הרצאות חלק ב
: בצורה יעילהIDFT מימוש של IDFT x n :ההגדרה . X k DFT . X n Nx k :מדואליות DFT DFT Nx* k , x* n . X * n X * k N :תכונת ההצמדה * 1 . x n DFT X * n :נבצע לפי N N :Decimation In Frequency (DIF-FFT) N 1 . X k x n WNkn :אנו יודעים כי n 0 : נתחיל בחישוב הרכיב זוגי.נחלק את האות לזוגי ולאי"ז X 2k 0.5 N 1 n 0 0.5 N 1 x nW 2 kn N n 0 x n WN2 kn 0.5 N 1 n 0 N 1 x nW 2 kn N n 0.5 N 0.5 N 1 x nW n 0 x n 0.5 N WN2 kn N 1 2 kn N 2 kn 2 k x n 0.5 N WN N 2 n 0 0.5 N 1 x n x n 0.5N W 2 kn N 0.5 N n 0 . x n x n 0.5 N : עבור הפונקציהDFT קיבלנו מבנה של : נראה מה קורה עם החלק האי"ז.ניתן לראות כי אפשר לחשב את הרכיב הזוגי עם חצי מהמכפלות עקב הסכימה X 2k 1 0.5 N 1 n 0 x n WN 0.5 N 1 x nW W n 0 n N 2 kn N 2 k 1 n N 1 n 0.5 N x n WN 2 k 1 n 0.5 N 1 x n 0.5N W W n 0 n N 0.5 N N 0.5 N 1 n 0 x n WN WN2 kn WN2 k 0.5 N 1 2 k 1 n 0.5 N 1 x n 0.5N W 2 k 1 n 0.5 N N n 0 0.5 N 1 x n x n 0.5N W W n 0 n N kn 0.5 n :8 להלן פירוט עבור אות באורך. x n x n 0.5N WNn : לפונקציהDFT קיבלנו שוב פעם מבנה של . חיבורים0.5N - הכפלות וN סה"כ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן עיבוד אותות ספרתי –הרצאה | 52 נבצע שוב את התהליך כמו שראינו בנוגע לחישוב ההתמרה הישירה: בתוך הריבועים יש לנו DFTבאורך 2אשר לא ניתן לפישוט מעבר לכך .הסכמה הכללית היא: ניתן לראות כי האות נכנס מסודר למערכת ולכן אין צורך בפקודת Bit-Reverseשראינו בסוף ההרצאה הקודמת. פרפר אחד של הסכמה הוא: המסקנה הכללית היא שהסיבוכיות בחישוב DFTו IDFT-היא בדיוק אותו דבר. | 52 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן מדידת אותות סינוסים בעזרת :DFT נתון אות בזמן רציף (המורכב מאותות סינוסיים) ונרצה ללמוד על פרמטרי האותות מתוך התמרת ה.DFT- יש לנו מסנן ( antialiasingומשפט הדגימה) אשר מקבילים אותנו לניתוח אותות בתדרים . T T כדי שנוכל לבצע את ה DFT-יש לוודא שמדובר באות בעל תמך זמני סופי ולכן יש להכפיל בחלון. v n x n w n : הכפלה זו עושה בתדר קונבולוציה .נלמד כיצד הדבר משפיע על האות במוצא .נפתח בחלון ריבועי. חלון ריבועי: 1 n 0,1,..., N 1 . w n הגדרה: 0 else sin 12 N j N 1 2 e ה DTFT-של חלון: 1 sin 2 כאשר: N 1 2 1 2 sin sin נקבל במישור התדר: 1 e j N 1 e j N 1 W e j e jn n 0 - D , N גרעין דיריכלה. X e W e d j j 2 2 1 1 X e j W e j 2 2 . V e j להלן תיאור האות X e j המתקבל לאחר הדגימה: | 52 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן להלן תיאור חלון מסוים ( )eוהקונבולוציה בין החלון והאות הדגום ):(f תכונות גרעין דיריכליה בתחום : .1מקסימום ב 0 -בגובה. D 0, N N : 2 .2אפסים בm - N . m 1, 2,.... 4 .3רוחב האונה הראשית: N . 2N 3 וערכו הוא .4מקסימום של אונות הצד מתקבל בערך ב- 3 N 2N . 20 log יחסית לאונה הראשית מקבלים/ N 13.5dB : 3 . פונקצית דיריכליה באורך :64 | 52 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן דוגמא – שקף :7 נתונים האותות המתוארים בצד ,מבצעים דגימה ומכפילים בחלון. להלן תיאור התוצאה: - הקו הכחול הוא ה DTFT-בעוד שמה שאנו מקבלים הוא רק את נקודות המדידה האדומות ).(DFT ניתן לראות כי כאשר יש לנו רק את נקודות הדגימה אנו טועים במידת מה בתדר המרכזי של הסינוס ובאמפליטודה שלו. כמו כן ,נשים לב כי עבור אות אחד יש לנו דגימה אחת גבוהה ועבור האות השני יש לנו שתי דגימות גבוהות. עלינו להחליט האם מדובר בשני אותות סינוס או שמא יותר. בשלושת השקפים הבאים התדרים מתחילים להתקרב – דבר המביא אותנו למצב יותר מעניין בו עלינו להחליט מה הם התדרים של כל סינוס מהדגימות. נסכם ונאמר כי יכולת ההפרדה בין סינוסים בתדרים קרובים תלויה ב: * רוחב האונה הראשית של החלון (בתדר). * המרווח בין נקודות הדגימה (בתדר) של ה.DFT- דוגמא – שקף :12 כעת אנו מקבעים את התדר אך משנים את האמפליטודה: - - יכולת הזיהוי של אותות חלשים בנוכחות של אותות חזקים תלויה בעוצמת אונות הצד. | 52 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן - כדי להתגבר על בעיה זו ניתן להגדיל את מספר הדגימות .להלן תיאור החלון עבור מספר דגימות: ניתן לראות כי האונה הראשית צרה יותר אך עוצמת האונה הצדדית כמעט ולא משתנה. יש למצוא דרך להקטין את אונות הצד. אפשרות אחת היא לקחת חלון ועוד אחד מוזז (בתדר). הדבר יביא לחיסור של אונות הצד ובכך דעיכתם. הבעיה היא שהאות במישור הזמן יהיה מרוכב מכיוון שהזזה בתדר אשר נותנת שינוי פאזה בזמן. כדי להתגבר על בעיה זו נוסיף עוד הזזה של חלון. הרעיון מתואר בשקפים 17ו .18-מקבלים קוסינוס במישור הזמן. חלון :Hann 1 1 1 2 2 1 j N 1 W e j D , N D , N Dw , N e 2 4 N 1 4 N 1 2 במישור הזמן: n 0,...., N 1 else 1 1 j N21 n N21 1 j N21 n N21 e e w n 2 2 4 0 1 1 2 cos נוכל לפשט ולכתובn 0 n N 1 : 2 2 N 1 נציין כי לחלון זה יש N 2דגימות שאינן מתאפסות כי בשני הקצוות מתקבל אפס. האן אמנם השיג את מטרתו אך רוחב האונה הראשית גדל באופן משמעותי. . w n 0 Rectangular Hann Hamming Blackman Bartlett -20 -30 -40 -50 בחלון האן אונות הצד נמצאות ב 31dB -ביחס לאונה הראשית. 8 הגדלה פי .2רוחב האונה ראשית הוא: N 1 כדי לפצות על כך נגדיל את מספר הדגימות ובכך נחזיר את הרזולוציה. -60 -70 1.5 0.5 1 חלון :Hamming 2 . w n 0.54 0.46cos נזיז מעטn 0 n N 1 : N 1 2 2 j 2 N 1 j , N 0.23D ,N e . W e 0.54 D , N 0.23D ההתמרה היא: N 1 N 1 האמינג השיג הנחתה באונות הצד של . 41dB | 03 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן 0 -80 ]Magnitude [dB בכחול מתוארת ההנחתה של חלון ריבועי רגיל. בירוק מתוארת ההנחה של חלון האן. ניתן לראות כי ההנחתה גדלה באופן משמעותי. יחד עם זאת רוחב האונה הראשית גדול מאוד. אנו מפסידים רזולוציה. -10 חלון :Blackman זה מה שהוא עשה: 0 n N 1 else 12 האונה הראשית היא: N 1 1 2 4 n 0.08cos n 0.42 cos . w n 2 N 1 N 1 0 ואונות הצד מונחתות ב. 57dB - חלון :Bartlett משולש פשוט במישור הזמן .ישים במצבים של מעבדים מורכבים כאשר אין צורך ברזולוציה מעבר לגבול מסוים. חלון :Kaiser-Bessel 2 2n I0 1 1 N 1 . w n כאשר I 0 x :היא פונקצית ֵּבסֵּל משונה מסדר .0 מוגדר, 0 n N 1 : I0 2 xk פונקצית בסל ניתנת להצגה . I 0 x k :נשים לב כי לחלון יש פרמטר אשר נותן את האופטימום האפשרי. k 0 2 k ! כאשר הולך לאפס מקבלים – 1חלון ריבועי בעל רוחב אונה ראשית הכי צר. פירוט נוסף בשקפים .22-23לא נכנס לאנליזה של הביטוי הנ"ל מעבר לזה במסגרת הקורס. דוגמא לאופן הפעולה של חלון קייסר-בסל – שקף :24 יש לנו אות שמורכב מ 3-קוסינוסים ואנו רוצים להצליח להפריד בניהם. בשקף 25יש לנו את החלק הממשי והמדומה של ההתמרה ובשקף 26מופיעות האמפליטודה והפאזה של האות. שקפים – 27-31חלון קייסר-בסל עם גדלה .עם גדילתה אונות הצד קטנות וניתן לראות את הקוסינוס המונחת. בשקף האחרון ( )32עברנו לסקלה לוגריתמית כדי שנוכל לראות בצורה טובה יותר את הקוסינוס החלש. נסכם: מדידת ספקטרום ע"י DFTמעוות ע"י שלוש תופעות: 2 . .1מקבלים רק דגימות תדר במרווחים N .2תופעות צרות בתדר מורחבות לפי רוחב האונה הראשית של החלון. .3תופעות חלשות באות נפתרו ע"י אונות הצד של החלון. L ספציפית עבור אותות מהצורה y n Al cos l n l :כמות הקוסינוסים ותדריהם יוערכו לפי המקסימומים של . Y k 2 l 1 השערוך יהיה סביר אם: .1התדרים l , mמופרדים לרמות בחצי רוחב אונה ראשית לכל . m l A .2הביטוי 20 log l :גדול מגובה אונות הצד לכל . m l Am עד כאן הרצאה .6תאריך23.4.12 : | 03 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן מסננים: מסנן הוא בראשונה מערכת .LTIכמו כל מערכת ,LTIמסנן ניתן לאפיון באמצעות התגובה להלם. נכתוב x mh n m : m . y n x n * h n נוכל גם לתאר בתחום התדר. Y e j X e j H e j : היות ותגובת התדר היא מרוכבת נוכל להפרידY e j X e j H e j : . Y e j X e j H e j , במסננים נשתמש כדי: להגביר תדרים מסוימים ולהנחית אחרים. להפריד בין אותות שונים ע"י סכום והפרש. לקטום את רוחב הסרט של אות. ליצור נגזרת או אינטגרל של אות. להלן תיאור של המסננים הפשוטים: המשותף לכל המסננים הללו הוא שלא ניתן לממש אותם בצורה אידיאלית. נרצה להגדיר מסננים יותר מעשיים. רוב המסננים עוסקים במימושים של .LPF המתכנן צריך לספק מידע בנוגע לתחום ההגבר של התדרים שיש להעביר ותחום הסטייה המותרת בהנחתת התדרים. בתחום הביניים לא נדרוש כלום מהמסנן. להלן פירוט התחומים האמורים: | 05 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן כל אחד מהפרמטרים הללו נותן לנו מרווח תימרון .ככל שנגדיל את הסטיות או את הרוחב של פס המעבר נאפשר מימוש פשוט יותר של המסנן .להלן דוגמא של מימוש המסנן בפועל: נשים לב כי באיור זה לא מימשנו את המסנן בצורה הכי יעילה כי לא ניצלנו את כל מרווח התימרון העומד לרשותינו. לכן ניתן להסיק כי אפשר לממש את המסנן בצורה יותר פשוטה (זולה). נוח לאפיין מסננים במישור . Y z X z H z : z זאת מכיוון שניתן לקבל מידע על יציבות המסנן (אפשר לראות קטבים ROC ,והמרחק של המסנן מהיציבות). נגביל את עצמנו לסוג מסוים של מסננים עם פונקצית תמסורת רציונאלית ,כלומר מסננים שניתנים לרישום ע"י משוואת הפרשים: N M k 1 k 0 y n bk x n k ak y n k במישור zנקבל: N M k 1 k 0 Y z bk z k X z ak z kY z פונקצית התמסורת של המסנן היא: k M bz Y z H z X z a z k k k k 0 N k 0 אנו מקבעים . a0 1 :קיבלנו פונקצית תמסורת רציונאלית .מבחינת מימוש יש לה חשיבות עליונה ,זאת מכיוון שבכניסה למערכת ספרתית נוח לנו לבצע חישובים באמצעות משוואת ההפרש .נרצה לקבוע את הסדרות ak , bkואת הערכים M , N :כדי לאפיין את המסנן .נדרוש גם יציבות וסיבתיות .לעניין הסיבתיות – אין לנו בעיה כי אנו פותרים משוואת הפרש סיבתית. יציבות – תחום ההתכנסות של H z צריך לכלול את מעגל היחידה. המסנן יתכנס עבור R z :כאשר R :הוא רדיוס הקוטב המקסימלי. תזכורת: אפסים :ערכי zעבורם המונה מתאפס. קטבים :ערכי zעבורם המכנה מתאפס.| 00 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן המסקנה היא שבמערכת יציבה כל הקטבים (אם יש) נמצאים בתוך מעגל היחידה. מערכות מסוג זה נקראות.RCSR – Real Casual Stable Rational : (אנו לא דורשים - M N :אין לזה משמעות אצלנו). התגובה להלם של המסנן: N אם למערכת קטבים פשוטים אז התגובה להלם ניתנת להצגה ע"י. h n C0 n .... CM N n M N Ak knu n : k 1 מקרה זה מתייחס למצב שבו דרגת המונה גדולה משל המכנה . M N :יש לנו M Nאיברים חופשיים אשר כל אחד מהם מניב את ההתמרה ההפוכה עם מקדם Ciמתאים .שאר השבר שנותר מניב את הטור הגיאומטרי. נבחין בין שני סוגי מסננים: .1מסנן בעל תגובה סופית :עבורו קיים ' Mכך ש h n 0 -לכל ' . n 0 , n Mמסנן זה נקרא .FIR .2אחרת למסנן תגובה להלם אינסופית .מסנן זה נקרא .IIR מלבד מקרה לא מעניין ,מערכת RCSRתהיה FIRאם"ם( N 0 :כלומר – אין קטבים למערכת). M bn 0 n M . h n במקרה כזה המוצא y n bk x n k :והתגובה להלם תהיה: else k 0 0 מערכת הופכית: המערכת ההופכית של H z היא G z המקיימת H z G z 1 :או. h n * g n n : 1 במישור התדר: H e j . G e j בהרבה מקרים נוכל לחשב את G e j אך את היציבות נוכל לראות מהתמרת . z את תגובת התדר ניתן להציג בקואורדינאטות קרטזיות. H e j Re H e j j Im H e j : או בצורה פולארית: j e j . H e j H e j e תגובת הפאזה של מסננים ספרתיים: נפתח בדוגמא שבה נסנן גל ריבועי עם מסנן .נראה שימוש במסננים אידיאליים תחילה. 1 C . H e j נסתכל על: 0 else 8 1 6 ) H(j 0.6 0.4 2 0.6 0.4 omega 0 0.2 0.2 0 0.6 0.4 omega 0 0.2 ]y[n 0.5 0.5 10 | 03 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה 0 n 0 10 0 n סיכום ועריכה מאת שי ידרמן -10 -0.5 ]x[n 1 0 -10 0 1 -0.5 |)|H(j 4 0.8 כעת ניקח מסנן עם אמפליטודה קבועה ופאזה משתנה: 8 1 6 ) H(j |)|H(j 4 0.5 2 1 1 0.5 0.5 ]y[n 10 0 n 0.2 0.2 0 -0.5 -10 ]x[n 0.6 0.4 omega 0 0 0.6 0.4 omega 0 0 0 10 0 n -10 -0.5 המסנן מעביר בדיוק את אותה הכמות של מרכיבים הרמוניים אך מפצל את הפאזות שלהם .התוצאה המידית היא עיוות בזמן. מכאן נוכל לתרגם את הפאזה ליחידות של הזזה בזמן אך יש לעשות חלוקה מאוד ברורה בכל הקשור ליישומים שונים. יש יישומים שרגישים להזזת פאזה ויש כאלו שפחות רגישים. פאזה של מסננים ספרתיים: נגדיר במפורש: 2 H e H e נרצה להגדיר פאזה: 2 j j I R H I e j j e j R . H e j atan H . e הבעייתיות היא (חוץ מתחומי הגדרה) שלא ניתן לדעת בחילוק האם החלק הממשי והמדומה היו חיוביים או שליליים. atan2 H R e j , H I e j H e j 0 . e לכן מגדירים פונקציה במטלב: j not Def. H e 0 x , cos כאשר atanz x, y :מוגדר להיות ה -היחיד המקיים, , : x2 y 2 | 02 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה j y x2 y 2 סיכום ועריכה מאת שי ידרמן . sin משפט: אם H z :פונקצית תמסורת של מערכת RCSRאזי: א H e j .רציפה כפונקציה של . הוכחה: M k b z k a z k פונקצית התמסורת היא: k k 0 N H z כאשר . H e j H z z e j :היות ואין קטבים על מעגל היחידה יש רציפות. k 0 ב e j .היא פונקציה רציפה של מלבד ,אולי ,כאשר . H I e j 0 הוכחה: כדי להבין זאת נסתכל על: j H eונשים לב כי היא נקודה במרחב המרוכב .כאשר נשנה את נזוז במרחב המרוכב. ישנם שני סוגי אי רציפות: .1מעבר דרך הראשית (שם הפאזה לא מוגדרת). H e 0 : j .2חציית הציר הממשי בצד השלילי שלו. H R e j 0 , H I e j 0 : בשני המקרים. H I e j 0 : ג .ל e j -יש מספר סופי של נקודות אי רציפות בתחום. : הוכחה: מספיק להוכיח של H I e -מספר סופי של אפסים בתחום .נכתוב: j j j j j j j 1 1 P e P e 1 P e Q e P e Q e j j HI e H e H e 2j 2 j Q e j Q e j 2 j Q e j Q e j j עלינו למצוא את מספר הנקודות שבהן המונה מתאפס .יש לנו פולינום מסדר סופי במונה ולכן מתאפס במספר נקודות סופי בתחום. ד .בכל נקודות אי הרציפות של e j קפיצות הפאזה הן בגודל של או . 2 הוכחה: ראינו כי אם H R e 0 , H I e 0קפיצות הפאזה תהיינה. 2 : j j נותר לבדוק את המקרה , H e j0 0 :כלומר ל H z -יש אפס בנקודה . z e j0 יהי mהריבוי של אפס זה ,אזי ניתן לרשום H z H1 z 1 e j0 z 1 :כאשר . H1 e j0 0 :לכן: m m j 0 2j 0 2j 0 H1 e j e 2 e e m j 0 H e j H1 e j 1 e m j jm m 0 0 2j 0 j m m 0 2 2 H1 e 2 j sin e H1 e 2 e sin e 2 2 j 0 sin m כל שאר הביטויים בקרבת 0חיוביים ולא נתבונן בכל אחד מהביטויים ונבדוק רציפות .למעט ה - 2 משפיעים על הפאזה .אם mאי"ז תהיה קפיצת פאזה ב -בגלל שינוי הסימן של הסינוס. | 02 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן אם mזוגי לא תהיה קפיצת פאזה (או לחילופין קפיצה של .) 2 תיקון אי הרציפות בפאזה: קל לתקן קפיצות של 2ע"י הגדרת פונקצית פאזה חדשה שאינה מוגבלת לתחום . , בכל נקודה בה יש קפיצה של 2נמשיך את הפאזה באופן רציף .מובן שזה לא ישנה את פונקצית התמסורת. עדיין נוכל לרשום : j e j . H e j H e j e נגדיר גודל ופאזה חדשים כך ש - קפיצות בגודל יתוקנו ע"י תיקון ושינוי סימן ב. A - j e j . H e j A e j e הבעייתיות כעת היא שההגדרה אינה אחידה ,ניתן להגדיר גם A e j , e j 2 :או. A e j , e j 2 : לא ניתן לתחום את הפאזה אבל ניתן לדרוש נקודת ייחוס. 0 e j0 : יש לנו רק ייצוג אחד (התאמה חד-חד-ערכית) עבור האמפליטודה והפאזה. לחילופין הגדרה אחרת היא e j0 :וגם . A e j 0 :שוב יש לנו ייצוג יחיד של תגובת התדר. כמובן שנדרוש גם ש A e j -ו e j -ממשיים. ניתן להבין גם כי היפוך של סימן האמפליטודה אינו גורם ליצירת אי רציפות בה מכיוון שהוא מתבצע רק באפס (אמפליטודה אפס). מסננים בעלי פאזה ליניארית מוכללת :GLP – Generalized Linear Phase - הגדרה :מסנן בעל פאזה ליניארית הוא מסנן המקיים. : H e j H e j e j : עבור נוכל להחליף את המערכותx n H e j e j y n x n H e j e j y n : יש לנו למעשה מערכת השהייה. e j n : y n עבור לא שלם יש לנו השהייה בחלקי דגימה .נבחן אות אנלוגי D / C yc t : j e j x n . xc t C / D H e ראינו בתחילת הקורס כי אם xc t :מוגבל סרט אז המערכת שקולה. xc t H e j /T e j /T yc t : נפצל ונקבל. xc t H e j /T t / T yc t : כלומר השהייה ב / T -שניות ,או במערכת הספרתית שקול ל -דגימות. עד כאן הרצאה .7תאריך30.4.12 : | 02 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן בשיעור קודם דיברנו על מסנן ליניארי ותיארנו זאת לפי הדיאגרמה הבאה. H e j e j : במישור הזמן. H D e j e j hD n sinc n : עבור שלם נקבל דלתא בנקודה הנ"ל. עבור שאינו שלם האות היוצא הוא x m sinc n m : m . y n החשיבות של מסננים בעלי פאזה ליניארית היא שאנו יכולים להסתכל על אמפליטודת תגובת התדר וההזזה בנפרד. דוגמת המחשה: c נתון מסנן מעביר נמוכים בעל פאזה ליניארית: else e j . H e 0 j התגובה להלם שלו היאsinc c n : c כאשר נגדיל את cעד ל -נקבל השהייה בלבד .אחרת הוא מסנן ומשהה יחד. . h n מסננים בעלי פאזה ליניארית מוכללת -המשך: מסנן בעל פאזה ליניארית מוכללת הוא מסנן המקיים H e j A e j e j :כאשר A e j :ממשית. ראשית אנו "מרשים" לגודל להיות שלילי .שנית מרשים לפאזה להיות מוכפלת בקבוע . - פאזה קבועה לכל המסנן לא משנה את פעולתו ולכן אין לנו בעיה עם זה. כעת – A e j מתאר את תגובת התדר שלו ו e j -מתאר את תגובת הפאזה. דוגמא – גוזר מוגבל סרט: תגובת התדר של גוזר היא . H j j :כדי ליצור גוזר ספרתי נכתוב את הגודל והפאזה: אצלנו, 0 , 0.5 : T 2 j e j e T A e j . A e j מערכת RCSRעם פאזה ליניארית מוכללת: מערכת עם GLPצריכה לקיים . H e j A e j e j ; :מתקיים: H e j H e j 2 j 2 A e j 2 e A e j e j A e j 2 e j 2 A e j | 02 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה . סיכום ועריכה מאת שי ידרמן j . H e היות ו A e j -ממשית מקבלים כי גם e j 2ממשי ולכן e j 2 1 :לכן 2מספר שלם. נחלק לשני מקרים: m .1שלם ואז - A e j 2 A e j :מחזורי . 2 m ( m 0.5 .2שלם) ואז - A e j 2 A e j :אות מחזורי במחזור . 4 נבחן את התגובה להלם של מערכת עם :GLP d n A e e j j 1 d 2 j 2 n e j A e e j 1 d 2 j 2 n H e e j 1 h 2 n 2 ניקח את הצמוד המרוכב בשני הצדדים של המשוואה: e jn d j A e e j 1 2 1 2 j j j n ולכןh n : e A e j e נבצע הפרדהe d : 2 . h 2 n 2 j . h 2 n e נסיק מספר מסקנות: .1היות ו h n -ממשית אזי e2 jממשית ,כלומר כפולה של . 0.5 מכיוון ש 0 -קיימות שתי אפשרויות: . 0 .i . 0.5 .ii .2הסימטריה במשוואה היא מסביב ל . -היות והמערכת סיבתית h n 0לכל n 0ולכן h n 0גם לכל . n 2 כלומר מסנן RCSRעם פאזה ליניארית מוכללת חייב להיות FIRואורכו . 2 לסיכום נחלק את מסנני RCSRעם פאזה ליניארית לארבעה סוגים: סוג I , m , 0 סדרN 2 : זוגי h N n h n II m 0.5 , 0 אי-זוגי h N n h n m 0.5 III m , 0.5 זוגי h N n h n m IV m 0.5 , 0.5 אי-זוגי h N n h n m 0.5 סימטריה השהייה m בשקפים 10-15ניתן לראות דוגמאות של 4סוגי המסננים – השניים הראשונים בשקף 10והשניים האחרונים בשקף .13 | 02 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן מיקום האפסים של מערכת RCSRעם :GLP נזכור כי למסנן FIRאין קטבים כלל כי הוא בנוי רק מהמונה. N עבור מערכת FIRמסדר . H z h n z n : N n 0 בגלל הסימטריה (במערכות מסוג Iו )II-נוכל לכתוב z N H z 1 : n ' N n ' N n N h n ' z אם H z0 0 :עבור z0 0 :אז גם. H z01 0 : n ' 0 N . H z h N n z n n 0 יתר על כן ,היות והמערכת ממשית אז גם H z0* 0 :וגם. H z0*1 0 : אם z0 re j :הוא אפס של המערכת אזי נקבל רביעיית אפסים. re j , r 1e j , r 1e j , re j : על מעגל היחידה נוכל לקבל זוגות. e j , e j : עבור אפס ממשי נוכל לקבל זוגות של . r , r 1 -אם z0 1 :אז הוא יוכל להופיע לבד. במקרה הכללי הביטויים יהיו מהצורה. 1 z0 z 1 1 z0* z 1 1 z01 z 1 1 z01 z 1 : * להלן האיור הראשון במישור zמתוך שקף :16 ממשי חיובי. ממשי שלילי. רביעייה כללית. נבחן את המקרה : z0 1 נקבלH 1 : N . H 1 1 אם N :אי"ז (סוג )IIמקבלים. H 1 H 1 0 : לכן במסנן מסוג IIתמיד z0 1הוא אפס. באיור השני בשקף 16מתוארים האפסים של סוג .IIניתן לראות כי יש אפס ב.-1- עבור מערכות IIIו IV-נקבל. H z z N H z 1 : הניתוח זהה לניתוח של מערכות Iו II-למעט המקרים של . z0 1 אם z0 1 :אז H 1 H 1 0 :ולכן z0 1תמיד אפס של מערכות מסוג IIIו.IV- אם z0 1 :אזH 1 : N H 1 1ואם N :זוגי אז H 1 0 :ולכן z0 1בהכרח אפס של מערכות מסוג .III נראה כי גם הקיום של שני האפסים re j , r 1e j :הוא תנאי מספיק לפאזה ליניארית. נכתוב את המסנן המרוכב עם האפסים הנ"ל .תגובת התדר של המסנן היא: 2 b0 b b 1 re j e j 1 r 1e j e j 0 re j e j r 1e j e j 11 r 1e j e j 0 re j e j 1 r 1e j e j a0 a0 a0 H e j מסקנה סופית: כל מסנן שאפסיו מקיימים לכל H z0 H z01 H z0*1 H z0* : z0הוא בעל פאזה ליניארית. | 33 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן :Group Delay – השהיית חבורה . H e j 0 ; 0 , 0 : אות צר סרט (מאוד) המקייםx t יהי Y e j X e j H e j e j0 jnd : קטן ניתן לכתוב עבור. H e j עובר דרך המסנןx t האות d - ו0 H e j :כאשר H e j 0 d . דגימותnd - למסנן לכאורה יש פאזה ליניארית והאות יושהה ב,לכן עבור אות זה d . H e j השהייה זו נקראת השהיית חבורה והיא נתונה ע"י d . nd .נפתח נוסחה קלה יותר לחישוב של השהייה החבורה של מסננים b0 1 ck e j M . H e j b0 a0 1 ck e j 1 d e : הפאזה היאH e M N k 1 j k 1 k 1 N j k a0 1 d k e j k 1 :עבור מסנן כללי :כדי לחשב את ההשהייה נעזר בהגדרת הנגזרת ובפישוטים בדרך d 1 c e lim 1 c e j d lim j k k 1 c e k 0 j 1 c e lim 1 c e j k k 2 0 1 j 1 ck e j * 0 ck*e j ck j ck j ck e j 2 j lim 1 2 Re c e c j k k 2 j ck j ck e j 2 0 ck Re ck e j 2 1 2 Re c e c j lim k k 2 j ck j ck e j 2 0 ck Re ck e j lim 1 2 Re c e c j * k k 2 Re j ck e j 0 2 1 2 Re ck e j ck 2 y y y 0 : עבורtan 1 :* קירבנו את הפאזה שהיא x x x :היות ועבור המכנה מתקבל פיתוח זהה נוכל לרשום את הביטוי הסגור הבא . M N ck Re ck e j d k Re d k e j d j H e . j d k 1 1 2 Re ck e ck 2 k 1 1 2 Re dk e j dk 2 2 2 . ארוכה מאוד, תיקון פאזה וגזירה, הכוללת חישוב פאזה,ביטוי זה עדיף מכיוון שהחלופה :הקשר בין אמפליטודה ופאזה ? מה ניתן לומר על הפאזה. H e j :נניח כי נתון . H e j H e j H * e j H z H * 1/ z * 2 סיכום ועריכה מאת שי ידרמן z e j עיבוד אותות ספרתי –הרצאה :נרשום | 33 b0 1 c z b0 1 ck z 1 M N * k 1 . H * * kN1 H z kM1וכמובן: עבור מערכת :RCSR * 1 z a a0 1 d k z 0 1 d k z k 1 1 c z 1 c z N 1 k כעת: M * k k 1 M 2 k 1 N 1 d z 1 d z 1 k k 1 * k k 1 1 b .C z H z H* * 0 z a0 k 1 1 כלומר ,אם ckהוא אפס של H z אזי ckו- *ck הם אפסים של . C z 1 באותו אופן ,אם d kהוא קוטב של H z אזי d kו- *d k הם קטבים של . C z עד כאן הרצאה .8תאריך7.5.12 : בשיעור קודם ראינו כי עבור מערכת RCSRהגדרנו. H e j H e j H * e j C z z e j : 2 וראינו: 1 ck* z 1 ck z 1 N M k 1 M k 1 N 1 d z 1 d z 1 k k 1 * k 2 1 b .C z H z H* * 0 z a0 k 1 1 1 הקטבים והאפסים של H z הם גם קטבים ואפסים של C z וגם * אפסים של . C z * dk ck קטבים של . C z ) 2(1 z 1 )(1 0.5 z 1 ) (1 z 1 )(1 2 z 1 בדוגמא של שקף 17נתונות: , H ( z ) 1 0.8e j z 1 1 0.8e j z 1 2 1 0.8e j z 1 1 0.8e j z 1 . H1 ( z ) לשניהם יש אותו C z כפי שניתן לראות בפיתוח שבשקפים הבאים. לכן יש לשני המסננים את אותו הערך המוחלט. כיד להחליט איזו פונקצית תמסורת לוקחת כל קוטב/אפס נזכיר כי היות ו H z -יציבה אז הקטבים שלה בתוך מעגל יחידה. לגבי האפסים – יש לקחת את האפס והצמוד שלו .יש לנו מספר צירופים ולכן ניתן לקחת כל אחד מהם אם מעניינת אותנו רק תגובת התדר בערך המוחלט שלה. אם היינו יודעים ש H 1 z -יציבה נדע שגם כל האפסים של H z בתוך מעגל היחידה וניתן למצוא את H z באופן יחיד מתוך ( C z בתנאי שלא היו אפסים על מעגל היחידה כי אז ההופכית לא תהיה יציבה). במקרה זה אנו אומרים ש H z -היא בעלת פאזה מינימלית ).(Minimum Phase | 35 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן מסננים מעבירי כל :All-Pass Filter - הגדרה :מערכת המקיימת H e j const.לכל נקראת מערכת מעבירת כל. * j *e j a *z 1 a j 1 a e e H z היא: התדר תגובת . דוגמא מהירה :נבחן את המערכת: ap 1 ae j 1 ae j 1 az 1 נשים לב כי השבר מכיל מספר והצמוד שלו ולכן בערך מוחלט היחס בניהם הוא .1לכן בסוף. H ap e j 1 : . H ap e j המערכת הממשית הרציונאלית הכללית ביותר שהיא מערכת כל היא מהצורה הבאה: z 1 d k M C z 1 ek* z 1 ek 1 1 1 ek* z 1 k 1 1 d k z k 1 1 ek z MR H ap z A z 1 d k החלק הראשון 1 d k z 1 בנוי מקטבים ואפסים ממשיים .החלק השני בנוי מזוגות צמודים של קטבים ואפסים מרוכבים. אם המערכת יציבה אז. dk , ek 1 : טענה: כל מערכת RCSRניתנת לפירוק למכפלה של מערכת פאזה מינימלית ומערכת מעבירת כל. H z H min z H ap z : הוכחה: נניח כי ל H z -אפס יחיד מחוץ למעגל היחידה 1/ c* ,כאשר c 1 :ושאר הקטבים והאפסים בתוך מעגל היחידה. ניתן לרשום . H z H1 z z 1 c* :כאשר H1 z :מערכת פאזה מינימלית. 1 *z 1 c * c 1 z 1 H z H z 1 cz ו לרשום: ניתן וכעת H min z H1 z 1 cz 1 נכתוב 1 cz 1 : 1 cz 1 עבור כל מספק אפסים וקטבים שיהיו לנו נוכל לבצע את התהליך הזה. תוכנה חשובה של החלוקה הנ"ל היא שהמערכת H min z בעלת מינימום פאזה ולכן מינימום השהייה בזמן. לכן החלוקה הנ"ל חשובה להשהיה מינימלית של אות העובר דרך . H z תיכנון מסנן LPFספרתי: המסנן מאופיין לפי התכונות הבאות: .1מאופיין ע"י תדר עבודה. p : .2גליות בתחום. 1 p H e j 1 p : מעבר. Ap max 20log10 1 p , 20log10 1 p : .3תחום ביניים. p s : .4תדר קיטעון . s - .5ניחות בתחום הקטעון H e j s :כאשר. As 20log s : | 30 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן . H ap z שימוש דוגמא: rad נניח כי אנו דוגמים אות ברוחב סרט של: sec signal . B 2 1000 2 מרווח הדגימה הוא T 104 sec 0.1m sec :או 2 10000 : Ts בתחום התדר האות נע עד ל. 0.2 - noise . s 1 5 הספק הרעש ירד פי 5ויחס האות לרעש עלה פי ,5כלומר . 10 log 5 7dB : 7dB תזכורת: אם דרישות המסנן הן עבור סינון אות אנלוגי ואנו מבצעים זאת ע"י מסנן ספרתי יש להתאים את התדרים לפי קצב הדגימה: f p pTs p 2 p fs fs תיכנון מסנן HPFספרתי: תחום הקטעון. H e j s ; 0 s : תחום ביניים. s p : תחום ההעברה. 1 p H e j 1 p ; p : תיכנון מסנן BPFספרתי: תחום הקיטעון הראשון. H e j s1 ; 0 s1 : תחום ביניים ראשון. s1 p1 : תחום ההעברה. 1 p H e j 1 p ; p1 p 2 : תחום ביניים שני. p 2 s 2 : תחום הקיטעון השני. H e j s 2 ; s 2 : נגדיר. As1 20log s1 dB ; As 2 20log s 2 dB : תכנון מסנני :FIR כיד לתכנן מסנן ניקח תגובה להלם של מסנן אידיאלי ונקטום אותו .פעולת קטימת התגובה להלם נקראת .IRT בדרך כלל נראה מסנן סיבתי בעל פאזה ליניארית מוכללת ,לכן נבחר: תגובת אמפליטודה. A e j : פאזה התחלתית. 0,0.5 : השהיה שלמה או חצי שלמה.j . H d e A e j e j 0.5 N ; | 33 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן h n ; 0 n N IDFT . h n d : ונקטוםH d e j hd n :נמיר ; else 0 .) (לבצע את ההתמרה ההפוכהh n במקרים רבים מאוד קל לחשב את :פס/גבוהים/ מסנן מעביר נמוכים-1 דוגמא j 12 N 1 ; ; 1 2 : ואז 0 : נבחר. A e j . H d e e 0 ; 1 else 2 :מאפיין את כולם 0 ; else 1 1 2 n 0.5 N 1 1 n 0.5 N 2 1 1 j n 2 N 1 2 j n 2 N hd n e d e d sinc sinc :התגובה להלם 2 2 2 1 j . hd n . hd n n 0.5 N 2 sinc 2 : ונקבל1 0 : נציבLPF עבור n 0.5 N 2 sinc n 0.5 N 1 sinc 1 : ונקבל2 : נציבHPF עבור .)0 עם ביטוי שלם הוא אפס למעטsinc( hd n n 0.5 N 2 N 1 n sinc 1 : זוגי כי אזN במקרה זה נדרוש 2 : מימוש גוזר- 2 דוגמא . H j j :גוזר אנלוגי אידיאלי . H e j . H e j T j ; :גוזר ספרתי מוגבל סרט T e j 0.5 0.5 N : ונקבל 0.5 : נבחר, 0.5 :היות והמסנן יכול לקבל את הפאזות 1n 0.5 N N even n 0.5 N T j e j n 0.5 N d 0 . hd n :התגובה להלם 2 T n 0.5 N 0.5 1 N odd n 0.5 N 2 T . אי"ז כי אז התגובה להלם דועכת מהר יותרN ניתן לראות כי עדיף סיכום ועריכה מאת שי ידרמן עיבוד אותות ספרתי –הרצאה | 32 אופטימליות של :IRT אחד המדדים האפשריים לאיכות מסננים הוא השגיאה הריבועית הממוצעתH d e j H e j d : 2 1 . 2 2 נוכיח כי תיכנון IRTהוא אופטימלי עבור קריטריון זה. משוויון פרסבל: h n 2 d N hd2 n hd n h n 2 n N 1 1 n 0 n hd n h n 2 . 2 n האיבר הראשון והשלישי אינם תלויים ב h n -ואילו האיבר האמצעי מקבל את ערכו המינימלי (כלומר )0בתיכנון לפי .IRT לכן IRTמביא לשגיאה ריבועית מינימלית. בשגיאה ריבועית ממוצעת יש 2חסרונות: .1לא ניתן לקבוע עבור איזה תחום תדרים השגיאה גדולה יותר או קטנה( .אין התייחסות לתחומי תדרים שונים). .2לא ניתן לקבוע נקודתית מהי השגיאה ביחס לתדר של הרעש( .יודעים רק את הממוצע באופן כללי). תכנון מסנן FIRבעזרת חלונות: עיקרון התכנון הוא: s p c כתדר קיטעון של המסנן האידיאלי. .1קבעו את התדר 2 .2חשבו את התגובה להלם האידיאלית. w n hd n ; 0 n N . h n .3הגדירו: 0 ; else ראינו את נתוני החלונות הבאים: בהכפלה עם מסנן נקבל את עמודת הניחות ) (Max. As.אשר מראה כי דווקא החלון המלבני נותן את הניחות הקטן ביותר. נציין כי הניחות תלוי באונות הצד ומודדים אותו לאחר שהאונה הראשית יוצאת מתחום המסנן. העמודה Dמתארת את יכולת הירידה (החדות) של החלון בקונבולוציה עם מסנן. לפי שני הפרמטרים הללו נוכל לקבוע את אורך המסנן הרצוי ואת סוג החלון. | 32 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן דוגמא: נרצה לתכנן מסנן LPFהמקיים. p s 0.01 , p 0.2 , s 0.3 : נסתכל על ההגבר המחמיר יותר. As 10log s 40dB : לא נוכל להתפשר על פחות מחלון Hannהמספק את ניחות זה לפי הטבלה לעיל .לכן נבחר בו. 2 D . רוחב תחום הביניים . 0.1 :מהנוסחה שבטבלה מקבלים: N 2 D 2 3.1 ( . N בד"כ לא נקבל מספר שלם ולכן נעגל מעלה). נחפש את ( Nנציב D 3.1 :של 62 :)Hann 0.1 התוצאה המתקבלת מחישוב זה היא: תיאור תגובת התדר של המסנן לפי המפרט לעיל. 0 ]|H(ej | [dB -50 -100 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.5 / 0.3 0.2 0 0.1 -35 -45 ]|H(ej | [dB -40 1.02 | |H(ej תדר המעבר צריך להיות מונחת ב- 40dBכפי שראינו בחישוב למעלה. מסנן Hannמוריד ל -44-וזה בערך מה שהתקבל. ניתן לראות כי העלייה בקצה היא כמעט עד ל- 0.01כפי שנדרש. 1 0.98 0.3 / 0.35 -50 0.25 0.25 A e j לפי חישוב ממוצעים של התדרים מקבלים את ה BPF-הבא: דוגמא – תיכנון :BPF מפרט: 0.2 / 0.15 s1 0.1 , p1 0.25 s 2 0.6 , s 2 0.8 s1 p 0.005 , s 2 0.0025 הניחות המחמיר - As 2 20log s 2 52dB :לכן נבחר את .hamming 2 3.3 ניקח את הפרש התדרים הקטן יותר (המחמיר) שהוא 0.15 :ונקבל 44 : 0.15 1 .N בעמוד הבא ניתן לראות את המימוש במטלב ואת קיום הדרישות. | 32 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן 0.7 0.175 0 ]|H(ej | [dB -50 -100 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 0.5 0.3 0.2 0 0.1 / -50 1.01 -52 ]|H(ej | [dB -56 1 0.995 -58 0.8 0.85 -60 0.75 | |H(ej -54 1.005 0.99 0.3 0.985 0.2 0.25 / / עד כאן הרצאה .9תאריך21.5.12 : חלונות שקולים לביצוע אותה הנחתה – חלון קייזר: כאשר ניגשים לטבלה ומחפשים את החלון עם ההנחתה הרצויה נשאלת שאלה האם ניתן למצוא חלון זול יותר אשר משיג את ההנחה הרצויה .התשובה לכך היא משפחת חלונות קייזר שכבר ראינו. התבנית0 n N 1 : else 2 I 0 1 2n 1 N 1 w n I0 0 2 xk כאשר I 0 x :היא פונקצית Modified Bessel functionמסדר 0הניתנת לכתיבה לפי. I 0 x k : k 2 k ! יש לנו שני פרמטרים שצריכים לחשב. N , : פירוט מספר פונקציות בסל מתוך האתר.Wolfarmalpha : נפתח בחישוב כמתואר בעמוד הבא ולאחר מכן נחשב את : N | 32 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן שלבי חישוב: .1קבע min p , s וחשב. A 20log dB : A 21dB 0 0.4 .2קבע את ערכו של הפרמטר לפי. 0.5842 A 21 0.07886 A 21 21 A 50dB : A 50dB 0.1102 A 8.7 D .3קבע את Nמתוך 1 : F A 21dB N כאשר: A 21dB 0.9222 . D A 7.95 14.36 לפני שתי הרצאות ראינו את הדוגמא הבאה עבור הנחתה של . 40dB (בתחילה השתמשנו בחלון Hannוראינו כי הוא נותן יותר מ - 40dB -דבר המרמז כי הוא לא הכי אופטימלי). לאחר מכן ראינו דוגמא לתכנון BPFעם שני פסי קיטעון שונים .השתמשנו בחלון Hammingוהחלון הנחית ,שוב ,יותר מהרצוי. פעם נוספת תכנון שאינו אופטימלי – גם כאן השימוש בחלון קייזר מקטין במעט את אורך המסנן ובכך נותן חלון אופטימלי יותר. סיכום -תכנון חלון בעזרת חלונות: יתרונות: תכנון פשוט. -ניתן ליצור כל תגובת תדר. חסרונות: תמיד מתקבל p s min p , s וב 1 2 :BPF-גם אם לא נדרש. -הגליות אינה קבועה. כדי לתכנן מסנן בצורה יותר טובה מחלונות יש לעבור לשיטות נומריות – אין לנו נוסחה ישירה לכל מקרה אלא יש לנו אלגוריתמים. שיטות נומריות לתכנון מסנני :FIR נניח כי קיים סט Sשהוא איחוד סופי של קטעים סגורים עליהם מוגדרת ורציפה התגובה הרצויה. Ad e j : הסט Sמאפיין את הקטעים שבהם נרצה לאפיין את המסנן ,לכן תחומי הביניים לא יחשבו. הסט הנ"ל הוא רציף מכיוון שבכל תת-סט יש לנו רציפות. (לא מגדירים רציפות בין שתי נקודות של שני תתי-סט שונים אלא רק בתוך כל תת-סט מסוים) . תתי סטים בS- שגיאת התכנון תוגדר לפי. D e j V e j Ad e j A e j ; S : כאשר: - V e j פונקצית משקל. - Ad e j תגובת התדר הרצויה. - A e j תגובת התדר בפועל. | 32 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן קריטריון התיכנון יהיה להביא למינימום את מקסימום השגיאה ,כלומר להביא למינימום את . max D e j כדי לבצע קריטריון זה יש לבחור את Nואז לבדוק מה הוא ה -וכך עד שמגיעים לשגיאה הרצויה. S נגביל את הדיון למקרה שבו יש לנו סדר זוגי ,כלומר ( N 2Mאורך המסנן אי זוגי) ו( 0 -פאזה ליניארית מוכללת). 2M 2M 2M M 1 נקבלH e j h n e jn e j M h n e j M n e jM h n e j M n h n e j M n : n 0 n 0 n M 1 n 0 מכיוון . h N n h n :כעת: M 1 h m h n 2cos n M n 0 M 1 M 1 e jM h n e j n M h m h n ' e j n ' M e jM n 2 M n n ' 0 n 0 H e j M 1 נתעניין בערך המוחלט. H e j h m h n 2cos n M : n 0 משפט: בפתרון האופטימלי יש לפחות M 2תדרים בהם השגיאה מקסימלית ,כלומר. D i , i 1, 2,...., M 2 : יתר על כן ,בכל אחת מהנקודות הללו סימן השגיאה הפוך ,כלומר אם 1 2 ..... M 2 :אז: A e A e V e A e A e ji1 ji1 ji1 ji ji d d V e ji לא למבחן: יש לנו אלגוריתם איטרטיבי הנקרא אלגוריתמם רמז ) (Remezיעיל מאוד לביצוע החישוב באמצעות משפט זה: .1ניקח את . Ad e ji M 1 .2נוריד ממנו ונכפיל. V e ji Ad e ji h m h n 2cos i n M : n 0 M 1 i .3נשווה לשגיאה המירבית. V e ji Ad e ji h m h n 2cos i n M 1 E : n 0 שהם נעלמים עם בהיסטוריה)... מתישהו זה את הוכיח כבר (מישהו יש לנו M 2משוואות הפיכות M 1 M 2 הערכים של המסנן והשגיאה עצמה Eאשר אינה בהכרחה שווה ל . -ניתן לפתור אותם. היות ובחירת התדרים היא שרירותית לא מחוייב ש . E -אם E :אז זהו הפתרון האופטימלי. סיכום האלגוריתם: .1בחירת התדרים 1.....M 2בצורה "שרירותית". .2פתירת מערכת המשוואות ומציאת מקדמי המסנן. .3בחירה מחדש של התדרים 1 2 ..... M 2עפ"י נקודות הקיצון של השגיאה. | 23 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן מימוש של מסנני :FIR ]y[n M M m0 m0 כדי לממש יש לבצע. y n h m x n m bm x n m : באיור הסמוך מתואר המימוש. במערכות ספרתיות הדבר נעשה בצורה טורית או מקבילית. (הסימון של מספר מעל קו – משמעו כפל). סיכום – מסנני :FIR יתרונות ניתן לתכננם עם פאזה ליניארית. ניתן ליצור כל תגובת תדר. תכנון פשוט. אין בעיות יציבות. חסרונות סדר גבוה. השהייה גדולה. תכנון מסנני :IIR איננו יודעים לתכנן מסנני IIRספרתיים ולכן נתכנן מסנני IIRאנלוגים (בזמן רציף) ונמיר אותם לספרתיים (בזמן בדיד). מסננים אנלוגים: נגביל את עצמנו תחילה למסננים מעבירי נמוכים ) .(LPFסימון: t b0 xq t b1xq1 t ..... bq x0 t a1 y p1 t a2 y p2 t .... a p y 0 t יש לנו כאן משוואה דיפרנציאלית אשר נותנת את הנגזרת מסדר pשל . y t נעבור למישור לפלס: Y j b0 j b1 j .... bq H j X j j p a1 j p 1 .... a p q 1 q נגדיר כמו במסננים ספרתיים: הגברים. As 20 log s , Ap 20 log 1 p 8.7 p : רוחב הסרט :הנקודה בה המסנן מנחית ב( 3dB-כלומר האמפליטודה שלו היא .) 1/ 2 0.707 -ניחות אסימפטוטי של המסנן :עבור תדרים גבוהים נקבל: בדציבלים נקבל 20 log b 20 q p log : 0 q p q p . H j b0 j . 20 log H j 20 log b0 j כלומר 20 q p log לדקדה. | 23 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן p . y תגובת התדר H j אינה מגדירה בצורה יחידה את המסנן ולכן נבחן את H s H s כאשר כל קוטב s0של H s יופיע במכפלה H s H s ועימו יופיע גם . s0 מסנן :Butterworth מסנן מהצורה: 1 2N 1 0 . H j 2 תכונות: .1מסנן עם קטבים בלבד. .2תגובת תדר מונוטונית יורדת בתדר. .3מקסימום. H j 0 1 : .4רוחב הסרט 3dBמתקבל ב 0 -כי אז. H j 0.5 : 2 .5ניחות אסימפטוטי של 20NdBלדקדה. 2 dk H j 0 .6 k 0 d עבור. 1 k 2 N 1 : נסתכל על H s H s :ונקבל: 1 2N s 0 N 1 1 2N כדי למצוא את הקטבים עלינו לפתור 1 : 1 2N . H s H s s 1 j0 s ,ז"א למצוא את כל השורשים שעל מעגל היחידה. j0 N 1 2k . sk 0 exp j נקבל : 2N בצד מופיעה דוגמא עם 8קטבים ,היות ומדובר במערכת יציבה נוכל להתאים את כל הקטבים שנמצאים בצד שמאל ל H s -ואת אלו שבצד ימין ל. H s - הסיבה שמתאימים כך היא לפי מה שאמרנו לעיל לגבי בני-הזוג של הקטבים. הדוגמא הבאה מתארת מערכת ממשית מסדר .5 לכל קוטב יש בן-זוג צמוד ולכן מסתכלים מעל ומתחת לציר הממשי ומתאימים אותם. בנוסף מכיוון שהסדר הוא אי"ז אז וודאי שקוטב אחד יהיה ממשי (שניים שמתלכדים לאחד). לכן ל 5 H s -קטבים שנמצאים משמאל לציר האנכי והם מורכבים משני זוגות צמודים ואחד ממשי ול H s -חמשת הקטבים שנמצאים מימן לציר האנכי בהתאמה. | 25 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן sk לפי הדוגמאות לעיל נוכל לכתוב את פונקצית התמסורת בצורה הבאה: s sk N 1 . H s k 0 כעת ,לאחר שראינו את אופי המסנן נרצה לדעת כיצד להשתמש בו. עלינו לקבוע את . 0 , N :נדון בקשר שלהם לפרמטרי המסנן. נתונים לנו p , s , p , s :ועלינו לקבוע 0 , Nשיעמדו בפרמטרים האלה. נדרוש H j 1 p ; p :כי המסנן מונוטוני יורד מ 1-ולכן מספיק להסתכל בתדר הקיטעון הרצוי. כמו כן H j s ; s :מאותן הסיבות. נציב את התנאים ונקבל: 1 p 1 2 2N p 0 1 p 2N 1 2 2N ; 1 p 1 0 נחלק אי-שוויון שמאלי בימיני: s2 1 1 p 1 2 2N 2 s s 0 2 s 1 2N 1 s 0 . sהפעולה נכונה כי המנה בצורה זו יותר גדולה ולכן הסימן נשמר. p נגדיר שני משתני עזר: .1 1 2 1 p - d קבוע ההבדלה ).(Discrimination 1 p - k ברירות המסנן ).)Selectivity .2 s 2 s 1 log 2N 2 נקבל 1 1 :ולכן 2 N log 1 2log 1 :או d : . N נרצה Nכמה שיותר קטן ולכן ניקח את 1 k d k d log k 1 log d הערך השלם העליון הראשון . N :כדי למצוא את 0נציב את Nשמצאנו בשני אי-השוויונים הראשונים. log 1 k 1 1 log 1 2 d 2N נקבל את הפתרון 0 s s2 1 2 N : N התחום היה מתלכד והיינו מקבלים . 0 . p 1 p 1אם 1 log k מכיוון שמספר זה אינו שלם יש לנו תחום עבור בחירה של 0אשר מקיימת את תנאי המסנן. | 20 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן דוגמא: rad rad ; s 1 נתכנן מסנן ButterWorthמעביר נמוכים עם; s p 0.001 : sec sec שלב ראשון – נמצא את d , kונקבל d 4.48 105 :ו k 0.5 -ולכן N 14.45 :נבחר. N 15 : תדר הקיטעון הוא. 1.2301 0 1.2619 : . p 1 נקבל את תגובת התדר שממול: הניחות שלנו הוא 60dBבתדר הקיטעון. נשים לב כי אם ניקח 0 1.2619הגרף יעלה (הניחות יקטן) בתדר הקיטעון. עד כאן הרצאה .10תאריך4.6.12 : מסנן :Chebyshev cos N cos 1 x ; x 1 . TN x כעת נשתמש בפולינומי צ'בישב: 1 cosh N cosh x ; x 1 נוכיח כי אכן מדובר בפולינומים: עבור N 0 :נקבל. TN x 1 : עבור N 1 :נקבל. TN x x : נוכיח כי TN x 2 xTN 1 x TN 2 x :המאשר כי מדובר בפולינום מסדר Nשל . xנניח כי x 1 :ונשתמש בזהויות הבאות: cos N cos N 1 cos sin N 1 sin cos N 2 cos N 1 cos sin N 1 sin מספר פולינומי צ'בישב מתוך ויקיפדיה נסכום ונקבל: cos N cos N 2 2cos N 1 cos נבחר cos1 x :ונשים לב כי מקבלים. cos N cos1 x cos N 2 cos1 x 2 x cos N 1 cos 1 x : למעשה קיבלנו את הזהות. TN x 2 xTN 1 x TN 2 x : כנ"ל לגבי התחום x 1 :כאשר הזהויות עבור cosו cosh-זהות ולכן מקבלים את אותו הדבר. | 23 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן תכונות של פולינומי צ'בישב: .1עבור x 1 :הפולינום TN x 1והוא מתנדנד בין -1ל N 1-פעמים. .2עבור x 1 :הפולינום TN x 1ועולה מונוטונית עם . x .3אם Nזוגי אז TN x פונקציה זוגית (מכילה רק חזקות זוגיות של ) x .4אם Nאי"ז אז TN x פונקציה אי"ז (מכילה רק חזקות אי"ז של ) x .5עבור Nזוגי נקבל. TN 0 1,1 : .6עבור Nאי"ז נקבל. TN 0 0 : .7תמיד מתקיים. TN 1 1 : .8תמיד מתקיים. TN 1 1 : בשקף 7ניתן לראות מספר פולינומים ואת התכונות האמורות (מופיע גם בעמוד הקודם): T2 x הפולינומים: T0 x 1 T0 x T1 x T1 x x T2 x 2 x 2 1 T3 x 4 x 3 3x T4 x 8 x 4 8 x 2 1 T4 x T3 x ננצל את תכונת הגליות ונשתמש בה כדי להפיק מסנן טוב יותר ממסנן .Butterworth מסנן צ'בישב מסוג :I נשתמש במיפוי הבא: 1 / p . H j 2 1 T 2 N 2 2 1 H j 1,מאחר ו. TN2 / p 1 - עבור / p 1 :נקבל כי המסנן הולך בין הקצוות: 2 1 עבור / p 1 :הפולינומים מונוטוניים והריבוע מחייב כי הם מונוטוניים עולים ולכן H j מונוטוני יורד. 2 | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן להלן תיאור מיפוי הפולינומים לפי פונקצית התמסורת: Type 1 Chebyshev Filter N=2 N=3 N=8 1 0.6 0.4 Magnitude 0.8 0.2 3 2 1 0 0 ניתן לראות כי ככל שהסדר גדול יותר כך הירידה חדה יותר .את הסטייה אנו קובעים ומכאן יעילות המסנן. 2 1 נסכם ונאמר כי עבור 0 p :נקבל H j 1 : 2 1 odd N 1 2 . H j0 1 נשים לב גם: even N 1 2 כפי שכתבנו לעיל. הקטבים של פונקצית התמסורת נמצאים על אליפסה: 1 2k 1 1 2k 1 sk p sinh sinh 1 1/ sin j p cosh sinh 1 1/ cos N 2N N 2N אנו ניקח את הקטבים 0 k N 1 :כמתואר באיור הבא: sk נכתוב את פונקצית התמסורת לפי הקטבים: s sk N 1 . H s H0 k 0 odd N 1 . H0 מקדם הנירמול הוא כדי שנקבל הגבר של 1בתדר DCולכן: 1 even N 2 1 הניחות האסימפטוטי הוא 20NdB :לדקדה. היתרון הוא בגליות – הירידה תהיה חדה יותר בקצה פס המעבר מאשר במסנן .Butterworth | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן תכנון מסנן צ'בישב מסוג :I נתונים . s ; p ; s ; p :נשתמש ב p -בהגדרת המסנן ונבחר את לפי pבצורה הבאה: ; p 1 2 1 p 2 H j 1 p 2 2 1 1 p 2 1 בחרנו את השגיאה הקטנה ביותר כדי לקבל מימוש הכי טוב. s2 ; p הדרישה בתחום הקיטעון היא: / p לכל . s :נציב ונקבל: לפי הסימונים ממקודם נקבל: s2 1 1 1 p 1 T 2 N 2 1 1 1 p 1 TN2 s / p 2 H j 2 H j 2 cosh 1 1/ d 1 1 1 1 TN cosh N cosh 1 N cosh 1 1/ k k d k d מסנן צ'בישב מסוג :II השתמשנו בתכונת הגליות של הפולינומים בתחום המעבר .כעת נראה כיצד ניתן להשתמש בהם בתחום הקיטעון. עלינו לבצע טרנספורמציה של קטע הגליות 1,1לתחום הקיטעון . p , s :נקבל: 2TN2 s / 1 1 2TN2 s / 1 2TN2 s / 1 2 H j 2 . 0 H j * נקבל עבור s :את התחום: 1 2 2TN2 s / * בתדר DCנקבל 1 : . H j 0 lim 0 1 2T 2 / N s 2 * עבור 0 s :התגובה היא מונוטונית יורדת. ; odd N 0 2TN2 0 . lim H j * עבור :נקבל: 2 2 2 1 TN 0 ; even N 1 2 * הניחות האסימפטוטי הוא 0dBלדקדה אם Nזוגי ו 20dB -אם Nאי"ז. זאת מכיוון שמתקבל פולינום במכנה ובמונה מאותו הסדר . N לכן אם Nאי"ז יש לנו קוטב אחד יותר אשר אינו מתקזז עם אפס ולכן יגרור ירידה קבועה של . 20dB 2 2s מיקום הקטבים: sk vk כאשר sk :הקטבים של מסנן צ'בישב מסוג .I j s למסנן זה יש גם אפסים; 0 k N 1 : 2k 1 cos 2N | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה . uk סיכום ועריכה מאת שי ידרמן N 1 יש לנו בעיה והיא כאשר המכנה של האפס מתאפס אשר קורה אם: 2 המשמעות היא אפס באינסוף ,כלומר יש רק N 1אפסים. . k זה יקרה אם Nאי"ז. vk s uk פונקצית התמסורת היא: k 0 uk s vk s uk ב.-1- אם uk :אזי מחליפים uk N 1 . H s אין צורך בנירמול נוסף כי מקבלים. H j 0 1 : תכנון מסנן צ'בישב מסוג :II מהדרישות בפס קיטעון: 1 s2 1 s cosh 1 1/ d מהדרישות בפס ההעברה: cosh 1 1/ k 2 2 1 . . N עד כאן הרצאה .11תאריך6.6.12 : מסנן אליפטי: מסנן מהצורה: 1 H j כאשר RN2 , / 0 :פולינום מסדר . N 2 1 R , / 0 2 N 2 הפונקציה RN2 , x היא פונקציה רציונאלית אליפטית. תכונות: .1מוגדרת ע"י אינטגרלים אליפטיים מסוג .I RN2 , x 1 .2עבור . 1 x 1 .3הגבולות. RN2 , 1 1 : RN2 , x 1 .4עבור. x 1 : RN2 , R , . RN , / x Nמכך נובע (ומכלל RN2 , :)2 .5זהות: 2 RN , / x RN , x RN2 , x עבור. x : פרמטרי המסנן . N , 0 , , :המימושים מבוצעים במטלב ע"י הפונקציה לתכנון מסנן אליפטי.ellip[ ] : נציין כי התפקיד של מתכנן המסנן הוא האם לאפשר גליות או לא ועד כמה בכל תחום (פס המעבר ופס הקטעון). | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן המרת מסננים: נרצה להמיר מסנן LPFל .HPF-תחילה עלינו לשאול את עצמנו מה אנו דורשים מההמרה עצמה. המרת המסנן צריכה לקיים 3תכונות: .1היפוך של ציר התדר. .2שימור של יציבות. .3שימור רציונאליות. הצעה ראשונה: נציב בפונקצית התמסורת: /s . H s s נבחן את קיום התכונות: C .3שימור רציונאליות – טריוויאלי. C .1היפוך ציר התדר :אם s j :ו s j -אז j C :או: j תדרים גבוהים חיוביים הופכים לתדרים נמוכים שליליים ותדרים נמוכים שליליים הופכים לתדרים גבוהים חיוביים. היות וב RCSR-יש לנו ממשיות אז אין לנו משמעות לתדרים שליליים .שינוי הסימן אינו משמעותי כי המסנן ממשי ותגובת התדר סימטרית ולכן קיבלנו היפוך של ציר התדר. . .2הקטבים צריכים להיות בצד שמאל של המישור .אנו מניחים שקיבלנו LPFיציב ולכן בעל קטבים בחצי מישור שמאלי. עלינו להראות כי לכל נקודה , s jהנקודה s j :מקיימת ש H s -נמצא עדיין בחצי מישור שמאלי. C מתקיים 2 C 2 j 2 C 2 : j . j לכן אם 0 :נקבל בהכרח 0 :והיציבות נשמרת. דוגמא: 2 1 . H s הוא מסנן מעביר נמוכים מסדר .Iנמיר אותו למעביר גבוהים: ניקח את המסנן: s s3 2 1 s 2 - H s j מעביר גבוהים. . H s נקבל: נציב: 2 4 9 2 / s 3 2 3s כדי להבין את הבחירה של Cנזכור כי במסנן p ,LPFמועתק p C :וכנ"ל. s C : s p .s נבחר את Cלפי אחד מהתנאים. פירוט השלבים של ההמרה: | 22 1. Choose c as arbitrary constant e.g., c =1 2. Given HP specifications p , s , p , s define p c / p , s c / s , p p , s s 3. Design a low-pass filter H(s) meeting the specifications p , s , p , s 4. Obtain the high-pass by transforming back to H(s). עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן :HPF- לLPF דוגמא להמרה של מסנן . היא הנקודה שנשארה אותו הדבר1 כיC 1 :ניתן לראות כי :BPF- לLPF המרת מסנן .s s 2 h l 2 h l ; :כעת נציב s h l h l . בנוסף המסנן לא יהיה סימטרי.2 נקבל כי סדר המסנן מוכפל פיs 2 :נשים לב כי מעצם ההצבה של :קיבלנו את המיפוי הבא . p =-1 p =1 :נתמקד במיפוי p1 s1 h l l p2 h h l 1 : יומר l :התדר l h l . s2 2 l 2h h l 1 : יומר h :התדר h h l :פירוט שלבי התכנון מהמצגת 1. Given BPF specifications p , s1 , s2 define p p , s min s , s 1 1 2. Given BPF specifications: p1 , p2 , s1 , s2 define l p1 , h p2 , p 1 2s p p 2s2 p1 p2 1 1 2 s min , s1 ( p2 p1 ) s2 ( p2 p1 ) 3. Design a low-pass filter H(s) meeting the specifications p , s , p , s 4. Obtain the band-pass by transforming back to H(s). סיכום ועריכה מאת שי ידרמן עיבוד אותות ספרתי –הרצאה | 23 :BPF- לLPF המרת מסנן- הצעה שנייה . l p1 ; h p 2 : במקוםh s 2 - וl s1 :כעת נקבע את ההמרה לפי :נבצע את אותה הדרך למעט השינוי בשלב השני 1. Given BPF specifications p , s1 , s2 define p p , s min s , s 1 2 1 Given BPF specifications: p1 , p2 , s1 , s2 define l s1 , h s2 , s 1 2p s s 2p2 s1 s2 1 1 2 p max , p1 ( s2 s2 ) p2 ( s2 s2 ) 3. Design a low-pass filter H(s) meeting the specifications p , s , p , s 4. Obtain the band-pass by transforming back to H(s). :המרות בכל המצבים Transformatios from LP to other filters 1. LP to HP s=c / s c / 2. LP to BP s= s 2 l h s h l 3. LP to BS s= s h l s 2 l h 4. LP to LP s s / c All transformations preserve stability. : המרת מסנן אנלוגי למסנן ספרתי:ליניארית-התמרה ּבי 2 z 1 1 0.5Ts : אוz :מציבים במסנן אנלוגי T z 1 1 0.5Ts T z 1 . ההמרה צריכה למפות את חצי המישור השמאלי לתוך מעגל היחידה,כדי לשמור על יציבות 1 0.5Tj 1 : s j :נבחן את המיפוי של . הציר המדומה ממופה למעגל היחידה. z 1 0.5Tj . כל מה שמימין לציר המדומה ממופה למחוץ למעגל היחידה.כל מה שמשמאל לציר המדומה ממופה לתוך מעגל היחידה . H z H s s 2 z 1 : s :מיפוי הקטבים לתוך מעגל היחידה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן עיבוד אותות ספרתי –הרצאה | 23 2 e j 1 2 e j /2 e j /2 2 2 j sin / 2 נמצא את תגובת התדר: T e j 1 T e j /2 e j /2 T 2cos / 2 2 T tan / 2 ; 2 tan 1 לכן המיפוי בשני הכיוונים הוא : T 2 בגלל הסימטריה נוותר על המינוס בכיוון השני. .s . באיור הראשון ניתן לראות את פונקצית המיפוי שהתקבלה: איור שני :תיאור ההמרה בצורה מפורטת יותר: כדי לעבור ממסנן אנלוגי לספרתי נבחין כי יש לקחת כל תדר אנלוגי ולהכפיל אותו בפונקצית המיפוי ולהמיר אותו לתחום הבדיד. נקבל דחיסה שהולכת וגדלה בתדרים הבדידים .הגבהים לא ישתנו. מיקום הקטבים והאפסים: 1 0.5T m 1 0.5Tsk ראינו כי s m : . pk מיקום האפסים: . H s kמיקום הקטבים: 1 0.5T m 1 0.5Tsk s sk zm בפרט עבור z 1 :מקבלים s :לפי ההצבה לעיל .הפונקציה H s כאשר s :תדעך לאפס. לכן . H s s H z z 1 0 :זה הוא אפס נוסף של המערכת. פירוט שלבי התיכנון: Prewarp s , p to determine s , p 2 tan p T 2 2 s tan s , T 2 Design Analog filter meeting design specifications: s , p , s , p כאשר T :נקבע באופן שרירותי לפי התחום שאליו רוצים להמיר את התדרים. | 25 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה s 2 z 1 T z 1 p ) H ( z ) H ( s סיכום ועריכה מאת שי ידרמן מבנה של מסננים: בצד מופיע פירוט הבלוקים היסודיים הספרתיים שבהם נשתמש: הרכיבים הם :חיבור ,כפל והשהייה בהתאמה. Y z התבנית המרכזית של פונקצית התמסורת: X z k M b z k k 0 N 1 ak z k . H z k 0 N M N M k 1 k 0 k 1 k 0 כתבנו Y z bk X z z k akY z z k :ולכן. y n bk x n k ak y n k : דוגמא למימוש מסנן: b . H ( z) נתון המסנן: 1 a1 z a2 z 2 כל שעלינו לעשות הוא להמיר חזרה למשוואת הפרש ולצייר. 0 1 דוגמא כללית למימוש מסנן עם מספר אפסים: להלן דיאגרמה כללית המכילה אפסים. אנו עוסקים במשוואת הפרש מהצורה: M N k 0 k 1 ) y (n) ak y(n k ) bk x(n k נוכל לייעל את המערכת ע"י החלפה של שני הטורים. מדובר בשני מערכות LTIבטור ולכן ניתן להחליפם. התוצאה היא שחוסכים קו השהייה שלם. באיור הבא רואים את הצורה המפורסמת ביותר למימוש: כאן יש להיזהר מהעובדה שבטור אחת מחברים אפסים ובשני מחברים קטבים. עלינו לוודא שתגובת התדר של הקטבים עדיין מאפשר אות תקין בין המערכות w nאחרת נקבל תוצאות לא נכונות במוצא. | 20 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן נוכל להקל על הבעייתיות באופן הבא: 1 c z M 1 k כתבנו בעבר את פונקצית התמסורת בצורה של מכפלת אפסים וקטבים: k 1 N 1 d z 1 k k 1 MC MR 1 c z 1 c z 1 c z * 1 k נוכל לחלק את פונקצית התמסורת ליחידות קטנות יותר: b . H z 0 a0 1 k k 1 NC 1 k k 1 NR 1 d z 1 d z 1 d z * 1 k 1 k k 1 1 k b0 a0 . H z k 1 להלן הדיאגרמה שבה כל בלוק מורכב משני קטבים ושני אפסים: בכל נקודת עצירה יש לנו יציבות נומרית כי סכמנו שני קטבים ושני אפסים. כמובן שחובה עלינו לקבוע אלו קטבים ואלו אפסים יהיו יחד בכל בלוק. למערכת אמיתית יש הגבלה בכמות המספרים שהיא יכולה להחזיק. מגבלה נוספת היא שלא ניתן להציג בצורה מדויקת אות אנלוגי ,אלא רק באמצעות ממירים עם 64 , 32או 128ביטים מתקרבים לערך המקורי .המקדמים של המסנן בכל התיכנונים היו מספרים אנלוגיים חופשיים ולכן המגבלה – כבודה במקומה עומד! התוצאה הישירה היא תזוזה של הקטבים והאפסים לפי הקירובים שנתונים במערכת (כמות הביטים שעומדת לרשותינו להצגת המספרים הנ"ל). נחפש מסנן BPFעם. p 0.3 ; s 0.4 ; p 0.02 ; s 0.01 : נניח שמצאנו מסנן הטוב ביותר – מסנן אליפטי מסדר .12 בפועל אנו מפעילים מסנן אחר שמקדמיו הם. aˆk ak ak ; bˆk bk bk : bˆk z k ˆ . H z פונקצית התמסורת כעת היא: 1 aˆk z k נניח שיש לנו 16ביטים למימוש המקדמים. התיאור הגרפי (שקף 2מצגת )8הסמוך מתעוות מאוד. הסיבה היא שככל שיש יותר קטבים ,כל סטייה מזיזה את כולם ובכך מעוותת את המסנן ופעולתו באופן רדיקלי. פתרון טוב הוא לשרשר מספר מערכות עם סדר נמוך יותר (כמו שראינו מקודם) וע"י כך להוריד את עוצמת השגיאה. עד כאן הרצאה .12תאריך11.6.12 : | 23 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן קוונטיזציה של מסנני :IIR להלן מימוש ישיר של שני קטבים מרוכבים צמודים. כאשר נבנה את המסנן עם הקטבים s1,2 re j :נקבל את הסכמה הבאה: להלן תיאור הקטבים של מסנן של 4ביטים: הקטבים יהיו חייבים להיות על אחת מנקודות החיתוך. הקוונטיזציה במקרה הטוב תיקח אותנו לקוטב הכי קרוב. כדי לקבל מסננים יותר טובים נעלה את מספר הביטים ונקבל את הגרף הבא: קל לראות כי יש קוונטיזציה יותר גבוהה (רזולוציה טובה יותר). (באיור מדובר על קוונטיזציה של 7ביטים). הקוונטיזציה מביאה לנו את המקדמים המדוייקים ביותר אך עקב המימוש ניתן לזלוג לקטבים סמוכים במצב שיש קוונטיזציה קטנה. דוגמא: נתכנן מסנן LPF FIRוקוונטיזציה עם: p 0.4 ; s 0.6 ; p 0.01 ; s 0.001 המסנן המתקבל הוא באורך .27 יש לבצע קוונטיזציה למקדמים: באיור הסמוך מופיע גרף השגיאה. נבצע קוונטיזציה של 16ביטים: | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן להלן תיאורים של קוונטיזציה של 8ו 13-ביטים. מסקנה :כאשר משתמשים במסנן עם מספר סופי של מקדמים יש לבדוק את תגובת התדר המתקבלת עם קוונטיזציה. נציין כי בעת הכתיבה של מקדם עם מספר סופי של ביטים אנו מאבדים מהדיוק באופן וודאי. להלן מופיע תיאור של סולם קוונטיזציה מסוים: במקרה הנ"ל יש קוונטיזציה של 3ביטים ( 8רמות). בכל קפיצה אנו מאבדים מידע .בקצוות אנו נמצאים ברוויה. נתמקד רק בקוונטייזרים ליניארים (הקפיצות הן אחידות בגודלן). מעגל הקוונטיזציה יכול לייצג רמות מתח בהפרש של . B B B נדון בקוונטייזר המייצג מספרים ע"י B 1ביטים .נוכל לייצג את רמות המתח מ. 2 , 2 , . . . . , 2 1 - סה"כ 2B1ערכים שונים .המתח xm 2B :נקרא מתח הייחוס. B הייצוג הבינארי למתח לפי מתח הייחוס הואV xm b0 bi 2i xm xˆ : i 1 כאשר b0 , b1 ,...., bB 0,1 :הם ערכי הביטים ו b0 -היא סיבית הסימן .בהרבה מערכות xmלא ידוע ונעבוד עם. xˆ 1,1 : (עבור 100……0נקבל את הערך הנמוך ביותר ועבור 011….1נקבל את הערך הגבוה ביותר לפי שיטת משלים ל.)2- בגרפים הבאים ניתן לראות את הסולמות עבור פעולות של עיגול וקיטום: באופן עקרוני עיגול עדיף יותר -נראה מיד. קטימה | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה עיגול סיכום ועריכה מאת שי ידרמן x n אנו מסתכלים על המערכת הבאה: x n . Q x n x n e n xn . במערכת הבאה נכניס את שגיאה: e n נוכל לחשב את השגיאה מעצם ידיעת האות המקורי והאות לאחר הדוגם .נקבל את שני הגרפים התחתונים של המצגת. לא נכנס להוכחה המתמטית מדוע עיגול טוב יותר אבל נסביר זאת אינטואיטיבית. נניח שתי הנחות ,אם הקוונטיזציה עשירה מספיק והאות אינו ברוויה אז ניתן להניח כי: א .השגיאה חסומה בין. 0.5,0.5 : ב .אות השגיאה מפולג אחיד בין . 0.5,0.5 אם הקוונטיזציה עשירה מספיק והאות אינו ברוויה אזי ניתן להניח כי: .1ניתן להתייחס לאות השגיאה כתהליך אקראי סטציונארי. .2הפילוג של אות שגיאת הקוונטיזציה הוא אחיד. .3כל דגימה באות השגיאה בלתי תלויה בדגימות האחרות. .4אות השגיאה אינו תלוי באות הדגום. מסקנה :נוכל להסתכל על שגיאת הקוונטיזציה כאל "רעש אדטיבי" – תוספת של רעש לאות המקורי. e n נבחן את הספק הרעש: x n עבור קוונטייזר קוטם הפילוג הוא. e n U ,0 : 1 2 2 d ההספק: 3 0 . E e2 n האות צריך להיות בתחומים :האדום עבור השגיאה העליונה ובכחול עבור השגיאה התחתונה. נניח שלאות האנלוגי פילוג כלשהו (גאוסי – כתום) אז היות והתחומים שבהם נמצא האות קרובים מניחים פילוג זהה בהם ולכן היחס שלהם הוא 1המעיד על פילוג אחיד של השגיאה. עבור קוונטייזר מעגֵּל הפילוג הוא. e n U 0.5,0.5 : 0.5 1 2 2 d ההספק: 0.5 12 . E e2 n רואים בחוש כי ההספק בדוגם מעגל קטן פי 4ולכן טוב יותר. נקשור את הספק הרעש לכמות הביטים: xm2 2 B 2 xm 2 . E e n ראינו כי הקשר בין לכמות הביטים הוא xm 2B :ולכן2 : 12 12 12 12 P P P P 12 P . SNR S 2 SבדציבליםSNRdB 10log 2 S 22 B 6 B 10.1 log S2 : היחס אות לרעש 2 S 22 B : Pe xm 2 B xm xm xm 2 12 כל תוספת של ביט מוסיפה 6dBליחס אות לרעש. B 2 2 היות ובד"כ במערכת אמיתית יש עוד רעשים אז הביטוי שקיבלנו הוא היחס אות לרעש הכי טוב שניתן להגיע. למשל אם נרצה שהמערכת תעבוד ב 60dB-אז נצטרך לפחות 10ביטים (לפי המכפלה הראשונה בביטוי בדציבלים). | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן רעש הקוונטיזציה נוצר בממיר A/Dכבר התחלה .לכן הרעש נכנס לתוך המערכת שלנו ,מערכת LTIכלשהי. נבחן מה קורה במעבר דרך מערכת LTIשל רעש זה. x n x n e n H e j y n y n n : צפיפות ההספק של הרעש מקיימת. S e j See e j H e j : 2 2 2 היות והרעש הוא חס"ק נקבל m : Ree m ולכן לאחר התמרה: 12 12 2 2 נקבלH e j : . S e j נתעניין בהספק עצמו ולכן: 12 2 2 2 1 1 2 j j P S e d H e d h n 2 12 2 12 n 0 . See e j נתעניין בתופעת נוספת הגורמת לקוונטיזציה. להלן מתוארת מערכת מסדר :2 פעולת כפל בין מספר המיוצג ע"י B1 1ביטים ומספר המיוצג ע"י B2 1ביטים תיתן מספר המיוצג ע"י B1 B2 1ביטים. B המספר הכי קטן שניתן להציג לפי b0 bi 2i :הוא. 2 B 0000......0001 : i 1 B 1 לכן עבור החיבור נקבל את המספר הכי קטן שהוא 0000......0001 : B1 B2 .2 B1 B2 1 בפועל ,כאשר אנו שומרים למשל על 8ביטים בתוך המערכת ,אז הכפלה ראשונה תיצור מספר בן 8ביטים ,הכפלה נוספת באותה הלולאה תיצור מספר בין 15ביטים לפי מה שראינו .לכן נעגל אתם ל 8-ביטים ע"י זריקה של 7ביטים. תופעה זו זהה לרעש קוונטיזציה אך היא אינה אנלוגית אלא מתבצעת בתוך המערכת עצמה. 2 B במקרה שהמספרים לאחר קוונטיזציה מיוצגים ע"י B 1נקבל . 2 B :לכן הספק השגיאה: 12 בכל נקודה במסנן שמתבצעת הכפלה נוסף רעש .אם נרצה לנתח זאת נכון ,עלינו לנתח מערכת עם מספר מקורות השווה למספר ההכפלות שבמערכת .יש לכתוב פונקצית תמסורת לכל אחד מהם (מניחים שהם בת"ס) ולנתח את ההספק כמתואר: . P במקרה המסוים שלנו ( )Direct Form 2יש לנו רק שני סוגי רעשים: .1המקורות שרואים את כל פונקצית התמסורת . e3 , e4 .2הרעשים האחרים לא רואים כלום ומגיעים ישירות למצוא. | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן נוכל לייצג את המקרה באופן הבא: ניתן לראות כי הרעשים מתווספים בשני מקומות: .1בכניסת המערכת ואז פונקצית התמסורת שהרעש רואה הוא j . H e .2במוצא המערכת. סה"כ השפעת רעשי העיגול: ההספק הכלליN H e j M 1 d : לפי פרסבל M 1 : 2 2 h n n 0 2 B 1 2 2 12 a2 H e j b2 d 22 B N d M 1 12 2 2 2 H e j N 2 22 B 12 1 2 S e j d . PT עד כאן הרצאה .13תאריך18.6.12 : | 22 עיבוד אותות ספרתי –הרצאה סיכום ועריכה מאת שי ידרמן 1 2 PT
© Copyright 2024