‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫תורת הבקרה )‪(035188‬‬ ‫תרגול מס' ‪ – 3‬יציבות רובסטית‬ ‫‪‬‬ ‫התהליך האמיתי ‪ P  s ‬כולל אי ודאות בפרמטרים‪ ,‬לכן עקום ניקויסט האמיתי עבור תדר כלשהו נמצא באזור‬ ‫עקום ניקויסט הנומינאלי בתדר זה‪ .‬לשם פשטות האנליזה אנו תוחמים אזור זה באמצעות עיגול בעל רדיוס‬ ‫‪ , P0  j  l  ‬כאשר ‪ l  ‬הוא החסם ונקרא רדיוס אי הוודאות המכפלתית‪ l   .‬אינו תלוי בבקר (!)‪.‬‬ ‫‪P  j ‬‬ ‫‪ 1  l    , l    0‬‬ ‫‪P0  j ‬‬ ‫‪.‬‬ ‫יציבות רובסטית‬ ‫‪P  j ‬‬ ‫עבור תהליכים ‪ P  s ‬השייכים למשפחה ‪ 1  l  ‬‬ ‫‪P0  j ‬‬ ‫ולכולם אותם קטבים לא יציבים‪ ,‬הבקר ‪C  s ‬‬ ‫מייצב את המערכת באופן רובסטי (כלומר עבור כל אי ודאות בתחום הנתון) אם‪:‬‬ ‫‪ C  s  .1‬מייצב את התהליך הנומינאלי ‪. P0  s ‬‬ ‫‪C  j  P0  j ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  C  j  P0  j  l  ‬‬ ‫‪ T0  j  ‬בכל תדר‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering 1 ‫שאלה‬ ‫נתון התהליך‬ P s  K a  s   sh e  s 1 b  s :‫ נתון‬,‫ כמו כן‬.‫ הם פולינומים ידועים‬b  s  ‫ ו‬a  s  ‫כאשר‬ ,  K    Km ,  Km  , 0   Km  K0 .‫א‬ K  K0   K    0   ,     m ,  m  , 0   K   0 .‫ב‬ h  h0   h ,  h    hm ,  hm  , 0   hm  h0 .‫ג‬ .‫( בכל אחד מהמקרים‬multiplicative uncertainty radius) ‫חשבו את רדיוס אי הוודאות המכפלתית‬ '‫ סעיף א‬1 ‫פתרון שאלה‬ .)‫עקום ניקויסט האמיתי משתנה בצורה רדיאלית סביב העקום הנומינאלי (שינוי בהגבר ללא שינוי בפאזה‬ K a  s   sh e P s  s 1 b  s K 1  1  1 P0  s  K0 K 0 a  s   sh e  s 1 b  s P  j  K  K   K 1  1  0  1  K  l    l    Km P0  j  K0 K0 K0 K0 .‫קיבלנו כי רדיוס אי הודאות הינו קבוע ולא תלוי בתדר‬ '‫ סעיף ב‬1 ‫פתרון שאלה‬ .‫כאן עקום ניקויסט האמיתי משתנה לאורך קשת כלשהי סביב העקום הנומינאלי‬ K a  s   sh e P s  s 1 b  s     s  s 1 1  1  0 1  0 P0  s   s 1  s 1 K a  s   sh e  0s 1 b  s  2 ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering P  j       j   0   0      j  1  0 P0  j   j  1  0     j  1  l       0     2  1 2  l      0   m  2 2 1 .    ‫שמתקבל עבור‬   0   ‫רדיוס אי הודאות הינו פונקציה מונוטונית עולה עם ערך מרבי‬ '‫ סעיף ג‬1 ‫פתרון שאלה‬ .)‫כאן עקום ניקויסט האמיתי משתנה לאורך קשת שהיא חלק ממעגל שמרכזו בראשית (שינוי בפאזה ללא שינוי בהגבר‬ K a  s   sh e P s  s 1 b  s e sh 1   1   sh  1 P0  s  K a  s   sh0 e 0 e  s 1 b  s P  j  e j h  j h  h  1   j h  1  e  0   1  cos   h  h0    sin   h  h0   j  1 0 P0  j  e   cos   h  h    1 2 0   sin 2   h  h0    2 1  cos   h  h0    2 1  cos  h    4sin 2     2 sin    l    h  h 2 2 :‫ נראה כי החסם בכל תדר הינו‬  j  ‫אם נצייר את‬     hm 2 sin 2  l      2  0    hm    hm 3 ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫נתון מנוע זרם ישר מהתרגול הראשון‪:‬‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪e hs‬‬ ‫‪s  Ra Js  Ra f  K m Kb ‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪Va‬‬ ‫‪P s ‬‬ ‫ונתונים הערכים הנומינאליים של הקבועים‪:‬‬ ‫‪h  s‬‬ ‫‪Ra  ‬‬ ‫‪0.0179‬‬ ‫‪6.5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪f  kg sm ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J  kg  m2 ‬‬ ‫‪Kb  Vrads ‬‬ ‫‪K m  NAm ‬‬ ‫‪8.35 105‬‬ ‫‪6 105‬‬ ‫‪0.0301‬‬ ‫‪0.0301‬‬ ‫הבקר שתוכנן עבור ערכים אלו (וקירוב ההשהיה)‪ ,‬הוא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s  3  1.76s  30 ‬‬ ‫‪C  s   10.1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s  s  52.8 ‬‬ ‫כעת נתון כי ערך האינרציה ‪ J‬אינו ידוע במדויק אלא משתנה בתחום‬ ‫‪,  J    Jm ,  Jm  , 0   Jm  J 0‬‬ ‫‪. J  J0   J‬‬ ‫מצאו את הסטייה המרבית ‪  Jm‬עבורה הבקר הנתון מייצב את המערכת באופן רובסטי‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪2‬‬ ‫נרשום את התהליך בצורה הבאה‪:‬‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪Ra f  K m Kb‬‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪as‬‬ ‫‪as‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪as‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s  Ra Js  Ra f  K m Kb  a  s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ a  s s  s  1 a  s‬‬ ‫‪Ra J‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s  1‬‬ ‫‪ Ra f  K m Kb‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪Ra J‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪, ‬‬ ‫‪ J‬‬ ‫‪Ra f  K m Kb‬‬ ‫‪Ra f  K m Kb‬‬ ‫‪P s ‬‬ ‫אי ודאות באינרציה מתפרשת כאי ודאות בקבוע הזמן של המערכת‪ ,‬כאשר‪:‬‬ ‫‪   J   J 0   J   0  ‬‬ ‫בשאלה ‪ 1‬מצאנו כי עבור אי ודאות בקבוע הזמן מתקבל רדיוס אי הודאות הבא‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 0   ‬‬ ‫‪. l   ‬‬ ‫למציאת תחום אי הודאות עבורו מתקיימת יציבות רובסטית יש לצייר את ‪ T0  j ‬לעומת ‪ l 1  ‬עבור ערכי ‪‬‬ ‫שונים ולמצוא מתי ישנה ההשקה‪.‬‬ ‫ראשית נוודא כי אנו עומדים בתנאי הקריטריון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכל התהליכים במשפחה אותם קטבים לא יציבים (לא מושפעים מאי הודאות)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫הבקר הנתון ‪ C  s ‬אכן מייצב את התהליך הנומינאלי‪.‬‬ ‫נבדוק כמה ערכים של ‪:  Jm‬‬ ‫‪  m  0.0449 .1‬‬ ‫‪.  Jm  1105‬‬ ‫‪60‬‬ ‫|) ‪|T0(j‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪1/l( ) with  J=1e-05‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫]‪magnitude [dB‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫]‪frequency [r/s‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-60 -1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫עבור ‪  Jm‬הנ"ל קיבלנו ‪ T0  j   l 1  ‬בכל התדרים‪ ,‬לכן הבקר הנתון מייצב את המערכת באופן רובסטי‪.‬‬ ‫‪   0.1346 .2‬‬ ‫‪.  J  3 105‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪40‬‬ ‫|) ‪|T0(j‬‬ ‫‪1/l( ) with  J=3e-05‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫]‪magnitude [dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫]‪frequency [r/s‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-60 -1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫כאן קיבלנו שבתחום תדרים מסוים ‪ , T0  j   l 1  ‬כלומר הבקר הנתון לא מייצב את המערכת באופן רובסטי‪.‬‬ ‫‪   0.1054 .3‬‬ ‫‪.  J  2.35 105‬‬ ‫‪40‬‬ ‫|) ‪|T0(j‬‬ ‫‪1/l( ) with  J=2.35e-05‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫]‪magnitude [dB‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫]‪frequency [r/s‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-60 -1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫קיבלנו שבתדר מסוים מתקיים ‪ T0  j   l 1  ‬ובכל שאר התדרים ‪ . T0  j   l 1  ‬לפיכך‪ ,‬אי הודאות‬ ‫המרבית עבורה הבקר הנתון מייצב את המערכת באופן רובסטי הינה ‪.  Jm  2.35 105‬‬ ‫‪6‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם הבקר מייצב את המערכת באופן רובסטי‪ ,‬אז המערכת יציבה עבור כל אי ודאות בתחום הנתון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫ההפך לא בהכרח נכון כי בחרנו לייצג את אי הודאות באופן שמרני‪ :‬יתכן והנקודה הקריטית נמצאת בתוך העיגול‬ ‫ברדיוס ‪ , P0  j  l  ‬אך עקום ניקויסט האמיתי אינו מקיף את הנקודה הקריטית‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫לדוגמא‪ ,‬עבור ‪  Jm  3 105‬מצאנו כי הבקר לא מייצב את המערכת באופן רובסטי‪ ,‬אך מה קורה בפועל?‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪as‬‬ ‫‪s  Ra J 0 s  Ra f  K m Kb  a  s‬‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪as‬‬ ‫‪s  Ra  J 0   Jm  s  Ra f  K m Kb  a  s‬‬ ‫‪Km‬‬ ‫‪as‬‬ ‫‪s  Ra  J 0   Jm  s  Ra f  K m Kb  a  s‬‬ ‫‪P0  s  ‬‬ ‫‪Pplus  s  ‬‬ ‫‪Pminus  s  ‬‬ ‫נצייר עקום ניקולס עבור שלושת התהליכים כשהם מוכפלים בבקר ‪: C  s ‬‬ ‫‪Nichols Chart‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪CP nominal‬‬ ‫‪CP minus‬‬ ‫‪CP plus‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪60‬‬ ‫‪0.25 dB‬‬ ‫‪0.5 dB‬‬ ‫‪1 dB‬‬ ‫‪3 dB‬‬ ‫‪6 dB‬‬ ‫‪System: CP minus‬‬ ‫‪Gain Margin (dB): 1.61‬‬ ‫‪At frequency (rad/s): 58.9‬‬ ‫‪Closed loop stable? Yes‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪-1 dB‬‬ ‫‪-3 dB‬‬ ‫‪-6 dB‬‬ ‫‪-12 dB‬‬ ‫‪-20 dB‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-40 dB‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪-60 dB‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-80 dB‬‬ ‫‪360‬‬ ‫‪315‬‬ ‫‪270‬‬ ‫‪225‬‬ ‫‪135‬‬ ‫‪180‬‬ ‫‪90‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Open-Loop Gain (dB‬‬ ‫‪0 dB‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪-80‬‬ ‫)‪Open-Loop Phase (deg‬‬ ‫ניתן לראות כי המערכת עדיין יציבה בנוכחות אי הודאות בתחום הנתון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫היתרון ביציבות הרובסטית הוא שאנו יכולים לתכנן את הבקר עבור המערכת הנומינאלית‪ ,‬לדאוג ש ‪T0  j ‬‬ ‫יהיה מתחת ל ‪ l 1  ‬ואז מובטח לנו שהמערכת בחוג סגור יציבה בנוכחות כל אי ודאות במשפחה הנתונה‪.‬‬ ‫‪7‬‬