‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫יחידות ‪5-6‬‬
‫פונקציות של שני משתנים ‪f ( x, y ) -‬‬
‫תחום הגדרת הפונקציה ‪ -‬סימונים‪) :‬יחידות ‪ 5-6‬עמוד ‪ , 7‬סעיף ‪(250‬‬
‫}‪, R 2 + = {( x, y ) : x, y ≥ 0} , R 2 ++ = {( x, y ) : x, y > 0‬‬
‫}‪R 2 = {( x, y ) : x, y ∈ R‬‬
‫עקומה שוות ערך )יחידות ‪ 5-6‬עמוד‪ ,11‬סעיף ‪(258‬‬
‫הגדרה‪ :‬תהיה ‪ . f : R 2 → R‬העקומה שוות ערך ‪ a‬של הפונקציה ) ‪ f ( x, y‬היא אוסף כל‬
‫הנקודות ) ‪ ( x, y‬בהן מתקיים ‪f ( x, y ) = a‬‬
‫שרטוט עקומות שוות ערך‬
‫שיטה ‪ – 1‬משווים את הפונקציה ל‪ ,1 a -‬בוחרים ערך כלשהוא עבור ‪ , f ( x, y ) = a ⇐ a‬עבור‬
‫ערך זה מוצאים מספר נקודות ) ‪ ( x, y‬המקיימות את המשוואה‪ .‬מתווים את העש"ע ואת כיוון‬
‫הגידול של העש"ע‪) .‬שיטה זו נוחה למשל עבור עש"ע שתיאורן הגרפי הוא קו ישר(‬
‫שיטה ‪ - 2‬שרטוט עש"ע כאשר ניתן לחלץ את ה ‪y -‬‬
‫שלבים‪:‬‬
‫נתונה העש"ע ) ‪. f ( x, y‬‬
‫‪ .1‬בוחרים ‪ a‬כלשהו )תוך התחשבות בתחום הערכים ש‪ f ( x, y ) -‬יכולה לקבל(‬
‫‪ .2‬מחלצים את ה ‪ y -‬ומבטאים אותו כפונקציה של ‪y = y ( x ) x‬‬
‫‪ .3‬מבצעים חקירה זריזה‪:‬‬
‫♦ עליה‪/‬ירידה ‪:‬‬
‫‪ ⇐ y′ < 0‬העש"ע יורדות‬
‫‪ ⇐ y′ > 0‬העש"ע עולות‬
‫♦ קמורה‪/‬קעורה‬
‫‪ ⇐ y′′ > 0‬העש"ע קמורות‬
‫‪ ⇐ y′′ < 0‬העש"ע קעורות‬
‫‪ .4‬מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים )אם יש כאלה(‬
‫עם ציר ה‪ - x -‬מציבים ‪ y = 0‬ב‪f ( x, y ) = a -‬‬
‫עם ציר ה‪ - y -‬מציבים ‪ x = 0‬ב‪f ( x, y ) = a -‬‬
‫‪ .5‬משרטטים עש"ע אחת‪.‬‬
‫‪ .6‬בוחנים כיצד משפיע שינוי ערכו של הפרמטר ‪ a‬על העש"ע ‪ .‬משרטטים מפה של עש"ע‬
‫ומציינים את כיוון הגידול על ידי חץ שמן‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫הוא פרמטר כללי המייצג ערך מסוים של הפונקציה‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫נגזרות חלקיות‬
‫תהי ‪ f‬פונקציה של שני משתנים ‪ x‬ו‪. y -‬‬
‫)יחידות ‪ 5-6‬עמודים ‪ ,25-39‬סעיפים ‪(272, 281, 282, 284, 286‬‬
‫נגזרות חלקיות מסדר ראשון ‪:‬‬
‫‪ ) f x‬או ‪ – ( f1‬הנגזרת החלקית של ‪ f‬לפי ‪ x‬כאשר גוזרים לפי ‪ x‬ו‪ y -‬מוחזק קבוע‪.‬‬
‫‪ ) f y‬או ‪ – ( f 2‬הנגזרת החלקית של ‪ f‬לפי ‪ y‬כאשר גוזרים לפי ‪ y‬ו‪ x -‬מוחזק קבוע‪.‬‬
‫נגזרות חלקיות מסדר שני‪:‬‬
‫‪ ) f xx‬או ‪ – ( f11‬הנגזרת החלקית לפי ‪ x‬של ) ‪f x ( x, y‬‬
‫‪ ) f yy‬או ‪ – ( f 22‬הנגזרת החלקית לפי ‪ y‬של ) ‪f y ( x, y‬‬
‫‪ ) f xy‬או ‪ – ( f12‬הנגזרת החלקית לפי ‪ y‬של ) ‪f x ( x, y‬‬
‫‪ ) f yx‬או ‪ – ( f 21‬הנגזרת החלקית לפי ‪ x‬של ) ‪f y ( x, y‬‬
‫שתי הנגזרות החלקיות האחרונות נקראות נגזרות מעורבות מסדר שני‪ .‬לפי המשפט בסעיף ‪284‬‬
‫מתקיים ) ‪. f12 ( x, y ) = f 21 ( x, y‬‬
‫נחזור לשיטה ‪ – 2‬שרטוט מפת עש"ע‬
‫את כיוון הגידול בשלב ‪ 6‬ניתן למצוא גם לפי הטבלה הבאה‪:‬‬
‫סימן ‪f x‬‬
‫סימן ‪f y‬‬
‫חיובי‬
‫חיובי‬
‫שלילי‬
‫שלילי‬
‫כיוון הגידול של העש"ע‬
‫‪2‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫קואזי קמירות‪ ,‬קואזי קעירות ‪ -‬אספקט גרפי‪ :‬שימוש לצורך שרטוט עקומות‬
‫שוות ערך‪) .‬סעיפים ‪(386 , 387‬‬
‫הגדרה )סעיף ‪(386‬‬
‫הפונקציה ‪ f : R → R‬נקראת קואזי קעורה אם לכל ‪ x‬ו‪ y -‬מתקיים‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D = f11 f 22 + f 22 f12 − 2 f12 f1 f 2 < 0‬‬
‫והיא נקראת קואזי קמורה אם לכל ‪ x‬ו‪ y -‬מתקיים‪:‬‬
‫‪D = f11 f 22 + f 22 f12 − 2 f12 f1 f 2 > 0‬‬
‫הקשר בין קואזי קמירות‪/‬קעירות ובין צורת העש"ע )סעיף ‪(387‬‬
‫נניח שהנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציה ‪ f : R 2 → R‬חיוביות‪,‬‬
‫כלומר‪ f1 > 0 -‬ו‪. f 2 > 0 -‬‬
‫■ אם ‪ f‬קואזי קעורה אזי העקומות שוות הערך שלה קמורות‪.‬‬
‫■ אם ‪ f‬קואזי קמורה אזי העקומות שוות הערך שלה קעורות‪.‬‬
‫אם הנגזרות החלקיות הראשונות חיוביות נוח לסכם בטבלה כך‪:‬‬
‫העקומות שוות הערך‬
‫הפונקציה‬
‫הסימן של ‪D‬‬
‫קמורות‬
‫קואזי קעורה‬
‫שלילי‬
‫קעורות‬
‫קואזי קמורה‬
‫חיובי‬
‫שרטוט עש"ע‬
‫שיטה ‪ – 3‬שרטוט עש"ע כאשר לא ניתן לחלץ את ה ‪y -‬‬
‫שלבים‪:‬‬
‫נתונה ) ‪. f ( x, y‬‬
‫מטרה ‪ :‬שרטוט מפת עש"ע ‪f ( x, y ) = a‬‬
‫‪ .1‬מוודאים שהנגזרות החלקיות מסדר ראשון חיוביות ‪f x > 0 , f y > 0 :‬‬
‫)אם תנאי זה אינו מתקיים לא ניתן לעבוד לפי שיטה זו(‬
‫‪+‬‬
‫}‬
‫‪fx‬‬
‫‪ .2‬העש"ע יורדות כי מתקיים )לפי מפ"ס( ‪y′ = − < 0‬‬
‫‪f‬‬
‫‪{y‬‬
‫‪+‬‬
‫‪ .4‬קמירות ‪/‬קעירות – על פי משפט קואזי קמירות‪/‬קעירות ‪D = f f + f f − 2 f12 f1 f 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪11 2‬‬
‫♦ אם ‪ D > 0‬העש"ע קעורות‬
‫♦ אם ‪ D < 0‬העש"ע קמורות‬
‫‪ .4‬מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים )אם יש כאלה(‬
‫עם ציר ה‪ - x -‬מציבים ‪ y = 0‬ב‪f ( x, y ) = a -‬‬
‫עם ציר ה‪ - y -‬מציבים ‪ x = 0‬ב‪f ( x, y ) = a -‬‬
‫‪ .5‬כיוון הגידול של העש"ע )ראה עמוד ‪ 2‬בקובץ זה( הוא‬
‫‪3‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫משפט הפונקציות הסתומות )מפ"ס( ‪ -‬סעיף ‪297‬‬
‫אם המשוואה ‪ f ( x, y ) = 0‬מגדירה את ‪ y‬כפונקציה סתומה של ‪ , x‬אזי הנגזרת של פונקציה‬
‫) ‪f ( x, y‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪= y′ = − x‬‬
‫סתומה זו היא‪:‬‬
‫‪dx‬‬
‫) ‪f y ( x, y‬‬
‫שיפוע של עקומה שוות ערך של פונקציה בשני משתנים‬
‫תהי ) ‪ f ( x, y‬פונקציה של שני משתנים‪ .‬שיפוע של עש"ע ‪ f ( x, y ) = a‬בנקודה ) *‪ ( x* , y‬נתון‬
‫על ידי‬
‫) * ‪f x ( x* , y‬‬
‫) * ‪f y ( x* , y‬‬
‫‪y′ = −‬‬
‫)סעיף ‪(324‬‬
‫שיעור התחלופה השולי )סעיף ‪(325‬‬
‫נתונה פונקציית תועלת ) ‪U : R 2 + → R , U ( x, y‬‬
‫) ‪U x ( x, y‬‬
‫שיעור התחלופה השולי ‪:‬‬
‫) ‪U y ( x, y‬‬
‫= ) ‪MRS ( x, y‬‬
‫) ‪ MRS ( x, y‬מתאימה לכל נקודה ) ‪ ( x, y‬בתחום את מינוס השיפוע של עקומת האדישות‬
‫העוברת דרכה‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫נקודות קיצון של פונקציות של שני משתנים‬
‫נקודת אוכף‬
‫)סעיפים ‪(338,347‬‬
‫נקודת מקסימום מקומי‬
‫נקודת מינימום מקומי‬
‫שלבים למציאת נקודות קיצון של פונקציות בשני משתנים )ללא אילוץ(‬
‫נתונה הפונקציה ) ‪. f ( x, y‬‬
‫‪ .1‬שלב הכנה‪:‬‬
‫מחשבים את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון ושני ‪:‬‬
‫‪f x , f y , f xx , f xy , f yy‬‬
‫‪ .2‬תנאי סדר ראשון ‪ -‬מוצאים את הנקודה ‪ /‬ות המקיימת‪/‬ות‪:‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪ fx ( x , y ) = 0‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪ f y ( x , y ) = 0‬‬
‫‪ .3‬תנאי סדר שני ‪ -‬מחשבים עבור כל נקודה חשודה את ערך הביטוי‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫*‬
‫‪* ‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪∆ ( x , y ) = f xx ( x , y ) ⋅ f yy ( x , y ) − f xy ( x , y‬‬
‫‪14243 14243  14243 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬מסקנות‪:‬‬
‫♦ אם ‪ ∆ ( x* , y* ) > 0‬הנקודה ) *‪ ( x* , y‬היא נקודת קיצון‪:‬‬
‫‪A = f xx ( x* , y* ) > 0‬‬
‫⇐ ) *‪ ( x* , y‬הינה נקודת מינימום‬
‫‪A = f xx ( x* , y* ) < 0‬‬
‫⇐ ) *‪ ( x* , y‬הינה נקודת מקסימום‬
‫♦ אם ‪ ∆ ( x* , y* ) < 0‬הנקודה ) *‪ ( x* , y‬היא נקודת אוכף‬
‫♦ אם ‪ ∆ ( x* , y* ) = 0‬לא ניתן לדעת מה סוג הנקודה!‬
‫‪5‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫פתרון אלגברי וגרפי לבעיית קיצון תחת אילוץ‬
‫)סעיף ‪(377‬‬
‫שלבים‬
‫מנסחים בעיית קיצון‪ ,‬מזהים את פונקציית המטרה והאילוץ‬
‫) ‪min f ( x, y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ s.t. g ( x, y ) = 0‬‬
‫בעיית מינימום‬
‫) ‪max f ( x, y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ s.t. g ( x, y ) = 0‬‬
‫בעיית מקסימום‬
‫הפתרון האלגברי‬
‫שלב מקדים‪ :‬מכינים את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון ושני‬
‫‪f x , f y , f xx , f xy , f yy , g x , g y , g xx , g xy , g yy‬‬
‫תנאי סדר ראשון ‪ -‬רושמים את התנאים ההכרחיים לקיצון )עמוד ‪ 91‬סעיף ‪(371‬‬
‫) ‪ f x ( x, y ) = λ ⋅ g x ( x , y‬‬
‫‪‬‬
‫) ‪ f y ( x, y ) = λ ⋅ g y ( x , y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ g ( x, y ) = 0‬‬
‫♦‬
‫♦‬
‫‪λ‬‬
‫תנאי הסדר הראשון מהווים ‪ 3‬משוואות בנעלמים ‪ x,y‬ובמשתנה העזר‬
‫פתרון מערכת המשוואות פירושו מציאת נקודה החשודה כקיצון ) ‪( x , y‬‬
‫*‬
‫)למדא(‪.‬‬
‫*‬
‫תנאי סדר שני – מוודאים כי הנקודה היא אכן קיצון מהסוג המבוקש‬
‫‪H = ( f11 − λ g11 ) g 22 + ( f 22 − λ g 22 ) g12 − 2( f12 − λ g12 ) g1 g 2‬‬
‫לפי הסימן של ‪ H‬נקבע האם מקסימום או מינימום‪.‬‬
‫שים לב! בשלב זה נדרש לעיתים לדעת את הערך של משתנה העזר‬
‫הסימן של ‪. H‬‬
‫‪H < 0 ⇒ max‬‬
‫‪λ‬‬
‫‪H > 0 ⇒ min‬‬
‫או לפחות את הסימן שלו כדי לקבוע את‬
‫הפתרון הגרפי‬
‫♦‬
‫♦‬
‫♦‬
‫♦‬
‫משרטטים את האילוץ‪.‬‬
‫משרטטים מפת העש"ע של פונקציית המטרה ומסמנים את כיוון גידול שלהן על ידי חץ‬
‫שמן‪.‬‬
‫לשרוט האילוץ ומפת העש"ע מומלץ להיעזר באחת מבין השיטות הבאות ‪ -‬חילוץ ‪y‬‬
‫וחקירה זריזה או שימוש במפ"ס ובתנאי קוואזי קמירות‪/‬קעירות‪.‬‬
‫מסמנים את נקודת הקיצון בצורה ברורה בתרשים‪ .‬יש לשים לב לכיוון הגידול של‬
‫העש"ע!!!‬
‫מנמקים מדוע נבחרה דווקא הנקודה המסומנת‪.‬‬
‫ההסבר בדרך כלל מתייחס למטרת השאלה ולכיוון הגידול‪.‬‬
‫‪6‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫פונקציות הומוגניות‬
‫הגדרה )סעיף ‪(405‬‬
‫פונקציה ) ‪ f ( x, y‬תקרא הומוגנית מדרגה ‪ p‬אם לכל ‪ x‬ו‪ y -‬ולכל ‪t > 0‬‬
‫מתקיים‪f (tx, ty ) = t p ⋅ f ( x, y ) :‬‬
‫כלומר‪ ,‬הכפלת המשתנים ב‪ t -‬מכפילה את ערכה של הפונקציה ב‪. t p -‬‬
‫משפט )סעיף ‪(415‬‬
‫אם ‪ f : R 2 → R‬הומוגנית מדרגה ‪ , p‬אזי נגזרותיה החלקיות ‪ f1‬ו‪ f 2 -‬הומוגניות מדרגה‬
‫‪. p −1‬‬
‫משפט אוילר )סעיף ‪(420‬‬
‫אם הפונקציה ‪ f‬הומוגנית מדרגה ‪ , p‬אזי לכל ‪ x‬ו‪pf ( x, y ) = xf1 ( x, y ) + yf 2 ( x, y ) : y -‬‬
‫שים לב‪ :‬פונקציית ‪ MRS‬היא הומוגנית מסדר ‪.0‬‬
‫‪ MRS ( tx, ty ) = t 0 MRS ( x, y ) = MRS ( x, y ) ‬‬
‫‪7‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫האינטגרל הבלתי מסוים‬
‫הגדרה ‪1‬‬
‫תהי )‪ f ( x‬פונקציה המוגדרת בקטע ‪) I‬סופי או אין‪-‬סופי(‪.‬‬
‫פונקציה )‪ F ( x‬נקראת פונקציה קדומה של )‪ f ( x‬בקטע ‪ I‬אם לכל ‪ x‬ב‪ I-‬מתקיים‬
‫)‪F '( x) = f ( x‬‬
‫משפט )עמוד ‪f ( x) = F '( x) - (6‬‬
‫⇔ ‪∫ f ( x)dx =F ( x) + C‬‬
‫הביטוי ‪ dx‬מציין מהו המשתנה לפיו עושים את האינטגרציה‪.‬‬
‫אינטגרלים מיידיים )עמודים ‪(9+12‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל ‪α ≠ −1‬‬
‫‪.2‬‬
‫לכל ‪x > 0‬‬
‫‪xα +1‬‬
‫‪∫ x dx = α + 1 + C‬‬
‫‪α‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ x dx = ln x + C‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪+C‬‬
‫לכל קבוע ‪α‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ e dx = e‬‬
‫‪x‬‬
‫‪∫ α dx = α x + C‬‬
‫כללי אינטגרציה‬
‫♦‬
‫‪∫ α f ( x)dx = α ∫ f ( x)dx‬‬
‫♦‬
‫‪∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx‬‬
‫שילוב שני הכללים‪:‬‬
‫‪∫ [α f ( x) ± β g ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx ± β ∫ g ( x)dx‬‬
‫אינטגרלים מיידיים של פונקציה לינארית‬
‫אם‬
‫‪1‬‬
‫‪ , ∫ f ( x)dx =F ( x) + C‬אז ‪∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C‬‬
‫לכל ‪t ≠ −1 , a ≠ 0‬‬
‫לכל ‪, a ≠ 0‬‬
‫לכל ‪a ≠ 0‬‬
‫‪(ax + b)t +1‬‬
‫‪+C‬‬
‫)‪a(t + 1‬‬
‫‪t‬‬
‫= ‪∫ (ax + b) dx‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪∫ ax + b dx = a ln(ax + b) + C‬‬
‫‪1 ax+b‬‬
‫‪e +C‬‬
‫‪a‬‬
‫= ‪dx‬‬
‫‪ax +b‬‬
‫‪∫e‬‬
‫‪8‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫האינטגרל המסוים‬
‫הגדרה תהי ) ‪ f ( x‬פונקציה המוגדרת בקטע ] ‪ [ a, b‬ותהי )‪ F ( x‬פונקציה קדומה של )‪. f ( x‬‬
‫האינטגרל המסוים של )‪ f ( x‬בקטע ] ‪ [ a, b‬מסומן ב‪-‬‬
‫‪b‬‬
‫) ‪f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪∫ f ( x ) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫ומוגדר כך‪:‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫הערות‪:‬‬
‫♦ ‪ a, b‬נקראים גבולות האינטגרציה ‪ - a‬הגבול התחתון ‪ - b ,‬הגבול העליון‬
‫♦ האינטגרל המסוים הוא מספר ממשי‪.‬‬
‫תכונות האינטגרל המסוים )עמוד ‪(27‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫א‪[α f ( x) ± β g ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx ± β ∫ g ( x)dx .‬‬
‫‪b‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪a‬‬
‫ב‪f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .‬‬
‫‪a‬‬
‫ג‪f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .‬‬
‫‪b‬‬
‫ד‪f ( x)dx = 0 .‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫לכל ‪ α‬ו‪ β -‬קבועים‪.‬‬
‫‪ ∫a‬לכל נקודה ‪ c‬הנמצאת בקטע ]‬
‫‪b‬‬
‫)לינאריות (‬
‫[‬
‫‪) . a, b‬חוק פילוג(‬
‫)היפוך גבולות(‬
‫∫‬
‫‪a‬‬
‫שטחים‬
‫‪ .1‬השטח באיור הכלוא מתחת גרף הפונקציה ) ‪f ( x‬‬
‫ומעל לציר ה‪ x -‬בקטע ] ‪ [ a, b‬שווה ל‪. S = ∫ f ( x ) dx -‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S‬‬
‫‪9‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫שטח מתחת לציר ה‪x -‬‬
‫נתונה פונקציה ) ‪ f ( x‬המקבלת ערכים שליליים‬
‫‪2‬‬
‫בלבד בקטע ] ‪ . [ a, b‬אזי השטח בציור המוגבל בין‬
‫גרף הפונקציה ) ‪ , y = f ( x‬ציר ה‪x -‬‬
‫והישרים ‪ x = a‬ו‪x = b -‬‬
‫‪S‬‬
‫‪b‬‬
‫הוא‪S = − ∫ f ( x ) dx :‬‬
‫‪a‬‬
‫‪( f ( x ) − g ( x ) ) dx‬‬
‫שטח בין שתי פונקציות‬
‫‪b‬‬
‫∫=‪S‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S‬‬
‫שטחים מורכבים‬
‫‪ .1‬סכום שטחים מעל ומתחת לציר ה‪ x -‬הקשורים לפונקציה אחת‬
‫למציאת נקודות החיתוך עם ציר ה‪ x -‬יש לפתור את המשוואה ‪f ( x ) = 0‬‬
‫‪c‬‬
‫‪S2 = − ∫ f ( x ) dx‬‬
‫‪b‬‬
‫‪,‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S1 = ∫ f ( x ) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫]‬
‫⇒‬
‫‪S = S1 + S2‬‬
‫[‬
‫‪ 2‬כלומר ‪ f ( x ) < 0‬לכל נקודה בקטע ‪. a, b‬‬
‫‪10‬‬
‫חדו"א לכלכלנים‪ / 10142 /‬אבי קורן‪2007 /‬ג‬
‫‪ .2‬שטח הניתן להפרדה לשני שטחים המוגבלים כל אחד על ידי גרף של פונקציה אחרת‬
‫למציאת נקודת החיתוך של הפונקציה ) ‪ f ( x‬עם ציר ה‪ x -‬יש לפתור את המשוואה‬
‫‪f ( x) = 0‬‬
‫למציאת נקודת החיתוך של הפונקציה ) ‪ g ( x‬עם ציר ה‪ x -‬יש לפתור את המשוואה ‪g ( x ) = 0‬‬
‫למציאת נקודת החיתוך של שתי הפונקציות ) ‪ f ( x‬ו‪ g ( x ) -‬יש לפתור את המשוואה‬
‫)‪f ( x) = g ( x‬‬
‫‪b‬‬
‫‪S2 = ∫ g ( x ) dx‬‬
‫‪c‬‬
‫‪,‬‬
‫‪c‬‬
‫‪S1 = ∫ f ( x ) dx‬‬
‫‪a‬‬
‫⇒‬
‫‪S = S1 + S2‬‬
‫‪11‬‬