‫מדינת ישראל‬ ‫סוג הבחינה‪:‬‬ ‫מועד הבחינה‪:‬‬ ‫מספר השאלון‪:‬‬ ‫נספח‪:‬‬ ‫משרד החינו ך‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫בגרות לבתי ספר על־יסודיים‬ ‫קיץ תש"ע‪2010 ,‬‬ ‫‪035804‬‬ ‫דפי נוסחאות ל־‪ 4‬ול־‪ 5‬יחידות לימוד‬ ‫ מתמטיקה‬ ‫‪ 4‬יחידות לימוד — שאלון ראשון‬ ‫תכנית ניסוי‬ ‫(שאלון ראשון לנבחנים בתכנית ניסוי‪ 4 ,‬יחידות לימוד)‬ ‫הוראות לנבחן‬ ‫א‪.‬‬ ‫משך הבחינה‪ :‬שלוש שעות וחצי‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מבנה השאלון ומפתח ההערכה‪ :‬בשאלון זה שלושה פרקים‪.‬‬ ‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪,‬‬ ‫‬ ‫פרק שני‬ ‫הסתברות‬ ‫—‬ ‫‬ ‫פרק שלישי‬ ‫—‬ ‫גאומטריה וטריגונומטריה‬ ‫במישור‬ ‫—‬ ‫—‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫—‬ ‫‪2‬‬ ‫חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי — ‪— 16 3 #2‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪16 3 #2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3‬‬ ‫נקודות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪33 3‬‬ ‫נקודות‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 33 3‬נקודות‬ ‫סה"כ — ‪ 100‬נקודות‬ ‫‬ ‫חומר עזר מותר בשימוש‪:‬‬ ‫(‪ )1‬מחשבון לא גרפי‪ .‬אין להשתמש באפשרויות התכנות במחשבון הניתן לתכנות‪.‬‬ ‫שימוש במחשבון גרפי או באפשרויות התכנות במחשבון עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬דפי נוסחאות (מצורפים)‪.‬‬ ‫ד‪ .‬הוראות מיוחדות‪:‬‬ ‫(‪ )1‬אל תעתיק את השאלה; סמן את מספרה בלבד‪.‬‬ ‫(‪ )2‬התחל כל שאלה בעמוד חדש‪ .‬רשום במחברת את שלבי הפתרון‪ ,‬גם כאשר‬ ‫החישובים מתבצעים בעזרת מחשבון‪.‬‬ ‫‬ ‫הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה ומסודרת‪.‬‬ ‫‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )3‬לטיוטה יש להשתמש במחברת הבחינה או בדפים שקיבלת מהמשגיחים‪.‬‬ ‫שימוש בטיוטה אחרת עלול לגרום לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫ההנחיות בשאלון זה מנוסחות בלשון זכר ומכוונות לנבחנות ולנבחנים כאחד‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫‪/‬המשך מעבר לדף‪/‬‬ ‫‪--‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬ ‫השאלות‬ ‫שים לב! הסבר את כל פעולותיך‪ ,‬כולל חישובים‪ ,‬בפירוט ובצורה ברורה‪.‬‬ ‫חוסר פירוט עלול לגרום לפגיעה בציון או לפסילת הבחינה‪.‬‬ ‫‬ ‫פרק ראשון — אלגברה‪ ,‬גאומטריה אנליטית‪ ,‬הסתברות ‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( .3-1‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪ .1‬בחנות יש שני סוגי בדים‪ :‬בד מסוג א' ובד מסוג ב'‪.‬‬ ‫המחיר של ‪ 4‬מטרים בד מסוג א' גדול ב– ‪ 135‬שקלים מהמחיר של ‪ 3‬מטרים בד‬ ‫‬ ‫מסוג ב'‪.‬‬ ‫‬ ‫לקוח קנה ‪ 3‬מטרים בד מסוג א' ו– ‪ 4‬מטרים בד מסוג ב'‪,‬‬ ‫‬ ‫ושילם בסך הכול ‪ 382.5‬שקלים‪.‬‬ ‫‬ ‫לפני הקנייה מספר המטרים של הבד מסוג א' שיש בחנות שווה למספר המטרים של הבד‬ ‫‬ ‫מסוג ב'‪.‬‬ ‫המחיר של כל הבד מסוג א' שיש בחנות‪ ,‬גדול ב– ‪ 396‬שקלים מהמחיר של כל הבד‬ ‫‬ ‫מסוג ב'‪.‬‬ ‫‬ ‫א‪ .‬מצא את המחיר של מטר אחד של בד מסוג א'‪ ,‬ואת המחיר של מטר אחד של בד‬ ‫‬ ‫מסוג ב'‪.‬‬ ‫‬ ‫ב‪ .‬מצא את מספר המטרים של הבד מכל סוג שיש בחנות (לפני הקנייה)‪.‬‬ ‫‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ AB‬הוא מיתר במעגל שמרכזו ‪. M‬‬ ‫‬ ‫‪ MA‬מקביל לציר ה– ‪ y‬ו– ‪ MB‬מקביל לציר ה– ‪. x‬‬ ‫‬ ‫דרך ‪ M‬העבירו שני ישרים‪ :‬ישר אחד‬ ‫‬ ‫מאונך ל– ‪ AB‬וישר אחד מקביל ל– ‪. AB‬‬ ‫‬ ‫דרך ‪ B‬העבירו משיק למעגל‪.‬‬ ‫‬ ‫האנך חותך את המשיק בנקודה ‪, C‬‬ ‫‬ ‫והמקביל חותך את המשיק בנקודה ‪( D‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‬ ‫נתון‪. A(5 , 7) , B(3 , 5) :‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את משוואת האנך ‪. CM‬‬ ‫‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את משוואת המעגל‪.‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪x‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח באמצעות חישוב כי המעגל אינו חותך את ציר ה– ‪.x‬‬ ‫מצא את שטח המשולש ‪. CMD‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/3‬‬ ‫‪-‬‬‫‪.3‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬ ‫במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן‬ ‫‬ ‫‬ ‫בהסתברות וסטטיסטיקה‪.‬‬ ‫במבחן יש שני תרגילים בהסתברות ותרגיל אחד בסטטיסטיקה‪.‬‬ ‫‬ ‫נבחן מקבל ציון עובר או ציון נכשל בכל תרגיל במבחן‪.‬‬ ‫‬ ‫כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין‬ ‫‬ ‫השלושה‪.‬‬ ‫הסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בתרגיל בהסתברות הוא ‪, 60%‬‬ ‫‬ ‫והסיכוי שסטודנט יקבל ציון עובר בסטטיסטיקה הוא ‪. 80%‬‬ ‫‬ ‫ההסתברויות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן?‬ ‫(‪ )2‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫בתרגיל אחד?‬ ‫(‪ )3‬מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו?‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו‪.‬‬ ‫מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון עובר בשני התרגילים בהסתברות?‬ ‫פרק שני — גאומטריה וטריגונומטריה במישור‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( 6-4‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫אלכסוני המרובע ‪ ABCD‬נחתכים (בפנים המרובע)‬ ‫בנקודה ‪( M‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫‬ ‫‪B‬‬ ‫נתון‪ :‬שטח המשולש ‪ ABM‬הוא ‪ 5‬סמ"ר‪,‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫שטח המשולש ‪ ADM‬הוא ‪ 10‬סמ"ר‪,‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫‬ ‫שטח המשולש ‪ DCM‬הוא ‪ 20‬סמ"ר‪.‬‬ ‫מצא את היחס‪:‬‬ ‫‬ ‫(‪)1‬‬ ‫‬ ‫(‪)2‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪BM‬‬ ‫‪. MD‬‬ ‫‪. AM‬‬ ‫‪MC‬‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬הוכח כי ‪. TAMB +TCMD‬‬ ‫(‪ )2‬הוכח כי ‪. AB z DC‬‬ ‫נתון גם כי המרובע ‪ ABCD‬הוא בר חסימה במעגל‪.‬‬ ‫הוכח כי ‪. TADC ,TBCD‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/4‬‬ ‫‪-‬‬‫‪.5‬‬ ‫שני מעגלים נחתכים בנקודות ‪ M‬ו– ‪. N‬‬ ‫‬ ‫ישר חותך את שני המעגלים‬ ‫‬ ‫בנקודות ‪ , D , C , B , A‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫‬ ‫נתון‪BBNC = α :‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪D‬‬ ‫הבע באמצעות ‪ α‬ו– ‪( β‬במידת הצורך) ‪:‬‬ ‫‬ ‫(‪ )1‬את ‪ . BMDB‬נמק ‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬את ‪ . BMAC‬נמק ‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )3‬את ‪. BAMD‬‬ ‫‬ ‫‪M‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‬ ‫זווית הבסיס היא ‪, 72o‬‬ ‫‬ ‫ואורך הבסיס ‪ AC‬הוא ‪ 10‬ס"מ‪.‬‬ ‫‬ ‫‪ AD‬חוצה–זווית ‪ , BAC‬ו– ‪ AT‬תיכון לשוק ‪BC‬‬ ‫‬ ‫(ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪D‬‬ ‫(‪ )1‬חשב את האורך של השוק במשולש ‪. ABC‬‬ ‫(‪ )2‬חשב את אורך התיכון ‪. AT‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫האם המרובע ‪ AMDN‬הוא בר חסימה במעגל? נמק ‪.‬‬ ‫במשולש שווה–שוקיים ‪) BA = BC ( ABC‬‬ ‫‬ ‫‪A‬‬ ‫‪BBNM = β‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬ ‫חשב את גודל הזווית ‪. TAD‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/5‬‬ ‫‪--‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬ ‫פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי‬ ‫של פונקציות טריגונומטריות‪ ,‬של פולינומים‪,‬‬ ‫ של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש‬ ‫ענה על שתיים מבין השאלות ‪( .9-7‬לכל שאלה — ‪ 16 23‬נקודות)‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫( ‪ 33 3‬נקודות)‬ ‫שים לב! אם תענה על יותר משתי שאלות‪ ,‬ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתך‪.‬‬ ‫נתונה הפונקציה ‪ f (x) = 2 cos x‬בתחום ‪. - r2 # x # r2‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫‬ ‫א‪.‬‬ ‫מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה בתחום הנתון‪,‬‬ ‫וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫‬ ‫ג‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום הנתון‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫הסבר מדוע בתחום ‪ r2 1 x # r‬הפונקציה אינה מוגדרת‪.‬‬ ‫נתונות שתי פונקציות‪f (x) = 3x2 - 4x + c :‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪, g (x) = - x2 + bx‬‬ ‫‬ ‫‪ b‬ו– ‪ c‬הם פרמטרים‪.‬‬ ‫ישר משיק לגרפים של שתי הפונקציות בנקודה‬ ‫המשותפת לשניהם שבה ‪( x = 1‬ראה ציור)‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את הערך של ‪. b‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬מצא את הערך של ‪. c‬‬ ‫‪x‬‬ ‫הצב את הערך של ‪ b‬ואת הערך של ‪ c‬שמצאת בסעיף א‪ ,‬וענה על הסעיפים ב ו– ג‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫מצא את משוואת המשיק המשותף לשני הגרפים‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪ S1‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , f(x‬על ידי המשיק המשותף‬ ‫‬ ‫ועל ידי ציר ה– ‪. y‬‬ ‫‬ ‫‪ S2‬הוא השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה )‪ , g(x‬על ידי המשיק המשותף‬ ‫‬ ‫ועל ידי ציר ה– ‪. y‬‬ ‫‬ ‫מצא את היחס ‪. S1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪/‬המשך בעמוד ‪/6‬‬ ‫‪-‬‬‫נתונה הפונקציה ‪2 - x2‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫מתמטיקה‪ ,‬קיץ תש"ע‪ ,‬מס' ‪ + 035804‬נספח‬ ‫‪ a , f (x) = ax -‬הוא פרמטר‪.‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫הישר ‪ y = - x - 2‬משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של גרף הפונקציה‬ ‫‬ ‫עם ציר ה– ‪ . y‬מצא את הערך של ‪. a‬‬ ‫הצב את הערך של ‪ a‬שמצאת‪ ,‬וענה על הסעיפים ב‪-‬ד‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫(‪ )1‬מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )2‬פתור את המשוואה ‪ , f ' (x) = 0‬ובדוק אם הפתרונות מקיימים את המשוואה‪.‬‬ ‫‬ ‫(‪ )3‬מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה‪ ,‬וקבע את סוגן‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫סרטט סקיצה של גרף הפונקציה‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫דרך נקודת המינימום המוחלט ודרך נקודת המקסימום המוחלט של הפונקציה‬ ‫העבירו מקבילים לציר ה– ‪ . y‬מצא את המרחק בין שני המקבילים‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫זכות היוצרים שמורה למדינת ישראל‬ ‫אין להעתיק או לפרסם אלא ברשות משרד החינוך‬