‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫תורת הבקרה )‪(035188‬‬ ‫תרגול מס' ‪ – 8‬בקרה אופטימאלית ‪ – LQR‬פתרון‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫נתון התהליך‪:‬‬ ‫‪s 1‬‬ ‫‪. P s ‬‬ ‫א‪ .‬כתבו למערכת מימוש במרחב המצב ומצאו משוב מצב הממקם את קוטב החוג הסגור בנקודה ‪.-2‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף א'‬ ‫מימוש אפשרי במרחב המצב‪:‬‬ ‫‪x  x  u‬‬ ‫‪ A  1, B  1, C  1, D  0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y  x‬‬ ‫בדיקת קונטרולביליות‪:‬‬ ‫‪MC  B  1  0‬‬ ‫המערכת קונטרולבילית‪ .‬פולינום אופייני רצוי בחוג הסגור‪:‬‬ ‫‪cl  s   s  2‬‬ ‫משוב מצב‪:‬‬ ‫הגבר משוב מצב לפי נוסחת אקרמן‪:‬‬ ‫‪F  MC1cl  A   1  2  1‬‬ ‫הערה‪ :‬במערכת סקלארית פשוטה כמו זו נוח לפתור גם ישירות מהשוואת מקדמים‪:‬‬ ‫‪eig  A  BF   eig  1  1 F   1  F  2  F  1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫‪‬‬ ‫ב‪ .‬מצאו משוב מצב הממזער את הקריטריון ‪( J c   u 2  t  dt‬כלומר‪ ,‬ייצוב המערכת במינימום מאמץ בקרה)‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 1‬סעיף ב'‬ ‫פתרון אינטואיטיבי‪:‬‬ ‫כיוון שהתהליך יציב‪ ,‬לייצב את המערכת במינימום מאמץ בקרה פירושו לא להפעיל בקרה כלל‪ ,‬כלומר להשאיר את‬ ‫החוג פתוח (וזה אומר ‪.) F  0‬‬ ‫פתרון פורמאלי‪:‬‬ ‫הצורה הכללית של קריטריון המזעור‪:‬‬ ‫‪x ' t  Cz ' Cz x t   u 2 t  dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪J ‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פתרון ‪ P‬של משוואת ריקאטי‬ ‫‪A ' P  PA  Cz ' Cz  1 PBB ' P  0‬‬ ‫מייצב את החוג הסגור (והוא קיים אם ורק אם מתקיימים שני תנאים – בדקו!)‪ ,‬אם ‪ A  BF‬עם ‪ F  1 B ' P‬יציב‪.‬‬ ‫כאן ‪ Cz  0‬ו ‪   1‬ולכן‪:‬‬ ‫‪A ' P  PA  Cz ' Cz  1 PBB ' P  2P  P 2  P  2  P   0‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ , P  2‬נקבל‪ F  1 B ' P  2  A  BF  1  1  2   1 :‬לא יציב‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫אם ‪ , P  0‬נקבל‪ F  1 B ' P  0  A  BF  1  1  0   1 :‬יציב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫מצאו משוב מצב הממזער את הקריטריון ‪ y 2 t   u 2 t  dt‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( J c  ‬משקל זהה למאמץ הבקרה ולביצועים)‪.‬‬ ‫‪0‬‬ ‫פתרון סעיף ג'‬ ‫כאן ‪ Cz  C  1  Cz x  Cx  y‬ולכן‪:‬‬ ‫‪A ' P  PA  C z ' C z  1 PBB ' P  2P  1  P 2  0  P 2  2P  1  0  P1,2  1  2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A  BF  1  1  1  2  ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪F1  1 B ' P1  1  2  A  BF1  1  1 1  2   2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪F2  1 B ' P2  1  2 ‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫הפתרון המייצב הוא לכן ‪ P  1  2‬שנותן משוב מצב ‪. F  1  2  0.414‬‬ ‫הערה‪ :‬משוב זה ימקם את קוטב החוג הסגור בנקודה ‪ , A  BF   2  1.414‬לעומת הנקודה ‪ ,-2‬כמו שהזיז‬ ‫המשוב ‪ F  1‬בסעיף א'‪ .‬כלומר‪ ,‬כאן הבקר "יתאמץ פחות" בהזזה של קוטב התהליך ש ב ‪ .-1‬מצד שני‪ ,‬התגובה עם‬ ‫קוטב ב ‪ -2‬עולה ומתכנסת מהר יותר מהתגובה עם קוטב ב ‪ .-1.414‬משוב קטן מ ‪ 0.414‬ייתן מאמץ בקרה קטן עוד‬ ‫יותר אך גם תגובה איטית יותר‪ .‬האופטימום‪ ,‬כאמור‪ ,‬הוא עם ‪. F  0.414‬‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫משוואות התנועה של מנוע ‪ DC‬המניע עומס דרך תמסורת גמישה הן‪:‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫̇‬ ‫(‬ ‫̇‬ ‫הן הזוויות‬ ‫הינו מומנט האינרציה של המנוע‪ ,‬הינו מומנט האינרציה של העומס‪,‬‬ ‫כאשר‬ ‫הם מקדמי הריסון והקשיחות של התמסורת‬ ‫והמהירויות הזוויתיות של המנוע והעומס‪ ,‬בהתאמה‪ .‬הקבועים‬ ‫הגמישה ו הוא קבוע הזרם של המנוע‪.‬‬ ‫הכניסה למערכת הינה הזרם‪( ) ,‬‬ ‫) ( והיציאה הינה מהירות סיבוב העומס‪( ) ,‬‬ ‫) ( ‪.‬‬ ‫עבור הערכים המספריים‪:‬‬ ‫יחד עם ההגדרה‬ ‫‪ ,‬נקבל מימוש במרחב המצב‪:‬‬ ‫) ( ]‬ ‫[‬ ‫) (‬ ‫]) (‬ ‫) (‬ ‫[‬ ‫[]‬ ‫) (‬ ‫]) (‬ ‫) (‬ ‫‪3‬‬ ‫[]‬ ‫) ( ̇‬ ‫]) ( ̇ [‬ ‫) ( ̇‬ ‫[‬ ‫) (‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫א‪ .‬תכננו בקר אשר ממזער את הקריטריון‪:‬‬ ‫)) (‬ ‫) (‬ ‫(∫‬ ‫ציירו את התגובה למדרגה עבור ערכים שונים של המשקל על מאמץ הבקרה‪. ,‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף א'‬ ‫ראשית נבדוק את הקונטרולביליות של המערכת‪ .‬מטריצת הקונטרולביליות הינה‪:‬‬ ‫]‬ ‫מתקבל‬ ‫|‬ ‫[‬ ‫|‪ .‬המערכת קונטרולבילית ולכן היא גם ניתנת לייצוב‪.‬‬ ‫נבדוק גם אובזרבביליות‪:‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫גם למטריצה זו דרגה מלאה‪ .‬המערכת אובזרבבילית ולכן אין לה מודים לא אובזרבבילים על הציר המדומה‪.‬‬ ‫כיוון שאנו מעוניינים למזער רק את ) (‬ ‫) (‬ ‫מתוך ווקטור המצב‪ ,‬נגדיר‬ ‫ונקבל‪:‬‬ ‫[‬ ‫]‬ ‫משוואת ריקאטי‪:‬‬ ‫‪A ' P  PA  Cz ' Cz  1 PBB ' P  0‬‬ ‫כאן משוואת ריקאטי היא משוואה מטריצית‪ .‬נפתור אותה בעזרת מאטלאב עם הפקודה )‬ ‫עבור ערכים שונים של הפרמטר‬ ‫(‬ ‫ונקבל מטריצה שהיא פתרון מייצב ‪ . P‬משוב המצב האופטימאלי יהיה‬ ‫) (‬ ‫המערכת בחוג סגור תהיה (עם‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫מתאים)‪:‬‬ ‫) (‬ ‫(‬ ‫) ( )‬ ‫) (‬ ‫‪4‬‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫עבור ערכים שונים של‬ ‫נקבל תגובות של החוג הסגור לכניסת מדרגה באות הייחוס‪:‬‬ ‫)‪Output y(t‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪ = 0.1‬‬ ‫‪ = 0.01‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫)‪Time (Sec‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫תגובת החוג הסגור ‪y  t ‬‬ ‫)‪Control effort u(t‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪ = 0.1‬‬ ‫‪ = 0.01‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (Sec‬‬ ‫מאמץ הבקרה ‪u  t ‬‬ ‫ככל שהמשקל של מאמץ הבקרה בקריטריון המזעור הוא גדול יותר‪ ,‬כך מקבלים ביצועים פחות טובים (אנרגיה גדולה‬ ‫יותר של אות היציאה)‪ ,‬אך מאמץ בקרה יותר קטן (אנרגיה קטנה יותר של אות הבקרה)‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫ב‪ .‬תכננו בקר אשר ממזער את הקריטריון הבא‪:‬‬ ‫)) (‬ ‫(‬ ‫) ( ̇ )‬ ‫) (‬ ‫(∫‬ ‫ציירו את התגובה למדרגה עבור ערכים שונים של המשקל ‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ב'‬ ‫כעת קריטריון המזעור כולל משקל קבוע על מאמץ הבקרה ומשקל יחסי על התגובה (מהירות סיבוב העומס) ומידת‬ ‫החלקות שלה (תאוצת סיבוב העומס)‪ .‬ידוע כי‪:‬‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫נגזור ונקבל‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫⏟‬ ‫) (̇‬ ‫) (‬ ‫) ( ̇‬ ‫לכן‪ ,‬על מנת לקבל‬ ‫‪x ' Cz ' Cz x  kx ' C ' Cx  1  k  x ' A ' C ' CAx  x '  kC ' C  1  k  A ' C ' CA  x‬‬ ‫נגדיר‪] :‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫[‬ ‫ואז ]‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫[] )‬ ‫(‬ ‫נפתור את משוואת ריקאטי עבור ערכים שונים של הפרמטר‬ ‫√‬ ‫√[‬ ‫‪.‬‬ ‫ומצייר את תגובת החוג הסגור לכניסת מדרגה‪.‬‬ ‫)‪Output y(t‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪k = 0.1‬‬ ‫‪k = 0.2‬‬ ‫‪k = 0.5‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪Time (Sec‬‬ ‫תגובת החוג הסגור ‪y  t   l  t ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫)‪Control effort u(t‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪k = 0.1‬‬ ‫‪k = 0.2‬‬ ‫‪k = 0.5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪Time (Sec‬‬ ‫מאמץ הבקרה ‪u  t ‬‬ ‫ככל שהמשקל על התאוצה הזוויתית גדול יותר ( קטן יותר)‪ ,‬כך התגובה חלקה יותר (ללא קפיצות ותנודות)‪ ,‬ולהיפך‪.‬‬ ‫כמו כן‪ ,‬ככל ש מתקרב יותר ל ‪ ,1‬כך המשקל היחסי על מאמץ הבקרה קטן יותר ומקבלים מאמץ בקרה גדול יותר‪.‬‬ ‫ג‪ .‬תכננו בקר אשר ממזער את הקריטריון‬ ‫)) (‬ ‫) (‬ ‫) ( ̇‬ ‫∫‬ ‫(‬ ‫ציירו את התגובה למדרגה עבור ערכים שונים של הפרמטר ‪.‬‬ ‫פתרון שאלה ‪ 2‬סעיף ג'‬ ‫קריטריון כנ"ל מבטיח כי וקטור המצב ‪ x  t ‬מתכנס בקצב מהיר יותר מ ‪( e t‬כי החלק הממשי של כל קטבי החוג‬ ‫הסגור יהיה שלילי יותר מ ‪ . ‬כאן‪ ,‬לקבלת צורה סטנדרטית‪ ,‬עלינו להגדיר‬ ‫את המשקל‬ ‫√[‬ ‫√‬ ‫נגדיר כמו בסעיף הקודם‪] ,‬‬ ‫נקבל את מטריצת המשקל ]‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫[] )‬ ‫(‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫√[‬ ‫√‬ ‫‪ .‬כעת עלינו לפתור את משוואת ריקאטי‬ ‫הבאה‪:‬‬ ‫)‬ ‫‪7‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל‪ ,‬הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪TECHNION – Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫והמשוב האופטימאלי יהיה‪:‬‬ ‫) (‬ ‫נפתור עבור ערכים שונים של פרמטר הדעיכה האקספוננציאלית‬ ‫) (‬ ‫) (‬ ‫ונקבל את תגובות המרגה הבאות‪:‬‬ ‫)‪Output y(t‬‬ ‫‪1.4‬‬ ‫‪ = 0.1‬‬ ‫‪ = 0.5‬‬ ‫‪ = 1.5‬‬ ‫‪1.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.8‬‬ ‫‪0.6‬‬ ‫‪0.4‬‬ ‫‪0.2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (Sec‬‬ ‫תגובת החוג הסגור ‪y  t   l  t ‬‬ ‫)‪Control effort u(t‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪ = 0.1‬‬ ‫‪ = 0.5‬‬ ‫‪ = 1.5‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪-20‬‬ ‫‪-40‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪-60‬‬ ‫‪0‬‬ ‫)‪Time (Sec‬‬ ‫מאמץ הבקרה ‪u  t ‬‬ ‫על ידי בחירת פרמטר מתאים אפשר לקבל תגובה מהירה יותר וגם מרוסנת יותר (ללא תגובת יתר ותנודות)‪ .‬מאידך‪,‬‬ ‫תגובה מהירה מצריכה מאמץ בקרה גדול‪.‬‬ ‫‪8‬‬