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Lycée J.P Vernant - 1S9
Mathématiques
Année scolaire 2013-2014
Mardi 8 avril
CONTROLE N◦ 7 (b)
Le barème n'est pas dénitif, il est seulement donné à titre indicatif
Exercice 1 : Formules de trigonométrie
(sur 5,5 points)
1. (a) Placer sur le cercle trigonométrique donné en n d'exercice les points associés aux nombres
Donner les valeurs de : cos
(π )
, sin
6
(b) Rappeler la formule de cos(a − b).
(π )
6
, tan
(π )
6
, cos
(π )
4
et sin
(π )
4
.
π
π
et .
6
4
En déduire, à l'aide des valeurs obtenues dans la question précédente, la formule suivante :
( π ) √2 (√3 + 1)
cos
=
12
4
2. (a) On a placé sur le cercle le point M associé à la valeur d'angle x.
Positionner le point N associé à la valeur
(π
)
π
− x et le point P associé à la valeur π + x.
2
Exprimer sin
− x et cos(π + x) en fonction de cos(x) en faisant apparaitre ces résultats sur le
2
cercle.
(
)
( )
13π
5π
(b) Déterminer les valeurs exactes de cos
et sin
.
12
12
(
)
287π
191π
? En déduire la valeur exacte de cos
.
12
12
3. En utilisant une formule d'addition que vous rappelerez, exprimer cos(2a) en fonction de sin(a).
(c) Quelle est la mesure principale de
Exercice 2 : (In)équations trigonométriques
1. Résoudre :
√
[
]
3
8π 7π
a) sin(x) =
sur − ;
2
3
6
(sur 6,5 points)
[
3π
b) 1+2 cos(x) < 0 sur −π ;
2
2. Soit x ∈ [−5π ; −4π] tel que cos(x) =
]
(
c) cos(2x) = sin
3π
−x
4
)
sur R
2
3
(a) Que vaut sin(x) ?
(b) A l'aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée de x à 10−2 .
Exercice 3 : Angles orientés
(sur 4,5 points)
ABC est un triangle équilatéral direct.
(−−→ −−→) (−→ −→) π
ABD et CAE sont deux triangles rectangles isocèles tels que AD ; AB = AC ; AE = .
2
Soit I le milieu de [BC].
1. Faire une gure.
( −→ −−→)
\ , BAI
[ et −
2. Que valent, en radian, DAE
DE ; DA ? Justier.
3. En déduire, à l'aide des propriétés sur les angles orientés, les mesures principales de
(−−→ −−→)
CE ; DB .
(−−→ −
→)
AD ; AI et
4. Démontrer que (ED) et (AI) sont perpendiculaires.
Exercice 4 : Optimisation
(sur 3,5 points)
1. Etablir le tableau de variations de S : ℓ 7→
1 0, 6
+
+ 4, 8ℓ sur ]0 ; +∞[.
8
ℓ
2. Une entreprise doit réaliser des caisses en plastique sans couvercle de la forme d'un parallélépipède
rectangle de volume intérieur V = 0, 3 m2 . La longueur L est xée à 4,8 mètres.
Comment choisir la largeur ℓ et la hauteur h pour que la quantité de plastique utilisée soit minimale ?