‫‪1‬‬ ‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬ ‫א‪ .‬נסמן ) ‪ P( s, t‬נקודה על המקום הגיאומטרי‪ ,‬הפרבולה ‪ , y 2  16 x‬מכאן ש‪. t 2  16 s -‬‬ ‫) ‪ P( s, t‬היא מרכז המעגל המשיק לישר ‪ (0  R  a ) x  R  a‬מימין לישר‪,‬‬ ‫ולכן רדיוס המעגל‪ ,‬שמרכזו ) ‪ , P( s, t‬הוא ‪. s  ( R  a )  s  R  a‬‬ ‫מעגל זה משיק גם למעגל ‪ , ( x  a ) 2  y 2  R 2‬שמרכזו בנקודה )‪ (a, 0‬ורדיוסו ‪. R‬‬ ‫לכן רדיוס המעגל‪ ,‬שמרכזו ) ‪ , P( s, t‬שווה גם להפרש בין אורך קטע המרכזים לרדיוס המעגל ‪. R‬‬ ‫‪( s  a ) 2  (t  0) 2  R  s  R  a‬‬ ‫‪( s  a)2  t 2  s  a‬‬ ‫‪x  Ra‬‬ ‫‪( s  a ) 2  16 s  s  a  t 2  16 s‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪y  16 x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ( s  a ) 2  16 s ) 2  ( s  a) 2‬‬ ‫‪sRa‬‬ ‫‪( s  a ) 2  16 s  ( s  a ) 2‬‬ ‫) ‪P( s, t‬‬ ‫‪s 2  2as  a 2  16 s  s 2  2as  a 2‬‬ ‫‪2as  16 s  2as / : s  0‬‬ ‫‪2a  16  2a‬‬ ‫‪16  4a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪R‬‬ ‫)‪(a, 0‬‬ ‫‪a4‬‬ ‫נבדוק גם עבור ‪ : s  0‬במקרה זה מרכז המעגל ) ‪ P( s, t‬הוא ראשית הצירים‪,‬‬ ‫כאשר מרחקו מהישר ‪ x  R  a‬הוא ‪. a  R‬‬ ‫אורך קטע המרכזים הוא ‪, a‬‬ ‫ורדיוס המעגל הקנוני‪ ,‬מהראשית לנקודת ההשקה שבין המעגלים שווה גם ל‪. a  R -‬‬ ‫ומתקבל ש‪ , a  R  a  R -‬כלומר פסוק אמת‪.‬‬ ‫נעיר שגם )‪ , P(0, 0‬נמצאת על הפרבולה ‪. y 2  16 x‬‬ ‫ועוד‪ :‬הפרמטר של הפרבולה ‪ y 2  16 x‬הוא ‪, P  8‬‬ ‫והמוקד שלה )‪ F(4, 0‬הוא מרכז המעגל ‪ , ( x  4) 2  y 2  R 2‬והמדריך הוא ‪. x  4‬‬ ‫דרך פיתרון חליפית‬ ‫פרבולה היא המקום הגיאומטרי של כל הנקודות שמרחקיהן מישר )המדריך( ומנקודה קבועה )המוקד( שווה‪.‬‬ ‫במקרה זה הנקודה הקבועה היא )‪ (a, 0‬והישר הוא ‪) x   a‬לא הישר הנתון(‪,‬‬ ‫ששניהם נמצאים במרחק של ‪ r  R‬מנקודה ) ‪: P( s, t‬‬ ‫אורך קטע המרכזים והמרחק מהמדריך ‪. s  ( R  a )  r  s  ( a )  r  R -‬‬ ‫לכן‪ ,‬עבור הפרבולה ‪ , y 2  16 x‬הישר הוא המדריך ‪ x  4‬והנקודה הקבועה היא המוקד )‪, F(4, 0‬‬ ‫ולכן התשובה המיידית לתרגיל היא ‪. a  4‬‬ ‫תשובה‪. a  4 :‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ב‪ .‬שני מעגלים שמרכזיהם ‪ P‬ו‪ M -‬משיקים מבחוץ למעגל ולישר הנתונים‪.‬‬ ‫רדיוס כל אחד מהמעגלים האלה הוא ‪ , 5  R‬והוא שווה למרחק המרכז מהישר‪ ,‬כלומר ל‪. s  R  4 -‬‬ ‫נקבל ‪ s  R  4  5  R‬ומכאן ש‪. s  1 -‬‬ ‫מרכזי המעגלים נמצאים‪ ,‬על פי התיאור‪ ,‬על הפרבולה ‪y 2  16 x‬‬ ‫ולכן אם נציב ‪ , x  1‬נקבל שמרכזי המעגלים הם )‪. (1, 4) , (1,  4‬‬ ‫הערה ‪ -‬נקודת חיתוך של שני משיקים‪ ,‬העוברים בנקודות סימטריות לציר ה‪ , x -‬תהייה תמיד על ציר ה‪. x -‬‬ ‫נמצא את שיעורי נקודת החיתוך‪.‬‬ ‫משוואת משיק לפרבולה‪ ,‬בנקודה שעל הפרבולה‪ ,‬היא ) ‪. yy0  P( x  x0‬‬ ‫עבור ‪ P  8‬ו‪ x0  1 -‬נקבל שמשוואות המשיקים הן‪:‬‬ ‫)‪ y  4  8( x  1‬‬ ‫‪.‬‬ ‫)‪ y  (4)  8( x  1‬‬ ‫אם נחסיר את המשוואה השנייה מהראשונה‪ ,‬נקבל ‪. y  0‬‬ ‫נציב ‪ y  0‬במשוואה הראשונה ונקבל )‪ 0  8( x  1‬ולכן ‪. x  1‬‬ ‫תשובה‪ :‬שיעורי נקודת המפגש בין שני הישרים המשיקים הם )‪. (1, 0‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪2‬‬ ‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬ ‫א‪ .‬נקודה ‪ A‬נמצאת במישור ‪.  1 : x  z  2  0‬‬ ‫מישור זה מקביל לציר ה‪ , y -‬כי שיעור ה‪ y -‬בווקטור המקדמים של המישור )‪ n  (1, 0,  1‬הוא ‪. 0‬‬ ‫לכן ישר המאונך למישור זה‪ ,‬מאונך גם לציר ה‪ y -‬והזווית המבוקשת היא ‪. 90‬‬ ‫ניתן‪ ,‬כמובן‪ ,‬גם על ידי חישוב בעזרת נוסחת הזווית בין שני וקטורים‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 0    90‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪000‬‬ ‫‪1 0 1 0 1 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪(1, 0,  1)(0, 1, 0‬‬ ‫)‪(1, 0,  1) (0, 1, 0‬‬ ‫‪cos  ‬‬ ‫תשובה‪. 90 :‬‬ ‫ב‪ .‬נקודה ‪ B‬ונקודה ‪ C‬נמצאות במישור ‪.  2 : x  z  12  0‬‬ ‫נשים לב שגם מישור זה מקביל לציר ה‪ y -‬וגם‪ ,‬כמובן‪ ,‬למישור ‪.  1 : x  z  2  0‬‬ ‫הישר ‪ AC‬מקביל לישר שההצגה הפרמטרית שלו היא )‪, x  t (2, 0,  2‬‬ ‫כלומר ווקטור הכיוון הוא )‪ , x  (1, 0,  1‬כווקטור המקדמים של המישורים הנתונים‪,‬‬ ‫ולכן אורך הקטע ‪ AC‬שווה למרחק בין שני המישורים‪ ,‬והישר עצמו מאונך למישורים‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪2  (12‬‬ ‫‪1 0 1‬‬ ‫‪AC ‬‬ ‫תשובה‪ :‬אורכו של ‪ AC‬הוא ‪. 5 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ג‪ .‬נתון גם‪. BC  (2,  1, c) :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫ראינו ש‪ AC -‬מאונך למישורים הנתונים‪ ,‬לכן‪. BC  AC  0 :‬‬ ‫‪(1, 0,  1)(2,  1, c)  0‬‬ ‫‪20c  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫)‪c  2  BC  (2,  1, 2‬‬ ‫משולש ‪ ABC‬ישר זווית ) ‪( ACB  90‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪BC  22  (1) 2  22  3‬‬ ‫‪AC  BC 5 2  3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 7.5 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪SABC‬‬ ‫תשובה‪ :‬שטח משולש ‪ ABC‬הוא ‪. 7.5 2‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪3‬‬ ‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬ ‫א‪ z .‬הוא מספר מרוכב שונה מ‪. 0 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪z ,‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ z ,‬הם איברים עוקבים בסדרה חשבונית‪,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכן‪2( z  )  z  :‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z2 1  0‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z  i , z  i‬‬ ‫תשובה‪. z  i, z  i :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬נתון‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ z ‬ו‪) 0  arg( z )  90 -‬הזווית של המספר המרוכב היא חדה‪ z ,‬ברביע הראשון של מישור גאוס(‬ ‫‪1 cis 0 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫נסמן‪ z  r cis :‬ולכן ) ‪ z  r cis (‬וגם‪ cis ( ) :‬‬ ‫‪z r cis  r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫לכן ‪ z  r‬ו‪ .  -‬מכאן ש‪-‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נקבל ש‪ cis   cis (  ) :‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ r ‬והערך המוחלט של ‪ z‬הוא ‪. 1‬‬ ‫‪ , z ‬שהוא סכום של שני מספרים צמודים‪.‬‬ ‫כידוע סכום של שני מספרים צמודים הוא מספר ממשי‪ ,‬ונמחיש ע"י ההצגה ‪. z  x  iy‬‬ ‫‪. x  iy  ( x  iy )  2 x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫כיוון ש‪ , 0  arg( z )  90 -‬הרי ש‪ x  0 -‬ולכן‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ z ‬על הקרן החיובית של ציר ה‪ x -‬והזווית המתאימה היא ‪. 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪. arg( z  )  0 :‬‬ ‫‪z‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪4‬‬ ‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬ ‫א‪ .‬נתונה הפונקציה ‪ a  0 ) f ( x)  ( x 3  ax 2 )e  x‬פרמטר(‪.‬‬ ‫תשובה‪ :‬תחום ההגדרה כל ‪. x‬‬ ‫ב‪ .‬גרף הפונקציה ‪ f ( x)  ( x 3  ax 2 )e  x‬חותך את ציר ה‪ x -‬בראשית הצירים ובנקודה ‪. A‬‬ ‫נמצא את שיעורי הנקודה ‪ , A‬שבה מתקיים ‪. y  0‬‬ ‫‪/ : e x‬‬ ‫‪0  ( x 3  ax 2 )e  x‬‬ ‫)‪. 0  x 2 ( x  a‬‬ ‫‪x  0, x  a‬‬ ‫ולכן נקודת ההשקה היא )‪. A(a, 0‬‬ ‫הציור באדיבות אתר משרד החינוך‬ ‫נמצא את שיפוע המשיק‪ ,‬בנקודה )‪, A(a, 0‬‬ ‫שחותך את ציר ה‪ y -‬בנקודה ) ‪. B(0, yB‬‬ ‫)‪f '( x)  (3 x 2  2ax)e  x  ( x 3  ax 2 )e  x (1‬‬ ‫) ‪f '( x)  e  x (3 x 2  2ax  x 3  ax 2‬‬ ‫) ‪mAB  f '(a )  e  a (3a 2  2a  a  a 3  a  a 2‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫‪ f '(a )  a‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪mAB‬‬ ‫נמצא את שיעורה‪ y -‬של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה‪. y -‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪ yB  ‬‬ ‫‪a 2 yB  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪0a‬‬ ‫‪8‬‬ ‫שטח המשולש שיוצר המשיק עם הצירים הוא‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪OA  OB‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪/ 2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪SABO ‬‬ ‫‪a3‬‬ ‫) ‪(a  0)(0  ( a‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ea‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16 a 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ea ea‬‬ ‫‪16  a 4 / 4‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪a2‬‬ ‫תשובה‪. a  2 :‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ג‪ .‬נציב ‪ a  2‬ונקבל שהפונקציה היא ‪. f ( x)  ( x 3  2 x 2 )e  x‬‬ ‫נמצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה‪ ,‬כאשר את סוגם נקבע על פי הגרף הנתון‪.‬‬ ‫)‪f '( x)  (3 x 2  4 x)e  x  ( x 3  2 x 2 )e  x (1‬‬ ‫) ‪f '( x)  e  x (3 x 2  4 x  x 3  2 x 2‬‬ ‫‪5 x 2  4 x  x3‬‬ ‫‪f '( x) ‬‬ ‫‪ex‬‬ ‫)‪0  5 x 2  4 x  x 3   x( x 2  5 x  4‬‬ ‫)‪0   x( x  1)( x  4‬‬ ‫)‪x  0  y  0  (0, 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x  1  y  (13  2 12 )e 1  ‬‬ ‫) ‪ (1, ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪32‬‬ ‫) ‪x  4  y  (43  2  42 )e 4  4  (4, 4‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫‪,‬‬ ‫מינימום‬ ‫‪(1,‬‬ ‫‪‬‬ ‫תשובה‪ (0, 0) :‬מקסימום ‪) ,‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e4‬‬ ‫ד‪ .‬נקודות האפס של פונקציית הנגזרת הן‪ , (4, 0) , (1, 0) , (0, 0) :‬על פי הסעיף הקודם‪.‬‬ ‫‪ (4,‬מקסימום‪.‬‬ ‫נסרטט סקיצה של גרף הנגזרת‪,‬‬ ‫על פי תחומי החיוביות ) ‪ 1  x  4‬או ‪ ( x  0‬והשליליות ) ‪ x  4‬או ‪ ( 0  x  1‬שלה‪,‬‬ ‫הזהים בהתאמה לתחומי העלייה והירידה של הפונקציה ‪, f ( x)  ( x 3  2 x 2 )e  x‬‬ ‫כאשר ציר ה‪ x -‬הוא אסימפטוטה אופקית של גרף הנגזרת‪ ,‬על פי הנתון‪.‬‬ ‫הערה – תיתכנה יותר משלוש נקודות קיצון לגרף הנגזרת‪ ,‬אולם לא חישבנו נקודות פיתול‪,‬‬ ‫ולכן לא ניתן לדעת האם קיימות‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ה‪ .‬נחשב תחילה את השטח הכחול‪S   (0  f '( x)) dx   f ( x) ]   f (1)  ( f (0))  f (0)  f (1) :‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נחשב את השטח האפור ‪S   ( f '( x)  0) dx  f ( x) ]  f (4)  f (1) :‬‬ ‫‪1 32 32 2‬‬ ‫ובהתאם גודל השטח המבוקש הוא‪f (0)  f (1)  f (4)  f (1)  f (0)  2 f (1)  f (4)  0  2  ( )  4  4  :‬‬ ‫‪e e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪32 2‬‬ ‫תשובה‪. 4  :‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫‪5‬‬ ‫בגרות עד אפריל ‪ 14‬דוגמאות שאלון ‪35807‬‬ ‫א‪ .‬הפונקציה ‪ f ( x)  x‬היא אי‪ -‬שלילית ונקודת האפס של הפרבולה היא ראשית הצירים‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫הפונקציה )‪ g ( x)   n (ax‬מוגדרת עבור ‪ x  0‬והיא פונקציה עולה ) ‪  0‬‬ ‫‪ax x‬‬ ‫‪.( g '( x) ‬‬ ‫נמצא את נקודת האפס שלה‪:‬‬ ‫‪ n (ax)  0‬‬ ‫‪ax  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ולכן )‪ g ( x)   n (ax‬חיובית עבור‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הישר ‪ x  k‬עובר בין שתי נקודות החיתוך של הפונקציות ולכן ערכי ‪ k‬בהכרח גדולים מ‪-‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫תשובה‪ :‬הראינו כי ערכי ‪ k‬אינם יכולים להיות בתחום‬ ‫‪a‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.0  k ‬‬ ‫ב‪ .‬הפונקציה שיש להביא למקסימום היא היקף המלבן ‪. ABCD‬‬ ‫שיעור ה‪ x -‬של הנקודות ‪ A‬ו‪ B -‬הוא ‪. k‬‬ ‫בהתאם שיעורי הנקודה ‪ A‬שעל ‪ f ( x)  x 2‬הם ) ‪ , A(k , k 2‬ושל ‪ B‬שעל )‪ g ( x)   n (ax‬הם )) ‪, B(k ,  n (ak‬‬ ‫מכיוון ו‪ AB -‬מקביל לציר ה‪ , y -‬הרי ש‪AB  yB  yA   n (ak )  k 2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪PABCD  2(k   n (ak )  k 2 ) k ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫) ‪ 2k‬‬ ‫‪ak‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪(P) '(k )  2(1   2k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪(P) '(k )  2(1 ‬‬ ‫‪k  1  2k 2‬‬ ‫(‪(P) '(k )  2‬‬ ‫)‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0  k  1  2k 2‬‬ ‫‪0  2 k 2  k  1‬‬ ‫‪1  3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪k 1  k  0‬‬ ‫‪k1,2 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2)  0    max‬‬ ‫‪k2‬‬ ‫‪(P) ''(k )  2(‬‬ ‫תשובה‪ , k  1 :‬עבורו היקף המלבן ‪ ABCD‬הוא מקסימלי‪.‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬ ‫ג‪ .‬עבור ‪ k  1‬שיעורי הנקודה ‪ B‬הם ) ‪(1,  n a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫שיפוע המשיק לפונקציה )‪ g ( x)   n (ax‬בנקודה זו הוא ‪ g '(1)   1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ax x‬‬ ‫‪g '( x) ‬‬ ‫המשיק עובר בנקודה )‪. (0, 0‬‬ ‫לכן‪:‬‬ ‫‪ n a0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 0‬‬ ‫‪1 n a‬‬ ‫‪ae‬‬ ‫והפונקציה היא ‪ , g ( x)   n ex‬או לאחר פישוט‪. g ( x)   n e   n x  g ( x)  1   n x :‬‬ ‫תשובה‪ g ( x)   n ex :‬או ‪. g ( x)  1   n x‬‬ ‫נכתב ע"י עפר ילין‬