‫מדינת ישראל‬ ‫‬ ‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫‬ ‫נספח‪:‬‬ ‫משרד החינו ך‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫קיץ תש"ע‪2010 ,‬‬ ‫‪035807‬‬ ‫דפי נוסחאות ל־‪ 4‬ול־‪ 5‬יחידות לימוד‬ ‫ מתמטיקה‬ ‫‪ 5‬יחידות לימוד — שאלון שני‬ ‫תכנית ניסוי‬ ‫(שאלון שני לנבחנים בתכנית ניסוי‪ 5 ,‬יחידות לימוד)‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שעתיים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שני פרקים‪.‬‬ ‫פרק ראשון — גאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪,‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫טריגונומטריה במרחב‪,‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מספרים מרוכבים‬ ‫פרק שני‬ ‫‬ ‫‬ ‫— גדילה ודעיכה‪,‬‬ ‫פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3 #2‬‬ ‫—‬ ‫‬ ‫—‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3 #1‬‬ ‫—‬ ‫סה"כ —‬ ‫‪2‬‬ ‫‪66 3‬‬ ‫נקודות‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3‬‬ ‫נקודות‬ ‫‪ 100‬נקודות‬ ‫‬ ‫ג‪ .‬חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪ )1‬מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪ )1‬אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪ )2‬התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )3‬לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪--‬‬ ‫השאלות‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫פרק ראשון — גאומטריה אנליטית‪ ,‬וקטורים‪ ,‬טריגונומטריה במרחב‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מספרים מרוכבים ( ‪ 66 3‬נקודות)‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 3-1‬לכל שאלה — ‪ 33 3‬נקודות)‪.‬‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫נקודה ‪ E‬נמצאת על אליפסה שמשוואתה ‪. x2 + 4y2 = 36‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫האליפסה חותכת את ציר ה– ‪ x‬בנקודות ‪ A‬ו– ‪. B‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את משוואת העקום שעליו נמצא המקום הגאומטרי של מפגשי התיכונים‬ ‫‬ ‫‬ ‫במשולש ‪. ABE‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫הנקודות )‪ ( 2 , y‬נמצאות על המקום הגאומטרי שאת משוואתו מצאת‬ ‫‬ ‫‬ ‫בסעיף א‪ .‬חיברו נקודות אלה עם הנקודות ‪ A‬ו– ‪ , B‬ונוצר מצולע‪.‬‬ ‫‬ ‫מצא את שטח המצולע‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫האליפסה הנתונה התקבלה ממעגל על ידי הכפלת שיעורי ה– ‪ y‬של כל אחת ‬ ‫מהנקודות על המעגל בקבוע‪ ,‬בלי לשנות את שיעורי ה– ‪ x‬שלהן‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬מהי משוואת המעגל?‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬האם למעגל ולמקום הגאומטרי שמצאת בסעיף א יש נקודות חיתוך? נמק‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪-‬‬‫‪.2‬‬ ‫נתון משולש ‪ ABC‬שווה–שוקיים וישר–זווית‪. BC = 90o ,‬‬ ‫‬ ‫שניים מקדקודי המשולש הם‪. A (3 , - 2 , 1) , C (6 , - 2 , - 2) :‬‬ ‫‬ ‫המישור ‪ r: 2x + y + 2z - 15 = 0‬מקביל למישור ‪. ABC‬‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬מצא את שתי האפשרויות לשיעורי הקדקוד ‪. B‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )2‬נסמן את שתי האפשרויות לקדקוד ‪ B‬ב– ‪ B1‬ו– ‪. B2‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫נקודה ‪ D‬נמצאת במישור ‪. r‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את נפח הפירמידה ‪. DAB1B2‬‬ ‫‬ ‫‪.3‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫‪z + 3i‬‬ ‫רשום באמצעות ‪ x‬ו– ‪ y‬את משוואת המקום הגאומטרי של נקודות אלה‪.‬‬ ‫(‪ )2‬באיזה רביע‪/‬רביעים נמצא המקום הגאומטרי שאת משוואתו רשמת ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. z = x + yi , z2 - i = 1‬‬ ‫(‪ )1‬נתונות נקודות המקיימות‬ ‫‬ ‫‬ ‫האם הקדקוד ‪ C‬נמצא על הישר ‪ ? B1 B2‬נמק‪.‬‬ ‫בתת–סעיף א (‪ ?)1‬נמק‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את שיעורי הנקודות הנמצאות על המקום הגאומטרי שאת משוואתו‬ ‫‪2‬‬ ‫רשמת‪ ,‬ומקיימות ‪. z = 1.25‬‬ ‫(‪ )2‬איזה מרובע נוצר כאשר מחברים את הנקודות שבתת–סעיף ב (‪ ?)1‬נמק‪.‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪--‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫פרק שני — גדילה ודעיכה‪ ,‬פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות‬ ‫‪1‬‬ ‫ענה על אחת מהשאלות ‪.5-4‬‬ ‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משאלה אחת‪ ,‬תיבדק רק התשובה הראשונה שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-x‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ a , f (x) = e x - ae- x‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫‪e + ae‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫מצא עבור ‪ , a 2 0‬ועבור ‪( a 1 0‬הבע באמצעות ‪ a‬במידת הצורך)‪:‬‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬את תחום ההגדרה של הפונקציה‪ ,‬ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה)‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )3‬נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים‪.‬‬ ‫‬ ‫השאר ‪ ,n‬בתשובותיך במידת הצורך‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה– ‪ y‬נמצאת בחלק השלילי‬ ‫‬ ‫של הציר‪.‬‬ ‫‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪:‬‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬עבור ‪. a 2 0‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬עבור ‪. a 1 0‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪035807‬‬ ‫‪ +‬נספח‬ ‫‪-‬‬‫נתונות הפונקציות‪f (x) = ,og3 (x2 - 6x + 18) :‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪rx‬‬ ‫‪rx‬‬ ‫) ‪g (x) = sin ( 6 ) - cos ( 3‬‬ ‫‬ ‫המוגדרות לכל ‪ x‬בתחום ‪. 0 # x # 53r‬‬ ‫‬ ‫בציור מוצג הגרף של הפונקציה )‪ g(x‬בתחום הנתון‪.‬‬ ‫‬ ‫ענה על הסעיפים א‪-‬ב עבור התחום הנתון‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה )‪, f(x‬‬ ‫‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫‬ ‫בתשובתך דייק במידת הצורך עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית‪.‬‬ ‫(‪ )2‬נתון כי הישר ‪ y = k‬משיק לגרף של )‪ f(x‬ולגרף של )‪ g(x‬באותה נקודה‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫( )‪ g'(x‬שווה לאפס רק בנקודה אחת‪).‬‬ ‫‬ ‫העתק למחברתך את הגרף של )‪ , g(x‬ובאותה מערכת צירים סרטט סקיצה של‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫גרף הפונקציה )‪. f(x‬‬ ‫(‪ )3‬פתור את המשוואה ) ‪ . ,og3 (x2 - 6x + 18) = sin ( r6x ) - cos ( r3x‬נמק‪.‬‬ ‫(‪ )1‬באיזה תחום ‪ , f '(x) 2 0‬ובאיזה תחום ‪? f '(x) 1 0‬‬ ‫(‪ )2‬מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של )‪ , f '(x‬על ידי ציר ה– ‪x‬‬ ‫‬ ‫ועל ידי הישרים ‪ x = 2‬ו– ‪. x = 4‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬ ‫‬