‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬ ‫תבניות בלוח שנה‬ ‫‪ 1‬לפניכם דף של חודש מלוח השנה‪.‬‬ ‫מצאו בין המספרים שבדף קשרים שונים‬ ‫המתקיימים בכל הדף‪.‬‬ ‫שבת‬ ‫ו‬ ‫ה‬ ‫ד‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‬ ‫א‬ ‫ב‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪23‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪26‬‬ ‫אחת הדרכים למצוא קשרים בין מספרים‬ ‫היא בעזרת סימון תבנית על לוח‪.‬‬ ‫אם נמקם את התבנית במקומות שונים על הלוח‪ ,‬נקבל דוגמאות מתוך הלוח המתאימות לתבנית‪.‬‬ ‫דוגמאות‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪29‬‬ ‫‪28‬‬ ‫‪1‬‬ ‫בחינה של דוגמאות שונות של תבניות מהלוח עשויה לסייע לבדוק‬ ‫‪ 2‬א‪ .‬מתוך הלוח שבמשימה ‪ּ 1‬כִתבו דוגמאות נוספות המתאימות לתבנית שבמסגרת‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו קשרים המהווים חוקיות בלוח ותארו אותם במילים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬השלימו כל אחת מהתבניות שלפניכם בעזרת ביטויים‬ ‫‪b‬‬ ‫ד‪ .‬נמקו את הקשרים שתיארתם בסעיף ב‪.‬‬ ‫‪c‬‬ ‫כך שיתאימו ללוח‪ .‬הסבירו כיצד השלמתם‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פעילויות בתחום האלגברי‬ ‫אם קשרים מסוימים מהווים חוקיּות בלוח (כלומר מתקיימים בכולו)‪.‬‬ ‫ה‪ .‬טליה אומרת‪ :‬סכום המספרים באלכסון אחד של התבנית שווה לסכום המספרים באלכסון האחר שלה‪.‬‬ ‫ו‪ .‬רננה אומרת‪ :‬ההפרש בין מכפלת המספרים באלכסון אחד של התבנית למכפלת המספרים באלכסון‬ ‫האחר שלה הוא ‪ .7‬האם הקשר שרננה מתארת מהווה חוקיות בלוח? נמקו‪.‬‬ ‫ז‪ .‬אביעד אומר‪ :‬לפחות אחד המספרים בתבנית הוא ראשוני‪.‬‬ ‫האם הקשר שאביעד מתאר מהווה חוקיות בלוח? נמקו‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬ ‫האם הקשר שטליה מתארת מהווה חוקיות בלוח? נמקו‪.‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪15/08/11 20:40‬‬ ‫‪metsuianut_1.indd 31‬‬ ‫‪ 3‬א‪ .‬כתבו דוגמאות מתוך הלוח המתאימות לתבנית שמשמאל‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו בעזרת התבנית קשרים המהווים חוקיות בלוח ותארו אותם במילים‪.‬‬ ‫ג‪ .‬סמנו את תאי התבנית במשתנים ובביטויים‬ ‫ונמקו בעזרתם את הקשרים שמצאתם בסעיף ב‪.‬‬ ‫‪ 4‬א‪ .‬הציעו תבנית משלכם וסמנו בה דוגמאות מהלוח‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו בעזרת התבנית קשרים המהווים חוקיות בלוח ונמקו באופן אלגברי‪.‬‬ ‫תבניות בלוחות מספרים‬ ‫‪ 5‬במשימה זו נחקור את הלוח שלפניכם‪.‬‬ ‫פעילויות בתחום האלגברי‬ ‫‪14‬‬ ‫‪-12‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-28‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪-24‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪-16‬‬ ‫‪42‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪38‬‬ ‫‪-36‬‬ ‫‪34‬‬ ‫‪-32‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪-56‬‬ ‫‪54‬‬ ‫‪-52‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪-48‬‬ ‫‪46‬‬ ‫‪-44‬‬ ‫‪70‬‬ ‫‪-68‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪-64‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪58‬‬ ‫‪-84‬‬ ‫‪82‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪78‬‬ ‫‪-76‬‬ ‫‪74‬‬ ‫‪-72‬‬ ‫‪98‬‬ ‫‪-96‬‬ ‫‪94‬‬ ‫‪-92‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪-88‬‬ ‫‪86‬‬ ‫א‪ .‬לפניכם ‪ 3‬תבניות‪ .‬תארו בעזרתן קשרים המהווים חוקיות בלוח ונמקו‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬ ‫ב‪ .‬בנו תבניות אחרות‪ ,‬תארו בעזרתן קשרים נוספים המהווים חוקיות בלוח ונמקו‪.‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪15/08/11 20:40‬‬ ‫‪metsuianut_1.indd 32‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 6‬א‪ .‬נתונה התבנית‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪d‬‬ ‫השלימו על פיה את הלוחות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫ב‪ .‬בנו תבנית שונה וחקרו בעזרתה את הלוחות שהשלמתם בסעיף א‪.‬‬ ‫השוו בין התיאורים האלגבריים המתקבלים בשני הלוחות‪.‬‬ ‫ג‪ .‬כתבו בתבנית משתנים וביטויים ונמקו בעזרתם את הקשרים שמצאתם בכל לוח‪.‬‬ ‫השוו בין הביטויים שכתבתם לשני הלוחות‪.‬‬ ‫‪ 7‬בכל סעיף בנו לוח המתאים לתבנית המסומנת בצבע והשלימו לפיו את שאר התבניות‪.‬‬ ‫ב‪ .‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b-2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪k+3‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b+2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬ ‫ג‪ .‬‬ ‫‪y-30 y-25 y-20‬‬ ‫‪p‬‬ ‫פעילויות בתחום האלגברי‬ ‫א‪ .‬‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a-2‬‬ ‫‪t-2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪15/08/11 20:40‬‬ ‫‪metsuianut_1.indd 33‬‬ ‫סכום המספרים בתבנית‬ ‫במשימות הבאות נחקור את סכום המספרים בתבניות ריבועיות בלוחות שונים‪.‬‬ ‫‪ 8‬במשימה זו נחקור לוח חודש דמיוני‪ ,‬שמספר הימים בו הוא ‪,120‬‬ ‫וכל שורה מתארת שבוע בן שבעה ימים‪.‬‬ ‫א‪ .‬נתחיל בחקירת סכום המספרים בתבנית ריבועית שממדיה ‪.3 × 3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ 1‬כתבו בעזרת משתנים תיאור אלגברי של סכום המספרים בתבנית שלפניכם‪.‬‬ ‫‪ 2‬את סכום המספרים בתבנית אפשר לתאר כך‪ 9(x + 8) :‬או כך‪9x + 72 :‬‬ ‫(השוו לתיאור שלכם)‪ .‬כתבו נימוקים לכל אחד מהתיאורים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הרחיבו את החקירה‪ ,‬וכתבו תיאורים במשתנים עבור סכום המספרים בתבניות ריבועיות בממדים‬ ‫שונים (למשל תבניות שממדיהן ‪ 6 × 6 , 4 × 4 , 2 × 2‬וכו')‪.‬‬ ‫נסו למצוא ביטוי כללי שיתאר את סכום המספרים בתבנית ריבועית שממדיה ‪.k × k‬‬ ‫אפשר להיעזר בטבלה‪:‬‬ ‫ממדי‬ ‫התבנית‬ ‫ביטוי לסכום‬ ‫המספרים‬ ‫סכום המספרים בתבנית שבדוגמה‬ ‫דוגמה‬ ‫‪2×2‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪3×3‬‬ ‫)‪9(x + 8‬‬ ‫פעילויות בתחום האלגברי‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪11 12‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 + 5 + 6 + 11 + 12 + 13 + 18 + 19 + 20 = 108‬‬ ‫‪9)4 + 8( = 108‬‬ ‫‪x=4‬‬ ‫‪4×4‬‬ ‫‪5×5‬‬ ‫‪6×6‬‬ ‫‪k×k‬‬ ‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬ ‫‪34‬‬ ‫‪15/08/11 20:40‬‬ ‫‪metsuianut_1.indd 34‬‬ ‫‪ 9‬במשימה זו תרחיבו את החקירה ללוחות חודש דמיוניים שבכל אחד מהם‬ ‫שבוע באורך אחר‪" :‬שבוע" בן ‪ 8‬ימים‪" ,‬שבוע" בן תשעה ימים וכו'‪.‬‬ ‫א‪ .‬כתבו כמה לוחות חודש שונים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬כתבו תיאורים לסכום המספרים בתבניות ריבועיות שונות בלוחות שיצרתם‪.‬‬ ‫הטבלה יכולה לעזור בארגון החקירה‪.‬‬ ‫(בטבלה זו לא כללנו טור המיועד לדוגמאות מספריות‪ ,‬אך תוכלו להוסיף טור כזה בטבלה שלכם‪).‬‬ ‫רוחב הלוח ‪-‬‬ ‫מספר הימים ב"שבוע"‬ ‫ממדי התבנית‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הביטוי לחישוב‬ ‫סכום המספרים‬ ‫‪2×2‬‬ ‫‪3×3‬‬ ‫‪4×4‬‬ ‫‪k×k‬‬ ‫‪2×2‬‬ ‫‪3×3‬‬ ‫‪4×4‬‬ ‫‪kxk‬‬ ‫‪2×2‬‬ ‫‪3×3‬‬ ‫‪4×4‬‬ ‫‪kxk‬‬ ‫‪kxk‬‬ ‫‪kxk‬‬ ‫כתבו תיאורים לסכום המספרים בתבניות ריבועיות עבור לוחות אחרים כגון‪:‬‬ ‫• לוח שבו ההפרש בין שני מספרים סמוכים בשורה הוא קבוע‪.‬‬ ‫• לוח שבו כל אחד מהמספרים הוא כפולה של מספר קבוע אחד‪ ,‬למשל כפולה של המספר )‪.(-6‬‬ ‫• לוחות אחרים משלכם‪.‬‬ ‫פעילויות בתחום האלגברי‬ ‫‪ 10‬הרחיבו את החקירה ללוחות מסוגים נוספים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬לוחות ותבניות‬ ‫‪35‬‬ ‫‪15/08/11 20:40‬‬ ‫‪metsuianut_1.indd 35‬‬