1. No category

:‫ בצורה יעילה‬IDFT ‫מימוש של‬
IDFT
 x  n :‫ההגדרה‬
. X  k  
DFT
. X  n 
 Nx  k
 :‫מדואליות‬
DFT
DFT
 Nx*  k  , x*  n 
. X *  n 
 X *  k N  :‫תכונת ההצמדה‬
*
1
. x  n 
DFT  X *  n :‫נבצע לפי‬
N
N


:Decimation In Frequency (DIF-FFT)
N 1
. X  k    x  n WNkn :‫אנו יודעים כי‬
n 0
:‫ נתחיל בחישוב הרכיב זוגי‬.‫נחלק את האות לזוגי ולאי"ז‬
X  2k  

0.5 N 1

n 0
0.5 N 1
 x  nW
2 kn
N
n 0
x  n WN2 kn 
0.5 N 1

n 0

N 1
 x  nW
2 kn
N
n  0.5 N

0.5 N 1
 x  nW
n 0
x  n  0.5 N WN2 kn 
N 1
2 kn
N
2 kn  2 k
  x  n  0.5 N WN
N
2

n 0
0.5 N 1
  x  n  x n  0.5N W
2 kn
N
0.5 N
n 0
.  x  n  x  n  0.5 N  :‫ עבור הפונקציה‬DFT ‫קיבלנו מבנה של‬
:‫ נראה מה קורה עם החלק האי"ז‬.‫ניתן לראות כי אפשר לחשב את הרכיב הזוגי עם חצי מהמכפלות עקב הסכימה‬
X  2k  1 
0.5 N 1

n 0
x  n WN
0.5 N 1
 x  nW W
n 0
n
N
2 kn
N

2 k 1 n

N 1

n  0.5 N
x  n WN
2 k 1 n
0.5 N 1
 x  n  0.5N W W
n 0
n
N
0.5 N
N

0.5 N 1

n 0
x  n WN
WN2 kn WN2 k 0.5 N 
1
2 k 1 n

0.5 N 1
 x n  0.5N W 
2 k 1 n  0.5 N 
N
n 0
0.5 N 1
  x n  x n  0.5N W W
n 0
n
N
kn
0.5 n
:8 ‫ להלן פירוט עבור אות באורך‬.  x  n  x  n  0.5N WNn :‫ לפונקציה‬DFT ‫קיבלנו שוב פעם מבנה של‬
.‫ חיבורים‬0.5N -‫ הכפלות ו‬N ‫סה"כ‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
| 52
‫נבצע שוב את התהליך כמו שראינו בנוגע לחישוב ההתמרה הישירה‪:‬‬
‫בתוך הריבועים יש לנו ‪ DFT‬באורך ‪ 2‬אשר לא ניתן לפישוט מעבר לכך‪ .‬הסכמה הכללית היא‪:‬‬
‫ניתן לראות כי האות נכנס מסודר למערכת ולכן אין צורך בפקודת ‪ Bit-Reverse‬שראינו בסוף ההרצאה הקודמת‪.‬‬
‫פרפר אחד של הסכמה הוא‪:‬‬
‫המסקנה הכללית היא שהסיבוכיות בחישוב ‪ DFT‬ו‪ IDFT-‬היא בדיוק אותו דבר‪.‬‬
‫‪| 52‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מדידת אותות סינוסים בעזרת ‪:DFT‬‬
‫נתון אות בזמן רציף (המורכב מאותות סינוסיים) ונרצה ללמוד על פרמטרי האותות מתוך התמרת ה‪.DFT-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫יש לנו מסנן ‪( antialiasing‬ומשפט הדגימה) אשר מקבילים אותנו לניתוח אותות בתדרים ‪.    ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫כדי שנוכל לבצע את ה‪ DFT-‬יש לוודא שמדובר באות בעל תמך זמני סופי ולכן יש להכפיל בחלון‪. v  n  x  n w  n :‬‬
‫הכפלה זו עושה בתדר קונבולוציה‪ .‬נלמד כיצד הדבר משפיע על האות במוצא‪ .‬נפתח בחלון ריבועי‪.‬‬
‫חלון ריבועי‪:‬‬
‫‪1 n  0,1,..., N  1‬‬
‫‪. w  n  ‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪0 else‬‬
‫‪sin 12  N  j N 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫ה‪ DTFT-‬של חלון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪sin 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪N ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪sin‬‬
‫‪sin‬‬
‫נקבל במישור התדר‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  e j N‬‬
‫‪1  e j‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪W  e j    e jn ‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪ - D  , N  ‬גרעין דיריכלה‪.‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ X  e W  e  d‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X  e j  W  e j  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. V  e j  ‬‬
‫להלן תיאור האות ‪ X  e j ‬המתקבל לאחר הדגימה‪:‬‬
‫‪| 52‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫להלן תיאור חלון מסוים (‪ )e‬והקונבולוציה בין החלון והאות הדגום )‪:(f‬‬
‫תכונות גרעין דיריכליה בתחום‪   :‬‬
‫‪ .1‬מקסימום ב‪   0 -‬בגובה‪. D  0, N   N :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬אפסים ב‪m -‬‬
‫‪N‬‬
‫‪. m  1, 2,....  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .3‬רוחב האונה הראשית‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪.‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪3‬‬
‫‪  ‬וערכו הוא‬
‫‪ .4‬מקסימום של אונות הצד מתקבל בערך ב‪-‬‬
‫‪3‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 2N‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 20  log ‬‬
‫יחסית לאונה הראשית מקבלים‪/ N   13.5dB :‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫פונקצית דיריכליה באורך ‪:64‬‬
‫‪| 52‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫דוגמא – שקף ‪:7‬‬
‫נתונים האותות המתוארים בצד‪ ,‬מבצעים דגימה ומכפילים בחלון‪.‬‬
‫להלן תיאור התוצאה‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫הקו הכחול הוא ה‪ DTFT-‬בעוד שמה שאנו מקבלים הוא רק את נקודות המדידה האדומות )‪.(DFT‬‬
‫ניתן לראות כי כאשר יש לנו רק את נקודות הדגימה אנו טועים במידת מה בתדר המרכזי של הסינוס ובאמפליטודה שלו‪.‬‬
‫כמו כן‪ ,‬נשים לב כי עבור אות אחד יש לנו דגימה אחת גבוהה ועבור האות השני יש לנו שתי דגימות גבוהות‪.‬‬
‫עלינו להחליט האם מדובר בשני אותות סינוס או שמא יותר‪.‬‬
‫בשלושת השקפים הבאים התדרים מתחילים להתקרב – דבר המביא אותנו למצב יותר מעניין בו עלינו להחליט מה הם‬
‫התדרים של כל סינוס מהדגימות‪.‬‬
‫נסכם ונאמר כי יכולת ההפרדה בין סינוסים בתדרים קרובים תלויה ב‪:‬‬
‫* רוחב האונה הראשית של החלון (בתדר)‪.‬‬
‫* המרווח בין נקודות הדגימה (בתדר) של ה‪.DFT-‬‬
‫דוגמא – שקף ‪:12‬‬
‫כעת אנו מקבעים את התדר אך משנים את האמפליטודה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫יכולת הזיהוי של אותות חלשים בנוכחות של אותות חזקים תלויה בעוצמת אונות הצד‪.‬‬
‫‪| 52‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪-‬‬
‫כדי להתגבר על בעיה זו ניתן להגדיל את מספר הדגימות‪ .‬להלן תיאור החלון עבור מספר דגימות‪:‬‬
‫ניתן לראות כי האונה הראשית צרה יותר אך‬
‫עוצמת האונה הצדדית כמעט ולא משתנה‪.‬‬
‫יש למצוא דרך להקטין את אונות הצד‪.‬‬
‫אפשרות אחת היא לקחת חלון ועוד אחד מוזז (בתדר)‪.‬‬
‫הדבר יביא לחיסור של אונות הצד ובכך דעיכתם‪.‬‬
‫הבעיה היא שהאות במישור הזמן יהיה מרוכב מכיוון‬
‫שהזזה בתדר אשר נותנת שינוי פאזה בזמן‪.‬‬
‫כדי להתגבר על בעיה זו נוסיף עוד הזזה של חלון‪.‬‬
‫הרעיון מתואר בשקפים ‪ 17‬ו‪ .18-‬מקבלים קוסינוס במישור הזמן‪.‬‬
‫חלון ‪:Hann‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪   j   N 1‬‬
‫‪W  e j    D  , N   D   ‬‬
‫‪, N   Dw‬‬
‫‪, N e 2‬‬
‫‪4 ‬‬
‫‪N 1  4 ‬‬
‫‪N 1  ‬‬
‫‪2‬‬
‫במישור הזמן‪:‬‬
‫‪n  0,...., N  1‬‬
‫‪else‬‬
‫‪ 1 1 j N21 n  N21  1  j N21 n  N21 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  e ‬‬
‫‪ e‬‬
‫‪w  n   2 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ cos ‬‬
‫נוכל לפשט ולכתוב‪n  0  n  N  1 :‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ N 1 ‬‬
‫נציין כי לחלון זה יש ‪ N  2‬דגימות שאינן מתאפסות כי בשני הקצוות מתקבל אפס‪.‬‬
‫האן אמנם השיג את מטרתו אך רוחב האונה הראשית גדל באופן משמעותי‪.‬‬
‫‪. w  n ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Rectangular‬‬
‫‪Hann‬‬
‫‪Hamming‬‬
‫‪Blackman‬‬
‫‪Bartlett‬‬
‫‪-20‬‬
‫‪-30‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪-50‬‬
‫בחלון האן אונות הצד נמצאות ב‪ 31dB -‬ביחס לאונה הראשית‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫ הגדלה פי ‪.2‬‬‫רוחב האונה ראשית הוא‪:‬‬
‫‪N 1‬‬
‫כדי לפצות על כך נגדיל את מספר הדגימות ובכך נחזיר את הרזולוציה‪.‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪-70‬‬
‫‪1.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫חלון ‪:Hamming‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪. w  n  0.54  0.46cos ‬‬
‫נזיז מעט‪n  0  n  N  1 :‬‬
‫‪ N 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   j 2  N 1‬‬
‫‪j‬‬
‫‪, N   0.23D   ‬‬
‫‪,N e‬‬
‫‪. W  e    0.54 D  , N   0.23D   ‬‬
‫ההתמרה היא‪:‬‬
‫‪N 1 ‬‬
‫‪N  1  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫האמינג השיג הנחתה באונות הצד של ‪. 41dB‬‬
‫‪| 03‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪0‬‬
‫‪-80‬‬
‫]‪Magnitude [dB‬‬
‫בכחול מתוארת ההנחתה של חלון ריבועי רגיל‪.‬‬
‫בירוק מתוארת ההנחה של חלון האן‪.‬‬
‫ניתן לראות כי ההנחתה גדלה באופן משמעותי‪.‬‬
‫יחד עם זאת רוחב האונה הראשית גדול מאוד‪.‬‬
‫אנו מפסידים רזולוציה‪.‬‬
‫‪-10‬‬
‫חלון ‪:Blackman‬‬
‫זה מה שהוא עשה‪:‬‬
‫‪0  n  N 1‬‬
‫‪else‬‬
‫‪12‬‬
‫האונה הראשית היא‪:‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪ 4 ‬‬
‫‪n   0.08cos ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0.42  cos ‬‬
‫‪. w  n  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ N 1 ‬‬
‫‪ N 1 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫ואונות הצד מונחתות ב‪. 57dB -‬‬
‫חלון ‪:Bartlett‬‬
‫משולש פשוט במישור הזמן‪ .‬ישים במצבים של מעבדים מורכבים כאשר אין צורך ברזולוציה מעבר לגבול מסוים‪.‬‬
‫חלון ‪:Kaiser-Bessel‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪I0   1  ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ N  1  ‬‬
‫‪ . w  n   ‬כאשר‪ I 0  x  :‬היא פונקצית ֵּבסֵּל משונה מסדר ‪.0‬‬
‫מוגדר‪, 0  n  N  1 :‬‬
‫‪I0   ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xk ‬‬
‫פונקצית בסל ניתנת להצגה‪ . I 0  x     k  :‬נשים לב כי לחלון יש פרמטר ‪ ‬אשר נותן את האופטימום האפשרי‪.‬‬
‫‪k 0  2 k ! ‬‬
‫כאשר ‪ ‬הולך לאפס מקבלים ‪ – 1‬חלון ריבועי בעל רוחב אונה ראשית הכי צר‪.‬‬
‫פירוט נוסף בשקפים ‪ .22-23‬לא נכנס לאנליזה של הביטוי הנ"ל מעבר לזה במסגרת הקורס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמא לאופן הפעולה של חלון קייסר‪-‬בסל – שקף ‪:24‬‬
‫יש לנו אות שמורכב מ‪ 3-‬קוסינוסים ואנו רוצים להצליח להפריד בניהם‪.‬‬
‫בשקף ‪ 25‬יש לנו את החלק הממשי והמדומה של ההתמרה ובשקף ‪ 26‬מופיעות האמפליטודה והפאזה של האות‪.‬‬
‫שקפים ‪ – 27-31‬חלון קייסר‪-‬בסל עם ‪ ‬גדלה‪ .‬עם גדילתה אונות הצד קטנות וניתן לראות את הקוסינוס המונחת‪.‬‬
‫בשקף האחרון (‪ )32‬עברנו לסקלה לוגריתמית כדי שנוכל לראות בצורה טובה יותר את הקוסינוס החלש‪.‬‬
‫נסכם‪:‬‬
‫מדידת ספקטרום ע"י ‪ DFT‬מעוות ע"י שלוש תופעות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .1‬מקבלים רק דגימות תדר במרווחים‬
‫‪N‬‬
‫‪ .2‬תופעות צרות בתדר מורחבות לפי רוחב האונה הראשית של החלון‪.‬‬
‫‪ .3‬תופעות חלשות באות נפתרו ע"י אונות הצד של החלון‪.‬‬
‫‪L‬‬
‫ספציפית עבור אותות מהצורה‪ y  n   Al cos l n  l  :‬כמות הקוסינוסים ותדריהם יוערכו לפי המקסימומים של ‪. Y  k ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪l 1‬‬
‫השערוך יהיה סביר אם‪:‬‬
‫‪ .1‬התדרים ‪ l , m‬מופרדים לרמות בחצי רוחב אונה ראשית לכל ‪. m  l‬‬
‫‪ A ‬‬
‫‪ .2‬הביטוי‪ 20 log  l  :‬גדול מגובה אונות הצד לכל ‪. m  l‬‬
‫‪ Am ‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .6‬תאריך‪23.4.12 :‬‬
‫‪| 03‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מסננים‪:‬‬
‫מסנן הוא בראשונה מערכת ‪ .LTI‬כמו כל מערכת ‪ ,LTI‬מסנן ניתן לאפיון באמצעות התגובה להלם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נכתוב‪ x mh n  m :‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪. y  n  x  n * h  n ‬‬
‫נוכל גם לתאר בתחום התדר‪. Y  e j   X  e j  H  e j  :‬‬
‫היות ותגובת התדר היא מרוכבת נוכל להפריד‪Y  e j   X  e j   H  e j  :‬‬
‫‪. Y  e j   X  e j  H  e j  ,‬‬
‫במסננים נשתמש כדי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫להגביר תדרים מסוימים ולהנחית אחרים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫להפריד בין אותות שונים ע"י סכום והפרש‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לקטום את רוחב הסרט של אות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ליצור נגזרת או אינטגרל של אות‪.‬‬
‫להלן תיאור של המסננים הפשוטים‪:‬‬
‫המשותף לכל המסננים הללו הוא שלא ניתן לממש אותם בצורה אידיאלית‪.‬‬
‫נרצה להגדיר מסננים יותר מעשיים‪.‬‬
‫רוב המסננים עוסקים במימושים של ‪.LPF‬‬
‫המתכנן צריך לספק מידע בנוגע לתחום ההגבר של התדרים שיש להעביר ותחום הסטייה המותרת בהנחתת התדרים‪.‬‬
‫בתחום הביניים לא נדרוש כלום מהמסנן‪.‬‬
‫להלן פירוט התחומים האמורים‪:‬‬
‫‪| 05‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫כל אחד מהפרמטרים הללו נותן לנו מרווח תימרון‪ .‬ככל שנגדיל את הסטיות או את הרוחב של פס המעבר נאפשר מימוש‬
‫פשוט יותר של המסנן‪ .‬להלן דוגמא של מימוש המסנן בפועל‪:‬‬
‫נשים לב כי באיור זה לא מימשנו את המסנן בצורה הכי יעילה כי לא ניצלנו את כל מרווח התימרון העומד לרשותינו‪.‬‬
‫לכן ניתן להסיק כי אפשר לממש את המסנן בצורה יותר פשוטה (זולה)‪.‬‬
‫נוח לאפיין מסננים במישור ‪. Y  z   X  z  H  z  : z‬‬
‫זאת מכיוון שניתן לקבל מידע על יציבות המסנן (אפשר לראות קטבים‪ ROC ,‬והמרחק של המסנן מהיציבות)‪.‬‬
‫נגביל את עצמנו לסוג מסוים של מסננים עם פונקצית תמסורת רציונאלית‪ ,‬כלומר מסננים שניתנים לרישום ע"י משוואת הפרשים‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪y  n   bk x  n  k    ak y  n  k ‬‬
‫במישור ‪ z‬נקבל‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪Y  z    bk z  k X  z    ak z  kY  z ‬‬
‫פונקצית התמסורת של המסנן היא‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪M‬‬
‫‪bz‬‬
‫‪Y  z ‬‬
‫‪H  z ‬‬
‫‪‬‬
‫‪X  z‬‬
‫‪a z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪k 0‬‬
‫אנו מקבעים‪ . a0  1 :‬קיבלנו פונקצית תמסורת רציונאלית‪ .‬מבחינת מימוש יש לה חשיבות עליונה‪ ,‬זאת מכיוון שבכניסה למערכת‬
‫ספרתית נוח לנו לבצע חישובים באמצעות משוואת ההפרש‪ .‬נרצה לקבוע את הסדרות ‪ ak , bk‬ואת הערכים‪ M , N :‬כדי לאפיין‬
‫את המסנן‪ .‬נדרוש גם יציבות וסיבתיות‪ .‬לעניין הסיבתיות – אין לנו בעיה כי אנו פותרים משוואת הפרש סיבתית‪.‬‬
‫יציבות – תחום ההתכנסות של ‪ H  z ‬צריך לכלול את מעגל היחידה‪.‬‬
‫המסנן יתכנס עבור‪ R  z   :‬כאשר‪ R :‬הוא רדיוס הקוטב המקסימלי‪.‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫ אפסים‪ :‬ערכי ‪ z‬עבורם המונה מתאפס‪.‬‬‫ קטבים‪ :‬ערכי ‪ z‬עבורם המכנה מתאפס‪.‬‬‫‪| 00‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫המסקנה היא שבמערכת יציבה כל הקטבים (אם יש) נמצאים בתוך מעגל היחידה‪.‬‬
‫מערכות מסוג זה נקראות‪.RCSR – Real Casual Stable Rational :‬‬
‫(אנו לא דורשים‪ - M  N :‬אין לזה משמעות אצלנו)‪.‬‬
‫התגובה להלם של המסנן‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫אם למערכת קטבים פשוטים אז התגובה להלם ניתנת להצגה ע"י‪. h  n  C0  n  ....  CM  N   n  M  N    Ak knu  n  :‬‬
‫‪k 1‬‬
‫מקרה זה מתייחס למצב שבו דרגת המונה גדולה משל המכנה‪ . M  N :‬יש לנו ‪ M  N‬איברים חופשיים אשר כל אחד מהם‬
‫מניב את ההתמרה ההפוכה ‪  ‬עם מקדם ‪ Ci‬מתאים‪ .‬שאר השבר שנותר מניב את הטור הגיאומטרי‪.‬‬
‫נבחין בין שני סוגי מסננים‪:‬‬
‫‪ .1‬מסנן בעל תגובה סופית‪ :‬עבורו קיים ' ‪ M‬כך ש‪ h  n  0 -‬לכל ' ‪ . n  0 , n  M‬מסנן זה נקרא ‪.FIR‬‬
‫‪ .2‬אחרת למסנן תגובה להלם אינסופית‪ .‬מסנן זה נקרא ‪.IIR‬‬
‫מלבד מקרה לא מעניין‪ ,‬מערכת ‪ RCSR‬תהיה ‪ FIR‬אם"ם‪( N  0 :‬כלומר – אין קטבים למערכת)‪.‬‬
‫‪M‬‬
‫‪bn 0  n  M‬‬
‫‪. h  n  ‬‬
‫במקרה כזה המוצא‪ y  n   bk x  n  k  :‬והתגובה להלם תהיה‪:‬‬
‫‪else‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪0‬‬
‫מערכת הופכית‪:‬‬
‫המערכת ההופכית של ‪ H  z ‬היא ‪ G  z ‬המקיימת‪ H  z  G  z   1 :‬או‪. h  n * g  n    n :‬‬
‫‪1‬‬
‫במישור התדר‪:‬‬
‫‪H  e j ‬‬
‫‪ . G  e j  ‬בהרבה מקרים נוכל לחשב את ‪ G  e j ‬אך את היציבות נוכל לראות מהתמרת ‪. z‬‬
‫את תגובת התדר ניתן להציג בקואורדינאטות קרטזיות‪. H  e j   Re H  e j   j Im H  e j  :‬‬
‫או בצורה פולארית‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪j e j‬‬
‫‪. H  e j   H  e j  e‬‬
‫תגובת הפאזה של מסננים ספרתיים‪:‬‬
‫נפתח בדוגמא שבה נסנן גל ריבועי עם מסנן‪ .‬נראה שימוש במסננים אידיאליים תחילה‪.‬‬
‫‪1   C‬‬
‫‪‬‬
‫‪. H  e j   ‬‬
‫נסתכל על‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 else‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪ H(j‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪omega‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪omega‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.2‬‬
‫]‪y[n‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪10‬‬
‫‪| 03‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪-10‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫|)‪|H(j‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.8‬‬
‫כעת ניקח מסנן עם אמפליטודה קבועה ופאזה משתנה‪:‬‬
‫‪8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪6‬‬
‫)‪ H(j‬‬
‫|)‪|H(j‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.5‬‬
‫]‪y[n‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫‪-10‬‬
‫]‪x[n‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪omega‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪omega‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪10‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪-10‬‬
‫‪-0.5‬‬
‫המסנן מעביר בדיוק את אותה הכמות של מרכיבים הרמוניים אך מפצל את הפאזות שלהם‪ .‬התוצאה המידית היא עיוות בזמן‪.‬‬
‫מכאן נוכל לתרגם את הפאזה ליחידות של הזזה בזמן אך יש לעשות חלוקה מאוד ברורה בכל הקשור ליישומים שונים‪.‬‬
‫יש יישומים שרגישים להזזת פאזה ויש כאלו שפחות רגישים‪.‬‬
‫פאזה של מסננים ספרתיים‪:‬‬
‫נגדיר במפורש‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ H e    H e ‬‬
‫נרצה להגדיר פאזה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪I‬‬
‫‪R‬‬
‫‪H I  e j ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪e ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪R‬‬
‫‪. H  e j  ‬‬
‫‪  atan H‬‬
‫‪. e‬‬
‫הבעייתיות היא (חוץ מתחומי הגדרה) שלא ניתן לדעת בחילוק האם החלק הממשי והמדומה היו חיוביים או שליליים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪atan2 H R  e j  , H I  e j  H  e j   0‬‬
‫‪‬‬
‫‪. e   ‬‬
‫לכן מגדירים פונקציה במטלב‪:‬‬
‫‪j‬‬
‫‪not‬‬
‫‪Def.‬‬
‫‪H‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪, cos  ‬‬
‫כאשר‪   atanz  x, y  :‬מוגדר להיות ה‪  -‬היחיד המקיים‪,     ,   :‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫‪| 02‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫‪j‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x2  y 2‬‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪. sin  ‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫אם‪ H  z  :‬פונקצית תמסורת של מערכת ‪ RCSR‬אזי‪:‬‬
‫א‪ H  e j  .‬רציפה כפונקציה של ‪. ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪k‬‬
‫‪b z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪a z‬‬
‫‪k‬‬
‫פונקצית התמסורת היא‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ H  z  ‬כאשר‪ . H  e j   H  z  z e j :‬היות ואין קטבים על מעגל היחידה יש רציפות‪.‬‬
‫‪k 0‬‬
‫ב‪   e j  .‬היא פונקציה רציפה של ‪ ‬מלבד‪ ,‬אולי‪ ,‬כאשר ‪. H I  e j   0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫כדי להבין זאת נסתכל על‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ H  e‬ונשים לב כי היא נקודה במרחב המרוכב‪ .‬כאשר נשנה את ‪ ‬נזוז במרחב המרוכב‪.‬‬
‫ישנם שני סוגי אי רציפות‪:‬‬
‫‪ .1‬מעבר דרך הראשית (שם הפאזה לא מוגדרת)‪. H  e   0 :‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ .2‬חציית הציר הממשי בצד השלילי שלו‪. H R  e j   0 , H I  e j   0 :‬‬
‫בשני המקרים‪. H I  e j   0 :‬‬
‫ג‪ .‬ל‪   e j  -‬יש מספר סופי של נקודות אי רציפות בתחום‪.      :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫מספיק להוכיח של‪ H I  e  -‬מספר סופי של אפסים בתחום‪ .‬נכתוב‪:‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  P e  P e   1 P e  Q e   P e  Q e ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪‬‬
‫‪HI e  ‬‬
‫‪H e   H e   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2j‬‬
‫‪2 j  Q  e j  Q  e j   2 j‬‬
‫‪Q  e j  Q  e j ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫עלינו למצוא את מספר הנקודות שבהן המונה מתאפס‪ .‬יש לנו פולינום מסדר סופי במונה ולכן מתאפס במספר נקודות‬
‫סופי בתחום‪.‬‬
‫ד‪ .‬בכל נקודות אי הרציפות של ‪   e j ‬קפיצות הפאזה הן בגודל של ‪ ‬או ‪. 2‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫ראינו כי אם ‪ H R  e   0 , H I  e   0‬קפיצות הפאזה תהיינה‪. 2 :‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫נותר לבדוק את המקרה‪ , H  e j0   0 :‬כלומר ל‪ H  z  -‬יש אפס בנקודה ‪. z  e j0‬‬
‫יהי ‪ m‬הריבוי של אפס זה‪ ,‬אזי ניתן לרשום‪ H  z   H1  z  1  e j0 z 1  :‬כאשר‪ . H1  e j0   0 :‬לכן‪:‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪  j  0   2j  0    2j  0  ‬‬
‫‪ H1  e j    e 2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪j  0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪H  e j   H1  e j  1  e‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪jm‬‬
‫‪ m 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  0  2j  0  ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m    0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ H1  e   2 j sin‬‬
‫‪e‬‬
‫‪  H1  e  2 e sin ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪   0 ‬‬
‫‪ sin m ‬כל שאר הביטויים בקרבת ‪ 0‬חיוביים ולא‬
‫נתבונן בכל אחד מהביטויים ונבדוק רציפות‪ .‬למעט ה‪ -‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫משפיעים על הפאזה‪ .‬אם ‪ m‬אי"ז תהיה קפיצת פאזה ב‪  -‬בגלל שינוי הסימן של הסינוס‪.‬‬
‫‪| 02‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫אם ‪ m‬זוגי לא תהיה קפיצת פאזה (או לחילופין קפיצה של ‪.) 2‬‬
‫תיקון אי הרציפות בפאזה‪:‬‬
‫קל לתקן קפיצות של ‪ 2‬ע"י הגדרת פונקצית פאזה חדשה שאינה מוגבלת לתחום ‪.   ,  ‬‬
‫בכל נקודה בה יש קפיצה של ‪ 2‬נמשיך את הפאזה באופן רציף‪ .‬מובן שזה לא ישנה את פונקצית התמסורת‪.‬‬
‫עדיין נוכל לרשום‪  :‬‬
‫‪j e j‬‬
‫‪. H  e j   H  e j  e‬‬
‫נגדיר גודל ופאזה חדשים כך ש‪  -‬‬
‫קפיצות בגודל ‪ ‬יתוקנו ע"י תיקון ‪ ‬ושינוי סימן ב‪. A -‬‬
‫‪j e j‬‬
‫‪. H  e j   A  e j  e‬‬
‫הבעייתיות כעת היא שההגדרה אינה אחידה‪ ,‬ניתן להגדיר גם‪ A  e j  ,   e j   2 :‬או‪.  A  e j  ,   e j   2 :‬‬
‫לא ניתן לתחום את הפאזה אבל ניתן לדרוש נקודת ייחוס‪. 0    e j0    :‬‬
‫יש לנו רק ייצוג אחד (התאמה חד‪-‬חד‪-‬ערכית) עבור האמפליטודה והפאזה‪.‬‬
‫לחילופין הגדרה אחרת היא‪     e j0    :‬וגם‪ . A  e j   0 :‬שוב יש לנו ייצוג יחיד של תגובת התדר‪.‬‬
‫כמובן שנדרוש גם ש‪ A  e j  -‬ו‪   e j  -‬ממשיים‪.‬‬
‫ניתן להבין גם כי היפוך של סימן האמפליטודה אינו גורם ליצירת אי רציפות בה מכיוון שהוא מתבצע רק באפס (אמפליטודה אפס)‪.‬‬
‫מסננים בעלי פאזה ליניארית מוכללת ‪:GLP – Generalized Linear Phase -‬‬
‫הגדרה‪ :‬מסנן בעל פאזה ליניארית הוא מסנן המקיים‪.     : H  e j   H  e j  e j :‬‬
‫עבור‬
‫‪  ‬נוכל להחליף את המערכות‪x  n  H  e j  e j  y  n  x  n   H  e j   e  j  y n  :‬‬
‫יש לנו למעשה מערכת השהייה‪. e j    n    :‬‬
‫‪y n ‬‬
‫עבור ‪ ‬לא שלם יש לנו השהייה בחלקי דגימה‪ .‬נבחן אות אנלוגי‪ D / C  yc  t  :‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪e‬‬
‫‪j‬‬
‫‪x n‬‬
‫‪. xc  t   C / D  H  e‬‬
‫ראינו בתחילת הקורס כי אם‪ xc  t  :‬מוגבל סרט אז המערכת שקולה‪. xc  t   H  e j /T  e j /T  yc  t  :‬‬
‫נפצל ונקבל‪. xc  t   H  e j /T     t   / T   yc  t  :‬‬
‫כלומר השהייה ב‪  / T -‬שניות‪ ,‬או במערכת הספרתית שקול ל‪  -‬דגימות‪.‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .7‬תאריך‪30.4.12 :‬‬
‫‪| 02‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫בשיעור קודם דיברנו על מסנן ליניארי ותיארנו זאת לפי הדיאגרמה הבאה‪. H  e j   e j :‬‬
‫במישור הזמן‪. H D  e j   e j  hD  n  sinc  n    :‬‬
‫עבור ‪ ‬שלם נקבל דלתא בנקודה הנ"ל‪.‬‬
‫עבור‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬שאינו שלם האות היוצא הוא‪ x  m sinc n  m    :‬‬
‫‪m ‬‬
‫‪. y  n ‬‬
‫החשיבות של מסננים בעלי פאזה ליניארית היא שאנו יכולים להסתכל על אמפליטודת תגובת התדר וההזזה בנפרד‪.‬‬
‫דוגמת המחשה‪:‬‬
‫‪  c‬‬
‫נתון מסנן מעביר נמוכים בעל פאזה ליניארית‪:‬‬
‫‪else‬‬
‫‪e j‬‬
‫‪. H e   ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫התגובה להלם שלו היא‪sinc  c  n     :‬‬
‫‪c‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר נגדיל את ‪ c‬עד ל‪  -‬נקבל השהייה בלבד‪ .‬אחרת הוא מסנן ומשהה יחד‪.‬‬
‫‪. h  n ‬‬
‫מסננים בעלי פאזה ליניארית מוכללת ‪ -‬המשך‪:‬‬
‫מסנן בעל פאזה ליניארית מוכללת הוא מסנן המקיים‪ H  e j   A  e j  e j    :‬כאשר‪ A  e j  :‬ממשית‪.‬‬
‫ראשית אנו "מרשים" לגודל להיות שלילי‪ .‬שנית מרשים לפאזה להיות מוכפלת בקבוע ‪.  -‬‬
‫פאזה קבועה לכל המסנן לא משנה את פעולתו ולכן אין לנו בעיה עם זה‪.‬‬
‫כעת – ‪ A  e j ‬מתאר את תגובת התדר שלו ו‪ e j -‬מתאר את תגובת הפאזה‪.‬‬
‫דוגמא – גוזר מוגבל סרט‪:‬‬
‫תגובת התדר של גוזר היא‪ . H  j   j :‬כדי ליצור גוזר ספרתי נכתוב את הגודל והפאזה‪:‬‬
‫אצלנו‪,   0 ,   0.5 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j    ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A e j‬‬
‫‪. A  e j  ‬‬
‫מערכת ‪ RCSR‬עם פאזה ליניארית מוכללת‪:‬‬
‫מערכת עם ‪ GLP‬צריכה לקיים‪ . H  e j   A  e j  e j    ;    :‬מתקיים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H  e j   H e j   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ j   2    ‬‬
‫‪A e j    2  e ‬‬
‫‪ A  e j  e j      A e j   2  e  j 2  A  e j ‬‬
‫‪| 02‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫‪.‬‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪j‬‬
‫‪. H e‬‬
‫היות ו‪ A  e j  -‬ממשית מקבלים כי גם ‪ e j 2‬ממשי ולכן‪ e j 2  1 :‬לכן ‪ 2‬מספר שלם‪.‬‬
‫נחלק לשני מקרים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   m .1‬שלם ואז‪ - A e j   2   A  e j  :‬מחזורי ‪. 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m (   m  0.5 .2‬שלם) ואז‪ - A e j   2    A  e j  :‬אות מחזורי במחזור ‪. 4‬‬
‫נבחן את התגובה להלם של מערכת עם ‪:GLP‬‬
‫‪d‬‬
‫‪n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  e  e‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j  2  n ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ j    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  e  e‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j  2  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ H  e  e‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪h  2  n ‬‬
‫‪2‬‬
‫ניקח את הצמוד המרוכב בשני הצדדים של המשוואה‪:‬‬
‫‪e jn d‬‬
‫‪ j    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  e  e‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2 j‬‬
‫‪ j     j n‬‬
‫ולכן‪h  n :‬‬
‫‪e‬‬
‫‪A  e j  e ‬‬
‫נבצע הפרדה‪e d  :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. h  2  n ‬‬
‫‪2 j ‬‬
‫‪. h  2  n  e‬‬
‫נסיק מספר מסקנות‪:‬‬
‫‪ .1‬היות ו‪ h  n  -‬ממשית אזי ‪ e2 j‬ממשית‪ ,‬כלומר ‪ ‬כפולה של ‪. 0.5‬‬
‫מכיוון ש‪ 0     -‬קיימות שתי אפשרויות‪:‬‬
‫‪.   0 .i‬‬
‫‪.   0.5‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪ .2‬הסימטריה במשוואה היא מסביב ל‪ .  -‬היות והמערכת סיבתית ‪ h  n  0‬לכל ‪ n  0‬ולכן ‪ h  n  0‬גם לכל ‪. n  2‬‬
‫כלומר מסנן ‪ RCSR‬עם פאזה ליניארית מוכללת חייב להיות ‪ FIR‬ואורכו ‪. 2‬‬
‫לסיכום נחלק את מסנני ‪ RCSR‬עם פאזה ליניארית לארבעה סוגים‪:‬‬
‫סוג‬
‫‪I‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ m , 0‬‬
‫סדר‪N  2 :‬‬
‫זוגי‬
‫‪h  N  n  h  n‬‬
‫‪II‬‬
‫‪  m  0.5 ,   0‬‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫‪h  N  n  h  n‬‬
‫‪m  0.5‬‬
‫‪III‬‬
‫‪  m ,   0.5‬‬
‫זוגי‬
‫‪h  N  n   h  n ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪IV‬‬
‫‪  m  0.5 ,   0.5‬‬
‫אי‪-‬זוגי‬
‫‪h  N  n   h  n ‬‬
‫‪m  0.5‬‬
‫סימטריה‬
‫השהייה‬
‫‪m‬‬
‫בשקפים ‪ 10-15‬ניתן לראות דוגמאות של ‪ 4‬סוגי המסננים – השניים הראשונים בשקף ‪ 10‬והשניים האחרונים בשקף ‪.13‬‬
‫‪| 02‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מיקום האפסים של מערכת ‪ RCSR‬עם ‪:GLP‬‬
‫נזכור כי למסנן ‪ FIR‬אין קטבים כלל כי הוא בנוי רק מהמונה‪.‬‬
‫‪N‬‬
‫עבור מערכת ‪ FIR‬מסדר ‪. H  z    h  n  z  n : N‬‬
‫‪n 0‬‬
‫בגלל הסימטריה (במערכות מסוג ‪ I‬ו‪ )II-‬נוכל לכתוב‪ z  N H  z 1  :‬‬
‫‪n ' N‬‬
‫‪n ' N  n N‬‬
‫‪ h n ' z‬‬
‫אם‪ H  z0   0 :‬עבור‪ z0  0 :‬אז גם‪. H  z01   0 :‬‬
‫‪n ' 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪. H  z    h  N  n z  n ‬‬
‫‪n 0‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬היות והמערכת ממשית אז גם‪ H  z0*   0 :‬וגם‪. H  z0*1   0 :‬‬
‫ אם‪ z0  re j :‬הוא אפס של המערכת אזי נקבל רביעיית אפסים‪. re j , r 1e j , r 1e j , re j :‬‬‫ על מעגל היחידה נוכל לקבל זוגות‪. e j , e j :‬‬‫ עבור אפס ממשי נוכל לקבל זוגות של ‪. r , r 1‬‬‫‪ -‬אם‪ z0  1 :‬אז הוא יוכל להופיע לבד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫במקרה הכללי הביטויים יהיו מהצורה‪. 1  z0 z 1 1  z0* z 1 1  z01 z 1  1   z01  z 1 :‬‬
‫*‬
‫להלן האיור הראשון במישור ‪ z‬מתוך שקף ‪:16‬‬
‫ממשי חיובי‪.‬‬
‫ממשי שלילי‪.‬‬
‫רביעייה כללית‪.‬‬
‫נבחן את המקרה ‪: z0  1‬‬
‫נקבל‪H  1 :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪. H  1   1‬‬
‫אם‪ N :‬אי"ז (סוג ‪ )II‬מקבלים‪. H  1  H  1  0 :‬‬
‫לכן במסנן מסוג ‪ II‬תמיד ‪ z0  1‬הוא אפס‪.‬‬
‫באיור השני בשקף ‪ 16‬מתוארים האפסים של סוג ‪ .II‬ניתן לראות כי יש אפס ב‪.-1-‬‬
‫עבור מערכות ‪ III‬ו‪ IV-‬נקבל‪. H  z    z  N H  z 1  :‬‬
‫הניתוח זהה לניתוח של מערכות ‪ I‬ו‪ II-‬למעט המקרים של ‪. z0  1‬‬
‫אם‪ z0  1 :‬אז‪ H 1   H 1  0 :‬ולכן ‪ z0  1‬תמיד אפס של מערכות מסוג ‪ III‬ו‪.IV-‬‬
‫אם‪ z0  1 :‬אז‪H  1 :‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ H  1   1‬ואם‪ N :‬זוגי אז‪ H  1  0 :‬ולכן ‪ z0  1‬בהכרח אפס של מערכות מסוג ‪.III‬‬
‫נראה כי גם הקיום של שני האפסים‪ re j , r 1e j :‬הוא תנאי מספיק לפאזה ליניארית‪.‬‬
‫נכתוב את המסנן המרוכב עם האפסים הנ"ל‪ .‬תגובת התדר של המסנן היא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪1  re j e j 1  r 1e j e j   0 re j e j  r 1e j e j  11  r 1e j e j   0 re j e j 1  r 1e j e j‬‬
‫‪‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪H  e j  ‬‬
‫מסקנה סופית‪:‬‬
‫כל מסנן שאפסיו מקיימים לכל ‪ H  z0   H  z01   H  z0*1   H  z0*  : z0‬הוא בעל פאזה ליניארית‪.‬‬
‫‪| 33‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
:Group Delay – ‫השהיית חבורה‬
. H  e j   0 ;    0   ,   0   :‫ אות צר סרט (מאוד) המקיים‬x  t  ‫יהי‬
Y  e j   X  e j  H  e j  e j0  jnd :‫ קטן ניתן לכתוב‬ ‫ עבור‬. H  e j  ‫ עובר דרך המסנן‬x  t  ‫האות‬
d
-‫ ו‬0   H  e j  :‫כאשר‬
H  e j 



0
d
.‫ דגימות‬nd -‫ למסנן לכאורה יש פאזה ליניארית והאות יושהה ב‬,‫לכן עבור אות זה‬
d
.     
H  e j  ‫השהייה זו נקראת השהיית חבורה והיא נתונה ע"י‬
d
. nd  
.‫נפתח נוסחה קלה יותר לחישוב של השהייה החבורה של מסננים‬
b0  1  ck e  j 
M
. H  e j  
b0

a0
 1  ck e j  
 1  d e   :‫ הפאזה היא‬H  e   
M
N
k 1
j
k 1
k 1
N
j
k
a0  1  d k e

 j
k 1
:‫עבור מסנן כללי‬
:‫כדי לחשב את ההשהייה נעזר בהגדרת הנגזרת ובפישוטים בדרך‬
d
1  c e   lim 1  c e
 j
d
 lim
 j   
k
k
1  c e
k
 0
 j
  1  c e   lim 1  c e
 j
k
k

2

 0
1  j    1  ck e  j 
*

 0
 ck*e j  ck  j ck  j ck e  j
2
 j
  lim 1  2 Re c e   c
 j
k
k
2

 j ck  j ck e  j
2

 0

 ck   Re ck e  j 
2
1  2 Re c e   c
 j
 lim
k
k
2
 j ck  j ck e  j
2

 0
 ck  Re ck e  j 
  lim 1  2 Re c e   c
 j
*
k
k
2
 Re  j ck e  j 

 0

2

1  2 Re ck e  j   ck
2
y
 y y
 0 :‫ עבור‬tan 1    :‫* קירבנו את הפאזה שהיא‬
x
x x
:‫היות ועבור המכנה מתקבל פיתוח זהה נוכל לרשום את הביטוי הסגור הבא‬
.
M
N
 ck  Re ck e j 
 d k  Re d k e  j 
d
j




H
e


.  
  

 j
d
k 1 1  2 Re ck e
  ck 2 k 1 1  2 Re dk e j   dk 2
2
2
.‫ ארוכה מאוד‬,‫ תיקון פאזה וגזירה‬,‫ הכוללת חישוב פאזה‬,‫ביטוי זה עדיף מכיוון שהחלופה‬
:‫הקשר בין אמפליטודה ופאזה‬
?‫ מה ניתן לומר על הפאזה‬. H  e j  :‫נניח כי נתון‬
. H  e j   H  e j  H *  e j   H  z  H * 1/ z * 
2
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
z e j
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
:‫נרשום‬
| 33
‫‪b0  1  c z ‬‬
‫‪b0  1  ck z 1 ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫*‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. H *  *   kN1‬‬
‫‪ H  z   kM1‬וכמובן‪:‬‬
‫עבור מערכת ‪:RCSR‬‬
‫*‬
‫‪1‬‬
‫‪z  a‬‬
‫‪a0  1  d k z ‬‬
‫‪0  1  d k z ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ 1  c z   1  c z ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫כעת‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫*‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪2‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 1  d z   1  d z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫*‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ 1  b ‬‬
‫‪.C  z  H z H*  *    0 ‬‬
‫‪ z   a0 ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪1‬‬
‫כלומר‪ ,‬אם ‪ ck‬הוא אפס של ‪ H  z ‬אזי ‪ ck‬ו‪-‬‬
‫*‪ck‬‬
‫הם אפסים של ‪. C  z ‬‬
‫‪1‬‬
‫באותו אופן‪ ,‬אם ‪ d k‬הוא קוטב של ‪ H  z ‬אזי ‪ d k‬ו‪-‬‬
‫*‪d k‬‬
‫הם קטבים של ‪. C  z ‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .8‬תאריך‪7.5.12 :‬‬
‫בשיעור קודם ראינו כי עבור מערכת ‪ RCSR‬הגדרנו‪. H  e j   H  e j  H *  e j   C  z  z e j :‬‬
‫‪2‬‬
‫וראינו‪:‬‬
‫‪ 1  ck* z   1  ck z 1 ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 1  d z   1  d z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫*‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1  b ‬‬
‫‪.C  z  H z H*  *    0 ‬‬
‫‪ z   a0 ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הקטבים והאפסים של ‪ H  z ‬הם גם קטבים ואפסים של ‪ C  z ‬וגם * אפסים של ‪. C  z ‬‬
‫*‬
‫‪dk‬‬
‫‪ck‬‬
‫קטבים של ‪. C  z ‬‬
‫) ‪2(1  z 1 )(1  0.5 z 1‬‬
‫) ‪(1  z 1 )(1  2 z 1‬‬
‫בדוגמא של שקף ‪ 17‬נתונות‪:‬‬
‫‪,‬‬
‫‪H‬‬
‫(‬
‫‪z‬‬
‫)‬
‫‪‬‬
‫‪1  0.8e j  z 1 1  0.8e j  z 1  2 1  0.8e j  z 1 1  0.8e j  z 1 ‬‬
‫‪. H1 ( z ) ‬‬
‫לשניהם יש אותו ‪ C  z ‬כפי שניתן לראות בפיתוח שבשקפים הבאים‪.‬‬
‫לכן יש לשני המסננים את אותו הערך המוחלט‪.‬‬
‫כיד להחליט איזו פונקצית תמסורת לוקחת כל קוטב‪/‬אפס נזכיר כי היות ו‪ H  z  -‬יציבה אז הקטבים שלה בתוך מעגל יחידה‪.‬‬
‫לגבי האפסים – יש לקחת את האפס והצמוד שלו‪ .‬יש לנו מספר צירופים ולכן ניתן לקחת כל אחד מהם אם מעניינת אותנו רק תגובת‬
‫התדר בערך המוחלט שלה‪.‬‬
‫אם היינו יודעים ש‪ H 1  z  -‬יציבה נדע שגם כל האפסים של ‪ H  z ‬בתוך מעגל היחידה וניתן למצוא את ‪ H  z ‬באופן יחיד‬
‫מתוך ‪( C  z ‬בתנאי שלא היו אפסים על מעגל היחידה כי אז ההופכית לא תהיה יציבה)‪.‬‬
‫במקרה זה אנו אומרים ש‪ H  z  -‬היא בעלת פאזה מינימלית )‪.(Minimum Phase‬‬
‫‪| 35‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מסננים מעבירי כל ‪:All-Pass Filter -‬‬
‫הגדרה‪ :‬מערכת המקיימת ‪ H  e j   const.‬לכל ‪ ‬נקראת מערכת מעבירת כל‪.‬‬
‫‪* j‬‬
‫*‪e j  a‬‬
‫*‪z 1  a‬‬
‫‪ j 1  a e‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪H‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫היא‪:‬‬
‫התדר‬
‫תגובת‬
‫‪.‬‬
‫דוגמא מהירה‪ :‬נבחן את המערכת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ap‬‬
‫‪1  ae j‬‬
‫‪1  ae j‬‬
‫‪1  az 1‬‬
‫נשים לב כי השבר מכיל מספר והצמוד שלו ולכן בערך מוחלט היחס בניהם הוא ‪ .1‬לכן בסוף‪. H ap  e j   1 :‬‬
‫‪. H ap  e j  ‬‬
‫המערכת הממשית הרציונאלית הכללית ביותר שהיא מערכת כל היא מהצורה הבאה‪:‬‬
‫‪z 1  d k M C z 1  ek* z 1  ek‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  ek* z 1‬‬
‫‪k 1 1  d k z‬‬
‫‪k 1 1  ek z‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪H ap  z   A‬‬
‫‪z 1  d k‬‬
‫החלק הראשון ‪‬‬
‫‪1  d k z 1‬‬
‫‪ ‬בנוי מקטבים ואפסים ממשיים‪ .‬החלק השני בנוי מזוגות צמודים של קטבים ואפסים מרוכבים‪.‬‬
‫אם המערכת יציבה אז‪. dk , ek  1 :‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫כל מערכת ‪ RCSR‬ניתנת לפירוק למכפלה של מערכת פאזה מינימלית ומערכת מעבירת כל‪. H  z   H min  z  H ap  z  :‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח כי ל‪ H  z  -‬אפס יחיד מחוץ למעגל היחידה‪ 1/ c* ,‬כאשר‪ c  1 :‬ושאר הקטבים והאפסים בתוך מעגל היחידה‪.‬‬
‫ניתן לרשום‪ . H  z   H1  z   z 1  c*  :‬כאשר‪ H1  z  :‬מערכת פאזה מינימלית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫*‪z 1  c‬‬
‫*‪ c‬‬
‫‪1 z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪H‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪cz‬‬
‫‬‫ו‬
‫לרשום‪:‬‬
‫ניתן‬
‫וכעת‬
‫‪H min  z   H1  z  1  cz ‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫נכתוב‪ 1  cz 1 :‬‬
‫‪1  cz 1‬‬
‫עבור כל מספק אפסים וקטבים שיהיו לנו נוכל לבצע את התהליך הזה‪.‬‬
‫תוכנה חשובה של החלוקה הנ"ל היא שהמערכת ‪ H min  z ‬בעלת מינימום פאזה ולכן מינימום השהייה בזמן‪.‬‬
‫לכן החלוקה הנ"ל חשובה להשהיה מינימלית של אות העובר דרך ‪. H  z ‬‬
‫תיכנון מסנן ‪ LPF‬ספרתי‪:‬‬
‫המסנן מאופיין לפי התכונות הבאות‪:‬‬
‫‪ .1‬מאופיין ע"י תדר עבודה‪.  p :‬‬
‫‪ .2‬גליות בתחום‪. 1   p  H  e j   1   p :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מעבר‪. Ap  max 20log10 1   p  , 20log10 1   p  :‬‬
‫‪ .3‬תחום ביניים‪.  p    s :‬‬
‫‪ .4‬תדר קיטעון ‪. s -‬‬
‫‪ .5‬ניחות בתחום הקטעון‪ H  e j    s :‬כאשר‪. As  20log  s :‬‬
‫‪| 30‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪. H ap  z  ‬‬
‫שימוש דוגמא‪:‬‬
‫‪rad‬‬
‫נניח כי אנו דוגמים אות ברוחב סרט של‪:‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪signal‬‬
‫‪. B  2 1000‬‬
‫‪2‬‬
‫מרווח הדגימה הוא‪ T  104 sec  0.1m sec :‬או‪ 2 10000 :‬‬
‫‪Ts‬‬
‫בתחום התדר האות נע עד ל‪. 0.2 -‬‬
‫‪noise‬‬
‫‪. s ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫הספק הרעש ירד פי ‪ 5‬ויחס האות לרעש עלה פי ‪ ,5‬כלומר ‪. 10  log 5  7dB : 7dB‬‬
‫תזכורת‪:‬‬
‫אם דרישות המסנן הן עבור סינון אות אנלוגי ואנו מבצעים זאת ע"י מסנן ספרתי יש להתאים את התדרים לפי קצב הדגימה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ p   pTs  p  2 p‬‬
‫‪fs‬‬
‫‪fs‬‬
‫תיכנון מסנן ‪ HPF‬ספרתי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫תחום הקטעון‪. H  e j    s ; 0    s :‬‬
‫‪‬‬
‫תחום ביניים‪. s     p :‬‬
‫‪‬‬
‫תחום ההעברה‪. 1   p  H  e j   1   p ;  p     :‬‬
‫תיכנון מסנן ‪ BPF‬ספרתי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫תחום הקיטעון הראשון‪. H  e j    s1 ; 0    s1 :‬‬
‫‪‬‬
‫תחום ביניים ראשון‪. s1     p1 :‬‬
‫‪‬‬
‫תחום ההעברה‪. 1   p  H  e j   1   p ;  p1     p 2 :‬‬
‫‪‬‬
‫תחום ביניים שני‪.  p 2    s 2 :‬‬
‫‪‬‬
‫תחום הקיטעון השני‪. H  e j    s 2 ; s 2     :‬‬
‫נגדיר‪. As1  20log  s1  dB ; As 2  20log  s 2  dB :‬‬
‫תכנון מסנני ‪:FIR‬‬
‫כיד לתכנן מסנן ניקח תגובה להלם של מסנן אידיאלי ונקטום אותו‪ .‬פעולת קטימת התגובה להלם נקראת ‪.IRT‬‬
‫בדרך כלל נראה מסנן סיבתי בעל פאזה ליניארית מוכללת‪ ,‬לכן נבחר‪:‬‬
‫ תגובת אמפליטודה‪. A  e j  :‬‬‫ פאזה התחלתית‪.   0,0.5 :‬‬‫ השהיה שלמה או חצי שלמה‪.‬‬‫‪j‬‬
‫ ‪. H d  e   A  e j  e j   0.5 N  ;   ‬‬‫‪| 33‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
h  n ; 0  n  N
IDFT
. h  n   d
:‫ ונקטום‬H d  e j  
 hd  n :‫נמיר‬
; else
0
.)‫ (לבצע את ההתמרה ההפוכה‬h  n  ‫במקרים רבים מאוד קל לחשב את‬
:‫פס‬/‫גבוהים‬/‫ מסנן מעביר נמוכים‬-1 ‫דוגמא‬
  j 12  N
1 ;    

; 1    2 :‫ ואז‬  0 :‫ נבחר‬. A e j  
. H d  e   e
  0 ; 1 else 2 :‫מאפיין את כולם‬


0 ;
else


 1 
 1 
 2  n  0.5 N   1
 1  n  0.5 N  
2
1 1 j  n 2 N 
1 2 j  n  2 N 
hd  n 
e
d


e
d


sinc

sinc



 :‫התגובה להלם‬
2 2
2 1








j
. hd  n 
. hd  n 
   n  0.5 N  
2
sinc  2
 :‫ ונקבל‬1  0 :‫ נציב‬LPF ‫עבור‬




   n  0.5 N  
2

sinc  n  0.5 N   1 sinc  1
 :‫ ונקבל‬2   :‫ נציב‬HPF ‫עבור‬





.)0 ‫ עם ביטוי שלם הוא אפס למעט‬sinc( hd  n 
   n  0.5 N  
2  N  1
  n    sinc  1
 :‫ זוגי כי אז‬N ‫במקרה זה נדרוש‬
 
2 



:‫ מימוש גוזר‬- 2 ‫דוגמא‬
. H  j   j :‫גוזר אנלוגי אידיאלי‬
. H  e j  
. H  e j  

T
j
;       :‫גוזר ספרתי מוגבל סרט‬
T
e j  0.5 0.5 N  :‫ ונקבל‬  0.5 :‫ נבחר‬, 0.5 :‫היות והמסנן יכול לקבל את הפאזות‬
  1n 0.5 N

N even
n

0.5
N
T




j

  e j  n 0.5 N  d   0
. hd  n  
:‫התגובה להלם‬

2 T 

n  0.5 N  0.5
  1
N odd
   n  0.5 N 2 T

.‫ אי"ז כי אז התגובה להלם דועכת מהר יותר‬N ‫ניתן לראות כי עדיף‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
| 32
‫אופטימליות של ‪:IRT‬‬
‫אחד המדדים האפשריים לאיכות מסננים הוא השגיאה הריבועית הממוצעת‪H d  e j   H  e j  d :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נוכיח כי תיכנון ‪ IRT‬הוא אופטימלי עבור קריטריון זה‪.‬‬
‫משוויון פרסבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ hd2 n   hd n  h n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n  N 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪hd  n  h  n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 2 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫האיבר הראשון והשלישי אינם תלויים ב‪ h  n  -‬ואילו האיבר האמצעי מקבל את ערכו המינימלי (כלומר ‪ )0‬בתיכנון לפי ‪.IRT‬‬
‫לכן ‪ IRT‬מביא לשגיאה ריבועית מינימלית‪.‬‬
‫בשגיאה ריבועית ממוצעת יש ‪ 2‬חסרונות‪:‬‬
‫‪ .1‬לא ניתן לקבוע עבור איזה תחום תדרים השגיאה גדולה יותר או קטנה‪( .‬אין התייחסות לתחומי תדרים שונים)‪.‬‬
‫‪ .2‬לא ניתן לקבוע נקודתית מהי השגיאה ביחס לתדר של הרעש‪( .‬יודעים רק את הממוצע באופן כללי)‪.‬‬
‫תכנון מסנן ‪ FIR‬בעזרת חלונות‪:‬‬
‫עיקרון התכנון הוא‪:‬‬
‫‪s   p‬‬
‫‪ c ‬כתדר קיטעון של המסנן האידיאלי‪.‬‬
‫‪ .1‬קבעו את התדר‬
‫‪2‬‬
‫‪ .2‬חשבו את התגובה להלם האידיאלית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ w  n hd  n  ; 0  n  N‬‬
‫‪. h  n  ‬‬
‫‪ .3‬הגדירו‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫;‬
‫‪else‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ראינו את נתוני החלונות הבאים‪:‬‬
‫בהכפלה עם מסנן נקבל את עמודת הניחות )‪ (Max. As.‬אשר מראה כי דווקא החלון המלבני נותן את הניחות הקטן ביותר‪.‬‬
‫נציין כי הניחות תלוי באונות הצד ומודדים אותו לאחר שהאונה הראשית יוצאת מתחום המסנן‪.‬‬
‫העמודה ‪ D‬מתארת את יכולת הירידה (החדות) של החלון בקונבולוציה עם מסנן‪.‬‬
‫לפי שני הפרמטרים הללו נוכל לקבוע את אורך המסנן הרצוי ואת סוג החלון‪.‬‬
‫‪| 32‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נרצה לתכנן מסנן ‪ LPF‬המקיים‪.  p   s  0.01 ,  p  0.2 , s  0.3 :‬‬
‫נסתכל על ההגבר המחמיר יותר‪. As  10log  s   40dB :‬‬
‫לא נוכל להתפשר על פחות מחלון ‪ Hann‬המספק את ניחות זה לפי הטבלה לעיל‪ .‬לכן נבחר בו‪.‬‬
‫‪2 D‬‬
‫‪.  ‬‬
‫רוחב תחום הביניים‪ .   0.1 :‬מהנוסחה שבטבלה מקבלים‪:‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2 D 2  3.1‬‬
‫‪( . N ‬בד"כ לא נקבל מספר שלם ולכן נעגל מעלה)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נחפש את ‪( N‬נציב‪ D  3.1 :‬של ‪ 62 :)Hann‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.1‬‬
‫התוצאה המתקבלת מחישוב זה היא‪:‬‬
‫תיאור‬
‫תגובת‬
‫התדר של‬
‫המסנן לפי‬
‫המפרט‬
‫לעיל‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫]‪|H(ej | [dB‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.9‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪/‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪-35‬‬
‫‪-45‬‬
‫]‪|H(ej | [dB‬‬
‫‪-40‬‬
‫‪1.02‬‬
‫| ‪|H(ej‬‬
‫תדר המעבר צריך‬
‫להיות מונחת ב‪-‬‬
‫‪ 40dB‬כפי שראינו‬
‫בחישוב למעלה‪.‬‬
‫מסנן ‪ Hann‬מוריד‬
‫ל‪ -44-‬וזה בערך מה‬
‫שהתקבל‪.‬‬
‫ניתן לראות כי העלייה‬
‫בקצה היא כמעט עד ל‪-‬‬
‫‪ 0.01‬כפי שנדרש‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.98‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪/‬‬
‫‪0.35‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪A e j‬‬
‫לפי חישוב ממוצעים‬
‫של התדרים מקבלים‬
‫את ה‪ BPF-‬הבא‪:‬‬
‫דוגמא – תיכנון ‪:BPF‬‬
‫מפרט‪:‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪/‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪s1  0.1 ,  p1  0.25‬‬
‫‪‬‬
‫‪s 2  0.6 , s 2  0.8‬‬
‫‪ s1   p  0.005 ,  s 2  0.0025‬‬
‫הניחות המחמיר‪ - As 2  20log  s 2   52dB :‬לכן נבחר את ‪.hamming‬‬
‫‪2  3.3‬‬
‫ניקח את הפרש התדרים הקטן יותר (המחמיר) שהוא‪   0.15 :‬ונקבל‪ 44 :‬‬
‫‪0.15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.N ‬‬
‫בעמוד הבא ניתן לראות את המימוש במטלב ואת קיום הדרישות‪.‬‬
‫‪| 32‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.175‬‬
‫‪0‬‬
‫]‪|H(ej | [dB‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪-100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.9‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.7‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0.1‬‬
‫‪/‬‬
‫‪-50‬‬
‫‪1.01‬‬
‫‪-52‬‬
‫]‪|H(ej | [dB‬‬
‫‪-56‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.995‬‬
‫‪-58‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.85‬‬
‫‪-60‬‬
‫‪0.75‬‬
‫| ‪|H(ej‬‬
‫‪-54‬‬
‫‪1.005‬‬
‫‪0.99‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪0.985‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪/‬‬
‫‪/‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .9‬תאריך‪21.5.12 :‬‬
‫חלונות שקולים לביצוע אותה הנחתה – חלון קייזר‪:‬‬
‫כאשר ניגשים לטבלה ומחפשים את החלון עם ההנחתה הרצויה נשאלת שאלה האם ניתן למצוא חלון זול יותר אשר משיג את ההנחה‬
‫הרצויה‪ .‬התשובה לכך היא משפחת חלונות קייזר שכבר ראינו‪.‬‬
‫התבנית‪0  n  N  1 :‬‬
‫‪else‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ I 0   1   2n  1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ N  1  ‬‬
‫‪w  n   ‬‬
‫‪I0   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ xk ‬‬
‫כאשר‪ I 0  x  :‬היא פונקצית ‪ Modified Bessel function‬מסדר ‪ 0‬הניתנת לכתיבה לפי‪. I 0  x     k  :‬‬
‫‪k   2 k ! ‬‬
‫יש לנו שני פרמטרים שצריכים לחשב‪. N ,  :‬‬
‫‪‬‬
‫פירוט מספר פונקציות בסל מתוך‬
‫האתר‪.Wolfarmalpha :‬‬
‫נפתח בחישוב ‪ ‬כמתואר בעמוד הבא ולאחר מכן נחשב את ‪: N‬‬
‫‪| 32‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫שלבי חישוב‪:‬‬
‫‪ .1‬קבע ‪   min  p ,  s ‬וחשב‪. A  20log   dB :‬‬
‫‪A  21dB‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪ .2‬קבע את ערכו של הפרמטר ‪ ‬לפי‪.   0.5842  A  21  0.07886  A  21 21  A  50dB :‬‬
‫‪‬‬
‫‪A  50dB‬‬
‫‪0.1102  A  8.7 ‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ .3‬קבע את ‪ N‬מתוך‪ 1 :‬‬
‫‪F‬‬
‫‪A  21dB‬‬
‫‪ N ‬כאשר‪:‬‬
‫‪A  21dB‬‬
‫‪0.9222‬‬
‫‪‬‬
‫‪. D   A  7.95‬‬
‫‪ 14.36‬‬
‫לפני שתי הרצאות ראינו את הדוגמא הבאה עבור הנחתה של ‪. 40dB‬‬
‫(בתחילה השתמשנו בחלון ‪ Hann‬וראינו כי הוא נותן יותר מ‪ - 40dB -‬דבר המרמז כי הוא לא הכי אופטימלי)‪.‬‬
‫לאחר מכן ראינו דוגמא לתכנון ‪ BPF‬עם שני פסי קיטעון שונים‪ .‬השתמשנו בחלון ‪ Hamming‬והחלון הנחית‪ ,‬שוב‪ ,‬יותר מהרצוי‪.‬‬
‫פעם נוספת תכנון שאינו אופטימלי – גם כאן השימוש בחלון קייזר מקטין במעט את אורך המסנן ובכך נותן חלון אופטימלי יותר‪.‬‬
‫סיכום ‪ -‬תכנון חלון בעזרת חלונות‪:‬‬
‫יתרונות‪:‬‬
‫ תכנון פשוט‪.‬‬‫‪ -‬ניתן ליצור כל תגובת תדר‪.‬‬
‫חסרונות‪:‬‬
‫ תמיד מתקבל ‪  p   s  min  p ,  s ‬וב‪ 1  2 :BPF-‬גם אם לא נדרש‪.‬‬‫‪ -‬הגליות אינה קבועה‪.‬‬
‫כדי לתכנן מסנן בצורה יותר טובה מחלונות יש לעבור לשיטות נומריות – אין לנו נוסחה ישירה לכל מקרה אלא יש לנו אלגוריתמים‪.‬‬
‫שיטות נומריות לתכנון מסנני ‪:FIR‬‬
‫נניח כי קיים סט ‪ S‬שהוא איחוד סופי של קטעים סגורים עליהם מוגדרת ורציפה התגובה הרצויה‪. Ad  e j  :‬‬
‫הסט ‪ S‬מאפיין את הקטעים שבהם נרצה לאפיין את המסנן‪ ,‬לכן תחומי הביניים לא יחשבו‪.‬‬
‫הסט הנ"ל הוא רציף מכיוון שבכל תת‪-‬סט יש לנו רציפות‪.‬‬
‫(לא מגדירים רציפות בין שתי נקודות של שני תתי‪-‬סט שונים אלא רק בתוך כל תת‪-‬סט מסוים) ‪.‬‬
‫תתי סטים ב‪S-‬‬
‫שגיאת התכנון תוגדר לפי‪. D  e j   V  e j  Ad  e j   A  e j  ;   S :‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪ - V  e j ‬פונקצית משקל‪.‬‬
‫‪ - Ad  e j ‬תגובת התדר הרצויה‪.‬‬
‫‪ - A  e j ‬תגובת התדר בפועל‪.‬‬
‫‪| 32‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫קריטריון התיכנון יהיה להביא למינימום את מקסימום השגיאה‪ ,‬כלומר להביא למינימום את ‪.   max D  e j ‬‬
‫כדי לבצע קריטריון זה יש לבחור את ‪ N‬ואז לבדוק מה הוא ה‪  -‬וכך עד שמגיעים לשגיאה הרצויה‪.‬‬
‫‪S‬‬
‫נגביל את הדיון למקרה שבו יש לנו סדר זוגי‪ ,‬כלומר ‪( N  2M‬אורך המסנן אי זוגי) ו‪(   0 -‬פאזה ליניארית מוכללת)‪.‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪2M‬‬
‫‪ M 1‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל‪H  e j    h  n e jn  e j M  h  n  e  j  M n   e jM   h  n  e  j  M n    h n  e  j  M n   :‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪n  M 1‬‬
‫‪ n 0‬‬
‫‪‬‬
‫מכיוון‪ . h  N  n  h  n :‬כעת‪:‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪h n  2cos   n  M  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪ M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪e jM   h  n e j  n M   h  m   h  n ' e  j  n ' M    e  jM‬‬
‫‪n 2 M  n‬‬
‫‪n ' 0‬‬
‫‪ n 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H  e j ‬‬
‫‪M 1‬‬
‫נתעניין בערך המוחלט‪. H  e j   h  m   h  n  2cos   n  M   :‬‬
‫‪n 0‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫בפתרון האופטימלי יש לפחות ‪ M  2‬תדרים בהם השגיאה מקסימלית‪ ,‬כלומר‪. D i    , i  1, 2,...., M  2 :‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬בכל אחת מהנקודות הללו סימן השגיאה הפוך‪ ,‬כלומר אם‪ 1  2  .....  M 2 :‬אז‪:‬‬
‫‪   A  e   A  e   V  e   A  e   A  e ‬‬
‫‪ji1‬‬
‫‪ji1‬‬
‫‪ji1‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪d‬‬
‫‪d‬‬
‫‪V e ji‬‬
‫לא למבחן‪:‬‬
‫יש לנו אלגוריתם איטרטיבי הנקרא אלגוריתמם רמז )‪ (Remez‬יעיל מאוד לביצוע החישוב באמצעות משפט זה‪:‬‬
‫‪ .1‬ניקח את ‪. Ad  e ji ‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬נוריד ממנו ונכפיל‪. V e ji  Ad e ji  h  m   h  n  2cos i  n  M    :‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪M 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ .3‬נשווה לשגיאה המירבית‪. V e ji  Ad e ji  h  m   h  n  2cos i  n  M      1 E :‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫שהם‬
‫נעלמים‬
‫עם‬
‫בהיסטוריה‪)...‬‬
‫מתישהו‬
‫זה‬
‫את‬
‫הוכיח‬
‫כבר‬
‫(מישהו‬
‫יש לנו ‪ M  2‬משוואות הפיכות‬
‫‪M 1‬‬
‫‪M 2‬‬
‫הערכים של המסנן והשגיאה עצמה ‪ E‬אשר אינה בהכרחה שווה ל‪ .  -‬ניתן לפתור אותם‪.‬‬
‫היות ובחירת התדרים היא שרירותית לא מחוייב ש‪ . E   -‬אם‪ E   :‬אז זהו הפתרון האופטימלי‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫סיכום האלגוריתם‪:‬‬
‫‪ .1‬בחירת התדרים ‪ 1.....M  2‬בצורה "שרירותית"‪.‬‬
‫‪ .2‬פתירת מערכת המשוואות ומציאת מקדמי המסנן‪.‬‬
‫‪ .3‬בחירה מחדש של התדרים ‪ 1  2  .....  M 2‬עפ"י נקודות הקיצון של השגיאה‪.‬‬
‫‪| 23‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מימוש של מסנני ‪:FIR‬‬
‫]‪y[n‬‬
‫‪M‬‬
‫‪M‬‬
‫‪m0‬‬
‫‪m0‬‬
‫כדי לממש יש לבצע‪. y  n   h  m x  n  m   bm x  n  m :‬‬
‫באיור הסמוך מתואר המימוש‪.‬‬
‫במערכות ספרתיות הדבר נעשה בצורה טורית או מקבילית‪.‬‬
‫(הסימון של מספר מעל קו – משמעו כפל)‪.‬‬
‫סיכום – מסנני ‪:FIR‬‬
‫יתרונות‬
‫ניתן לתכננם עם פאזה ליניארית‪.‬‬
‫ניתן ליצור כל תגובת תדר‪.‬‬
‫תכנון פשוט‪.‬‬
‫אין בעיות יציבות‪.‬‬
‫חסרונות‬
‫סדר גבוה‪.‬‬
‫השהייה גדולה‪.‬‬
‫תכנון מסנני ‪:IIR‬‬
‫איננו יודעים לתכנן מסנני ‪ IIR‬ספרתיים ולכן נתכנן מסנני ‪ IIR‬אנלוגים (בזמן רציף) ונמיר אותם לספרתיים (בזמן בדיד)‪.‬‬
‫מסננים אנלוגים‪:‬‬
‫נגביל את עצמנו תחילה למסננים מעבירי נמוכים )‪ .(LPF‬סימון‪:‬‬
‫‪ t   b0 xq t   b1xq1 t   .....  bq x0 t   a1 y p1 t   a2 y p2 t   ....  a p y 0 t ‬‬
‫יש לנו כאן משוואה דיפרנציאלית אשר נותנת את הנגזרת מסדר ‪ p‬של ‪ . y  t ‬נעבור למישור לפלס‪:‬‬
‫‪Y  j  b0  j   b1  j   ....  bq‬‬
‫‪H  j  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪X  j   j  p  a1  j  p 1  ....  a p‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪q‬‬
‫נגדיר כמו במסננים ספרתיים‪:‬‬
‫ הגברים‪. As  20  log  s , Ap  20  log 1   p   8.7 p :‬‬‫ רוחב הסרט‪ :‬הנקודה בה המסנן מנחית ב‪( 3dB-‬כלומר האמפליטודה שלו היא ‪.) 1/ 2  0.707‬‬‫‪ -‬ניחות אסימפטוטי של המסנן‪ :‬עבור תדרים גבוהים נקבל‪:‬‬
‫בדציבלים נקבל‪  20  log b  20  q  p   log  :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪q p‬‬
‫‪q p‬‬
‫‪. H  j   b0  j ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. 20  log  H  j    20  log b0  j ‬‬
‫כלומר ‪ 20  q  p   log ‬לדקדה‪.‬‬
‫‪| 23‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪p‬‬
‫‪. y‬‬
‫תגובת התדר ‪ H  j ‬אינה מגדירה בצורה יחידה את המסנן ולכן נבחן את ‪ H  s  H  s ‬כאשר כל קוטב ‪ s0‬של ‪H  s ‬‬
‫יופיע במכפלה ‪ H  s  H  s ‬ועימו יופיע גם ‪.  s0‬‬
‫מסנן ‪:Butterworth‬‬
‫מסנן מהצורה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. H  j  ‬‬
‫‪2‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬מסנן עם קטבים בלבד‪.‬‬
‫‪ .2‬תגובת תדר מונוטונית יורדת בתדר‪.‬‬
‫‪ .3‬מקסימום‪. H  j 0   1 :‬‬
‫‪ .4‬רוחב הסרט ‪ 3dB‬מתקבל ב‪   0 -‬כי אז‪. H  j   0.5 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .5‬ניחות אסימפטוטי של ‪ 20NdB‬לדקדה‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dk‬‬
‫‪H  j ‬‬
‫‪ 0 .6‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪d‬‬
‫עבור‪. 1  k  2 N 1 :‬‬
‫נסתכל על‪ H  s  H  s  :‬ונקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1   1‬‬
‫‪2N‬‬
‫כדי למצוא את הקטבים עלינו לפתור‪ 1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪. H  s  H  s  ‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪j0‬‬
‫‪s‬‬
‫‪ ,‬ז"א למצוא את כל השורשים שעל מעגל היחידה‪.‬‬
‫‪j0‬‬
‫‪  N  1  2k   ‬‬
‫‪. sk  0 exp  j‬‬
‫נקבל‪ :‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בצד מופיעה דוגמא עם ‪ 8‬קטבים‪ ,‬היות ומדובר במערכת יציבה נוכל להתאים את כל הקטבים‬
‫שנמצאים בצד שמאל ל‪ H  s  -‬ואת אלו שבצד ימין ל‪. H   s  -‬‬
‫הסיבה שמתאימים כך היא לפי מה שאמרנו לעיל לגבי בני‪-‬הזוג של הקטבים‪.‬‬
‫הדוגמא הבאה מתארת מערכת ממשית מסדר ‪.5‬‬
‫לכל קוטב יש בן‪-‬זוג צמוד ולכן מסתכלים מעל ומתחת לציר הממשי ומתאימים אותם‪.‬‬
‫בנוסף מכיוון שהסדר הוא אי"ז אז וודאי שקוטב אחד יהיה ממשי (שניים שמתלכדים לאחד)‪.‬‬
‫לכן ל‪ 5 H  s  -‬קטבים שנמצאים משמאל לציר האנכי והם מורכבים משני זוגות צמודים ואחד‬
‫ממשי ול‪ H   s  -‬חמשת הקטבים שנמצאים מימן לציר האנכי בהתאמה‪.‬‬
‫‪| 25‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪ sk‬‬
‫לפי הדוגמאות לעיל נוכל לכתוב את פונקצית התמסורת בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪s  sk‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪. H s  ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫כעת‪ ,‬לאחר שראינו את אופי המסנן נרצה לדעת כיצד להשתמש בו‪.‬‬
‫עלינו לקבוע את‪ . 0 , N :‬נדון בקשר שלהם לפרמטרי המסנן‪.‬‬
‫נתונים לנו‪  p ,  s ,  p , s :‬ועלינו לקבוע ‪ 0 , N‬שיעמדו בפרמטרים האלה‪.‬‬
‫נדרוש‪ H  j   1   p ;    p :‬כי המסנן מונוטוני יורד מ‪ 1-‬ולכן מספיק להסתכל בתדר הקיטעון הרצוי‪.‬‬
‫כמו כן‪ H  j    s ;   s :‬מאותן הסיבות‪.‬‬
‫נציב את התנאים ונקבל‪:‬‬
‫‪ 1   p   1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪p‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1   p  ‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2N‬‬
‫; ‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫נחלק אי‪-‬שוויון שמאלי בימיני‪:‬‬
‫‪ s2  1‬‬
‫‪1   p   1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 s‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . s‬הפעולה נכונה כי המנה בצורה זו יותר גדולה ולכן הסימן נשמר‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫נגדיר שני משתני עזר‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ - d ‬קבוע ההבדלה )‪.(Discrimination‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ - k ‬ברירות המסנן )‪.)Selectivity‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪s‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log  ‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪  1    1  :‬ולכן‪ 2 N log  1   2log  1  :‬או‪ d  :‬‬
‫‪ . N ‬נרצה ‪ N‬כמה שיותר קטן ולכן ניקח את‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪d ‬‬
‫‪log  ‬‬
‫‪k‬‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪ log  d  ‬‬
‫הערך השלם העליון הראשון‪ . N      :‬כדי למצוא את ‪  0‬נציב את ‪ N‬שמצאנו בשני אי‪-‬השוויונים הראשונים‪.‬‬
‫‪ log  1  ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2N‬‬
‫‪‬‬
‫נקבל את הפתרון‪ 0   s  s2  1 2 N :‬‬
‫‪ N ‬התחום היה מתלכד והיינו מקבלים ‪.  0‬‬
‫‪ .  p 1   p   1‬אם‬
‫‪1‬‬
‫‪log  ‬‬
‫‪k‬‬
‫מכיוון שמספר זה אינו שלם יש לנו תחום עבור בחירה של ‪  0‬אשר מקיימת את תנאי המסנן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 20‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫‪‬‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪rad‬‬
‫‪; s  1‬‬
‫נתכנן מסנן ‪ ButterWorth‬מעביר נמוכים עם‪;  s   p  0.001 :‬‬
‫‪sec‬‬
‫‪sec‬‬
‫שלב ראשון – נמצא את ‪ d , k‬ונקבל‪ d  4.48 105 :‬ו‪ k  0.5 -‬ולכן‪ N  14.45 :‬נבחר‪. N  15 :‬‬
‫תדר הקיטעון הוא‪. 1.2301  0  1.2619 :‬‬
‫‪. p 1‬‬
‫נקבל את תגובת התדר שממול‪:‬‬
‫הניחות שלנו הוא ‪ 60dB‬בתדר הקיטעון‪.‬‬
‫נשים לב כי אם ניקח ‪ 0  1.2619‬הגרף יעלה (הניחות יקטן) בתדר הקיטעון‪.‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .10‬תאריך‪4.6.12 :‬‬
‫מסנן ‪:Chebyshev‬‬
‫‪cos  N cos 1  x   ; x  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. TN  x   ‬‬
‫כעת נשתמש בפולינומי צ'בישב‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪cosh  N cosh  x   ; x  1‬‬
‫נוכיח כי אכן מדובר בפולינומים‪:‬‬
‫עבור‪ N  0 :‬נקבל‪. TN  x   1 :‬‬
‫עבור‪ N  1 :‬נקבל‪. TN  x   x :‬‬
‫נוכיח כי‪ TN  x   2 xTN 1  x   TN 2  x  :‬המאשר כי מדובר בפולינום‬
‫מסדר ‪ N‬של ‪ . x‬נניח כי‪ x  1 :‬ונשתמש בזהויות הבאות‪:‬‬
‫‪cos  N   cos   N  1   cos   sin   N  1   sin ‬‬
‫‪cos   N  2     cos   N  1   cos   sin   N  1   sin ‬‬
‫מספר פולינומי צ'בישב מתוך ויקיפדיה‬
‫נסכום ונקבל‪:‬‬
‫‪cos  N   cos   N  2     2cos   N 1   cos ‬‬
‫נבחר‪   cos1  x  :‬ונשים לב כי מקבלים‪. cos  N cos1  x    cos   N  2  cos1  x    2 x cos   N  1 cos 1  x   :‬‬
‫למעשה קיבלנו את הזהות‪. TN  x   2 xTN 1  x   TN 2  x  :‬‬
‫כנ"ל לגבי התחום‪ x  1 :‬כאשר הזהויות עבור ‪ cos‬ו‪ cosh-‬זהות ולכן מקבלים את אותו הדבר‪.‬‬
‫‪| 23‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תכונות של פולינומי צ'בישב‪:‬‬
‫‪ .1‬עבור‪ x  1 :‬הפולינום ‪ TN  x   1‬והוא מתנדנד בין ‪ -1‬ל‪ N 1-‬פעמים‪.‬‬
‫‪ .2‬עבור‪ x  1 :‬הפולינום ‪ TN  x   1‬ועולה מונוטונית עם ‪. x‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ N‬זוגי אז ‪ TN  x ‬פונקציה זוגית (מכילה רק חזקות זוגיות של ‪) x‬‬
‫‪ .4‬אם ‪ N‬אי"ז אז ‪ TN  x ‬פונקציה אי"ז (מכילה רק חזקות אי"ז של ‪) x‬‬
‫‪ .5‬עבור ‪ N‬זוגי נקבל‪. TN  0  1,1 :‬‬
‫‪ .6‬עבור ‪ N‬אי"ז נקבל‪. TN  0   0 :‬‬
‫‪ .7‬תמיד מתקיים‪. TN 1  1 :‬‬
‫‪ .8‬תמיד מתקיים‪. TN  1  1 :‬‬
‫בשקף ‪ 7‬ניתן לראות מספר פולינומים ואת התכונות האמורות (מופיע גם בעמוד הקודם)‪:‬‬
‫‪T2  x ‬‬
‫הפולינומים‪:‬‬
‫‪T0  x   1‬‬
‫‪T0  x ‬‬
‫‪T1  x ‬‬
‫‪T1  x   x‬‬
‫‪T2  x   2 x 2  1‬‬
‫‪T3  x   4 x 3  3x‬‬
‫‪T4  x   8 x 4  8 x 2  1‬‬
‫‪T4  x ‬‬
‫‪T3  x ‬‬
‫ננצל את תכונת הגליות ונשתמש בה כדי להפיק מסנן טוב יותר ממסנן ‪.Butterworth‬‬
‫מסנן צ'בישב מסוג ‪:I‬‬
‫נשתמש במיפוי הבא‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ /  ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪. H  j  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1  T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ H  j   1,‬מאחר ו‪. TN2   /  p   1 -‬‬
‫עבור‪   /  p   1 :‬נקבל כי המסנן הולך בין הקצוות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1   ‬‬
‫עבור‪   /  p   1 :‬הפולינומים מונוטוניים והריבוע מחייב כי הם מונוטוניים עולים ולכן ‪ H  j ‬מונוטוני יורד‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫להלן תיאור מיפוי הפולינומים לפי פונקצית התמסורת‪:‬‬
‫‪Type 1 Chebyshev Filter‬‬
‫‪N=2‬‬
‫‪N=3‬‬
‫‪N=8‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪0.4‬‬
‫‪Magnitude‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ניתן לראות כי ככל שהסדר גדול יותר כך הירידה חדה יותר‪ .‬את הסטייה אנו קובעים ומכאן יעילות המסנן‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫נסכם ונאמר כי עבור‪ 0     p :‬נקבל‪ H  j   1 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪odd N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪. H  j0   1‬‬
‫נשים לב גם‪:‬‬
‫‪even‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1   2‬‬
‫כפי שכתבנו לעיל‪.‬‬
‫הקטבים של פונקצית התמסורת נמצאים על אליפסה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪  2k  1 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2k  1 ‬‬
‫‪sk   p sinh  sinh 1 1/    sin ‬‬
‫‪   j p cosh  sinh 1 1/    cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪  2N ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2N ‬‬
‫אנו ניקח את הקטבים‪ 0  k  N  1 :‬כמתואר באיור הבא‪:‬‬
‫‪ sk‬‬
‫נכתוב את פונקצית התמסורת לפי הקטבים‪:‬‬
‫‪s  sk‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪. H  s   H0  ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪odd N‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪. H0  ‬‬
‫מקדם הנירמול הוא כדי שנקבל הגבר של ‪ 1‬בתדר ‪ DC‬ולכן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪even‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫הניחות האסימפטוטי הוא‪ 20NdB :‬לדקדה‪.‬‬
‫היתרון הוא בגליות – הירידה תהיה חדה יותר בקצה פס המעבר מאשר במסנן ‪.Butterworth‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫תכנון מסנן צ'בישב מסוג ‪:I‬‬
‫נתונים‪ .  s ;  p ; s ;  p :‬נשתמש ב‪  p -‬בהגדרת המסנן ונבחר את ‪ ‬לפי ‪  p‬בצורה הבאה‪:‬‬
‫‪;   p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1   ‬‬
‫‪p‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H  j   1   p ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1   p    ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 ‬‬
‫בחרנו את השגיאה הקטנה ביותר כדי לקבל מימוש הכי טוב‪.‬‬
‫‪  s2 ;    p‬‬
‫הדרישה בתחום הקיטעון היא‪:‬‬
‫‪ /  ‬‬
‫‪p‬‬
‫לכל‪ .   s :‬נציב ונקבל‪:‬‬
‫לפי הסימונים ממקודם נקבל‪:‬‬
‫‪  s2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  1   p   1 T‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  1   p   1 TN2   s /  p ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H  j  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H  j  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪cosh 1 1/ d ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ 1  1‬‬
‫‪TN   ‬‬
‫‪ cosh  N cosh 1    ‬‬
‫‪ N‬‬
‫‪cosh 1 1/ k ‬‬
‫‪k d‬‬
‫‪ k  d‬‬
‫‪‬‬
‫מסנן צ'בישב מסוג ‪:II‬‬
‫השתמשנו בתכונת הגליות של הפולינומים בתחום המעבר‪ .‬כעת נראה כיצד ניתן להשתמש בהם בתחום הקיטעון‪.‬‬
‫עלינו לבצע טרנספורמציה של קטע הגליות ‪  1,1‬לתחום הקיטעון‪ .  p , s  :‬נקבל‪:‬‬
‫‪ 2TN2  s /  ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   2TN2  s /   1   2TN2   s /  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H  j ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. 0  H  j  ‬‬
‫* נקבל עבור‪   s :‬את התחום‪:‬‬
‫‪1  2‬‬
‫‪ 2TN2  s /  ‬‬
‫* בתדר ‪ DC‬נקבל‪ 1 :‬‬
‫‪. H  j 0   lim‬‬
‫‪0 1   2T 2   /  ‬‬
‫‪N‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫* עבור‪ 0    s :‬התגובה היא מונוטונית יורדת‪.‬‬
‫‪; odd N‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2TN2  0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. lim H  j  ‬‬
‫* עבור‪    :‬נקבל‪:‬‬
‫‪  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1   TN  0  ‬‬
‫;‬
‫‪even‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1   2‬‬
‫* הניחות האסימפטוטי הוא ‪ 0dB‬לדקדה אם ‪ N‬זוגי ו‪ 20dB -‬אם ‪ N‬אי"ז‪.‬‬
‫זאת מכיוון שמתקבל פולינום במכנה ובמונה מאותו הסדר ‪. N‬‬
‫לכן אם ‪ N‬אי"ז יש לנו קוטב אחד יותר אשר אינו מתקזז עם אפס ולכן יגרור ירידה קבועה של ‪. 20dB‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2s‬‬
‫מיקום הקטבים‪:‬‬
‫‪sk‬‬
‫‪ vk ‬כאשר‪ sk :‬הקטבים של מסנן צ'בישב מסוג ‪.I‬‬
‫‪j s‬‬
‫למסנן זה יש גם אפסים‪; 0  k  N  1 :‬‬
‫‪ 2k  1 ‬‬
‫‪cos ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2N‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫‪. uk ‬‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪N 1‬‬
‫יש לנו בעיה והיא כאשר המכנה של האפס מתאפס אשר קורה אם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫המשמעות היא אפס באינסוף‪ ,‬כלומר יש רק ‪ N  1‬אפסים‪.‬‬
‫‪ . k ‬זה יקרה אם ‪ N‬אי"ז‪.‬‬
‫‪vk  s  uk ‬‬
‫פונקצית התמסורת היא‪:‬‬
‫‪k  0 uk  s  vk ‬‬
‫‪s  uk‬‬
‫ב‪.-1-‬‬
‫אם‪ uk   :‬אזי מחליפים‬
‫‪uk‬‬
‫‪N 1‬‬
‫‪ . H  s   ‬אין צורך בנירמול נוסף כי מקבלים‪. H  j 0   1 :‬‬
‫תכנון מסנן צ'בישב מסוג ‪:II‬‬
‫מהדרישות בפס קיטעון‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ s2  1‬‬
‫‪ s   ‬‬
‫‪cosh 1 1/ d ‬‬
‫מהדרישות בפס ההעברה‪:‬‬
‫‪cosh 1 1/ k ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. N‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .11‬תאריך‪6.6.12 :‬‬
‫מסנן אליפטי‪:‬‬
‫מסנן מהצורה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ H  j  ‬כאשר‪ RN2  ,  / 0  :‬פולינום מסדר ‪. N‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1   R  ,  / 0 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪N‬‬
‫‪2‬‬
‫הפונקציה ‪ RN2  , x ‬היא פונקציה רציונאלית אליפטית‪.‬‬
‫תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬מוגדרת ע"י אינטגרלים אליפטיים מסוג ‪.I‬‬
‫‪ RN2  , x   1 .2‬עבור ‪. 1  x  1‬‬
‫‪ .3‬הגבולות‪. RN2  , 1  1 :‬‬
‫‪ RN2  , x   1 .4‬עבור‪. x  1 :‬‬
‫‪RN2  ,  ‬‬
‫‪R  ,  ‬‬
‫‪ . RN  ,  / x   N‬מכך נובע (ומכלל ‪ RN2  ,   :)2‬‬
‫‪ .5‬זהות‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪RN  ,  / x ‬‬
‫‪RN  , x ‬‬
‫‪ RN2  , x  ‬עבור‪. x   :‬‬
‫פרמטרי המסנן‪ . N , 0 ,  ,  :‬המימושים מבוצעים במטלב ע"י הפונקציה לתכנון מסנן אליפטי‪.ellip[ ] :‬‬
‫נציין כי התפקיד של מתכנן המסנן הוא האם לאפשר גליות או לא ועד כמה בכל תחום (פס המעבר ופס הקטעון)‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫המרת מסננים‪:‬‬
‫נרצה להמיר מסנן ‪ LPF‬ל‪ .HPF-‬תחילה עלינו לשאול את עצמנו מה אנו דורשים מההמרה עצמה‪.‬‬
‫המרת המסנן צריכה לקיים ‪ 3‬תכונות‪:‬‬
‫‪ .1‬היפוך של ציר התדר‪.‬‬
‫‪ .2‬שימור של יציבות‪.‬‬
‫‪ .3‬שימור רציונאליות‪.‬‬
‫הצעה ראשונה‪:‬‬
‫נציב בפונקצית התמסורת‪:‬‬
‫‪/s‬‬
‫‪ . H  s  s ‬נבחן את קיום התכונות‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ .3‬שימור רציונאליות – טריוויאלי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬היפוך ציר התדר‪ :‬אם‪ s  j :‬ו‪ s  j -‬אז‪ j  C :‬או‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫תדרים גבוהים חיוביים הופכים לתדרים נמוכים שליליים ותדרים נמוכים שליליים הופכים לתדרים גבוהים חיוביים‪.‬‬
‫היות וב‪ RCSR-‬יש לנו ממשיות אז אין לנו משמעות לתדרים שליליים‪ .‬שינוי הסימן אינו משמעותי כי המסנן ממשי‬
‫ותגובת התדר סימטרית ולכן קיבלנו היפוך של ציר התדר‪.‬‬
‫‪.  ‬‬
‫‪ .2‬הקטבים צריכים להיות בצד שמאל של המישור‪ .‬אנו מניחים שקיבלנו ‪ LPF‬יציב ולכן בעל קטבים בחצי מישור שמאלי‪.‬‬
‫עלינו להראות כי לכל נקודה ‪ , s    j‬הנקודה‪ s    j :‬מקיימת ש‪ H  s  -‬נמצא עדיין בחצי מישור שמאלי‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫מתקיים‪ 2 C 2  j 2 C 2 :‬‬
‫‪  j   ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ .   j ‬לכן אם‪   0 :‬נקבל בהכרח‪   0 :‬והיציבות נשמרת‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ . H  s  ‬הוא מסנן מעביר נמוכים מסדר ‪ .I‬נמיר אותו למעביר גבוהים‪:‬‬
‫ניקח את המסנן‪:‬‬
‫‪s‬‬
‫‪s3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ - H s  j ‬מעביר גבוהים‪.‬‬
‫‪ . H  s  ‬נקבל‪:‬‬
‫נציב‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4  9‬‬
‫‪2 / s  3 2  3s‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כדי להבין את הבחירה של ‪ C‬נזכור כי במסנן ‪  p ,LPF‬מועתק‪  p  C :‬וכנ"ל‪.  s  C :‬‬
‫‪s‬‬
‫‪p‬‬
‫‪.s ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נבחר את ‪ C‬לפי אחד מהתנאים‪.‬‬
‫פירוט השלבים של ההמרה‪:‬‬
‫‪| 22‬‬
‫‪1. Choose c as arbitrary constant e.g., c =1‬‬
‫‪2. Given HP specifications  p ,  s ,  p ,  s define‬‬
‫‪ p  c /  p ,  s  c /  s ,  p   p ,  s   s‬‬
‫‪3. Design a low-pass filter H(s) meeting the specifications‬‬
‫‪ p , s ,  p ,  s‬‬
‫‪4. Obtain the high-pass by transforming back to H(s).‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
:HPF-‫ ל‬LPF ‫דוגמא להמרה של מסנן‬
.‫ היא הנקודה שנשארה אותו הדבר‬1 ‫ כי‬C  1 :‫ניתן לראות כי‬
:BPF-‫ ל‬LPF ‫המרת מסנן‬
.s 
s 2   h l
 2   h l
; 
:‫כעת נציב‬
s   h  l 
   h  l 
.‫ בנוסף המסנן לא יהיה סימטרי‬.2 ‫ נקבל כי סדר המסנן מוכפל פי‬s 2 :‫נשים לב כי מעצם ההצבה של‬
:‫קיבלנו את המיפוי הבא‬
. 

 p =-1
 p =1
:‫נתמקד במיפוי‬
 p1
 s1
 h  l
l
 p2
h
   h l
 1 :‫ יומר‬  l :‫התדר‬
l   h   l 
. 
s2
2
l
2h  h l
 1 :‫ יומר‬  h :‫התדר‬
 h   h  l 
:‫פירוט שלבי התכנון מהמצגת‬
1. Given BPF specifications  p ,  s1 ,  s2 define
 p   p ,  s  min  s ,  s 
1
1
2. Given BPF specifications:  p1 ,  p2 ,  s1 ,  s2 define
l   p1 ,  h   p2 ,  p  1
  2s   p  p
 2s2   p1  p2 
1
1
2
 s  min 
,

  s1 ( p2   p1 )  s2 ( p2   p1 ) 
3. Design a low-pass filter H(s) meeting the specifications
 p , s ,  p ,  s
4. Obtain the band-pass by transforming back to H(s).
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
| 23
:BPF-‫ ל‬LPF ‫ המרת מסנן‬- ‫הצעה שנייה‬
. l   p1 ; h   p 2 :‫ במקום‬h  s 2 -‫ ו‬l  s1 :‫כעת נקבע את ההמרה לפי‬
:‫נבצע את אותה הדרך למעט השינוי בשלב השני‬
1. Given BPF specifications  p ,  s1 ,  s2 define
 p   p ,  s  min  s ,  s 
1
2
1
Given BPF specifications:  p1 ,  p2 ,  s1 ,  s2 define
l   s1 ,  h   s2 ,  s  1
  2p   s  s
 2p2   s1  s2 
1
1
2
 p  max 
,

  p1 ( s2   s2 )  p2 ( s2   s2 ) 
3. Design a low-pass filter H(s) meeting the specifications
 p , s ,  p ,  s
4. Obtain the band-pass by transforming back to H(s).
:‫המרות בכל המצבים‬
Transformatios from LP to other filters
1. LP to HP
s=c / s
  c / 
2. LP to BP
s=
s 2  l  h
s   h  l 
3. LP to BS
s=
s   h  l 
s 2  l  h
4. LP to LP
s  s / c
All transformations preserve stability.
:‫ המרת מסנן אנלוגי למסנן ספרתי‬:‫ליניארית‬-‫התמרה ּבי‬
2 z 1
1  0.5Ts
:‫ או‬z 
:‫מציבים במסנן אנלוגי‬
T z 1
1  0.5Ts
T z 1
.‫ ההמרה צריכה למפות את חצי המישור השמאלי לתוך מעגל היחידה‬,‫כדי לשמור על יציבות‬
1  0.5Tj
 1 : s  j :‫נבחן את המיפוי של‬
.‫ הציר המדומה ממופה למעגל היחידה‬. z 
1  0.5Tj
.‫ כל מה שמימין לציר המדומה ממופה למחוץ למעגל היחידה‬.‫כל מה שמשמאל לציר המדומה ממופה לתוך מעגל היחידה‬
. H  z   H  s  s  2 z 1 : s 
:‫מיפוי הקטבים לתוך מעגל היחידה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
| 23
‫‪2 e j  1 2 e j /2  e j /2 2 2 j sin  / 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נמצא את תגובת התדר‪:‬‬
‫‪T e j  1 T e j /2  e j /2 T 2cos  / 2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ T ‬‬
‫‪tan  / 2  ;   2 tan 1 ‬‬
‫לכן המיפוי בשני הכיוונים הוא‪ :‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫בגלל הסימטריה נוותר על המינוס בכיוון השני‪.‬‬
‫‪.s ‬‬
‫‪.  ‬‬
‫באיור הראשון ניתן לראות את פונקצית המיפוי שהתקבלה‪:‬‬
‫איור שני‪ :‬תיאור ההמרה בצורה מפורטת יותר‪:‬‬
‫כדי לעבור ממסנן אנלוגי לספרתי נבחין כי יש לקחת כל תדר‬
‫אנלוגי ולהכפיל אותו בפונקצית המיפוי ולהמיר אותו לתחום הבדיד‪.‬‬
‫נקבל דחיסה שהולכת וגדלה בתדרים הבדידים‪ .‬הגבהים לא ישתנו‪.‬‬
‫מיקום הקטבים והאפסים‪:‬‬
‫‪1  0.5T m‬‬
‫‪1  0.5Tsk‬‬
‫ראינו כי‪  s   m  :‬‬
‫‪ . pk ‬מיקום האפסים‪:‬‬
‫‪ . H  s   k‬מיקום הקטבים‪:‬‬
‫‪1  0.5T m‬‬
‫‪1  0.5Tsk‬‬
‫‪  s  sk ‬‬
‫‪zm ‬‬
‫בפרט עבור‪ z  1 :‬מקבלים‪ s   :‬לפי ההצבה לעיל‪ .‬הפונקציה ‪ H  s ‬כאשר‪ s   :‬תדעך לאפס‪.‬‬
‫לכן‪ . H  s  s   H  z  z 1  0 :‬זה הוא אפס נוסף של המערכת‪.‬‬
‫פירוט שלבי התיכנון‪:‬‬
‫‪ Prewarp s ,  p to determine  s ,  p‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪tan  p‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ s  tan  s ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪T‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Design Analog filter meeting design specifications:‬‬
‫‪s ,  p , s ,  p‬‬
‫כאשר‪ T :‬נקבע באופן שרירותי לפי התחום שאליו רוצים להמיר את התדרים‪.‬‬
‫‪| 25‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫‪s  2 z 1‬‬
‫‪T z 1‬‬
‫‪p ‬‬
‫)‪ H ( z )  H ( s‬‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫מבנה של מסננים‪:‬‬
‫בצד מופיע פירוט הבלוקים היסודיים הספרתיים שבהם נשתמש‪:‬‬
‫הרכיבים הם‪ :‬חיבור ‪ ,‬כפל והשהייה בהתאמה‪.‬‬
‫‪Y  z‬‬
‫התבנית המרכזית של פונקצית התמסורת‪:‬‬
‫‪X  z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪M‬‬
‫‪b z‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪1   ak z  k‬‬
‫‪. H  z ‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪M‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 0‬‬
‫כתבנו‪ Y  z    bk X  z  z  k   akY  z  z  k :‬ולכן‪. y  n   bk x  n  k    ak y  n  k  :‬‬
‫דוגמא למימוש מסנן‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. H ( z) ‬‬
‫נתון המסנן‪:‬‬
‫‪1  a1 z  a2 z 2‬‬
‫כל שעלינו לעשות הוא להמיר חזרה למשוואת הפרש ולצייר‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫דוגמא כללית למימוש מסנן עם מספר אפסים‪:‬‬
‫להלן דיאגרמה כללית המכילה אפסים‪.‬‬
‫אנו עוסקים במשוואת הפרש מהצורה‪:‬‬
‫‪M‬‬
‫‪N‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 1‬‬
‫) ‪y (n)   ak y(n  k )  bk x(n  k‬‬
‫נוכל לייעל את המערכת ע"י החלפה של שני הטורים‪.‬‬
‫מדובר בשני מערכות ‪ LTI‬בטור ולכן ניתן להחליפם‪.‬‬
‫התוצאה היא שחוסכים קו השהייה שלם‪.‬‬
‫באיור הבא רואים את הצורה המפורסמת ביותר למימוש‪:‬‬
‫כאן יש להיזהר מהעובדה שבטור אחת מחברים אפסים ובשני מחברים קטבים‪.‬‬
‫עלינו לוודא שתגובת התדר של הקטבים עדיין מאפשר אות תקין‬
‫בין המערכות ‪ w  n‬אחרת נקבל תוצאות לא נכונות במוצא‪.‬‬
‫‪| 20‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫נוכל להקל על הבעייתיות באופן הבא‪:‬‬
‫‪ 1  c z ‬‬
‫‪M‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫כתבנו בעבר את פונקצית התמסורת בצורה של מכפלת אפסים וקטבים‪:‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪N‬‬
‫‪ 1  d z ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪MC‬‬
‫‪MR‬‬
‫‪ 1  c z   1  c z 1  c z ‬‬
‫‪* 1‬‬
‫‪k‬‬
‫נוכל לחלק את פונקצית התמסורת ליחידות קטנות יותר‪:‬‬
‫‪b‬‬
‫‪. H  z  0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪NC‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪NR‬‬
‫‪ 1  d z   1  d z 1  d z ‬‬
‫‪* 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪b0‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪. H z ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫להלן הדיאגרמה שבה כל בלוק מורכב משני קטבים ושני אפסים‪:‬‬
‫בכל נקודת עצירה יש לנו יציבות נומרית כי סכמנו שני קטבים ושני אפסים‪.‬‬
‫כמובן שחובה עלינו לקבוע אלו קטבים ואלו אפסים יהיו יחד בכל בלוק‪.‬‬
‫למערכת אמיתית יש הגבלה בכמות המספרים שהיא יכולה להחזיק‪.‬‬
‫מגבלה נוספת היא שלא ניתן להציג בצורה מדויקת אות אנלוגי‪ ,‬אלא רק באמצעות ממירים עם ‪ 64 , 32‬או ‪ 128‬ביטים מתקרבים‬
‫לערך המקורי‪ .‬המקדמים של המסנן בכל התיכנונים היו מספרים אנלוגיים חופשיים ולכן המגבלה – כבודה במקומה עומד!‬
‫התוצאה הישירה היא תזוזה של הקטבים והאפסים לפי הקירובים שנתונים במערכת (כמות הביטים שעומדת לרשותינו להצגת‬
‫המספרים הנ"ל)‪.‬‬
‫נחפש מסנן ‪ BPF‬עם‪.  p  0.3 ; s  0.4 ;  p  0.02 ;  s  0.01 :‬‬
‫נניח שמצאנו מסנן הטוב ביותר – מסנן אליפטי מסדר ‪.12‬‬
‫בפועל אנו מפעילים מסנן אחר שמקדמיו הם‪. aˆk  ak  ak ; bˆk  bk  bk :‬‬
‫‪bˆk z  k‬‬
‫‪‬‬
‫ˆ‬
‫‪. H  z ‬‬
‫פונקצית התמסורת כעת היא‪:‬‬
‫‪1   aˆk z  k‬‬
‫נניח שיש לנו ‪ 16‬ביטים למימוש המקדמים‪.‬‬
‫התיאור הגרפי (שקף ‪ 2‬מצגת ‪ )8‬הסמוך מתעוות מאוד‪.‬‬
‫הסיבה היא שככל שיש יותר קטבים‪ ,‬כל סטייה מזיזה את כולם‬
‫ובכך מעוותת את המסנן ופעולתו באופן רדיקלי‪.‬‬
‫פתרון טוב הוא לשרשר מספר מערכות עם סדר נמוך יותר‬
‫(כמו שראינו מקודם) וע"י כך להוריד את עוצמת השגיאה‪.‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .12‬תאריך‪11.6.12 :‬‬
‫‪| 23‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫קוונטיזציה של מסנני ‪:IIR‬‬
‫להלן מימוש ישיר של שני קטבים מרוכבים צמודים‪.‬‬
‫כאשר נבנה את המסנן עם הקטבים‪ s1,2  re j :‬נקבל את הסכמה הבאה‪:‬‬
‫להלן תיאור הקטבים של מסנן של ‪ 4‬ביטים‪:‬‬
‫הקטבים יהיו חייבים להיות על אחת מנקודות החיתוך‪.‬‬
‫הקוונטיזציה במקרה הטוב תיקח אותנו לקוטב הכי קרוב‪.‬‬
‫כדי לקבל מסננים יותר טובים נעלה את מספר הביטים ונקבל את הגרף הבא‪:‬‬
‫קל לראות כי יש קוונטיזציה יותר גבוהה (רזולוציה טובה יותר)‪.‬‬
‫(באיור מדובר על קוונטיזציה של ‪ 7‬ביטים)‪.‬‬
‫הקוונטיזציה מביאה לנו את המקדמים המדוייקים ביותר אך עקב‬
‫המימוש ניתן לזלוג לקטבים סמוכים במצב שיש קוונטיזציה קטנה‪.‬‬
‫דוגמא‪:‬‬
‫נתכנן מסנן ‪ LPF FIR‬וקוונטיזציה עם‪:‬‬
‫‪ p  0.4 ; s  0.6 ;  p  0.01 ;  s  0.001‬‬
‫המסנן המתקבל הוא באורך ‪.27‬‬
‫יש לבצע קוונטיזציה למקדמים‪:‬‬
‫באיור הסמוך מופיע גרף השגיאה‪.‬‬
‫נבצע קוונטיזציה של ‪ 16‬ביטים‪:‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫להלן תיאורים של קוונטיזציה של ‪ 8‬ו‪ 13-‬ביטים‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬כאשר משתמשים במסנן עם מספר סופי של מקדמים יש לבדוק את תגובת התדר המתקבלת עם קוונטיזציה‪.‬‬
‫נציין כי בעת הכתיבה של מקדם עם מספר סופי של ביטים‬
‫אנו מאבדים מהדיוק באופן וודאי‪.‬‬
‫להלן מופיע תיאור של סולם קוונטיזציה מסוים‪:‬‬
‫במקרה הנ"ל יש קוונטיזציה של ‪ 3‬ביטים (‪ 8‬רמות)‪.‬‬
‫בכל קפיצה אנו מאבדים מידע‪ .‬בקצוות אנו נמצאים ברוויה‪.‬‬
‫נתמקד רק בקוונטייזרים ליניארים (הקפיצות הן אחידות בגודלן)‪.‬‬
‫מעגל הקוונטיזציה יכול לייצג רמות מתח בהפרש של ‪. ‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫נדון בקוונטייזר המייצג מספרים ע"י ‪ B  1‬ביטים‪ .‬נוכל לייצג את רמות המתח מ‪. 2   ,  2   , . . . . ,  2  1  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫סה"כ ‪ 2B1‬ערכים שונים‪ .‬המתח‪ xm  2B   :‬נקרא מתח הייחוס‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הייצוג הבינארי למתח לפי מתח הייחוס הוא‪V  xm  b0   bi 2i   xm  xˆ :‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כאשר‪ b0 , b1 ,...., bB 0,1 :‬הם ערכי הביטים ו‪ b0 -‬היא סיבית הסימן‪ .‬בהרבה מערכות ‪ xm‬לא ידוע ונעבוד עם‪. xˆ   1,1 :‬‬
‫(עבור ‪ 100……0‬נקבל את הערך הנמוך ביותר ועבור ‪ 011….1‬נקבל את הערך הגבוה ביותר לפי שיטת משלים ל‪.)2-‬‬
‫בגרפים הבאים ניתן לראות את הסולמות עבור פעולות של עיגול וקיטום‪:‬‬
‫באופן עקרוני עיגול עדיף יותר ‪ -‬נראה מיד‪.‬‬
‫קטימה‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫עיגול‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪x n‬‬
‫אנו מסתכלים על המערכת הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x n‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  n  x  n  e  n‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪.‬‬
‫במערכת הבאה נכניס את שגיאה‪:‬‬
‫‪ e  n‬‬
‫נוכל לחשב את השגיאה מעצם ידיעת האות המקורי והאות לאחר הדוגם‪ .‬נקבל את שני הגרפים התחתונים של המצגת‪.‬‬
‫לא נכנס להוכחה המתמטית מדוע עיגול טוב יותר אבל נסביר זאת אינטואיטיבית‪.‬‬
‫נניח שתי הנחות‪ ,‬אם הקוונטיזציה עשירה מספיק והאות אינו ברוויה אז ניתן להניח כי‪:‬‬
‫א‪ .‬השגיאה חסומה בין‪.  0.5,0.5 :‬‬
‫ב‪ .‬אות השגיאה מפולג אחיד בין ‪.  0.5,0.5‬‬
‫אם הקוונטיזציה עשירה מספיק והאות אינו ברוויה אזי ניתן להניח כי‪:‬‬
‫‪ .1‬ניתן להתייחס לאות השגיאה כתהליך אקראי סטציונארי‪.‬‬
‫‪ .2‬הפילוג של אות שגיאת הקוונטיזציה הוא אחיד‪.‬‬
‫‪ .3‬כל דגימה באות השגיאה בלתי תלויה בדגימות האחרות‪.‬‬
‫‪ .4‬אות השגיאה אינו תלוי באות הדגום‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬נוכל להסתכל על שגיאת הקוונטיזציה כאל "רעש אדטיבי" – תוספת של רעש לאות המקורי‪.‬‬
‫‪e  n‬‬
‫נבחן את הספק הרעש‪:‬‬
‫‪x  n‬‬
‫עבור קוונטייזר קוטם הפילוג הוא‪. e  n U  ,0 :‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ההספק‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪. E e2  n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫האות צריך להיות בתחומים‪ :‬האדום עבור השגיאה העליונה ובכחול עבור השגיאה התחתונה‪.‬‬
‫נניח שלאות האנלוגי פילוג כלשהו (גאוסי – כתום) אז היות והתחומים שבהם נמצא האות‬
‫קרובים מניחים פילוג זהה בהם ולכן היחס שלהם הוא ‪ 1‬המעיד על פילוג אחיד של השגיאה‪.‬‬
‫עבור קוונטייזר מעגֵּל הפילוג הוא‪. e  n U  0.5,0.5 :‬‬
‫‪0.5 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ההספק‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ . E e2  n ‬רואים בחוש כי ההספק בדוגם מעגל קטן פי ‪ 4‬ולכן טוב יותר‪.‬‬
‫נקשור את הספק הרעש לכמות הביטים‪:‬‬
‫‪xm2 2 B‬‬
‫‪ 2  xm  2 ‬‬
‫‪. E e  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ראינו כי הקשר בין ‪ ‬לכמות הביטים הוא‪ xm    2B :‬ולכן‪2 :‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ 12 P‬‬
‫‪‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪12 P‬‬
‫‪ . SNR  S  2 S‬בדציבלים‪SNRdB  10log  2 S 22 B   6 B  10.1  log  S2  :‬‬
‫היחס אות לרעש‪ 2 S 22 B :‬‬
‫‪Pe xm 2 B‬‬
‫‪xm ‬‬
‫‪ xm ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ xm ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪12‬‬
‫כל תוספת של ביט מוסיפה ‪ 6dB‬ליחס אות לרעש‪.‬‬
‫‪B 2‬‬
‫‪2‬‬
‫היות ובד"כ במערכת אמיתית יש עוד רעשים אז הביטוי שקיבלנו הוא היחס אות לרעש הכי טוב שניתן להגיע‪.‬‬
‫למשל אם נרצה שהמערכת תעבוד ב‪ 60dB-‬אז נצטרך לפחות ‪ 10‬ביטים (לפי המכפלה הראשונה בביטוי בדציבלים)‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫רעש הקוונטיזציה נוצר בממיר ‪ A/D‬כבר התחלה‪ .‬לכן הרעש נכנס לתוך המערכת שלנו‪ ,‬מערכת ‪ LTI‬כלשהי‪.‬‬
‫נבחן מה קורה במעבר דרך מערכת ‪ LTI‬של רעש זה‪. x  n  x  n  e  n  H  e j   y  n  y  n    n :‬‬
‫צפיפות ההספק של הרעש מקיימת‪. S  e j   See  e j  H  e j  :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫היות והרעש הוא חס"ק נקבל‪  m :‬‬
‫‪ Ree  m ‬ולכן לאחר התמרה‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫נקבל‪H  e j  :‬‬
‫‪ . S  e j  ‬נתעניין בהספק עצמו ולכן‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j‬‬
‫‪P ‬‬
‫‪S‬‬
‫‪e‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪H‬‬
‫‪e‬‬
‫‪d‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪h n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪12 2 ‬‬
‫‪12 n 0‬‬
‫‪. See  e j  ‬‬
‫נתעניין בתופעת נוספת הגורמת לקוונטיזציה‪.‬‬
‫להלן מתוארת מערכת מסדר ‪:2‬‬
‫פעולת כפל בין מספר המיוצג ע"י ‪ B1  1‬ביטים ומספר המיוצג‬
‫ע"י ‪ B2  1‬ביטים תיתן מספר המיוצג ע"י ‪ B1  B2  1‬ביטים‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫המספר הכי קטן שניתן להציג לפי‪ b0   bi 2i :‬הוא‪. 2 B  0000......0001 :‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪B 1‬‬
‫לכן עבור החיבור נקבל את המספר הכי קטן שהוא‪ 0000......0001 :‬‬
‫‪ B1  B2 ‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪B1  B2 1‬‬
‫בפועל‪ ,‬כאשר אנו שומרים למשל על ‪ 8‬ביטים בתוך המערכת‪ ,‬אז הכפלה ראשונה תיצור מספר בן ‪ 8‬ביטים‪ ,‬הכפלה נוספת באותה‬
‫הלולאה תיצור מספר בין ‪ 15‬ביטים לפי מה שראינו‪ .‬לכן נעגל אתם ל‪ 8-‬ביטים ע"י זריקה של ‪ 7‬ביטים‪.‬‬
‫תופעה זו זהה לרעש קוונטיזציה אך היא אינה אנלוגית אלא מתבצעת בתוך המערכת עצמה‪.‬‬
‫‪2 B‬‬
‫במקרה שהמספרים לאחר קוונטיזציה מיוצגים ע"י ‪ B  1‬נקבל‪ .   2 B :‬לכן הספק השגיאה‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫בכל נקודה במסנן שמתבצעת הכפלה נוסף רעש‪ .‬אם נרצה לנתח זאת נכון‪ ,‬עלינו לנתח מערכת עם מספר מקורות השווה למספר‬
‫ההכפלות שבמערכת‪ .‬יש לכתוב פונקצית תמסורת לכל אחד מהם (מניחים שהם בת"ס) ולנתח את ההספק כמתואר‪:‬‬
‫‪. P ‬‬
‫במקרה המסוים שלנו (‪ )Direct Form 2‬יש לנו רק שני סוגי רעשים‪:‬‬
‫‪ .1‬המקורות שרואים את כל פונקצית התמסורת ‪.  e3 , e4 ‬‬
‫‪ .2‬הרעשים האחרים לא רואים כלום ומגיעים ישירות למצוא‪.‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫נוכל לייצג את המקרה באופן הבא‪:‬‬
‫ניתן לראות כי הרעשים מתווספים בשני מקומות‪:‬‬
‫‪ .1‬בכניסת המערכת ואז פונקצית התמסורת שהרעש רואה הוא‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪. H e‬‬
‫‪ .2‬במוצא המערכת‪.‬‬
‫סה"כ השפעת רעשי העיגול‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ההספק הכללי‪N  H  e j   M  1 d :‬‬
‫‪‬‬
‫לפי פרסבל‪ M  1 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ h n‬‬
‫‪n 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 B ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a2  H  e j    b2 d ‬‬
‫‪ 22 B  N‬‬
‫‪d  M  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 12  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪H  e j ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪N‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪22 B‬‬
‫‪12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪S  e j  d ‬‬
‫‪. PT ‬‬
‫עד כאן הרצאה ‪ .13‬תאריך‪18.6.12 :‬‬
‫‪| 22‬‬
‫עיבוד אותות ספרתי –הרצאה‬
‫סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪PT ‬‬