2015
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(c) En conclure le paradoxe mis en ´evidence par Evangelista Torricelli (physicien et math´ematicien
italien, 1608–1647):
La quantit´e de peinture n´ecessaire pour peindre la trompette de Gabriel est infinie,
mais la quantit´e de peinture n´ecessaire pour la remplir (et donc la peindre) est finie.
Peut-on “r´esoudre” ce paradoxe?
Indication. Pour (b), montrer que la surface lat´erale pour x compris entre 1 et une constante a
est plus grande que
2π ∫
1
a
1
x
dx ,
puis ´evaluer cette int´egrale lorsque a “croˆıt sans borne” (i.e. “devient infiniment grand”).
Exercice 3. On consid`ere deux cercles de rayon 1 dans l’espace: le premier cercle est contenu
dans Oxy et de centre A = ( 12 , 0, 0), le second est contenu dans Oxz de centre B = (− 12 , 0, 0).
(a) On consid`ere la droite par P = (− 32 , 0, 0) tangente au cercle horizontal, le point de tangence
T dans le premier quadrant et Q = ( 32 , 0, 0). Trouver les coordonn´ees de T , et d´eterminer
̂.
l’angle t = QAT
(b) On consid`ere la surface r´egl´ee dont une param´etrisation est engendr´ee par les deux courbes
α(t) = ( cos(t) + 21 , sin(t), 0) ,
(− 2π
3 ≤t≤
2π
3 )
β(t) = ( 1+cos(t) − 12 , 0,
cos(t)
√
1+2 cos(t)
1+cos(t) )
pour sa partie sup´erieure, et par
α(t) = ( cos(t) + 21 , sin(t), 0) ,
β(t) = ( 1+cos(t) − 12 , 0, −
cos(t)
√
1+2 cos(t)
1+cos(t) )
2π
erieure. V´erifier que dans chaque cas α d´ecrit une portion du
(− 2π
3 ≤ t ≤ 3 ) pour sa partie inf´
cercle horizontal et β une portion du cercle vertical, et essayer de d´eterminer quelles parties
exactement (en particulier, trouver l’angle repr´esent´e par le param`etre t). L’olo¨ıde (de Paul
Schatz, sculpteur, inventeur et math´ematicien allemand, 1898–1979) est la partie de cette
surface d´etermin´ee par les segments de droite compris entre les deux cercles, ou de mani`ere
´equivalente, en emballant les deux cercles dans du cellophane:
z
x
y
Donner une param´etrisation de l’olo¨ıde, puis calculer la longueur des segments reliant les
deux cercles.
Note. L’olo¨ıde est non seulement une surface r´egl´ee, mais elle est aussi d´
eveloppable, c’est-`
adire qu’elle peut ˆetre construite en d´ecoupant (puis en recollant) judicieusement un morceau de
papier. Voir http://www.mathcurve.com/surfaces/orthobicycle/orthobicycle.shtml pour
un mod`ele.
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