‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬ ‫תרגול מס' ‪ – 13‬עיצוב החוג (תכן בקרי קידום – פיגור) – פתרון‬ ‫תכן בקרי קידום – פיגור‬ ‫בקר קידום‪ :‬מגדיל את עודף הפאזה של המערכת על ידי קידום פאזה בתדר הנדרש‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בוחרים ‪ , m  c‬שם הבקר נותן קידום פאזה מרבי ‪ m‬ולא משנה את ההגבר‪ .‬לקידום גדול מ ‪ 60‬משתמשים‬ ‫בשני בקרי קידום‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הבקר מקטין את הגבר החוג הפתוח בתדרים נמוכים‪ ,‬ולכן פוגע בביצועי מצב מתמיד (פוגע בעקיבה ובוויסות)‪.‬‬ ‫הבקר מגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים גבוהים‪ ,‬ולכן‪ :‬מקטין עודף הגבר‪ ,‬פוגע בהנחתת רעשים‪.‬‬ ‫‪Clead  jm   1‬‬ ‫‪  1 ‬‬ ‫‪Clead  jm   m    sin 1 ‬‬ ‫‪ ,‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫; ‪,  1‬‬ ‫‪ s  m‬‬ ‫‪s  m‬‬ ‫‪Clead  s  ‬‬ ‫בקר פיגור‪ :‬מגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים נמוכים ועל ידי כך משפר תכונות עקיבה וויסות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫בוחרים ‪ , m  c‬שם הגבר הבקר הוא ‪ ,1‬ובתדרים קטנים מ ‪ m‬הגבר הבקר גבוה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הבקר מוסיף פיגור פאזה בתדרים נמוכים‪ .‬בתדר ‪ m‬מתווסף פיגור פאזה עד ‪ 5.7‬ויש להתחשב בכך בתכן‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Clag  jm   5.7 ,0‬‬ ‫‪Clag  jm   1 ,‬‬ ‫איור ‪ :A‬ימין – עקום בודה של בקר קידום‬ ‫; ‪,  1‬‬ ‫‪10s  m‬‬ ‫‪10s  m ‬‬ ‫‪Clag  s  ‬‬ ‫שמאל – עקום בודה של בקר פיגור‬ ‫‪1‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪Bode Diagram‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪System: P‬‬ ‫‪Frequency (rad/s): 10‬‬ ‫‪Magnitude (dB): -28.5‬‬ ‫‪-150‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪-135‬‬ ‫‪-180‬‬ ‫)‪Phase (deg‬‬ ‫‪System: P‬‬ ‫‪Frequency (rad/s): 10‬‬ ‫‪Phase (deg): -199‬‬ ‫‪-225‬‬ ‫‪-270‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Frequency (rad/s‬‬ ‫איור ‪ :1‬עקום בודה של התהליך בשאלה מס' ‪1‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪60‬‬ ‫עקום בודה של התהליך‬ ‫‪s  s  5 s  10 ‬‬ ‫‪ P  s  ‬נתון באיור ‪.1‬‬ ‫א‪ .‬דרוש לבקר את התהליך בחוג סגור כך שתתקיימנה הדרישות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬שגיאת מצב מתמיד אפס לכניסת מדרגה באות הייחוס‬ ‫‪ .2‬רוחב סרט של חוג סגור ‪b  12.5r s‬‬ ‫‪ .3‬עודף פאזה ‪ ph  35‬‬ ‫תכננו בקר מתאים ונתחו את ביצועי החוג הסגור תחת הפרעות מדרגה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף א'‬ ‫דרישה ‪ :1‬מתקיימת‪ ,‬כי בתהליך כבר קיים אינטגרטור‪ ,‬לכן אין צורך להוסיף אינטגרטור בבקר‪.‬‬ ‫דרישה ‪ :2‬הדרישה היא על מהירות תגובה של החוג הסגור‪ .‬נשתמש בכלל האצבע המקובל כדי לתרגם את הדרישה‬ ‫לחוג הפתוח (כאשר נבחר ערך מתוך התחום)‪:‬‬ ‫‪b  1.2  1.5c  c  12.5 / 1.25  10r s‬‬ ‫‪ ‬נשים לב כי עודפי היציבות של התהליך עצמו (כלומר של חוג עם בקר ‪ )C=1‬גדולים‪ :‬עודף פאזה ‪,  ph  70‬‬ ‫עודף הגבר ‪ , g  20dB  10‬עודף זמן מת ‪ . d   ph c  1.22sec‬הבעיה היא ש ‪ c  1r s‬נמוך מדי‪ ,‬כי זה‬ ‫יגרור רוחב סרט קטן מדי של חוג סגור‪ ,‬כלומר תגובות איטיות בזמן‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫מעקום בודה של התהליך רואים כי דרישה זו לא מתקיימת‪ ,‬כי הגבר התהליך בתדר ‪ c  10r s‬הוא ‪ . 28.5dB‬נוסיף‬ ‫בקר הגבר שיתקן זאת‪.‬‬ ‫‪C1  28.5dB  26.61  L1  s   C1P  s   26.61P  s ‬‬ ‫דרישה ‪ :3‬הפאזה של התהליך (או של ‪ ) L1  s ‬בתדר ‪ c  10r s‬היא ‪ , 198‬כלומר אם נסגור את החוג עם הבקר‬ ‫‪ C1‬בלבד נקבל חוג סגור לא יציב‪ .‬אנו צריכים חוג סגור יציב עם עודף פאזה של לפחות ‪ , 35‬לכן דרוש קידום פאזה‬ ‫של ‪ . 18  35  53‬נתכנן בקר קידום‪.‬‬ ‫‪ s  m‬‬ ‫‪s  m‬‬ ‫‪C2  s   Clead  s  ‬‬ ‫על מנת לשמור על ‪ c‬שקבענו‪ ,‬נבחר ‪ . m  c  10r s‬ההגבר של בקר הקידום בתדר זה הוא ‪ ,1‬והוא נותן בתדר‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫זה קידום פאזה מרבי של ‪‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪ . m  sin 1 ‬נוכל לחשב את ‪ ‬במדויק‪ ,‬או להוציא אותו מהגרף של ‪. m  ‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1  sin 53‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ 8.93  9‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪1  sin 53‬‬ ‫‪sin m  sin 53 ‬‬ ‫איור ‪ :2‬קידום פאזה של הבקר ‪ C2  s ‬בתדר ‪   m‬כפונקציה של ‪‬‬ ‫הבקר והחוג הפתוח המתקבלים‪ ,‬הם‬ ‫‪3s  10‬‬ ‫‪3s  10‬‬ ‫‪ L  s   C1C2 P  26.61‬‬ ‫‪Ps‬‬ ‫‪s  30‬‬ ‫‪s  30‬‬ ‫עקום בודה של החוג הפתוח יהיה כעת‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪9s  10‬‬ ‫‪s  10 9‬‬ ‫‪C2  s  ‬‬ ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering Bode Diagram 100 System: L=C1C2P Frequency (rad/s): 10 Magnitude (dB): 0.0325 Magnitude (dB) 50 0 -50 -100 -150 -90 System: L=C1C2P Frequency (rad/s): 10 Phase (deg): -145 Phase (deg) -135 -180 P -225 L=C1C2P -270 -2 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 10 Frequency (rad/s) 1 '‫ בשאלה מס‬L  s   C1C2 P ‫ עקום בודה של החוג הפתוח‬:3 ‫איור‬ . g  11dB  3.55 :‫נשים לב שהבקר הגדיל הגבר בתדרים גבוהים ולכן הקטין עודף הגבר‬ ‫ מה שהתבטא‬,‫ קיבלנו רוחב סרט מעט גדול יותר מהנדרש ופיק יחסית לא גבוה‬y/r ‫בתגובת התדר של החוג הסגור‬ .35% ‫בתגובת מדרגה מהירה ועם תגובת יתר סבירה של כ‬ Step Response Bode Diagram 1.4 10 Gyr 1.2 0 System: Gyr Frequency (rad/s): 16.8 Magnitude (dB): -3.01 1 Magnitude (dB) Amplitude -10 0.8 0.6 -20 -30 0.4 -40 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -50 -1 10 0 1 10 10 Frequency (rad/s) Time (seconds) r  t   1 t  ‫שמאל – תגובת החוג הסגור ל‬ T  s   y r  s  ‫ ימין – בודה של‬:4 ‫איור‬ 4 2 10 ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫כעת נבדוק את תגובת החוג הסגור לכניסת מדרגה בהפרעה‪ ,‬ונצייר עקום בודה של התמסורת ‪. Td  s   y d  s ‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫‪Bode Diagram‬‬ ‫‪0.12‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪Gyd‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪-30‬‬ ‫‪0.08‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪0.06‬‬ ‫‪Amplitude‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪0.04‬‬ ‫‪-70‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1.8‬‬ ‫‪1.6‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫)‪Frequency (rad/s‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (seconds‬‬ ‫שמאל – תגובת החוג הסגור ל ‪d  t   1 t ‬‬ ‫איור ‪ :5‬ימין – בודה של ‪Td  s   y d  s ‬‬ ‫מהבודה של ‪ Td  s ‬רואים כי ההגבר של ‪ Td  0 ‬נמוך יחסית‪ , Td  0  19dB  0.112 ,‬כלומר ההפרעה (שהיא‬ ‫אות בתדר עיקרי אפס) מונחתת על ידי המסנן ‪ Td  s ‬יחסית טוב‪ .‬נחשב במדויק את השגיאה‪ ,‬כאשר ‪. yd  ed‬‬ ‫‪P  0‬‬ ‫‪1e‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.112‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪sd‬‬ ‫‪1  C  0  P  0  s 0 s  s  5  s  10   60C  0  C  0  26.61 3s  10‬‬ ‫‪s  30 s 0‬‬ ‫‪edss  lim s‬‬ ‫‪s 0‬‬ ‫על מנת להקטין את השגיאה לכניסת מדרגה בהפרעה דרוש להגדיל את ההגבר הסטטי של הבקר‪. C  0  ,‬‬ ‫ב‪ .‬כעת‪ ,‬בנוסף על הדרישות בסעיף א'‪ ,‬דרוש כי השגיאה לכניסת מדרגה בהפרעה לא תעלה על ‪.1%‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף ב'‬ ‫‪C1‬‬ ‫כאמור‪ ,‬עלינו להגדיל את ‪ , C  0 ‬כאשר עבור הבקר שתכננו‬ ‫‪‬‬ ‫מהנדרש‪ ,‬ואילו אם נגדיל את ‪ C1‬נגדיל את ‪ . c‬בהרצאה למדנו שקיימת דרך להגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים‬ ‫‪ . C  0  ‬אם נקטין את ‪ ‬נקבל עודף פאזה קטן‬ ‫נמוכים מבלי לפגוע הרבה בהגבר ובפאזה בתדרים גבוהים יותר‪ .‬נתכנן בקר פיגור ושוב נבחר ‪. m  c  10r s‬‬ ‫‪Clag  jm   5.7‬‬ ‫‪Clag  jm   1 ,‬‬ ‫‪5‬‬ ‫;‬ ‫‪10s  m‬‬ ‫‪10s  m ‬‬ ‫‪C3  s   Clag  s  ‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫נשים לב כי בקר הפיגור יכול להוסיף פיגור פאזה מרבי של ‪ 5.7‬בתדר ‪ , m  c‬לכן נצטרך לתקן מעט את בקר‬ ‫הקידום שתכננו‪ .‬נתכנן בקר קידום חדש שמקדם ‪ . 53  6  59‬מהגרף של ‪ m  ‬מקבלים כי דרוש ‪.   13‬‬ ‫לקיום דרישת הוויסות ‪ , edss  0.01‬על ההגבר הסטטי של הבקר השקול לקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 100‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪C  0 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0.01 ‬‬ ‫‪C  0‬‬ ‫‪edss ‬‬ ‫ובהצבת הבקרים שתכננו‪ ,‬נקבל את ההגבר הסטטי הנדרש של בקר הפיגור‪.‬‬ ‫‪100 13‬‬ ‫‪ 13.6‬‬ ‫‪26.61‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  100   ‬‬ ‫‪ new‬‬ ‫‪13s  10‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s  10 13 s  0.0735‬‬ ‫לסיכום‪ ,‬הבקר השקול הינו‪:‬‬ ‫‪C  0   C1C2  0  C3  0   C1‬‬ ‫‪C  s   C1C2 _ new  s  C3  s   26.61‬‬ ‫רואים כי הבקר הגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדרים נמוכים‪ ,‬אך בסביבות נקודת העבודה‪ ,   10r s ,‬אין שינויים‪.‬‬ ‫‪Bode Diagram‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪L=C1C2P‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-50‬‬ ‫)‪Magnitude (dB‬‬ ‫‪Ln=C1C2nC3P‬‬ ‫‪-100‬‬ ‫‪-150‬‬ ‫‪-90‬‬ ‫‪-135‬‬ ‫)‪Phase (deg‬‬ ‫‪-180‬‬ ‫‪-225‬‬ ‫‪-270‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Frequency (rad/s‬‬ ‫איור ‪ :6‬עקום בודה של החוג הפתוח ‪ L  s   C1C2 _ newC3 P‬בשאלה מס' ‪1‬‬ ‫בתמסורת ‪ Td  s ‬הקטנו את ‪ , Td  0 ‬אך בתדרים גבוהים יותר ההגבר של ‪ Td  s ‬לא השתנה‪ ,‬לכן קיבלנו מעין פיק‬ ‫בבודה של ‪ . Td  s ‬כעת גם בתגובת החוג להפרעת מדרגה רואים תגובת יתר‪ .‬הערך הסופי של התגובה החדשה‪ ,‬הוא‬ ‫‪ , ydss  0.01‬כמתוכנן‪ ,‬כאשר ‪. Td  0  40dB  0.01‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering Step Response Bode Diagram 0.12 0 Gyd Gydn 0.1 Gyd Gydn -50 Magnitude (dB) Amplitude 0.08 0.06 -100 0.04 0.02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -150 -2 10 9 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/s) Time (seconds) d  t   1 t  ‫שמאל – תגובת החוג הסגור ל‬ Td _ new  s   y d  s  ‫ ימין – בודה של‬:7 ‫איור‬ .‫ כעת דרוש שהשגיאה לכניסת מדרגה בהפרעה תתאפס לגמרי‬.‫ג‬ '‫ סעיף ג‬1 ‫פתרון שאלה‬ ‫ הבקר השקול החדש יהיה‬.    ‫ לכן נתכנן בקר פיגור חדש עם‬,‫כעת דרוש אינטגרטור בבקר‬ C1C2 _ new  s  C3_ new  s   26.61 13s  10 s  1 s  10 13 s 7 ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫איור ‪ :8‬עקום בודה של התהליך בשאלה מס' ‪2‬‬ ‫דיאגרמת בודה של תהליך כלשהו ללא קטבים ב ‪ ORHP‬נתונה באיור ‪.8‬‬ ‫א‪ .‬תכננו בקר פשוט ככל האפשר וללא אינטגרטורים כך שהחוג הסגור עונה על הדרישות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬שגיאת מצב מתמיד למדרגה באות הייחוס קטנה מ ‪ 10%‬של גובה המדרגה‪.‬‬ ‫‪ .2‬תדירות מעבר הגבר ‪. 10r s‬‬ ‫‪ .3‬עודף פאזה ‪. 45‬‬ ‫מהו עודף הזמן המת של המערכת עם הבקר שתכננתם?‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף א'‬ ‫מעקום בודה של התהליך רואים כי בתדר ‪   10r s‬ישנו עודף פאזה של ‪ , 51‬אך ההגבר של התהליך בתדר זה הוא‬ ‫‪ , 20dB‬לכן נבחר בקר הגבר ‪ K  20dB  10‬ובכך נקיים דרישות ‪ 2‬ו ‪.3‬‬ ‫את קיומה של דרישה ‪ 1‬נבדוק מתוך משפט הערך הסופי‪ ,‬כאשר ההגבר הסטטי של התהליך הינו ‪. 4.3dB  0.61‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 0.14  0.1‬‬ ‫‪s 1  C  s  P  s  1  10P  0  1  10  0.61‬‬ ‫‪erss  lim s‬‬ ‫‪s 0‬‬ ‫כפי שרואים‪ ,‬דרישה ‪ 1‬לא מתקיימת‪ .‬על מנת להקטין את השגיאה דרוש להגדיל את הגבר החוג הפתוח בתדר אפס‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪0.61C  0   1  10‬‬ ‫‪C  0  P  0   1  10 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0.1 ‬‬ ‫‪1  C  0 P  0‬‬ ‫‪erss ‬‬ ‫כדי לא לפגוע בקיום דרישות ‪ 2‬ו ‪ ,3‬נתכנן בקר פיגור‪ .‬נשים לב כי בקר פיגור יכול להוסיף פיגור פאזה של עד ‪, 5.7‬‬ ‫אך עדיין יהיה לנו מספיק עודף פאזה‪ ,‬כי ‪. 51  6  45‬‬ ‫‪C  0   K   10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪ 1.5  C  s   10‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫‪s  0.667‬‬ ‫‪ ph  4‬‬ ‫‪‬‬ ‫עם בקר זה‪ ,‬למערכת זמן מת של ‪ 0.0785sec‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪10‬‬ ‫;‬ ‫‪10s  m‬‬ ‫‪10s  m ‬‬ ‫‪C s  K‬‬ ‫‪6.1  1  10  6.1  1  10   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. d ‬‬ ‫ב‪ .‬חזרו על סעיף א' בהינתן שלתהליך נוספה השהייה של ‪ 0.080‬שניות‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬ ‫ההשהיה שנוספה גדולה מההשהיה המרבית המותרת‪ ,‬לכן החוג הסגור עם הבקר שתכננו בסעיף א' יהיה לא יציב‪.‬‬ ‫בתדר ‪   10r s‬ההשהיה מוסיפה פיגור פאזה של ‪ 0.089 10 180   51‬ולא משנה את ההגבר בשום תדר‪ .‬כיוון‬ ‫שללא ההשהיה יש לנו את עודף הפאזה הנדרש‪ ,‬נתכנן בקר קידום שיקדם בתדר ‪   10r s‬ב ‪ . 51‬לפיכך‪:‬‬ ‫‪8s  10‬‬ ‫‪s  10 8‬‬ ‫‪  8 ; Clead  s  ‬‬ ‫אבל‪ ,‬נשים לב כי בקר קידום מקטין הגברים בתדרים נמוכים לכן כנראה קלקל את דרישת העקיבה (דרישה ‪ .)1‬נצטרך‬ ‫לתקן זאת על ידי שדרוג של בקר הפיגור‪ .‬הבקר כעת הוא‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ C  0   K  new‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪8s  10‬‬ ‫‪s  1  new s  10 8‬‬ ‫‪C s  K‬‬ ‫נציב את ‪ C  0 ‬בתנאי העקיבה שרשמנו בפתרון סעיף א' ונקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9 8‬‬ ‫‪ new  1  10   new ‬‬ ‫‪ 4.24  1.5‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6.1‬‬ ‫והבקר הסופי הוא‪:‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪8s  10‬‬ ‫‪s  1 4.24 s  10 8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪C  s   10‬‬