‫'&‪."$"%-!./0$'(!'&("12' !# ()*+#(!#,"("$%&!!"%-! " !!"#$%‬‬ ‫‪TECHNION — Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering‬‬ ‫מבוא לבקרה )‪(034040‬‬ ‫גליון תרגילי בית מס׳ ‪4‬‬ ‫‪th2 th1‬‬ ‫ציור ‪ :1‬תיאור המערכת‬ ‫שאלה מס׳ ‪1‬‬ ‫סטודנט תכנן מערכת המכוונת שמשיה למיקסום הצל שנוצר‪ .‬המיקום הזוויתי של השמשייה ‪ θ‬מושווה למיקום הזוויתי של השמש ‪.θ2‬‬ ‫הפרש הזוויות מהווה כניסה לבקר פרופורציונלי בעל הגבר ‪ .K‬מתח היציאה מהבקר מפעיל מנוע ‪ DC‬בעל הקבועים ‪R, Kb ,KT , Jm‬‬ ‫המהווים את ההתנגדות‪ ,‬קבוע המתח‪ ,‬קבוע המומנט ומומנט האינרציה בהתאמה‪ .‬המנוע מייצר מומנט אשר מניע את השמשייה‪ .‬השמשייה‬ ‫בעלת מומנט אינרציה ‪ .J‬הרוח הנושבת באזור השמשייה יוצרת מומנט )‪ Td (t‬אשר פועל על השמשייה‪ .‬נתונים‪,Jm = 0.05[kg m2 ] :‬‬ ‫] ‪.R = 2[Ω] ,Kb = 2[V sec] ,KT = 2[ NAm ] ,J = 1[kg m2‬‬ ‫א‪ .‬ציירו דיאגרמת בלוקים מפורטת של המערכת‪.‬‬ ‫)‪, θθ(s‬‬ ‫ב‪ .‬רשמו את פונקציות התמסורת של החוג הסגור‬ ‫)‪2 (s‬‬ ‫)‪θ(s‬‬ ‫)‪Td (s‬‬ ‫)כתלות ב־‪.(K‬‬ ‫ג‪ .‬מצאו תחום ערכי ‪ K‬עבורם המערכת בחוג הסגור יציבה‪.‬‬ ‫פתרון לשאלה מס׳ ‪1‬‬ ‫‪ .1‬משוואות המנוע‪:‬‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫˙‪V = Ri + Kb θ‬‬ ‫‪Jm θ¨ = T − TL‬‬ ‫‪T = KT i‬‬ ‫‪Jθ¨ = TL + Td‬‬ ‫משוואות התנועה של השמשייה‪:‬‬ ‫‪(Jm + J)θ¨ = T + Td = KT i + Td = KT R1 V + Td − KT Kb θ˙ R1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪KT‬‬ ‫‪KT‬‬ ‫‬ ‫= )‪θ(s‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪T‬‬ ‫=‬ ‫)‪P(s‬‬ ‫‪V‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪Jm + J s2 + KTRKb s R‬‬ ‫דיאגרמת הבלוקים מתוארת בציור ‪.2‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪KT K‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪KT K‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪KT K‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬ ‫‪J s2 + KTRKb s‬‬ ‫)‪θ(s‬‬ ‫=‬ ‫)‪θr (s‬‬ ‫‪Jm +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪θ(s‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫=‬ ‫)‪Td (s‬‬ ‫‪Jm + J s2 + KTRKb s +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪Td‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫?‬ ‫‪V- KT‬‬ ‫‪- l- K‬‬ ‫)‪- l - P(s‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‬‫ ‬ ‫ ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪θr‬‬ ‫ציור ‪ :2‬דיאגרמת הבלוקים‪.‬‬ ‫‪ .3‬זוהי מערכת מסדר שני ⇐ יציבות אסימפטוטית כאשר )∞ ‪.K ∈ (0,‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪r - l - K1 +K2 s‬‬ ‫‪y‬‬‫‪10‬‬ ‫‬‫‪s(s−1)+20‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‬‫ ‬ ‫ ‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫ציור ‪ :3‬דיאגרמת הבלוקים‬ ‫שאלה מס׳ ‪2‬‬ ‫נתונה המערכת שמתוארת בציור ‪.3‬‬ ‫‪ .1‬מהי פונקציית התמסורת ‪? yr‬‬ ‫‪ .2‬מהו תחום הערכים של ‪ K2 ,K1‬עבורם המערכת בחוג סגור יציבה ?‬ ‫פתרון לשאלה מס׳ ‪2‬‬ ‫‪ .1‬נמצא את פה״ת מ־‪ r‬ל־‪:y‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪CP‬‬ ‫)‪10(K1 + K2 s‬‬ ‫‪10K2 s + 10K1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= 3‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1 + CP‬‬ ‫)‪s(s(s − 1) + 20) + 10(K1 + K2 s‬‬ ‫‪s − s2 + (20 + 10K2 )s + 10K1‬‬ ‫‪ .2‬הפ״א של החוג הסגור‪ .χcl = s3 − s2 + (20 + 10K2 )s + 10K1 :‬ניתן לראות שאין תחום ‪ K2 ,K1‬המייצב את המערכת בחוג‬ ‫סגור )יש לחפש בקר מצורה שונה(‪.‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪3‬‬ ‫נתונה פונקציית התמסורת‪:‬‬ ‫‪4s‬‬ ‫‪s2 +s−2‬‬ ‫= )‪.G(s‬‬ ‫‪ .1‬האם פונקציה זו יציבה ?‬ ‫‪ .2‬הוצע לייצב את המערכת בחוג סגור באמצעות בקר פרופורציונלי ‪ .kp‬האם זה אפשרי ? אם כן מצא תחום ‪ kp‬אשר יבטיח את‬ ‫יציבות החוג הסגור‪.‬‬ ‫‪ .3‬הוצע לייצב את המערכת בחוג סגור באמצעות הבקר‪:‬‬ ‫יבטיח את יציבות החוג הסגור‪.‬‬ ‫‪ki‬‬ ‫)‪s‬‬ ‫‪ .C(s) = kp (1 +‬האם זה אפשרי ? אם כן מצא תחום ‪ kp‬ו־ ‪ ki‬אשר‬ ‫פתרון לשאלה מס׳ ‪3‬‬ ‫‪ .1‬לפה״ת יש קוטב ימני ולכן היא לא יציבה‪:‬‬ ‫‪4s‬‬ ‫)‪(s+2)(s−1‬‬ ‫=‬ ‫‪4s‬‬ ‫‪s2 +s−2‬‬ ‫= )‪G(s‬‬ ‫‪ .2‬נרשום את הפ״א‪ .χcl (s) = 4sK + s2 + s − 2 = s2 + (4K + 1)s − 2 :‬לא ניתן לייצב מכיוון שהאיבר החופשי שלילי ללא‬ ‫תלות ב־‪.K‬‬ ‫‪ .3‬ישנו צמצום לא יציב בין התהליך והבקר‪ ,‬מסקנה‪ :‬לא ניתן לייצב בחוג סגור עם בקר הכולל אינטגרטור‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪4‬‬ ‫נתון התהליך‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s2 −52‬‬ ‫= )‪.P(s‬‬ ‫‪ .1‬האם התהליך יציב ?‬ ‫‪ .2‬התהליך מחובר בחיבור טורי עם‬ ‫‪s−5‬‬ ‫‪s+5‬‬ ‫= )‪ .C(s‬האם המערכת הכוללת יציבה ? נמק‪.‬‬ ‫‪ .3‬התהליך מבוקר בחוג סגור ע״י הבקר הנתון בסעיף הקודם‪ ,‬האם החוג הסגור יציב ? נמק‪.‬‬ ‫‪ .4‬התהליך מבוקר בחוג סגור ע״י בקר פרופורציונלי ‪ ,C(s) = kp‬מהו תחום ערכי ‪ kp‬עבורו החוג הסגור יציב ?‬ ‫‪ .5‬התהליך מבוקר בחוג סגור ע״י בקר )‪ .C(s) = k(s + 1‬מהו תחום ערכי ‪ k‬עבורו החוג הסגור יציב אסימפטוטית ?‬ ‫פתרון לשאלה מס׳ ‪4‬‬ ‫‪ .1‬לפה״ת יש קוטב ימני ולכן היא לא יציבה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(s+5)(s−5‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪s2 −52‬‬ ‫= )‪P(s‬‬ ‫‪ .2‬לא‪ .‬לא ניתן לייצב את התהליך הלא יציב בחוג פתוח‪.‬‬ ‫‪ .3‬ישנו צמצום לא יציב בין התהליך לבקר‪ ,‬מסקנה‪ :‬המערכת לא יציבה בחוג סגור‪.‬‬ ‫‪ .4‬נרשום פ״א‪ .χcl = kp + s2 − 52 = s2 + 0s + kp − 25 :‬המקדם של ‪ s1‬שווה לאפס ולכן לא ניתן להשיג יציבות אסימפטוטית‬ ‫ע״י בקר פרופורציונלי‪.‬‬ ‫‪ .5‬נרשום את הפ״א‪ .χcl = k(s + 1) + s2 − 52 = s2 + ks + k − 25 :‬הפ״א מסדר ‪ ⇐ 2‬המערכת יציבה אסימפטוטית עבור‬ ‫‪.k > 25‬‬ ‫שאלה מס׳ ‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .P(s) = s−2‬רוצים שהתהליך יפעל כמערכת ) מודל רפרנס ( יציבה מסדר שני עם מקדם ריסון‬ ‫נתון תהליך בעל פונקצית התמסורת‪:‬‬ ‫√‬ ‫‪ ,ζ = 0.5‬תדירות תנודה מרוסנת ‪ ωd = 3‬ושגיאת מצב מתמיד אפס לכניסת מדרגה בערך הרצוי‪ .‬מוצעות האפשרויות הבאות‪:‬‬ ‫‪ .1‬בקרה בחוג פתוח באמצעות חיבור טורי עם‬ ‫‪ .2‬בקרה בחוג סגור עם בקר‬ ‫‪ .3‬בקרה בחוג סגור עם בקר‬ ‫)‪k(s−2‬‬ ‫)‪s(s+a‬‬ ‫‬ ‫‪ki‬‬ ‫‪s‬‬ ‫)‪k0 (s−2‬‬ ‫‪s2 +2ζωn s+ω2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫= )‪.C(s‬‬ ‫= )‪.C(s‬‬ ‫‪.C(s) = kp 1 +‬‬ ‫עבור כל אחד מהמקרים הנ״ל‪:‬‬ ‫א‪ .‬מצא את הפרמטרים הדרושים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬חשב את השגיאה במצב מתמיד להפרעת מדרגה בכניסה לתהליך‪.‬‬ ‫ג‪ .‬הבע דעתך על היתרונות והחסרונות שלו‪.‬‬ ‫פתרון לשאלה מס׳ ‪5‬‬ ‫נמצא את ‪:ωn‬‬ ‫‪1 − ζ2‬‬ ‫נבחר את מודל הרפרנס להיות‬ ‫‪p‬‬ ‫‪ωd = ωn‬‬ ‫⇐‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪bs + 4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪s2 + 2s + 4‬‬ ‫√‬ ‫‪3‬‬ ‫√‬ ‫‪1−0.25‬‬ ‫=‬ ‫‪ωn = √ωd‬‬ ‫‪1−ζ2‬‬ ‫= )‪Tyr (s‬‬ ‫כאשר ‪ b‬הינו פרמטר כלשהו‪.‬‬ ‫‪ .1‬לא ניתן לייצב את התהליך בחוג פתוח‪ ,‬ז״א ∞ = ‪.ess‬‬ ‫‪ .2‬קל לראות שעבור כל בחירה של פרמטרי הבקר‪ ,‬קיים צמצום בין קוטב לא יציב של התהליך ואפס של הבקר‪ .‬לכן‪ ,‬עבור כל‬ ‫בחירת פרמטרים‪ ,‬המערכת בחוג סגור אינה יציבה פנימית‪ .‬שוב‪.ess = ∞ ,‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ .3‬פונקציית התמסורת שמקשרת בין ‪ r‬ל־‪ y‬במערכת בקרה בחוג סגור הינה‬ ‫‪kp s+kp ki‬‬ ‫‪k p s + k p ki‬‬ ‫)‪y(s‬‬ ‫)‪P(s)C(s‬‬ ‫)‪s(s−2‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪k‬‬ ‫‪s+k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪i‬‬ ‫)‪r(s‬‬ ‫)‪1 + P(s)C(s‬‬ ‫‪s + (kp − 2)s + kp ki‬‬ ‫)‪1 + s(s−2‬‬ ‫מהשוואה עם מודל הרפרנס נקבל‬ ‫‪ki = 1‬‬ ‫כלומר‬ ‫נבדוק את הפולינום האופייני‪:‬‬ ‫‪kp = 4,‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪4s + 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪C(s) = 4 1 +‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪s‬‬ ‫‪χcl = s(s − 2) + (4s + 4) = s2 + 2s + 4‬‬ ‫המערכת יציבה בחוג סגור )אכן ניתן ליישם אותה(‪.‬‬ ‫‪4‬‬