null
טרנספורמציות קונפורמיות Conformal mappings פרופ' נח דנא-פיקארד טבת תשס"ט מנקודות במישור z-אל נקודות במישורw- • השאלה :למה נקודות ,תחומים ,עקומות במישורz- נהפכות במישור?w- • המסגרת :פונקציות אנליטיות 2 טרנספורמציות קונפורמיות 1 תכונה מבוקשת: שמירה על משוואת לפלס תהי Φפונקציה הרמונית בתחום Dבמישור.(x,y)- נתון "שינוי הקואורדינטות" ) w=f (zמ (x,y)-ל,(u,v)- נניח ש :א f .היא פונקציה אנליטית חח"ע בD- ב f ’ .לא מתאפסת ב.D- ג.D’=f (D) . אזי Φהופכת לפונקציה הרמונית במישור.(u,v)- נ.ב .ב' הוא תוצאה של א'. 3 טרנספורמציות קונפורמיות התכונה הקונפורמית – דוגמא ראשונה הפונקציהw = Log z : 6 • על הקשת המוגדרת ע"י 3 π π • על קטעים ישרים המוגדרים ע"י arg z = ,1 ≤ z ≤ 2וarg z = ,1 ≤ z ≤ 2 - π ≤ ≤ arg z π | z |= 1, 6 4 3 טרנספורמציות קונפורמיות 2 הגדרה נתונה העתקה fע"י ).w=f (z אם fשומרת על הזוית )המכוונת( בין כל זוג עקומות העוברות דרך ,z0אומרים ש f -היא טרנספורמציה קונפורמית ב.z0 - אם fקונפורמית בכל נקודה של התחום ,Dאומרים שהי קונפורמית ב.D- 5 טרנספורמציות קונפורמיות f (z)=z2, z=0..1+i 6 טרנספורמציות קונפורמיות 3 f (z)=z2, z=-1-i..1+I היפרבולות 7 ישרים טרנספורמציות קונפורמיות f (z)=z2, z0=0 8 טרנספורמציות קונפורמיות 4 f (z)=z2, z0=1+i 9 טרנספורמציות קונפורמיות משפט תהי fפונקציה אנליטית בתחום .D הפונקציה הזאת קונפורמית בכל נקודה z0כך ש.f ‘(z0)≠0 - נקודה z0כך ש.f ‘(z0)=0 -נקראת נקודה קריטית. 10 טרנספורמציות קונפורמיות 5 דוגמא C1' : v = − 1 − u 2 , 0 < u ≤ 1 1 z C1 : y = x, x > 0 C2' : v = −u C2 : x = 1, y ≥ 1 =w 11 טרנספורמציות קונפורמיות הוכחת המשפט )(1 f z→w 12 טרנספורמציות קונפורמיות 6 הוכחת המשפט )(2 • סיבוב של עקומה • הזוית בין שתי עקומות נשמרת 13 טרנספורמציות קונפורמיות f (z)=z3 14 טרנספורמציות קונפורמיות 7 f (z)=ez 15 טרנספורמציות קונפורמיות 8
© Copyright 2024