‫עיבוד אותות ספרתי ‪1‬‬ ‫מרצה‪ :‬ד"ר יצחק ברגל‬ ‫מייל‪[email protected] :‬‬ ‫שעות קבלה‪ :‬ימי ב' ‪15:00-16:00‬‬ ‫מטלות‪:‬‬ ‫תרגילי בית ‪( 5%‬הגשה תוך שבועיים)‪.‬‬ ‫תרגיל מחשב ‪10%‬‬ ‫בוחן בונוס ‪5%‬‬ ‫מבחן סופי ‪85%‬‬ ‫ספרות‪:‬‬ ‫ספר של ‪ .openhiin‬יש לספר אתר שהמרצה לא ממליץ עליו יותר מדי‪ .‬גישת הכניסה לאתר מלווה בהזנת שם משתמש וסיסמא‪:‬‬ ‫שם משתמש‪.biueng :‬‬ ‫סיסמא‪.biueng7722 :‬‬ ‫או‪:‬‬ ‫שם משתמש‪.englib :‬‬ ‫סיסמא‪.englib7722 :‬‬ ‫הקורס יתנהל עפ"י מצגות אשר יפורסמו באתר ה‪.HighLearn-‬‬ ‫תוספות למצגות ייכתבו בסיכום זה לפי מספר שקף‪.‬‬ ‫‪|1‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫מצגת ראשונה‪:‬‬ ‫עד לשקף ‪ 6‬היו עניינים מנהליים ומוטיבציה כללית‪.‬‬ ‫‪ .8 + 7‬דוגמא כללית לגילוי אות ברעש ע"י שימוש בהתמרה המאפשרת לראות את הדלתאות‪.‬‬ ‫‪ .9‬דוגמא כללית לאות דיבור המלווה ברעש‪.‬‬ ‫‪ .10‬סינון הרעש‪.‬‬ ‫‪ .11‬דוגמא לסינון בתקשורת המאופיינת ע"י ביטים‪.‬‬ ‫‪ .12+13‬הוספת האות והרעש‪.‬‬ ‫‪ .14‬הפעלת מסנן כלשהו‪ ,‬כעת הרבה יותר קל להחליט בכל שלב מהו הערך (‪ 1‬או ‪.)-1‬‬ ‫‪ .15‬דוגמא נוספת לקבלת אות המוזז בפאזה מסוימת אשר נפתרת ע"י שימוש במסנן‪.‬‬ ‫‪ .16‬דוגמא נוספת לצילום תוך כדי תנועה‪.‬‬ ‫‪ .17‬דוגמא לנתונים של בורסה‪.‬‬ ‫‪ .18‬הרעיון בעיבוד ספרתי הוא שיש לנו את הטכנולוגיה לדחוס הרבה ביטים‪ ,‬בנוסף יש לנו גמישות בבנייה ספרתית‬ ‫בכל הקשור להתעסקות עם המידע אח"כ‪.‬‬ ‫עד כאן החלק של ה‪"-‬מוטיבציה" – עכשיו לעבודה‪:‬‬ ‫הגדרות‪:‬‬ ‫נסמן תדר של אותות בזמן רציף ‪  -‬ותדר של אותות זמן בדיד ב‪.  -‬‬ ‫‪ .1‬התמרת פורייה בזמן רציף‪dt :‬‬ ‫‪ jt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X  j  e jt d  , X  j  ‬‬ ‫‪ x t  e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. x t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0.5T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .2‬טור פורייה בזמן רציף עבור ‪ x  t ‬מחזורי במחזור ‪x  t  e jk 0t d  : T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T 0.5T‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪ .3‬פונקצית ההלם של דיראק (נשים לב כי היא נקראת פונקציה אבל היא לא פונקציה ולכן אינה מתנהגת כמו פונקציה באמת)‬ ‫‪, ak ‬‬ ‫‪‬‬ ‫מוגדרת‪ f  t    t  dt  f  0  :‬‬ ‫‪jk 0t‬‬ ‫‪ae‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪. x t  ‬‬ ‫לכל פונקציה ‪ f  t ‬רציפה מסביב ל‪. t  0 -‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫דגימה בנקודה‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ f  t   a t  t  dt  a  f t  : t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪t'‬‬ ‫‪f      t ' dt ' ‬‬ ‫כפל בקבוע‪f  0  :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪t ' at‬‬ ‫‪f  t     at  dt ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.   at  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫דלתא היא שימושית במיוחד כקונבולוציה שכן‪ - f  t  *  t  t0   f  t  t0  :‬הזזה בזמן‪.‬‬ ‫‪ .4‬התמרת פורייה של הלם‪dt  e  jt0 :‬‬ ‫‪ jt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  t  t  e‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. F   t  t0  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .5‬התמרת פורייה של אות מחזורי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .6‬רכבת הלמים‪  t  nT  :‬‬ ‫‪jk 0t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  t    a e‬היא‪ 2 a     k   :‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪. X  j  ‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪ - p  t  ‬אינסוף הלמים במרווח של ‪ T‬בניהם‪.‬‬ ‫‪1 1 1 1‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫מקובל לרשום ליד הלם את השטח שלו בתור ה‪"-‬גובה" שלו (‪.)1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫זה הוא אות מחזורי ולכן יש לו טור פורייה עם מקדמים‪p  t  e jk 0t dt  :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫התמרת פורייה היא‪ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪     n T‬‬ ‫‪|2‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ak    n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪4T‬‬ ‫‪3T‬‬ ‫‪2T‬‬ ‫‪p t ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪0.5T‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T 0.5‬‬ ‫‪. ak ‬‬ ‫‪. P  j  ‬‬ ‫‪P  j ‬‬ ‫‪2 /T‬‬ ‫‪‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪8‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬  1 j j n j X e e d  , X e  x  n  e  jn :)DTFT( ‫ התמרת פורייה בזמן בדיד‬.7       2 2 n  .) 2 ‫ האינטגרל הוא על מחזור של‬,‫ בין היתר‬,‫ (ולכן‬2 ‫חשוב לזכור כי ההתמרה היא מחזורית‬ . x  n  . G  re j      g n r e n n   j n :‫ ונקבל‬z  re j :‫ נסמן‬. G  z     g n  z n : z ‫ התמרת‬.8 n  . r  1 ‫ הוא מקרה פרטי כאשר‬DTFT ‫ רואים כי‬. g  n r  n ‫ של‬DTFT ‫קיבלנו‬ .)‫ כן יהיה בעל אנרגיה סופית‬g  n r  n ‫ אינו בעל אנרגיה סופית (כי אז‬g  n ‫היתרון בהתמרה זו הוא שניתן לבצעה גם כאשר‬ .‫ יעילה לתיאור של אותות כפי שנראה בהמשך הקורס‬DTFT-‫ מאוד יעילה לתיאור של מערכות בעוד ש‬z ‫התמרת‬ :)s1 ‫משפט הדגימה (שקף‬ .(p=pulse , c=continues) . x p  t   xc  t      t  nT   n    x  nt   t  nT  :‫שלב ראשון‬ n  c 1 1  2 X c  j  * P  j    X c  j    k  s   :‫בהתמרה מקבלים‬ :‫ כאשר‬X p  j   2 T k  T    1    2 k  . X d e j  X p  j    X c  j  :‫ ובהתמרה מקבלים‬xd  n  xc  nT  :‫שלב שני‬ T  T  T k    . s    .‫ קיבלנו את אותה התמונה אך החלפנו ציר והתאמנו את הסקאלה‬.    T :‫נזכור כי‬ :‫הוכחה של משפט הדגימה ללא דגימת הלמים‬ . xd  n  xc  nT   1 2   X  j  e c jnT d  :‫ לכן‬. xc  t    1 2   X  j  e c jt d  :‫ ע"י התמרת פוריה הפוכה‬xc ‫נתאר את‬   1 1  ' X c  j  e j ' n d ' :‫ ונקבל‬ '  T :‫ נציב‬.‫נביא זאת לצורה של התמרת פורייה בזמן בדיד‬ . xc  nT    2 T   T  k  0, 1, 2,...  2k  1  ,  2k  1   :‫נפצל את תחום האינטגרציה לקטעים‬  2 k 1 1  1  ' X c  j  e j ' n d ' :‫ונקבל‬ . xc  nT     T k  2  2 k 1  T   1  1    2 k  jn Xc  j . xc  nT     e d :‫ ונקבל‬ '    2 k :‫נציב‬  T k  2   T   1  1    2 k  jn Xc  j . xc  nT     e d :‫ ונקבל‬k  k :‫נחליף‬  T k  2   T   1     2 k   jn Xc  j   e d :‫נחליף סכימה ואינטגרציה‬   T k T     1    2 k  .‫ ממש לפי ההגדרה של ההתמרה‬X d  e j    X c  j  :‫קיבלנו במישור התדר את‬ T k   T  . xd  n  xc  nT   1 2 ‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- 1 ‫עיבוד אותות ספרתי‬ |3 ‫שחזור‪:‬‬ ‫כדי לשחזר אות רציף יוצרים תחילה רכבת הלמים ומקבלים‪. X p  j   X d  e jT  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪. H opt  j   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫לאחר מכן מכפילים ב‪ LPF -‬אופטימלי‪ , X c  j   H opt  j  X p  j  :‬כאשר‪T :‬‬ ‫‪OW‬‬ ‫‪.‬‬ ‫במציאות אין לנו רכבת הלמים ולכן לא ניתן לייצר זאת‪ .‬לכן נבצע את הפעולה הבאה‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫נסתכל במישור התדר‪d  :‬‬ ‫‪jt‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪( xc  t  ‬מניחים שנייקויסט מתקיים‪ :‬‬ ‫‪2 T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ X  j  e‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫הקשר בין ‪ xc‬ו‪ xd -‬הוא‪d  :‬‬ ‫‪jt‬‬ ‫‪ X  e  e‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪jT‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. xc  t  ‬‬ ‫והם נבדלים בפקטור של ‪ T‬בלבד וסידור הסקאלה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫נפתח עוד‪xc  nT  e  jnT  e jt d  :‬‬ ‫‪  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪X c  j  e jt d  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫נשים לב כי קשר זה מתקיים בתחום התדרים הנמוכים‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪.) X c  j   0   ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪X d  e jT  e jt d  ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( .‬לפי הגדרת התמרת פורייה)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫נזכור כי‪ . xc  nT   xd  n :‬נחליף סדר סכימה ואינטגרציה‪d  :‬‬ ‫‪j t  nT ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪xc  nT ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪. xc  t  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫נשים לב כי‪d  :‬‬ ‫‪j t  nT ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ t  nT ‬‬ ‫נקבל סופית‪ :‬‬ ‫‪T ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫היא התמרת פורייה של חלון בגובה ‪. T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  nT   sinc ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪. xc  t  ‬‬ ‫קיבלנו ביטוי שאנו כן יכולים למדוד במציאות ללא הלמים‪ .‬יחד עם זאת חשוב לציין כי גם ה‪ sinc-‬הוא אינסופי‬ ‫אך נזכור כי עבור‪ t  0 :‬ה‪ sinc-‬מתאפס לכל מספר שלם מלבד ‪ 0‬ולכן נקבל את ‪. xc  0 ‬‬ ‫גם אם נבחר מספר שאינו שלם ונסכום "אינסוף מספרים" ישנה דעיכה אשר מאפשרת לנו להגיע לדיוק הרצוי‪.‬‬ ‫‪|4‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫משפט הדגימה של שנון‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ t  nT ‬‬ ‫יהי ‪ x  t ‬אות מוגבל סרט המקיים‪ X  j   0 :‬לכל ‪  ‬אזי מתקיים‪ :‬‬ ‫‪T ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  nT   sinc ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪. xc  t  ‬‬ ‫דוגמא מתוך שקף (שקפים ‪ a1-a4‬של המצגת הראשונה)‪:‬‬ ‫איבוד מידע יכול להתרחש בשלב הדגימה‪ .‬בשלב השחזור משתמשים במה שיש‪.‬‬ ‫בדוגמא על ‪ aliasing‬רואים שני ‪ cos‬בתדרים ‪ 20 / 40Hz‬שנדגמים ב‪( 60Hz -‬נייקוויסט לא מתקיים)‪.‬‬ ‫התוצאה היא שלא מסוגלים להבדיל בין האותות אח"כ‪.‬‬ ‫איך מונעים דריכות (לפני הדגימה)?‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ s ‬‬ ‫שמים מסנן ‪2 T :anti-aliasing‬‬ ‫‪OW‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. H aa     ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫באיור השמאלי הריבועים הם רעש לבן אשר הורס את האות לאחר הדגימה‪.‬‬ ‫באיור הימני ישנו מסנן שאינו מעביר את הרעש הלבן ובכך האות לאחר הדגימה נשמר‪.‬‬ ‫מסנן ‪ H aa‬הוא חשוב ומשתמשים בו כמעט תמיד אבל יש מקרים שבהם לא נרצה אותו‪ .‬זאת נראה בשיעור הבא‪.‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .1‬תאריך‪2...15 :‬‬ ‫דוגמא לדגימה של אותות צרי סרט‪:‬‬ ‫נראה כי גם כאשר איננו דוגמים בקצב נייקוויסט הדבר לא בהכרח רע‪.‬‬ ‫דוגמא מתוך שקפים ‪ n1-n2‬של המצגת הראשונה‪:‬‬ ‫ניתן לראות אות צר סרט – הכוונה היא שהוא נמצא בתחום מסוים וקטן של תדרים ולא מתפרס על פני כל הישר‪.‬‬ ‫יהי ‪ xc  t ‬אות צר סרט המקיים‪ X  j   0 :‬רק עבור‪.  A    B :‬‬ ‫האם ניתן לדגום בקצב‪? s  2  B   A  :‬‬ ‫(נזכור כי עלינו לבדוק שבתחום‪   ,   :‬נכנסים שני החלקים ושהם לא דורכים זה על זה)‪.‬‬ ‫כדי לענות על השאלה נפתח בהנחה מקלה‪ :‬נניח תחילה כי קיים ‪ l‬שלם עבורו מתקיים‪. B  l  B   A  :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪   2 k ‬‬ ‫‪Xc  j‬‬ ‫כעת‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T ‬והאות אחרי הדגימה הוא‪ :‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪T k  ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫נציב‪    :‬ונשאל מאיזו נקודה ב‪ xc -‬היא הגיעה‪:‬‬ ‫‪ - X d  e j  ‬לפי משפט הדגימה‪.‬‬ ‫‪  2 k‬‬ ‫‪1  2k‬‬ ‫‪ 2  B   A ‬‬ ‫‪   2k  1  B   A ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫אנו רוצים ש‪  -‬יפול ב‪ .  B -‬כדי שזה יתקיים נדרוש‪ - l  2m  1 :‬אי"ז‪( .‬ז"א ‪  B‬צריך להיות שווה למספר‬ ‫פעמים אי"ז של רוחב הסרט של האות)‪ .‬ניתן לראות בשקף ‪ n2‬כי השחור הוא האות עצמו‪ ,‬הכחול הוא שכפול ראשון‪,‬‬ ‫האדום הוא שכפול שני וכך הלאה עבור אי"ז‪ .‬במצב זה רואים כי מספיק לדגום בקצב של‪. s  2  B   A  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪|5‬‬ ‫‪  2 k‬‬ ‫‪.‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫בשקף הבא )‪ (n2‬מתואר המקרה שבו ‪ l‬זוגי‪ ,‬קיבלנו היפוך של האות‪.‬‬ ‫הדבר הזה לא משפיע כ"כ כי המידע נשאר שלם וזה העיקר‪.‬‬ ‫כדי ליצור מערכת שמשחזרת את המידע בצורה נכונה נצטרך שיחזור הלמים ומסנן ‪.BPF‬‬ ‫התחום שלו אמור לסנן את האות השחור וכך נקבל את האות המקורי חזרה‪.‬‬ ‫אם‪ B  l  B   A  :‬נבחר‪  'A :‬המקיים‪ 'A   A :‬ו‪. B  l  B  'A  -‬‬ ‫‪ B ‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪  B  'A   B   A  l ‬‬ ‫‪.l  ‬‬ ‫נחשב את ה‪ l -‬הכי גדול‪:‬‬ ‫‪ .‬כלומר ‪ l‬יהיה‪ :‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪B   A‬‬ ‫‪ B   A ‬‬ ‫במקרה הגרוע ביותר‪ l  1 :‬ואז נדגום בקצב נייקוויסט (אחרת ניתן להנמיך את הקצב לפי ‪.) l‬‬ ‫שיחזור לא אידיאלי‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫בשיחזור הופכים תחילה לרכבת הלמים‪ x n t  nT   X  j   X  e  :‬‬ ‫‪jT‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ t  nT ‬‬ ‫לאחר מכן מבצעים סינון‪ x  nT  sinc  T  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪. xp t  ‬‬ ‫‪. X c  j   H opt  j  X p  j   xc  t   x p  t  * hopt  t  ‬‬ ‫ראינו כי לא ניתן לממש משחזר אידיאלי כי אין לנו איסוף הלמים וגם ב‪ sinc-‬יש אותה בעיה‪.‬‬ ‫דוגמא מתוך שקפים ‪ z1-z2‬של המצגת הראשונה‪:‬‬ ‫מסננים עם חלון וכך הרכבת הלמים תהפוך ל‪ .ZOH-‬ניתן להחליף את שלב הסינון ע"י שימוש במסנן זה‪.‬‬ ‫בשקף הבא )‪ (z2‬ניתן לראות כי המסנן יוצר שתי בעיות‪ :‬האות מתעוות ומחוץ לתחום הרצוי המסנן אינו מתאפס באופן וודאי‪.‬‬ ‫כדי להתגבר על העיוות נגדיל את קצב הדגימה וכך המכפלה בין תגובת התדר של המסנן לבין האות במישור התדר תשאף ל‪1-‬‬ ‫ותמנע עיוותים מיותרים‪ .‬יחד עם זאת‪ ,‬שיטה זו יקרה ולכן נעדיף להשתמש ב‪ LPF-‬אבל העיוות עדיין יתקיים‪.‬‬ ‫הפתרון הסופי הוא שימוש במסנן ספרתי (התמרה מחזורית) ולאחריו ב‪ .LPF-‬זאת מכיוון שמסנן אנלוגי הוא אינו מחזורי ולכן‬ ‫אפס בכל מקום חוץ מן התחום הרצוי וכדי ליצור אותו יש להיעזר בשניהם‪ .‬נשים לב כי למרות ש‪ LPF-‬הוא גם אנלוגי יותר קל‬ ‫לממש אותו מאשר מסנן אנלוגי כדי לתקן את העיוות מלכתחילה ולכן נבצע את השילוב הזה‪.‬‬ ‫סיכום במספר נקודות‪:‬‬ ‫ שיחזור ‪ ZOH‬ניתן לתיאור כסינון עם מסנן בעל תגובה להלם של רכבת ההלמים שנוצרה‪.‬‬‫ נוצר עיוות של התדרים של האות וכן השכפולים לא מונחתים לגמרי‪.‬‬‫ ניתן לתקן ע"י מסנן כאשר מסנן ספרתי יכול לתקן רק את העיוות בתדרי האות‪.‬‬‫‪ -‬מסנן אנלוגי יכול גם להנחית את השכפולים‪.‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי של אותות בזמן רציף‪:‬‬ ‫במערכות הכי פשוטות‪ ,‬נכנס אות ויוצא אות אחר אשר עבר סינון כלשהו ‪. H  j ‬‬ ‫יש לנתח את הסינון עצמו ומרכיביו‪.‬‬ ‫יהי ‪ xc  t ‬אות מוגבל סרט המקיים‪X c  j   0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ .   ‬אנו רוצים שהמערכות שבשקף ‪ h1‬תהיינה שקולות‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫תהי ‪ H  j ‬תגובת תדר של מסנן המקיימת‪H  j   0 :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫השאלה המרכזית במערכת שלנו היא מה יהיה‪ - H d e j :‬המסנן הספרתי של המערכת‪.‬‬ ‫‪(   ‬זה לא חשוב באמת כי מכוח ההכפלה נקבל זאת)‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪|6‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪‬‬ ‫יהיה ‪ H r  j ‬מסנן שחזור אידיאלי‪ ,‬ז"א‪T :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪. H r  j   ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪OW‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. H d  e j   H  j    ‬‬ ‫נראה שהמסנן הספרתי צריך לקיים‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪   2 k ‬‬ ‫‪. X d e j   X c  j‬‬ ‫ראשית‪ ,‬ה‪ DTFT-‬של האות הדגום‪ :‬‬ ‫‪T k  ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   2 k ‬‬ ‫‪. H d e j   H  j‬‬ ‫תגובת התדר של המסנן‪ :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫ניתן לתאר ע"י סכום כי אין דריכות וזה עקב התנאי שהמסנן הספרתי מקיים כפי שכתבנו לעיל‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   2 k  1 ‬‬ ‫‪   2 k     2 k ‬‬ ‫‪H d  e j   X c  j‬‬ ‫‪   Xc  j‬‬ ‫‪H  j‬‬ ‫כעת‪ :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T k  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪. Yd  e j   X d  e j   H d  e j  ‬‬ ‫השתמשנו בסכום אחד מכיוון שעבור כל שכפול בודד של ‪ X c‬לערך ‪ k‬מסוים כל השכפולים האחרים של ‪ H‬יתאפסו למעט ה‪H -‬‬ ‫המתאים לאותו האינדקס של ‪. X c‬‬ ‫בשחזור אידיאלי נציב‪ k  0 ,   T :‬ונקבל‪. Yc  j   X c  j   H  j  :‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫נרצה לממש בצורה ספרתית מסנן מעביר נמוכים עם תדר קיטעון‪. c    :‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪1   c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. H  j   ‬‬ ‫תגובת התדר של המסנן האנלוגי היא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 else‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  cT‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪ H d  e j   H  j   ‬וכמובן מחזורי ‪. 2‬‬ ‫תגובת התדר של המסנן הספרתי היא‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ T ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪ T ‬‬ ‫המסנן מטבלת ההתמרות הוא‪. h  n  c sinc  c n  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫שימור התגובה להלם‪:‬‬ ‫‪   2 k ‬‬ ‫מההצגה המחזורית של תגובת התדר של המסנן‪ :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫אנו דוגמים את התגובה להלם של המסנן האנלוגי‪( . hd  n  T  h  nT  : h  t  :‬יש פקטוריזציה)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ H  j‬‬ ‫‪ H d  e j  ‬ניתן לראות כי למעשה‬ ‫‪  ‬‬ ‫מה קורה אם תגובת התדר של המסנן לא מוגבלת לתחום שרצינו ‪?   , ‬‬ ‫‪ T T‬‬ ‫‪‬‬ ‫קודם רשמנו‪ H d  e j   H  j     :‬וזה עדיין נשמר כי ‪ X c‬חסום סרט‪.‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ H  j    ‬‬ ‫‪. H eff  j   ‬‬ ‫כשהולכים לתגובה להלם זה כבר סיפור אחר‪ .‬נגדיר‪T :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪else‬‬ ‫‪   2 k ‬‬ ‫‪j‬‬ ‫כעת נוכל להציב את ‪ H eff  j ‬ב‪ -‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫נשים לב כי כל ההנחה הזאת לא הייתה יכולה להתקיים אם ‪ X c‬לא היה חסום סרט כי אז המכפלה מחוץ לתחומים לא מתאפסת‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪eff‬‬ ‫‪|7‬‬ ‫‪  H‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ H d  e‬ולכן‪. hd  n  T  heff  nT  :‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫דוגמא מסכמת (פירוט השלבים ממהלך הדוגמא נמצאים בשקפים המסומנים ‪ z3‬במצגת הראשונה)‪:‬‬ ‫נתון אות‪ xc  t   xa  t   xi  t  :‬כאשר ‪ xi  t ‬הוא אות מפריע ו‪ xa  t  -‬הוא האות הרצוי‪.‬‬ ‫נרצה לבנות מערכת שמוציאה את ‪ xa  t ‬בלבד‪.‬‬ ‫נתון כי ‪ xa  t ‬מוגבל סרט לתדר ‪  m‬וכי‪ xi  t   cos  it  :‬הוא אות צר סרט ומפריע‪ .‬כמו כן‪. i  m :‬‬ ‫יש לתכנן מערכת שתנחית של האות המפריע ב‪. 60dB -‬‬ ‫דרכי הפתרון‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫‪0  ‬‬ ‫‪  m‬‬ ‫‪. H a  j  dB  ‬‬ ‫כמובן שנוכל לבצע את כל הסינון במסנן האנלוגי הראשון‪ .‬אז‪:‬‬ ‫‪60dB   m‬‬ ‫אבל לא נרצה לעשות זאת כי לא נרצה להעמיס יתר על המידה על המסנן האנלוגי‪.‬‬ ‫‪0     m‬‬ ‫‪ . H a  j  dB  ‬נשים לב שהדרישה יותר קשה ככל ש‪ a -‬יותר קטן (הוא שלילי במקור)‬ ‫לכן נעדיף‪:‬‬ ‫‪  i‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪‬‬ ‫וככל ש‪ i -‬יותר קטן כי אז דרוש מסנן יותר חד וזה יותר יקר‪.‬‬ ‫‪m‬‬ ‫היות ולפחות חלק מהאות המפריע נכנס לדוגם נוצרו שיכפולים‪ .‬האות בתדר‪. X i  j        i       i  :‬‬ ‫לאחר סינון‪. X ia  j        i  H a  ji       i  H a   ji  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   2 k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   2 k‬‬ ‫‪‬‬ ‫לאחר שיכפולים‪  H  j    T     H   j    T    :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪i‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪. X id  e j  ‬‬ ‫‪T k ‬‬ ‫כעת נוצרת בעיה והיא ששכפול של חלק מאוד רחוק מהאות שלנו נופל בתוך התחום של האות הרצוי‪.‬‬ ‫ברור לנו שהאות המפריע ייתן שני הלמים בתחום‪   ,   :‬אשר נסמנם‪ iT mod 2 :‬ו‪. iT mod 2 -‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫נעיר כי למרות שפעולת ‪ mod‬מתייחסת לתחום‪  0, 2  :‬אנו נתייחס לתחום שלנו למען פשטות הביטויים‪.‬‬ ‫השאלה החשובה היא האם ההלמים נפלו על האות הרצוי או שלא?‬ ‫אם כן זאת בעיה כי לא ניתן לסנן אותם מבלי לפגוע באות‪ .‬לכן יש לדאוג לזה תחילה ע"י המסנן האנלוגי‪.‬‬ ‫לא ניתן לסנן בצורה ספרתית ויש לדאוג לסינון מראש במסנן בזמן רציף‪.‬‬ ‫‪0  ‬‬ ‫‪  mT‬‬ ‫‪. H d  e j   ‬‬ ‫אם לא אז נסנן במסנן בספרתי‪:‬‬ ‫‪dB‬‬ ‫‪-60-a   iT mod 2‬‬ ‫המסנן האחרון הוא פשוט מסנן שיחזור רגיל‪.‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .5‬תאריך‪15...15 :‬‬ ‫הבהרה מהרצאה קודמת‪:‬‬ ‫נתון‪ xc  t   xa  t   xi  t  :‬כאשר האות ‪ xa  t ‬הוא אות מוגבל סרט לתדר ‪  m‬ולעומתו האות‪ xi  t   cos  it  :‬הוא אות‬ ‫‪  c ,d‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  c , a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ H a  j   ‬ואז‪:‬‬ ‫מפריע‪ .‬האות נכנס למערכת הספרתית דרך‪:‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪else‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫א‪ .‬להבטיח שהאות המפריע לא יגיע למוצא המערכת לכל ‪. i  m‬‬ ‫‪c ,d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ . H d  e j   ‬נדרש‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ב‪ .‬למקסם את ‪. c ,a‬‬ ‫אלו ערכים יש לבחור עבור ‪ c ,a‬ו‪ ? c ,d -‬והאם ניתן להגדיל עוד את ‪ c ,a‬ע"י שינוי מסנן השחזור?‬ ‫‪|8‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫נניח תחילה שהאות המפריע לא נחסם במסנן האנלוגי‪.‬‬ ‫האות המפריע נדגם (ויכול להיות שעבר ‪.)aliasing‬‬ ‫נגדיר את ההזזה של פעולת ה‪ mod-‬באופן הבא‪ iT mod2 , iT mod2  :‬כאשר‪. x mod 2  x   mod 2   :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫נבחר את המסנן הספרתי להעביר בדיוק את האות הרצוי‪ ,‬כלומר‪. c,d  mT :‬‬ ‫יש לבדוק האם האות המפריע יסונן במסנן הספרתי‪ ,‬כלומר האם התדרים‪. iT mod2 , iT mod2    mT , mT  :‬‬ ‫אם כן – סיימנו‪ .‬המסנן הספרתי סינן את האות המפריע‪.‬‬ ‫אם לא – יש לחזור להתחלה ולדרוש שהמסנן האנלוגי יסנן את האות המפריע‪.‬‬ ‫נבחן כל ‪ i  m‬ונסמן בסט ‪ U‬את כל התדרים ‪ i‬שנדרש לסנן במסנן האנלוגי‪.‬‬ ‫כעת‪ c ,a :‬יהיה המינימום של כל התדרים השייכים לסט הזה‪( . c ,a  min i :‬זאת ניתן לראות בשקפים ‪ z3‬של מצגת ‪.)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נקבל‪ m :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪i U‬‬ ‫‪. c ,a  min i ‬‬ ‫‪i U‬‬ ‫נעבור למקרה שבו דגמנו את האות וכעת רוצים לשנות לו את קצב הדגימה‪:‬‬ ‫שינוי קצב דגימה ע"י עיבוד בזמן בדיד‪:‬‬ ‫נניח כי נתון אות רציף הנדגם במרווח דגימה ‪ . x  n  xc  nT  : T‬ונניח כי אנו רוצים ליצור מתוך הדגימה ‪ x  n ‬סדרת דגימות של‬ ‫‪ xc  t ‬במרוח דגימה אחר ‪ . T '  T‬נניח שהאות מקיים את תנאי נייקוויסט‪ .‬אנו רוצים מתוך המעבד ליצור אות ספרתי אחר‪.‬‬ ‫הפעולות נקראות דצימציה ואינטרפולציה‪.‬‬ ‫הורדת קצב דגימה ביחס שלם (דצימציה)‪:‬‬ ‫ניקח כל דגימה ‪ M‬ונקבל‪ . xd  n  x  nM   xc  nMT  :‬נרשום במפורש את הקשר שבין ‪ xd  n‬ו‪. x  nM  -‬‬ ‫‪   2 k  ‬‬ ‫‪j‬‬ ‫עפ"י משפט הדגימה נקבל‪  :‬‬ ‫‪ T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪Xc ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪T k  ‬‬ ‫‪. X  e j  ‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪    2 r  ‬‬ ‫‪Xc  j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫היות ו‪ T '  MT -‬נוכל לכתוב את הקשר בין ההתמרות של ‪ xd‬ו‪ : xc -‬‬ ‫‪MT r    MT  ‬‬ ‫נסמן‪ r  l  kM :‬כאשר‪ . 0  l  M  1 ,    k   :‬נשים לב כי עבור כל ‪ l , k‬נתונים נקבל ‪ r‬יחיד‪.‬‬ ‫‪. X d  e j  ‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2 l‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M 1‬‬ ‫‪ X e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l 0‬‬ ‫‪  2  2 k   1‬‬ ‫‪j  M‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ M‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M 1‬‬ ‫‪T  X‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪  X c ‬כי‪:‬‬ ‫‪T k  ‬‬ ‫‪l 0‬‬ ‫‪    2  kM  l    1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪  ‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪MT‬‬ ‫‪ M‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M 1‬‬ ‫‪T  X‬‬ ‫‪l 0‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪ M  2 Ml  2 k  ‬‬ ‫' ‪j‬‬ ‫‪.  '  M  2‬‬ ‫‪j ‬‬ ‫כאשר‪   X  e  :‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫יש דמיון למשפט הדגימה‪ ,‬גם כאן יש פקטור של ‪ M‬ויש שיכפולים‪ .‬השוני הוא בכך שיש כמות שיכפולים סופית‪.‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪‬‬ ‫נשאל שאלה‪ :‬מהי הורדת הדגימה המירבית עבורה לא נאבד מידע‪.‬‬ ‫כדי שלא נאבד מידע השכפול הראשון צריך להסתיים ב‪  -‬בציר של ההכפלה‪ ,‬לכן‪    : X  e j   0 :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ניתן לראות בשקף ‪ d2‬כי שימוש במסנן ‪ antialiasing‬ספרתי הורס חלק מהמידע אך שומר על החלק שאותו הוא מעביר‪.‬‬ ‫‪|9‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪X d  e j  ‬‬ ‫העלאת קצב דגימה ביחס שלם (אינטרפולציה)‪:‬‬ ‫נניח כי נתונות דגימות ‪ x  n  xc  t  nT ‬של אות בזמן רציף המקיים את תנאי נייקוויסט‪.‬‬ ‫נרצה לקבל ‪ xi  n  xc  nT '‬כאשר‪. T '  T / L :‬‬ ‫(הוספנו את תנאי נייקוויסט כי רק כך נוכל להבטיח שהדגימות שנוסיף תהיינה לקוחות מהאות המקורי)‪.‬‬ ‫‪ x  n / L  n  0,  L, 2 L...‬‬ ‫‪‬‬ ‫נסתכל על‪:‬‬ ‫‪else‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  k  n  kL  0‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪. x p  n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  jn‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪kL‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫ננתח במישור התדר‪x  k e  jkL  X  e j L  :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   ‬‬ ‫‪n   k ‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫שוב התייחסנו‪ X  e j '  :‬‬ ‫‪ j kL‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  k e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. X p  e j  ‬‬ ‫כאשר‪.  L   ' :‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫קיבלנו כיווץ של הציר פי ‪. L‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בשקף ‪ d3‬ניתן לראות כי המשמעות בסה"כ היא כיווץ של ציר התדר‪ ,‬כעת המחזור את האות הוא‬ ‫‪L‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נשים לב כי בשלב זה יש לנו בתחום המקורי‪ , 2 ,‬מספר שכפולים הגדול פי ‪ L‬ממספר השיכפולים שהיינו מקבלים אילו‬ ‫היינו דוגמים את האות המקורי במרווחי דגימה ‪ T '  T / L‬מלכתחילה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪. H e j  ‬‬ ‫לכן נעביר אותו במסנן האינטרפולציה‪:‬‬ ‫‪0     ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪L‬‬ ‫כך נקבל שכפול אחד של האות בתחום ‪   ,  ‬כפי שרצינו מלכתחילה‪.‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(כאשר‪ ) T '  T / L :‬או‪:‬‬ ‫הפקטור ‪ L‬במסנן נועד כדי להבטיח כי האות יהיה בגובה‬ ‫‪T‬‬ ‫'‪T‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪ n  kL ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫בציר הזמן נקבל‪ h  n  sinc   :‬ולכן‪ :‬‬ ‫‪L ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪k ‬‬ ‫אם ‪ n‬מספר שלם‪ ,‬כל האיברים בסכום מתאפסים פרט לזה שבו הביטוי ב‪ sinc-‬שווה לאפס‪ .‬נקבל את אחת הדגימות שכבר היו לנו‪.‬‬ ‫אם הוא לא מהדגימה המקורית נקבל קומבינציה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x k  sinc ‬‬ ‫‪. xi  n ‬‬ ‫שינוי קצב הדגימה ביחס לא שלם‪:‬‬ ‫אם נרצה שינוי קצב ביחס לא שלם – רציונאלי‪ ,‬ניתן להעלות ביחס של ‪ L‬באמצעות מסנן אינטרפולציה‪.‬‬ ‫לאחר מכן נשתמש במסנן ‪ antialiasing‬בשביל דצימציה ולבסוף לבצע דצימציה פי ‪. M‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪. ,‬‬ ‫אין צורך בשני המסננים אלא מספיק מסנן יחיד לפי התדר הנמוך בין‬ ‫‪L M‬‬ ‫‪TM‬‬ ‫‪.‬‬ ‫בסופו של דבר‪ ,‬האות דגום במחזור דגימה של‬ ‫‪L‬‬ ‫אם נהפוך אינטרפולציה ודצימציה נשים לב כי אם קודם נוריד קצב אנו עלולים לאבד מידע – תנאי נייקוויסט הרבה יותר מחמיר‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם נרצה להעלות קצב פי ‪ 1.5‬למשל‪ ,‬אזי אם נוריד תחילה נאבד הרבה מידע כי תנאי נייקוויסט הוא ‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אולם אם נבצע העלאת קצב תחילה לא תהיה שום בעיה‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫באופן כללי‪ ,‬בדצימציה נאבד מידע אם האות עובר תדר‬ ‫‪M‬‬ ‫‪| 11‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫נרצה להעלות קצב פי ‪ 3‬ולהוריד קצב פי ‪.4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .‬אם נחליף בין עלייה וירידה אז זה טוב רק עבור ‪.‬‬ ‫ללא החלפה‪ ,‬הפעולה טובה לאות המוגבל סרט‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ביצוע ‪ DTFT‬במחשב‪:‬‬ ‫בציר התדר יש לנו אינסוף תדרים מ‪  -‬עד‪.  -‬‬ ‫כפי שראינו‪ ,‬נוסחת האנליזה‪:‬‬ ‫‪ j n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   x  n e‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪ X  e‬ונוסחת הסינתזה‪d :‬‬ ‫‪j n‬‬ ‫‪ X  e  e‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. x  n ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לאות מחזורי במחזור ‪ N‬יש אינסוף מקדמים בפיתוח לטור פורייה אבל הם מחזוריים‪ .‬לכן ניתן לחשב רק ‪ N‬מקדמים לפי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ak e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k N‬‬ ‫‪ x  n ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫בד"כ לא נעסוק באות מחזורי ולכן נרצה לבצע התמרה‪ .‬לכן נכתוב‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j kn‬‬ ‫‪1 N 1‬‬ ‫‪, x  n   X  k  e N‬‬ ‫‪N n 0‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪x  n e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ j kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ak ‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪X  k    x  n e‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫ההבדל היחיד לכאורה בין הגדרה זו לבין ‪ DFS‬הוא בפקטור ‪ N‬שזז מהאנליזה לסינתזה‪ ,‬זה הוא לא הבדל עקרוני‪.‬‬ ‫ההבדל הוא בהסתכלות‪ ,‬כאן האות איננו מחזורי ולכן נקבל תוצאות אחרות‪.‬‬ ‫בכל מקרה ההתמרה שהגדרנו איננה התמרת פורייה של האות‪ - X  k  .‬זו הגדרה‪ ,‬יש להראות שהמעבר חזרה ממנו ל‪ x  n  -‬נכון‪.‬‬ ‫נעשה זאת בשני דרכים‪.‬‬ ‫הוכחה א'‪:‬‬ ‫נשתמש בדימיון לטורי פורייה‪ ,‬האות ‪ x  n ‬שונה מ‪ 0-‬רק בתחום‪ . 0,1,....., N  1 :‬נגדיר אות מחזורי‪:‬‬ ‫‪  x  n mod N ‬‬ ‫נשים לב כי זוהי העתקה חד‪-‬חד‪-‬ערכית‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ x n  lN   x  n‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪xˆ  n ‬‬ ‫‪ xˆ  n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. x  n  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0  n  N 1‬‬ ‫‪else‬‬ ‫נשתמש בפירוק לטור פורייה של ‪ xˆ  n ‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪1 N 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  x  n e N  X k ‬‬ ‫‪N n 0‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ xˆ  n e‬‬ ‫‪n N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪. aˆk ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫נציין כי המעבר האחרון וקביעת תחום הסכימה נבצע כך כי רק בו מתקיים‪ xˆ  n  x  n :‬ללא צורך ב‪.mod-‬‬ ‫בכיוון ההפוך נחשב את ‪: xˆ  n ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1 N 1‬‬ ‫‪ X k  e‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ae‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k N‬‬ ‫‪xˆ  n ‬‬ ‫בפרט בתחום‪ 0,1,....., N  1 :‬מקבלים כי ‪ x  n ‬זהה ל‪: xˆ  n  -‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j kn‬‬ ‫‪1 N 1‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪  N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪| 11‬‬ ‫‪x  n ‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫הוכחה ב'‪:‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j k‬‬ ‫‪j  N 1 k ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪. u N  1 , e N , ..... , e N‬‬ ‫נמפה את הסדרות באורך ‪ N‬למרחב הווקטורי‬ ‫‪ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור‪ . k  0,..., N  1 :‬נראה כי זה הוא בסיס אורתוגונלי‪:‬‬ ‫‪N k  l‬‬ ‫נבדוק ‪ N‬ווקטורים (מספיק כי זה הוא המימד של הבסיס)‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0 else‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  k l ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  k l ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. u  ul   e‬‬ ‫*‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪ e‬הוא ‪ cos‬על מספר שלם של מחזורים ולכן הסכימה הממשית מתאפסת‪.‬‬ ‫מקבלים זאת כי החלק הממשי של‬ ‫בחלק המדומה מקבלים את אותו הדבר‪ ,‬אפשר לראות זאת לפי סכום סדרה הנדסית‪.‬‬ ‫נרצה לייצג את ‪ x  n ‬על בסיס אורתוגונלי זה‪ .‬עפ"י הפיתוח לבסיס אורתוגונלי נוכל לכתוב‪:‬‬ ‫‪uk  x‬‬ ‫*‬ ‫‪ uk‬‬ ‫‪uk  x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪uk‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪X ‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫*‬ ‫כאשר‪ N :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ uk‬ו ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוא הקואורדינאטה בווקטור הבסיס המסוים‪.‬‬ ‫‪uk‬‬ ‫נפתח עבור ‪ k‬מסוים ונקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. X  k   u  x   x  n  e‬‬ ‫*‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫לכן מקבלים בהיפוך כי‪:‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. x  n   X  k   e‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬עבור אות הלם‪ x  n    n :‬נקבל‪ 1 k :‬‬ ‫הלם מוזז‪ x  n    n  m :‬נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪km‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫לשם נוחות נסמן‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪    n  m  e‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫ניתן לראות כי הפאזה תלויה ליניארית ב‪: k -‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. X  k    x  n  e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪km‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. X  k    x  n  e‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪.   n  m ‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪ WN  e‬ונכתוב שנית‪. X  k    x  n  WNkn :‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪1 N 1‬‬ ‫כעת‪X  k  WN kn :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪ .2‬עבור אות הרמוני‪:‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪jr‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪ x  n ‬וגם‪WNkm :‬‬ ‫‪.   n  m ‬‬ ‫‪ x  n  e‬נקבל‪:‬‬ ‫‪r k‬‬ ‫‪else‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j  r k ‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪jr‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪X  k    x  n  e‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫כל פאזה שלמה של ‪ N‬ב‪  r  k  -‬תגרום לאקספוננט להיות ‪ 1‬ואז נסכום ‪ N‬פעמים ‪.1‬‬ ‫כאשר הפאזה אינה שלמה נקבל ‪ N‬אקספוננטים מרוכבים שחיבורים מתאפס (ניתן להבין זאת מכך שהם בדיוק ‪N‬‬ ‫ווקטורים על מעגל היחידה במישור המרוכב ולכן תמיד יתאפסו‪ ,‬או לחילופין כאשר ממירים ל‪ cos-‬גם רואים זאת)‪.‬‬ ‫‪| 12‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2  1 jr N n 1  jr N n‬‬ ‫‪ x  n  cos  r‬ואז‪:‬‬ ‫עבור אות ‪ cos‬נוכל לפרק‪:‬‬ ‫‪n  e‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ N  2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 2  DFT N‬‬ ‫‪cos  r‬‬ ‫‪n  ‬‬ ‫‪  k  r    k  N  r ‬‬ ‫‪: 0r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ N ‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ ..‬תאריך‪11...15 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪j kn‬‬ ‫‪ j kn‬‬ ‫‪1 N 1‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪. x  n   X  k  e‬‬ ‫בשיעור קודם הגדרנו את ההתמרה‪ X  k    x  n  e N :‬וההופכית‪:‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ kn‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫נעזרנו בהגדרת –עזר‪ WN  e N :‬וכתבנו‪ X  k    x  n WN :‬ו‪. x  n   X  k WN -‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫ראינו את ההתמרות‪:‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪WNkm .1‬‬ ‫‪.   n  m ‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪   n  m .2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪: 0r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪km‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪.e‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ DFT N‬‬ ‫‪n  ‬‬ ‫‪  k  r    k  N  r ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪. cos  r‬‬ ‫‪ N‬‬ ‫עד כאן חזרה!‬ ‫נציין כי ההבדל בין ‪ DFS‬ל‪ ,DFT-‬ה‪ DFS-‬מיועד לאותות מחזוריים וה‪ DFT-‬מיועד לאותות כלליים‪ ,‬סופיים בזמן‪.‬‬ ‫תכונות של ‪:DFT‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪ .1‬ליניאריות‪  X  k     Y  k  :‬‬ ‫‪.   x  n    y  n ‬‬ ‫‪ .2‬הצצה ציקלית בזמן‪ :‬ניתן לראות באיור הסמוך (מופיע בשקף ‪ c1‬של מצגת ‪ )DFT‬את ההזזה הציקלית של אות מחזורי‪:‬‬ ‫‪x  n  4 6   x  n  2 6 ‬‬ ‫אופן הרישום המתמטי הוא‪:‬‬ ‫‪x  n  1 6   x  n  5 6 ‬‬ ‫‪0  n  n0  N‬‬ ‫‪ N  n  n0  0‬‬ ‫במישור התדר ההתמרה היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪k  n '  n0 ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  n  n0 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  N  n  n0 ‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪ x  n ' e‬‬ ‫‪n ' 0‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n ' n  n0‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x  n‬‬ ‫‪. y  n  x  n  n0‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. Y  k    x  n  n0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫נשים לב כי בהחלפת המשתנים לא חשוב לנו מהיכן מתחילים כי אנו סוכמים לכל ‪ N‬הערכים הקיימים‪.‬‬ ‫באותו האופן‪ ,‬המעריך הוא מרוכב ולכן אין משמעות לכתוב‪ n ' n0  rN :‬כפי שמתבקש‪ ,‬אלא מספיק‪. n ' n0 :‬‬ ‫‪| 13‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ :‫נמצא את הקשר במישור התדר‬ N 1 . Y  k    x  n ' e j 2 k  n '  n0  N N 1  WNkn0  x  n 'WNkn '  WNkn0 X  k  n ' 0 n ' 0 :‫ נסכם ונכתוב‬. k ‫ הוא פונקציה של‬,‫נשים לב כי המקדם אינו סקלרי‬ X  n  n0 DFT   WNkn0 X  k  N DFT : x*  n   X *  k N  :‫ נוכיח כי‬:‫ סימטריה‬.3 * 2 j kn   N 1 * N x n e  x n e        X  k N   n ' 0  n ' 0  .‫ כך מתקבלת ההתמרה הנכונה‬.‫ אליו‬ j -‫ מכיוון שהוא "נכנס" מה‬k -‫נשים לב כי שמנו מינוס ל‬ N 1 j * 2 kn N . k  N  k :‫ מקבלים‬k  0,1,...., N  1 :‫עבור‬ N N -‫ כאן הסימטריה היא מסביב ל‬. X  k   X *  N  k  :‫ ממשי נקבל‬x  n  :‫עבור‬ 2 . X  k    X  N  k  :‫ הפאזה‬. X  k   X  N  k  :‫נסתכל על הערך המוחלט‬ . . Im  X  k    Im  X  N  k  :‫ החלק המדומה הוא‬. Re  X  k   Re  X  N  k  :‫החלק הממשי הוא‬ DFT  X  k  :‫ אנו יודעים‬:‫ דואליות‬.4 . x  n  DFT . X  n   N  x  k  :‫נסתכל על ההתמרה "במישור הזמן" ונוכל להתמיר שנית‬ ."‫ "במישור התדר‬x  n  ‫ אות "במישור הזמן" שהוא ההתמרה של‬- y  n  X  n :‫כדי להוכיח זאת נסמן‬ N 1 Y  k    y  n e j k ' n 2 kn n ' k N 1 N  n 0  X k ' e N j 2 k 'n ' N k '0  N  x  n ' N   N  x  k N  . N :‫ ע"י‬N ‫ נסמן קונבולוציה ציקלית במחזור‬:‫ קונבולוציה ציקלית‬.5 .)‫עמכם הסליחה‬ N :‫ אסמן זאת באופן הבא‬MathType-‫קיום הפונט ב‬-‫(עקב אי‬ . x  n N N 1 y  n   x  m y  n  m m0 N  :‫הביטוי המתמטי הוא‬ :‫נמצא את ההתמרה‬ z  n  x  n N 1   x  m e m0 N j  DFT y  n       x  m  y  n  m n 0  m0 N 1 2 km N 1 N  y  n  m n 0 N 1 e N j 2 n ' n  m k  nm N  N N    e  N 1 2  j kn N  x  m e m0  j 2 km N 1 N  y  n ' e n ' 0 j 2 kn ' N  X k   Y k  ‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- 1 ‫עיבוד אותות ספרתי‬ | 14 ‫דוגמאות מתוך השקפים‪:‬‬ ‫בשקף ‪ c2‬ניתן לראות את אופן ביצוע הקונבולוציה הציקלית‪.‬‬ ‫לקחנו שני אותות בני ‪ 4‬דגימות בערכים מסוימים‪.‬‬ ‫קיבענו את האות השני ושיחקנו עם האות הראשון‪.‬‬ ‫לקחנו את האות הראשון‪ ,‬הפכנו אותו וביצענו פעולת ‪ mod‬למיקומים של כל פולס לאחר ההיפוך‪.‬‬ ‫לאחר מכן סכמנו את שני האותות וקיבלנו את הערך הראשון (‪.)29‬‬ ‫הזזנו בצעד את האות הראשון וקיבלנו כי יש לסכום כעת מכפלות אחרות‪ ,‬מקבלים ‪.26‬‬ ‫כך הלאה לכל האורך ומקבלים את תוצאת הקונבולוציה‪. z  n  29, 26,15, 20 :‬‬ ‫בשקפים ‪ c3‬ו‪ c4 -‬מופיעה דרך הביצוע של הקונבולוציה באמצעות במחשב וע"י שימוש בהתמרה‪.‬‬ ‫שקף ‪ – c5‬קונבולוציה ציקלית עם שכפולים‪.‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫נבצע‪ x m y  N  n  m :‬‬ ‫‪m  n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪   x m y n  m  ‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪m 0‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪y  n   x  m y  n  m‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪m 0‬‬ ‫‪. zc  n  x  n‬‬ ‫ניתן להרחיב את כל ‪ 4‬הגבולות כי אנו יודעים שמדובר באותות באורכים סופיים המתאפסים מחוץ לתחומם‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x  m y  N  n  m  z  n   z  N  n ‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪x  m y  n  m ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫קיבלנו את הקונבולוציה הליניארית ועוד שכפול שלה‪.‬‬ ‫השורה הראשונה – תוצאת הקונבולוציה הליניארית‪ .‬השורה השנייה – הקונבולוציה הליניארית מוזזת ב‪. N -‬‬ ‫נזכור כי תוצאת קונבולוציה ליניארית היא באורך של ‪ 2 N  1‬עבור שני אותות באורך ‪. N‬‬ ‫בשורה הרביעית – תוצאת הקונבולוציה הציקלית לאחר סכימה של שתי הקונבולוציות הליניאריות‪.‬‬ ‫בשורה השלישית ניתן לראות כי אפשר לשכפל בלי סוף את הקונבולוציה הליניארית ואם נסכום בלי גבול נקבל‬ ‫קונבולוציה ציקלית (כמו בשורה ‪ )4‬מחזורית‪.‬‬ ‫חישוב קונבולוציה ליניארית באמצעות קונבולוציה ציקלית‪:‬‬ ‫נתונים שני אותות‪ x  n  :‬באורך ‪ N‬ו‪ y  n  -‬באורך ‪. M‬‬ ‫‪‬‬ ‫נרצה לחשב את הקונבולוציה הליניארית‪ x m y n  m :‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪. z  n  x  n * y  n ‬‬ ‫אורך הקונבולוציה הליניארית הוא‪. L  N  M  1 :‬‬ ‫סט ראשון‬ ‫‪1‬‬ ‫שקף ‪ - L1‬האות העליון הוא‪ . 1, 0,1 :‬ניתן לראות זאת לפי העיקרון‬ ‫של היפוך והזזה‪ .‬ה‪ 1-‬הראשון נמצא ב‪ 0-‬ולכן לא זז‪.‬‬ ‫ה‪ 1-‬השני נמצא במיקום ‪ 2‬ולכן לאחר היפוך מגיע ל‪.-2-‬‬ ‫תוספת של ‪( 6‬מה‪ )mod-‬תזיז אותו למיקום ‪.4‬‬ ‫האות השני הוא ‪( 1, 2,3, 4‬מתחתיו)‪ .‬אנו מרפדים באפסים את שני‬ ‫האותות כדי להשלים ל‪ . L  3  4  1  6 -‬בסט האיורים הראשון‬ ‫ניתן לראות כי מכפלה של ה‪ 1-‬שנמצא במקום הרביעי באפס לא תורמת‪.‬‬ ‫כך כשמתקדמים לאורך הסטים ניתן לראות כי בכל התחום של הקונבולוציה‬ ‫הליניארית אין דריכות‪ .‬לבסוף מקבלים את הקונבולוציה ליניארית‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שקף ‪ – L2‬ניתן לראות כיצד יש לממש את הקונבולוציה‬ ‫הליניארית לפי ציקלית בכל השלבים‪ .‬תחילה נרפד באפסים כל אות במספר האפסים הנדרש‪.‬‬ ‫לאחר מכן נבצע את ההכפלה ונקבל את הקונבולוציה הליניארית‪.‬‬ ‫‪| 15‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הקשר שבין ה‪ DFT-‬וה‪:DTFT-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪ j kn‬‬ ‫‪ j 2N k ‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪e‬‬ ‫ולכתוב‪:‬‬ ‫הגבולות‬ ‫את‬ ‫למשוך‬ ‫נוכל‬ ‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪e‬‬ ‫ה‪ DFT-‬הוא‪     N :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ k ‬אנו דוגמים את ההתמרה‬ ‫ה‪ DFT-‬הוא דגימות של ה‪ DTFT-‬בנקודה ‪ . k‬נזכיר כי‪ . 0  k  N  1 :‬כאשר‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בתדרים שגדולים מ‪  -‬אשר משוכפלים לתחום‪   , 0 :‬כי ההתמרה מחזורית (ה‪.)DTFT-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x  n e‬‬ ‫‪X k  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מה אם נרצה לדגום את ה‪ DTFT-‬בנקודות אחרות? נניח ‪ M  N‬ונרצה לדגום בתדרים‪:‬‬ ‫‪,2‬‬ ‫‪,3 ‬‬ ‫‪,....,  M  1‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪M‬‬ ‫נוכל לרפד את האות ב‪ M  N -‬אפסים ולבצע ‪ DFT‬באורך ‪. M‬‬ ‫‪. 0,‬‬ ‫בריפוד באפסים משתמשים למימוש קונבולוציה ליניארית כפי שראינו‪ ,‬ולביצוע אינטרפולציה של הספקטרום‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מה אם נתון ‪ X  k ‬ה‪ DFT -‬של ‪ , x  n ‬ונרצה לדעת את ‪( ? X e j0‬ולצורך הדוגמא נניח שאין מספר שלם ‪ r‬כך ש‪-‬‬ ‫‪r‬‬ ‫כדי לבצע זאת נזכור כי בהינתן ‪ X  k ‬אפשר לשחזר את ‪ . x  n ‬ממנו נבצע התמרה ונקבל את ‪. X  e j ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫כעת נוכל להציב את ‪ 0‬ולמצוא את ערך ההתמרה בה‪ . X  e j0  :‬נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N 1  j    k  n‬‬ ‫‪  j n 1 N 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e  N ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  N  2 k ‬‬ ‫‪ N  2 k sin ‬‬ ‫‪ N  2 k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪e 2N‬‬ ‫‪  N  2 k ‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪n 0  N‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪ j n‬‬ ‫‪   x n e‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ j  k  N‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ j  k ‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 e‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪X e‬‬ ‫‪N 1  j    2 k  n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪1 e‬‬ ‫‪  N  2 k ‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪  j  N  2 k N 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ e‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪X  e    X k  ‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪  N  2 k ‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נבדוק שבנקודות הנתונות אנו מקבלים את הערכים שציפינו להם‪ .‬נבדוק ע"י הצבה של‪l :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ 2  l  k  ‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  l  k  N 1‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  e j 2 N‬‬ ‫‪X e j   X  k   ‬‬ ‫‪N k 0‬‬ ‫‪ 2  l  k  ‬‬ ‫‪sin ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 2N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  ‬עבור‬ ‫‪:l ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫לכל‬ ‫‪l k‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫המונה מתאפס אך לא המכנה ולכן נקבל אפס זהותית‪ .‬עבור‪ l  k :‬נשתמש בגבול של הביטוי של דיריכלה‪.‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫הגבול הוא ‪ N‬ולכן הביטוי מצטמצם ל‪ . X  e j    X  k    l  k   X l  -‬בחרנו ‪. 0  l  N  1‬‬ ‫‪k 0‬‬ ‫בשקף ‪ d1‬ניתן לראות את הדגימות של ‪ cos‬לפי שעשינו בסוף השיעור הקודם (מקבל ערך של ‪ 0.5N‬בדגימות ‪ 3‬ו‪.)13-‬‬ ‫ההתמרה עצמה היא של אות סופי ולכן היא של ‪ F cos *sinc‬כי הוא מוכפל עם חלון‪.‬‬ ‫‪| 16‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪) 0 ‬‬ :‫שיוויון פרסבל‬ N 1 2 1 N 1 X  k  :‫השיוויון הוא‬  N k 0 .  x  n  2 n 0 :‫ ע"י מטריצה‬DFT ‫ייצוג‬ N 1 X   X 0 , X 1 ,...., X  N  1 -‫ ו‬x   x 0 , x 1 ,...., x  N  1 :‫ נסמן‬. X  k    x  n WNkn :‫ראינו‬ T T n 0 . X  FN x :‫נראה את המטריצה המקיימת‬ 1 1 1  WN2  1 WN  1 WN2 WN4 . FN   1    N 1 WN2 N 1 1 WN   WNN 1   WN2 N 1  :‫נקבל את המטריצה‬    2  N  1 WN   1 1 N 1 1 H  kn FN  X :‫ ונקבל‬x  n    X  k WN :‫נבחן את הקשר ההופכי‬ N k 0 N 1 .‫ חיבורים‬N  N  1 -‫ הכפלות ו‬N 2 ‫ יש לנו‬,‫ מבחינת כמות החישובים‬. FN1  FNH :‫כאשר נשווה בין שני הביטויים נקבל כי‬ N N . log 2 N :‫בהמשך נראה שניתן לעשות זאת עם‬ 2 .x :‫ייצוג של קונבולוציה ציקלית ע"י מטריצה‬ v  v 0 , v 1 ,...., v  N  1 -‫ ו‬a  a 0 , a 1 ,...., a  N  1 :‫נגדיר שני ווקטורים‬ T T :‫נסתכל על הקונבולוציה הציקלית בניהם‬ N N 1 z  n  a  n v  n   a  n  m m0 N  v  m  a  n N  v 0  a  n  1 N  v 1  ....  a  n  N  1 N  v  N  1  z  0   a  0 a  N  1    z 1   a 1 a  0 z         z  N  1  a  N  1 a  N  2 a 1   v  0    a  2  v 1      a  0 v  N  1 .‫מטריצה זו היא מטריצה ציקלית (וגם טופליץ) מכיוון שיש להזיז את האיברים בה בצעד אחד בכל ירידת שורה‬ ‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- 1 ‫עיבוד אותות ספרתי‬ | 17  a  0 a  N  1  a 1 a  0 . Ca      a  N  1 a  N  2 a 1   a  2  :‫ אופרטור היוצר מטריצה‬a ‫נגדיר עבור ווקטור‬   a  0 .a .a N v  Ca  v :‫כעת ניתן לכתוב בקלות ובפשטות‬ DFT v    FN  a k  FN  v k :‫נשלב עם ההתמרה שראינו קודם‬   FN  a 0  0 . FN   Ca  v    FN  Ca   v     0  0   FN  a 0  0  FN  a 1 . FN  Ca V     0  0   FN  a 0  0  FN  a 1 1 . FN  Ca  FNH    N  0  N 0  FN  a 1    F  v :‫נקבל‬  N   FN  a  N 1  0    F V :‫ כעת‬. V  v , v ,....., v  :‫נגדיר מטריצה‬ 1 2 N  N   FN  a  N 1  0    :‫ נקבל ליכסון של מטריצה‬. V  F 1  1 F H :‫נבחר‬ N N  N   FN  a  N 1  0 . a ‫ של‬DFT-‫ והערכים העצמיים הם איברי ה‬Ca ‫ מלכסנת כל מטריצה ציקלית‬DFT-‫ מטריצת ה‬:‫כלומר‬ 51...15 :‫ תאריך‬.4 ‫עד כאן הרצאה‬ ‫ סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬- 1 ‫עיבוד אותות ספרתי‬ | 18 ‫‪ a  0‬‬ ‫‪a  N  1‬‬ ‫‪a 1 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a 1‬‬ ‫‪a  0‬‬ ‫‪a  2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( . Ca ‬חזרות ציקליות של ווקטורי העמודה)‪.‬‬ ‫בשיעור קודם הגדרנו‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a  0‬‬ ‫‪ a  N  1 a  N  2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪  FN  a 0‬‬ ‫‪  A  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A 1‬‬ ‫‪ FN  a 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ראינו לאחר הפיתוח כי‪ :‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. FN  Ca  FN ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪A  N  1 ‬‬ ‫‪ FN  a  N 1   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫המסקנה היא שמטריצת ה‪ DFT-‬מלכסנת כל מטריצה ציקלית ונותנת על האלכסון את ערכי ה‪ DFT-‬של האות‪.‬‬ ‫דוגמא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪. Ca  ‬‬ ‫ניקח‪ a    :‬ונבנה את המטריצה הציקלית‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫מעניין אותנו לדעת את הע"ע של המטריצה וזאת נבצע ע"י ליכסון אך הוא יכול להיות קשה ומסובך‪.‬‬ ‫לכן נלך הפוך ונמצא את ה‪ DFT-‬של ‪ a‬ונקבל את הליכסון‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נבצע זאת ע"י התבוננות בווקטור וכתיבה שלו בצורה שמוכרת לנו‪. a         1      :‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫הווקטור השני הוא קבוע ולכן התמרתו‪1 :‬‬ ‫‪(   n ‬המשמעות היא ווקטור שכולו אחד – לכל ‪.) k‬‬ ‫לפי דואליות‪  N   k  :‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪DFT‬‬ ‫‪ . 1‬קיבלנו את ההתמרה עבור הווקטור הראשון‪.‬‬ ‫‪ N    k‬‬ ‫נקבל את ההתמרה‪. A k     N    k   1    1 :‬‬ ‫הערך העצמי ב‪ 0-‬הוא‪ .  N  1   :‬שאר ה‪ N  1 -‬ע"ע זהים והם‪. 1  :‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫‪ . Ca  ‬נחשב ע"ע בצורה הרגילה‪:‬‬ ‫נסתכל על מקרה פרטי‪ . N  2 :‬המטריצה היא‪ :‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫‪  1  ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪    1   2  0    1  ‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ניתן לראות כי בהצבת‪ N  2 :‬מקבלים בדיוק את הע"ע כפי שכתבתנו בצורה כללית מקודם‪.‬‬ ‫‪| 19‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫קונבולוציה עם אות אינסופי‪:‬‬ ‫נניח שיש לנו אות ‪. 0  n   ; x  n‬‬ ‫ברצוננו לממש מערכת ‪ LTI‬עם תגובה להלם ‪ h  n ‬באורך ‪. M‬‬ ‫‪‬‬ ‫עלינו לחשב‪ x  m h  n  m :‬‬ ‫‪m ‬‬ ‫‪M 1‬‬ ‫‪ . y  n ‬המסנן הוא דומיננטי כאן‪ ,‬נניח שהוא סיבתי אז‪. y  n   h  m x  n  m :‬‬ ‫‪m0‬‬ ‫כדי להוציא דגימה אחת למוצא יש לבצע ‪ M‬מכפלות ו‪ M  1 -‬חיבורים בחישוב ישיר‪.‬‬ ‫כדי לבצע את החישובים נרצה להיעזר ב‪ DFT-‬אבל הבעיה היא שהוא מיועד לאותות סופיים בזמן – מה שאין כאן‪.‬‬ ‫עקב כך‪ ,‬נבצע את החישובים בצורה יותר יעילה ופשוטה‪ .‬נחלק את האות האינסופי לקטעים באורך ‪: N‬‬ ‫באיור הנ"ל חילקו את האות למקטעים באורך של ‪.7‬‬ ‫נבצע לכל מקטע קונבולוציה ציקלית באורך מספיק כך שתייצג את הקונבולוציה הליניארית‪.‬‬ ‫בסוף‪ ,‬היות וקונבולוציה ליניארית היא פעולה ליניארית‪ ,‬נוכל לחבר את כל המקטעים‪.‬‬ ‫‪| 21‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫חישוב‪:Overlap & Add :‬‬ ‫‪ x  n  mN  , 0  n  N  1‬‬ ‫‪. xm  n  ‬‬ ‫נחלק את האות למקטעים באורך ‪ N‬באופן הבא‪:‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪else‬‬ ‫‪0‬‬ ‫נסמן‪ - ym  n  xm  n * h  n :‬קונבולוציה באורך ‪. L  M  N  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫מליניאריות ברור ש‪. y  n  x  n * h  n    ym  n  mN  :‬‬ ‫‪m0‬‬ ‫היות ואורך הקונבולוציה גדול מדי יש לנו חפיפה ‪ -‬דוגמא משקף ‪:o2‬‬ ‫בדוגמא נתונים‪ M  5 , N  7 :‬ולכן‪ . L  11 :‬לאחר דגימה ‪ 7‬נוכל להוציא‬ ‫את ‪ 7‬הדגימות הראשונות (אומנם בקצב של הוצאת דגימה אחת כל מחזור אבל‬ ‫בפועל כולם מוכנות בהנחה שהחישוב אינו תלוי בזמן)‪ ,‬לאחר שהקטע הבא יהיה‬ ‫מוכן נוכל להוציא את ‪ 7‬הדגימות הבאות כי הן חופפות למקטע הראשון וכך הלאה‪.‬‬ ‫הרעיון הוא שצריך להכניס ל‪ DFT-‬את כל ‪ 7‬הדגימות של כל מקטע כדי שנוכל לבצע את החישוב ולהוציא אותם‪.‬‬ ‫בשקף ‪ o3‬מופיע התיאור המתמטי (נמצא בצד)‪:‬‬ ‫‪0n6‬‬ ‫‪7  n  10‬‬ ‫‪11  n  13‬‬ ‫‪14  n  17‬‬ ‫‪18  n  20‬‬ ‫השיקול בבחירת ‪:N‬‬ ‫‪y[n]  y0 [n],‬‬ ‫‪y[n]  y0 [n]  y1[n  7],‬‬ ‫‪y[n]  y1[n  7],‬‬ ‫‪y[n]  y1[n  7]  y2 [n  14],‬‬ ‫‪y[n]  y2 [n  14],‬‬ ‫‪ .1‬השהייה בהתחלה ‪ /‬זכרון של המערכת למספר פולסים התחלתי‪.‬‬ ‫‪ .2‬הפרמטר הדומיננטי שנרצה להתחשב בו בבחירת ‪ N‬הוא מספר הכפלים שיש לבצע‪.‬‬ ‫הכפלים מתבצעים בקונבולוציה וראינו כי ניתן לבצע אותה באמצעות ‪.DFT‬‬ ‫על מנת לבצע קונבולוציה ליניארית על מקטע אחד נדרשות‪:‬‬ ‫‪ -‬התמרת ‪( DFT‬של ‪( ,) xm  n‬התמרת ‪ DFT‬של ‪ h  n ‬נעשית רק פעם אחת ולכן לא נספרת בכמות החישובים)‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ הכפלה בין ‪ X m  k ‬ו‪H  k  -‬‬‫‪ -‬התמרת ‪.IDFT‬‬ ‫אם נממש ‪ DFT‬בצורה ישירה נדרשות ‪ L2‬הכפלות ל‪( DFT-‬מוסיפים לאות אפסים עד לאורך הקונבולוציה וראינו בהרצאה קודמת‬ ‫כי צריך כמות הכפלות בריבוע לאורך האות)‪ ,‬עוד ‪ L‬לביצוע ההכפלה עוד ‪ L2‬להתמרה‪ .‬לכן סה"כ למקטע‪. 2L2  L :‬‬ ‫‪2 L2  L‬‬ ‫כי לאחר חישוב של כל הדגימות לאורך מקטע כולן מוכנות ולכן מספר המכפלות לדגימה‬ ‫מספר המכפלות לדגימה הוא‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2 L2  L 2  N  M  1  L‬‬ ‫‪‬‬ ‫אחת תיקח את גודל זה‪ .‬נציב‪ 2M :‬‬ ‫ יותר מכפלות ממה שהתחלנו! ‪‬‬‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L log 2 L  L‬‬ ‫‪L‬‬ ‫במימוש יעיל של ה‪ DFT-‬נדרשות רק ‪ log 2 L‬מכפלות ואז מספר המכפלות לדגימה יהיה‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪L log 2 L  L  N  M  1 log 2  N  M  1   N  M  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.‬‬ ‫כשנציב נקבל‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪1024 10  1024‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נשווה ע"י הצבת מספרים‪ , M  100 , N  925 :‬נקבל‪ L  1024 :‬ולכן‪ 12.18 :‬‬ ‫‪925‬‬ ‫קיבלנו גודל שקטן באופן משמעותי מ‪ M -‬ולכן מאוד חסכוני‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫נחזור להשפעה של ‪ - N‬יש לנו השהייה של ‪ 924‬דגימות בין כניסה למוצא‪ .‬עלינו לשאול את עצמנו כמה השהיית המערכת‬ ‫מסוגלת לספוג‪ .‬נשים לב כי בבחירת ‪ N‬מספיק גדול‪ ,‬המכפלות ילכו כמו‪ . log 2 N :‬כל עוד ‪ log 2 N  M‬אנו נרוויח‪.‬‬ ‫פועל יוצא של פתרון זה הוא חיסכון של ‪ 90%‬מהחישובים‪.‬‬ ‫‪| 21‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫שיטת ‪:Overlap & Save‬‬ ‫כעת נחתוך קטעים באורך הקונבולוציה אבל עם חפיפות‪.‬‬ ‫דוגמא עבור‪. N  7 , M  5 :‬‬ ‫ניקח ווקטור באורך ‪. L  11‬‬ ‫נשים לב כי רק ‪ M  1‬הדגימות הראשונות בכל מחזור של‬ ‫הקונבולוציה הציקלית (סובלות מ‪ )aliasing-‬שונות מהקונבולוציה‬ ‫הליניארית ולכן ‪ N‬דגימות זהות לקונבולוציה הליניארית‪.‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫נרשום‪ x m h  L  n  m :‬‬ ‫‪m  n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪. zc  n   x  n  h  n    x  m  h  n  m  ‬‬ ‫‪m0‬‬ ‫‪‬‬ ‫עבור‪ n  M 1 :‬נוכל לרשום‪ x  m h n  m  z n :‬‬ ‫כי זורקים את ‪ M  1‬הדגימות הראשונות בכל מחזור ואז אין חפיפה‬ ‫‪m ‬‬ ‫בחיבורים וניתן לחבר הכל ולכתוב כסכום אחד‪.‬‬ ‫נציין כי כמות המכפלות לא השתנתה בשיטה זו‪.‬‬ ‫בצד מופיע תיאור מתוך שקף ‪ o5‬של האמור‪.‬‬ ‫מימושים במטלב – שקף אחרון‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫שיטת החישוב ‪:(Fast Fourier Transform) FFT‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫ההתמרה היא‪. X  k    x  n WNkn :‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫נחלק את הסכום לשני חלקים – סכום זוגי וסכום אי"ז‪:‬‬ ‫‪ x nW‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  odd‬‬ ‫‪ x nW‬‬ ‫‪kn‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪n  even‬‬ ‫‪N 1‬‬ ‫‪. X  k    x  nWNkn ‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫נניח ש‪ n -‬זוגי ונסמן‪ . N  2L :‬עבור ‪ n‬זוגי‪ n  2l :‬ועבור ‪ n‬אי"ז‪ . n  2l  1 :‬נחזור להתמרה‪:‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪X  k    x  2l WN2lk   x  2l  1WNk  2l 1   x  2l  WN2   WNk  x  2l  1 WN2 ‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪  j 2 ‬‬ ‫נסמן את‪ W   e N   e N /2  WL :‬וכן‪ g  n  x  2n , h  n  x  2n  1 :‬ונחזור לפיתוח‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪L 1‬‬ ‫‪ x  2l  WN2   WNk  x  2l  1 WN2    g l WLkl  WNk  h l WLkl  G  k L   WNk  H  k L ‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪kl‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫קיבלנו עבור‪ 0  k  L  1 :‬את‪ X  k   G  k   WNk  H  k  :‬ו‪. X  k  L  G  k   WNk  H  k  -‬‬ ‫בשקף ‪ 2‬של מצגת ‪ fft‬מתוארת הסכמה של אופן ביצוע הפעולה‪:‬‬ ‫‪| 22‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫‪n 0‬‬ ‫בשקף הבא ניתן לראות את כמות המכפלות‪:‬‬ ‫נניח שהבלוקים הפנימיים ממומשים בצורה ישירה‪.‬‬ ‫דרוש‪:‬‬ ‫‪ DFT 2‬באורך ‪. 0.5N‬‬ ‫‪ N‬מכפלות‪.‬‬ ‫‪ N‬חיבורים‪.‬‬ ‫‪N2‬‬ ‫סה"כ מכפלות‪ N :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫חסכנו כמעט חצי מהחישובים כי בצורה הישירה היו לנו ‪. N 2‬‬ ‫‪. 2   0.5 N   N ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כדי לחסוך עוד נפצל את הדגימות הזוגיות לדגימות העומדות במקומות הזוגיים והאי"ז (פעם נוספת)‪:‬‬ ‫במקרה זה עלינו לבצע ‪ DFT‬של ‪ 2‬שזה‬ ‫ממש טריוויאלי‪:‬‬ ‫הסכמה השלמה היא‪:‬‬ ‫במימוש של כל השלבים נקבל סה"כ‪:‬‬ ‫‪ log 2 N‬שלבים‪.‬‬ ‫בכל שלב ‪ N‬מכפלות ו‪ N -‬חיבורים לכן‪:‬‬ ‫‪ N log 2 N‬מכפלות ו‪ N log 2 N -‬חיבורים‪.‬‬ ‫‪| 23‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬ ‫כדי לקצר עוד יותר נשים לב כי ‪ WNr‬ו‪ WNr  N /2 -‬נבדלים במינוס ולכן יש לחשב רק חצי מהם‪.‬‬ ‫לכן יש לנו חצי מהמכפלות‪.‬‬ ‫קיבלנו‪ N log 2 N :‬חיבורים‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ו‪ - log 2 N -‬מכפלות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫בצורה מתמטית‪ X  k   G  k   WNk H  k  :‬ו‪ . X  k  L  G  k   WNk H  k  -‬תיאור כללי‪:‬‬ ‫כאשר אורך האות אינו חזקה של ‪ 2‬אלא חזקה אחרת נוכל לפתח את כל הרעיון עבור חזקות אחרות‪.‬‬ ‫לא נעשה זאת במסגרת הקורס‪ .‬אפשרות נוספת היא ריפוד באפסים עד לחזקה הבאה של ‪.2‬‬ ‫פתרון זה הוא לרוב פתרון מצוין אך יש לזכור שהוא נותן דגימות שונות (במרווחים קטנים יותר) של התמרת פורייה‪.‬‬ ‫נבחן לעומק את הפתרון של ריפוד באפסים מבחינת מספר המכפלות‪:‬‬ ‫ניקח אות באורך‪ . N  129 :‬במקרה הישיר יש לנו‪ N 2  16641 :‬מכפלות‪.‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ריפוד באפסים מביא את אורך האות ל‪ 256-‬וכעת לפי השיטה המהירה נקבל‪log 2 N  1024 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מכפלות‪.‬‬ ‫נשים לב למכשול פוטנציאלי בעת המימוש (שלנו) במטלב של ההתמרה המהירה‪.‬‬ ‫האות בכניסה לא מסודר לפי האינדקסים בסדר עולה‪ .‬פתרון פשוט לזה שהמכונה מממשת החלפה של הביטים כמתואר בשקף ‪.10‬‬ ‫עד כאן הרצאה ‪ .2‬תאריך‪11.4.15 :‬‬ ‫‪| 24‬‬ ‫עיבוד אותות ספרתי ‪ - 1‬סיכום ועריכה מאת שי ידרמן‬