‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬ ‫תרגול מס' ‪– 4‬בקרה בחוג פתוח‪ ,‬תגובה דינמית ‪ -‬פתרון‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪P s‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪C s‬‬ ‫‪r‬‬ ‫איור ‪ :1‬מערכת בקרה בחוג פתוח‬ ‫נתונים התהליכים‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪3. P  s  ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪2. P  s  ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪1. P  s  ‬‬ ‫קבעו האם ניתן לבקר תהליכים אלו בחוג פתוח כמתואר באיור ‪ 1‬בשיטת היפוך התהליך‪ ,‬כלומר באמצעות הבקר‬ ‫‪. C  s   P 1  s ‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ – 1‬תהליך מס' ‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫התהליך עצמו יציב (הינו ‪ proper‬ואינו מכיל קטבים ב ‪.)RHP‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הבקר המתקבל הוא‪:‬‬ ‫‪. C  s   P1  s   s  1‬‬ ‫בקר זה הינו ‪ improper‬כי דרגת המונה שלו גדולה מדרגת המכנה‪ .‬בקר כזה אינו סיבתי ואינו יציב ‪ BIBO‬על פי‬ ‫ההגדרה‪ .‬אף על פי כן‪ ,‬במקרים מסוימים נוכל להשתמש בבקר זה‪ .‬אות הבקרה המתקבל‪:‬‬ ‫‪u  s   C  s  r  s    s  1 r  s   u t   r t   r t ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫לדוגמא‪ ,‬מעוניינים לעקוב אחר האות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s  5s  1‬‬ ‫מקבלים‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r  t   2 1  e t 5  1  t   r  s  ‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u  t   2  1.6e t 5 1 t ‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s  5s  1‬‬ ‫‪u s  C s r s  2‬‬ ‫אות הייחוס ‪ r  t ‬חסום‪ .‬הנגזרת שלו ‪ r  t ‬אמנם לא רציפה ב ‪ , t  0‬אך חסומה ולכן נוכל להשתמש בבקר זה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אם מעוניינים לעקוב אחר האות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪r  t   2  1 t   r  s  ‬‬ ‫מקבלים‪:‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪ 2  1    u  t   2    t   2  1 t ‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ s‬‬ ‫‪u s  C s r s  2‬‬ ‫אות הייחוס ‪ r  t ‬חסום אך הנגזרת שלו ‪ r  t ‬אינה חסומה ולכן לא נוכל להשתמש בבקר זה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אם אות הייחוס ‪ r  t ‬אינו ידוע מראש אלא מתקבל בזמן אמת על ידי מדידה‪ ,‬שימוש בבקר זה יצריך מידע על‬ ‫ערכים עתידיים של הכניסה (הבקר אינו סיבתי) ומבחינה מעשית לא ניתן לממש זאת‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מסקנה‪ :‬נוכל להשתמש בבקר זה רק אם אות הייחוס ‪ r  t ‬ידוע מראש והוא גזיר בעל נגזרת חסומה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ – 1‬תהליך מס' ‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫התהליך עצמו יציב (הינו ‪ proper‬ואינו מכיל קטבים ב ‪ )RHP‬אך מכיל אפס ב ‪.RHP‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הבקר המתקבל הוא‪:‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪. C  s   P 1  s  ‬‬ ‫בקר זה הינו ‪( proper‬ולכן סיבתי)‪ ,‬אך איננו יציב (מכיל קוטב ב ‪ RHP‬שזה האפס של התהליך)‪ .‬לפיכך‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אותות ייחוס חסומים יגרמו לאותות בקרה לא חסומים‪ .‬לדוגמא‪ ,‬בעקיבה אחר האות החסום ‪ r  t   2 1 t ‬נקבל‬ ‫את אות הבקרה (הלא חסום) הבא‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u  t   3e2t  1 1 t ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫עבור מודל מושלם מקבלים ‪y  t   r  t  t‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪s  1 ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s  s  2‬‬ ‫‪. u s  2‬‬ ‫‪ ,‬אך בנוכחות אי ודאויות זה לא כך‪ .‬לדוגמא‪:‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪s  2.1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ s   CPreal ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s  2.1‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪, Preal  s  ‬‬ ‫‪, C s ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪Pmodel  s  ‬‬ ‫כלומר‪ ,‬גם התגובה עצמה לאות ייחוס חסום תהיה לא חסומה‪ .‬הנ"ל יכול לקרות למשל גם אם ממשים את הבקר באופן‬ ‫דיגיטאלי (ללא אי ודאות במודל)‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לא ניתן לבקר את התהליך הנתון באמצעות בקר זה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ – 1‬תהליך מס' ‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫התהליך עצמו אינו יציב (מכיל קוטב ב ‪.)RHP‬‬ ‫‪-‬‬ ‫הבקר המתקבל הוא‪:‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪. C  s   P 1  s  ‬‬ ‫הבקר עצמו יציב (‪ ,proper‬לא מכיל קטבים ב ‪ ,)RHP‬ולכן לכל אות ייחוס חסום נקבל אות בקרה חסום‪ .‬אבל‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫כיוון שהתהליך אינו יציב‪ ,‬כל הפרעה ‪ , d  t ‬גם הקטנה ביותר‪ ,‬שתכנס לחוג תגרום להתבדרות של התגובה‪.‬‬ ‫‪-‬‬ ‫אי וודאות במודל גם כן תגרום להתבדרות התגובה‪ .‬לדוגמא‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ s   CPreal ‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪s  1.1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪, Preal  s  ‬‬ ‫‪, C s ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪s  1.1‬‬ ‫‪s2‬‬ ‫‪Pmodel  s  ‬‬ ‫מסקנה‪ :‬לא ניתן לבקר את התהליך הנתון באמצעות אף בקר (לא ניתן "להיפטר" מהקוטב הלא יציב של‬ ‫התהליך)‪.‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering 2 ‫שאלה‬ System: P1 Peak amplitude: 1.61 Overshoot (%): 61 At time (seconds): 1.22 Step Response 1.6 1.4 Amplitude 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 Time (seconds) 10 12 14 '‫א‬2 ‫ תגובת המדרגה של המערכת בשאלה‬:2 ‫איור‬ . 3k y  s   2 1 3k ‫ נתונה המערכת‬.‫א‬ u s  s  .τ ‫ ו‬k ‫ חשבו את‬.2 ‫ שבאיור‬y(t) ‫ מתקבלת תגובה‬u(t)=1(t) ‫עבור‬ '‫ סעיף א‬2 ‫פתרון שאלה‬ ‫ ונקבל‬,‫נשווה את פונקציית התמסורת לצורה הסטנדרטית של מערכות מסדר שני‬ 3k K pn2 y   s  1 3k s 2  2n s  n2 u 2 s  s    3k  K p  1 , n      2  1    1 n   2 3k  ‫מגרף התגובה בזמן אנו מקבלים‬  OS  61%  0.61  e Tp  1.22sec   d  1 2    ln  OS    ln  OS  2 2  d  2.575 r s  n 1   2 4  ln  0.61   ln  0.61 2  n  2  0.15 2.575 1  0.152  2.6 r s ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫נשווה בין משוואות הנ"ל ונקבל‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3k‬‬ ‫‪ 0.15 , n ‬‬ ‫‪ 2.6 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 3k‬‬ ‫‪k  3 ;   1.2‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪Step Response‬‬ ‫‪0.35‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪System: P2‬‬ ‫‪Final value: 0.314‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪Amplitude‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫‪0.7‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.5‬‬ ‫‪0.3‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫)‪Time (seconds‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0.1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫איור ‪ :3‬תגובת המדרגה של המערכת בשאלה ‪ 2‬ב'‬ ‫‪k1k‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ב‪ .‬נתונה מערכת אחרת‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ s  1  kk1k2‬‬ ‫‪ ,‬כאשר הקבועים ‪ k‬ו ‪ ‬הם הקבועים שמצאתם בסעיף א'‪.‬‬ ‫תגובת המערכת לכניסת מדרגה )‪ u(t)=1(t‬נתונה באיור ‪ .3‬חשבו את ההגברים ‪ k1‬ו ‪.k2‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬ ‫נשווה את פונקציית התמסורת עם צורה סטנדרטית של מערכת מסדר ראשון‪ .‬נגדיר קבועים ‪ K‬ו ‪ T‬של המערכת‪.‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪Ts  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪k1k‬‬ ‫‪1  kk1k2‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1  kk1k2‬‬ ‫‪k1k‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪s ‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪ s  1  kk1k2‬‬ ‫ההגבר הסטטי של מערכת זו אינו ‪ ,1‬לכן התגובה במצב מתמיד לכניסת מדרגה אינה מתכנסת לגובה המדרגה‪ .‬נבדוק‬ ‫זאת על פי משפט הערך הסופי‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪K 1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪ K‬‬ ‫‪ s   u  s   lim‬‬ ‫‪s 0 Ts  1 s‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪yss  lim sy  s   lim s‬‬ ‫‪s 0‬‬ ‫‪s 0‬‬ ‫ הפקולטה להנדסת מכונות‬,‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‬ TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering :‫מגרף התגובה נקבל‬ kk y 0.314  0   K  1  yss  0.314  k1  u 1  kk1k2 k 1  0.314k2  y  t  T   0.63 yss  0.63  0.314  0.2 From plot: y  0.2 at t  0.07.  T   1  kk1k2  0.07  k1    0.07 0.07kk2 ‫ נקבל‬, k  3 ,   1.2 ,'‫ובהצבת קבועי התהליך מסעיף א‬ k1  0.316   0.07  1.81 , k2  3 0.07k 0.316 6 ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫איור ‪ :4‬מערכת בקרה בשאלה ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ P  s  ‬עליו פועלת הפרעה ‪ d‬הניתנת למדידה באמצעות חיישן‬ ‫נתון התהליך‬ ‫‪10s  1‬‬ ‫‪5s  3‬‬ ‫למצוא בקר ‪ C  s ‬המקטין את השפעת ההפרעה על יציאת התהליך‪.y ,‬‬ ‫‪ . H  s  ‬דרוש‬ ‫א‪ .‬מצאו את הקשר בין ‪ d‬ל ‪.y‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף א'‬ ‫‪y‬‬ ‫התמסורת היא ‪ s   1  C  s  H  s   P  s ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מציעים להשתמש בבקר ‪ . C  s    H 1  s ‬מהו הקשר בין ‪ d‬ל ‪ y‬כעת? האם ניתן לממש בקר זה?‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ב'‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y‬‬ ‫כעת נקבל ‪ s   1  H 1  s  H  s  P  s   0‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ C  s    10s  1‬אינו סיבתי ולכן לא ניתן לממשו‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ג‪ .‬חזרו על סעיף ב' עם הבקר ‪H 1  s ‬‬ ‫‪ s 1‬‬ ‫תגובות להפרעת מדרגה בגובה יחידה עבור‬ ‫‪ ,‬לכן לכאורה צפויה הנחתה מוחלטת של ההפרעה‪ .‬אולם‪ ,‬הבקר‬ ‫‪1 , C s  ‬‬ ‫‪ 0  ‬וציירו עקום בודה של התמסורת ‪ .y/d‬ציירו‬ ‫𝜀 עם בקר זה‪.‬‬ ‫‪7‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ג'‬ ‫‪10s  1‬‬ ‫כעת הבקר יהיה‬ ‫‪ s 1‬‬ ‫ההפרעה‪ ,‬שכן כעת התמסורת היא‪:‬‬ ‫‪ . C  s   ‬בקר זה יציב וסיבתי ולכן ניתן לממשו‪ .‬למעשה‪ ,‬נקבל הנחתה לא מוחלטת של‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪10 s‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪H 1  s  H  s   P  s  ‬‬ ‫‪P s ‬‬ ‫‪ s   1 ‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪ s 1‬‬ ‫‪ s  1 5s  3‬‬ ‫‪  s 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫איור ‪ :5‬עקום בודה של התמסורת ‪ y/d‬בשאלה ‪3‬‬ ‫ככל ש 𝜀 קטן יותר כך המערכת מעבירה פחות (=מנחיתה יותר) אותות בעלי תוכן תדירותי איטי‪.‬‬ ‫איור ‪ :6‬תגובות להפרעת מדרגה בשאלה ‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪.‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫אכן‪ ,‬ככל ש 𝜀 קטן יותר כך ההפרעה מונחתת יותר‪.‬‬ ‫איור ‪ :7‬מערכת הבקרה בשאלה ‪ 3‬בתוספת רעש מדידה‬ ‫כמתואר באיור ‪ .7‬מצאו את הקשר בין ‪ n‬ל ‪y‬‬ ‫ד‪ .‬התגלה שבמדידת ההפרעה נוסף רעש מדידה‬ ‫𝜀‪ .‬ציירו את תגובת המערכת להפרעת‬ ‫וציירו עקומי בודה של התמסורת ‪ y/n‬ותמסורת הבקר עבור‬ ‫מדרגה בנוכחות רעש מדידה‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 3‬סעיף ד'‬ ‫‪y‬‬ ‫‪10s  1‬‬ ‫התמסורת היא‪:‬‬ ‫‪ s   C  s  P  s   10‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ s  1 5s  3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫עקומי בודה (הגבר בלבד)‪:‬‬ ‫איור ‪ :8‬ימין – עקומי בודה של הבקר‪ ,‬שמאל – עקומי בודה של התמסורת ‪y/n‬‬ ‫ככל ש 𝜀 גדול יותר כך הבקר ולכן גם התמסורת ‪ y/n‬מגבירים יותר בתדרים גבוהים ובפרט בתדר של הרעש‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫איור ‪ :9‬תגובה להפרעת מדרגה בנוכחות רעש מדידה‬ ‫אכן רואים שככל ש 𝜀 קטן יותר כך השפעת הרעש ניכרת יותר‪ .‬לפיכך‪ ,‬קיים ‪ trade off‬בין היכולת להקטין את‬ ‫ההשפעה של ההפרעה על היציאה ולהקטין את ההשפעה של רעש המדידה על היציאה‪.‬‬ ‫‪10‬‬