פרק - 7עיונים נוספים בגרפים המילטוניים מבוא לפרק: בפרק זה ,נמשיך את הדיון במעגלי ומסילות המילטון .תחילה נגדיר ונכיר משפחה של גרפים המילטוניים ,הקוביה ה n -מימדית. Qn , הגדרה: יהא nמספר טבעי .הקוביה ה n -מימדית Qn ,מהווה גרף המוגדר באופן הבא: }} ai ∈ {0,1לכל , V (Qn ) = {(a1 , a2 ,....an ) |1 ≤ i ≤ nושני קודקודים הם שכנים ב Qn -אם ורק אם הווקטורים ה nמימדים של הקודקודים שלהם זהים פרט לבשיעור אחד. דוגמה : הקובייה התלת מימדית ) ,( n = 3מפרק .1 נסמן את הקודקודים בהתאמה על ידי : קודקוד מספר ייצוג כווקטור תלת מימדי 1 )(1,0,0 פרק - 7עמוד 1 2 )(1,1,0 3 )(1,1,1 4 )(1,0,1 5 )(0,0,0 6 )(0,1,0 7 )(0,1,1 8 )(0,0,1 בדקי ,למשל שהקודקודים 1ו 5-הם שכנים זה לזה .ובכן ,הייצוגים המתאימים (1,0,0) ,ו , (0,0,0) -שונים זה מזה רק בשיעור הראשון שלהם .כמו כן 1 ,ו 3 -אינם שכנים ,ואכן ,הייצוג הווקטורי של (1,1,1) ,3הוא שונה מ (1,0,0) -בשני מקומות. תרגילים: n .1הוכיחי. V (Qn ) = 2 : .2הוכיחי Qn :גרף רגולרי מדרגה . n טענה 7.1 E (Qn ) = n2 n−1 הוכחה: ממשפט , 1.1מתקיים: ) ∑ deg v = 2 E (Qn .מתרגילים , 1,2היות וכל אחד מ 2 nהקודקודים הוא v∈V n−1 מערכיות , nמקבלים ) , n.2 n = 2 E (Qnזאת אומרת .■ E (Qn ) = n2 המילטוניות : Qn נראה איך בונים מעגל המילטוני בקובייה V (Q1 ) = {(0), (1)} .והצלע היחיד בו > ) < (0), (1מהווה מסילה המילטונית .ניעזר במסילה זו כדי לבנות מעגל המילטוני ב . Q2 פרק - 7עמוד 2 }) . V (Q2 ) = {(0,0), (0,1), (1,1), (1,0נשים לב ששני הקודקודים הראשונים ברשימה של ) , V (Q2דהיינו ) - (0,0), (0,1הם עותקים של קודקודי Q1עם "קידומת" ,0בעוד ששני הקודקודים האחרונים של ) V (Q2מהווים "תמונת ראי" של שנים הראשונים ,אך ה"קידומת 0נהפכה ל .1-בדרך זו ,נוכל "להעתיק" את המסילה ההמילטונית של Q1פעם למחצית הראשונה של הרשימה של ) , V (Q2פעם למחצית השנייה של ) , V (Q2ולחבר את שתי החוליות באמצע- ,הרי ) (0,1), (1,1הם שכנים ב . Q2 יתר על כן ,המסילה נסגרת למעגל ,היות ושתי הקצוות (0,0), (1,0) ,שונות רק ב"קידומת". הענין מודגם באיור הבא ,דרך המעגל ההמילטוני . ABCDA באותה אופן ,המעגל המילטוני ב Q2ניתן לשימוש ביצירת מעגל המילטוני ב: Q3 - הנה איך: .1 .2 .3 .4 חותכים את המעגל במקום כל שהוא על ידי מחיקת צלע וקודקוד קצה .נשארת מסילת המילטון של . Q2 מוסיפים קידומת 0לכל 4הקודקודים -נוצרה מסילה ביניהם. כהמשך לאותם 4הקודקודים ,מעתיקים את אותה הסידרה בסדר הפוך ,אלא עם קידומות 1 במקום .0בכך ,מסילה גם מחברת בין 4הקודקודים האחרונים. נשים לב שכמו המעבר מ Q1 -ל 2 , Q2 -הקודקודים האמצעיים זהים פרט לקידומות שלהם, והוא הדין ל 2 -קודקודי הקצה .לכן ,נוצר מעגל המילטון מצירופם של 2החוליות יחד באמצע ובקצוות. לדוגמה: נצא מהמעגל המילטון > ) ABCDA- < (0,0), (0,1), (1,1), (1,0), (0,0מהאיור. .1חותכים אותו על ידי מחיקת הצלע ).(DA) (1,0), (0,0 פרק - 7עמוד 3 .2מהמסילה > ), < (0,0), (0,1), (1,1), (1,0ממשיכים לפי ההוראות בסעיפים 2-4כדי ליצור את המעגל > ) , < (0,0,0), (0,0,1), (0,1,1), (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1), (1,0,1), (1,0,0), (0,0,0הרי הוא המעגל : >< 5-8-7-6-2-3-4-1-5באיור הבא של : Q3 משפט 7.2 Q1 .1המילטוני למצחה. Qn .2המילטוני עבור . n ≥ 2 באינדוקציה על . n = V את המקרים , n = 1,23כבר הראינו מקודם. נניח נכונות עבור , Qn -עלינו לבנות מעגל המילטון עבור . Qn+1 תרגיל :המשיכי את ההוכחה! פרק - 7עמוד 4 נפנה כעת לשאלה הבאה: ראינו בפרק 6שהגרף השלם מסדר K n , nהוא גרף המילטוני. השאלה היא :כמה מעגלי המילטון זרים בצלעות )דהיינו ללא צלעות משותפות בין שני מעגלים ⎞⎛n שונים( קיימים ב . K n -בפרק 6שמנו לב שמעגל המילטון מכיל nצלעות בלבד מבין ⎟⎟ ⎜⎜ הצלעות ⎠⎝2 ב. K n - ⎞⎛n ⎟⎟ ⎜⎜ ⎝ 2⎠ = n −1 . לכן ,מספר המעגלים השונים לא יכול לעלות על 2 n תרגיל :הוכיחי חסם זה בדרך אחרת :דוני בקודקוד כל שהוא ,בכמה מעגלי המילטון שונים זרים בצלעות הוא יכול להיות )לכל היותר(? ⎥⎢ n − 1 ⎢ ? התשובה נחזור לשאלה :כמה מעגלי המילטון זרים בצלעות קיימים? האם באמת קיימים ⎦⎥ ⎣ 2 היא חיובית ,כפי שנראה במשפט הבא. נקדים בהגדרה: הגדרה: • יהא Gגרף .זיווג מושלם ב G -הוא תת גרף של Gהמכיל את כל קודקודיו וכך שאין לשתי צלעות ב G -קודקוד משותף. במילים אחרות ,לכל קודקוד של Gיש "בן זוג" אחד ויחיד ,כמו הדוגמה הבאה: פרק - 7עמוד 5 נשים לב שלגרף Gשרטטנו שלשה זיווגים מושלמים שונים ,ויש עוד. פרק - 7עמוד 6 משפט 7.3יהא sטבעי .אזי: K 2 s +1 .1מכיל sמעגלים המילטוניים זרים בצלעות .מעגלים אלה מכסים את כל צלעות . K 2 s +1 K 2 s .2מכיל s − 1מעגלים המילטוניים זרים בצלעות .מעגלים אלה מכסים את כל צלעות K 2 s פרט ל sצלעות .צלעות אלו מהוות זיווג מושלם של . K 2 s דוגמאות :לפנינו דוגמאות של K nעבור . 3 ≤ n ≤ 6 n Kn 3 3 = 2.1 + 1 s =1 4 4 = 2.2 s=2 מספר מעגלי המילטון איורים של המעגלים זיווג מושלם זרים בצלעות ABCA 1 _______________ ABCDA s −1 = 1 ABCDE 5 5 = 2.2 + 1 s=2 2 פרק - 7עמוד 7 של s = 2צלעות{ AC, BD} , _______________ ACEBD , צלעותs = 3 של ABCDEFA { AD, BE,CF} 2 ACEBFDA 8 עמוד- 7 פרק 6 = 2.3 s=3 6 תרגיל :בדקי שהמשפט מבטיח שהחסם מלעיל למספר המעגלים האפשריים של , K nדהיינו ⎥⎢ n − 1 ⎢ אכן מתקבל! ⎦⎥ ⎣ 2 הוכחת משפט 7.3סעיף :1 רעיון ההוכחה :בונים מעגל המילטוני "בסיסי" אחד עבור 2s + 1הנקודות באיור הבא .כל אחד מ- s − 1ה"סיבובים" שלו ,כל פעם בזווית מרכזית של π s ,מניב מעגל המילטוני שהוא זר בצלעות לכל המעגלים הקודמים. נ סמן את 2s + 1קודקודי K 2 s +1על ידי . v0 , v1,....v2 sנבנה גרף איזומורפי לגרף K 2 s +1באופן הבא: נמקם את v0במרכז מעגל ,ואת שאר הקודקודים v1 ,....v 2 s +1במרחקים שווים על היקף אותו מעגל כמודגם באיור) .נזכור ש K 2 s +1מכיל את כל הצלעות בין כל הקודקודים ,אך ,לשם הבהרת האיור ,לא נראה את כולן(. פרק - 7עמוד 9 האיור מראה מעגל המילטוני אחד-המעגל > , < v0 , v1 , v 2 s , v 2 , v 2 s −1, ....v s , v s +1 , v0אותו נמסן על ידי C1 )בדקי שנוצר בכך מעגל המילטון( .את מהמעגלים הבאים נקבל מהמעגל C1באופן הבא: לכל , 1 ≤ i ≤ sהמעגל C iמתקבל מ C1 -על ידי הגדלת כל אינדקס )פרט לאינדקס ( v0על ידי i − 1 מודולו . 2sכך ,למשל ,המעגל C 2מתקבל מ C1 -על ידי הגדלת כל אינדקס )פרט ל ( v0על ידי 1 מודולו , C 2 =< v0 , v 2 , v1 , v3 , v 2 s , ....v s +1 , v s + 2 , v 0 > . 2sוכמו כן, > , C 3 =< v0 , v3 , v 2 , v 4 , v 2s +1, ....v s +2 , v s +3 , v 0וכו' . נשים לב: בכל מעגל , C iסכום האינדקסים של כל שני קודקודים שכנים )פרט ל ( v0חופף או ל 2i -או ל2i − 1- מודולו . 2s טענה: sמעגלי ההמילטון C1 ,...., C sזרים בצלעות. הוכחת הטענה: פרק - 7עמוד 10 כי ,נניח בשלילה ,נניח שקיימים שני מעגלי המילטון כאלה Ci , C kבעלי צלע משותפת . va vbאזי ,היות ⎧2i ו , va vb ∈ Ci -מתקיים )(mod 2s ⎨ ≡ , a + bוהיות ו , va vb ∈ C k -מתקיים − 2 i 1 ⎩ ⎧2k )(mod 2s ⎨ ≡ .a+b − 2 k 1 ⎩ )⎧a + b ≡ 2i(mod 2s ⎨ בכל מקרה נובע )) , 2i ≡ 2k (mod 2sבדקי למה-למשל ,האם ייתכן ) ,(? ⎩a + b ≡ 2k − 1(mod 2sולכן ) , i ≡ k (mod sזאת אומרת ,המעגלים זהים. לבסוף ,העובדה ש s -המעגלים הזרים בצלעות מכסים את כל , K 2 s +1נובעת מספירה פשוטה! תרגיל: הוכיחי :אם קיימים sמעגלי המילטון של K 2 s +1הזרים בצלעות ,אזי הם מכסים את כל . K 2 s +1 הוכחת משפט 7.3סעיף :2 ⎞ ⎛ 2s היות ול⎜⎜ ⎟⎟ K 2 s - ⎠ ⎝2 ⎥ ⎞ ⎢ ⎛ 2s ⎥ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎢ צלעות ,עיון בערך השלם של החסם העליון מראה ⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎥ = ⎢ 2s(2s − 1) ⎥ = s − 1 ⎦⎥ ⎣⎢ ⎥ ⎢ 2s 4s ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ .מכאן ,אין אפשרות ליותר מ s − 1 -מעגלי המילטון זרים בצלעות ב. K 2 s - נצביע על s − 1מעגלי המילטון שונים ב , K 2 s -ונראה שאכן הם אכן זרים בצלעות. בדומה לסעיף א' מקודם ,נסמן את 2sקודקודי K 2 sעל ידי . v1 ,....v 2 sנבנה גרף איזומורפי לגרף K 2 s באופן הבא: נמקם את הקודקודים v1 ,....v 2 sבמרחקים שווים על היקף מעגל כמודגם באיור. פרק - 7עמוד 11 האיור מראה מעגל המילטון אחד-המעגל > , < v1 , v 2 s , v 2 , v 2 s −1, ....v s + 2 v s , v s +1 , v1אותו נמסן על ידי C1 )בדקי שנוצר בכך מעגל המילטון( .את מהמעגלים הבאים נקבל מהמעגל C1באופן הבא :לכל , 1 ≤ i ≤ s − 1המעגל C iמתקבל מ C1 -על ידי הגדלת כל אינדקס על ידי i − 1מודולו . 2sכך ,למשל, המעגל C 2מתקבל מ C1 -על ידי הגדלת כל אינדקס על ידי 1מודולו . 2s > , C 2 =< v 2 , v1 , v3 , v 2 s , ....v s +1 , v s + 2 , v 2וכמו כן , C 3 =< v3 , v 2 , v 4 , v 2 s +1, ....v s + 2 , v s +3 , v3 > ,וכו' . נשים לב :בכל מעגל , C iסכום האינדקסים של כל שני קודקודים שכנים חופף ל 2i -או ל 2i − 1 -מודולו . 2s טענה: s − 1מעגלי ההמילטון C1 ,...., C s −1זרים בצלעות. כי ,נניח בשלילה ,נניח שקיימים שני מעגלי המילטון כאלה Ci , C kבעלי צלע משותפת . va vbאזי ,היות ⎧2i ו , va vb ∈ Ci -מתקיים )(mod 2s ⎨ ≡ , a + bוהיות ו , va vb ∈ C k -מתקיים ⎩2i − 1 ⎧2k )(mod 2s ⎨ ≡ .a+b ⎩2k − 1 בכל מקרה נובע )בדקי למה!!( , 2i ≡ 2k (mod 2s) ,ולכן ) , i ≡ k (mod sזאת אומרת ,המעגלים זהים. פרק - 7עמוד 12 בכך הוכחנו ש ב s − 1 , K 2 s -מעגלי המילטונין זרים בצלעות. מספר הצלעות שנותרו הוא ,אם כן: = s(2s − 1) − 2s( s − 1) = s )− 2s( s − 1 1 424 3 סךהצלעות במעגלים ⎞ ⎛ 2s ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ 2 {⎝ . מספר הצלעות בגרף השלם טענה s :הצלעות } , {v1v2 s −2 , v2 v2 s −1 ,......., v s v s −1דהיינו אותם צלעות va vbכך ש ) a + b ≡ 2s − 1(mod sלא נמצאות באף אחד מבין המעגלים . C1 ,...., C s −1 הוכחה :תרגיל! אם כך s ,הצלעות } {v1v2 s −2 , v2 v2 s −1 ,.......v s v s −1מהווית זיווג מושלם של ■. K 2s טענה :כל בניה של s − 1מעגלי המילטון זרות בצלעות ב K 2 s -משאיר זיווג מושלם של . K 2 s הוכחה :תרגיל! הדרכה :דוני בקודקוד כל שהוא של K 2 sוכן במעגלי המילטון שעוברים דרכו.... פרק - 7עמוד 13 סיכום נושאים ומונחים מפרק :7 • הקובייה Qn • המילטוניות הקובייה Qn • זיווג מושלם • מספר המעגלים ההמילטוניים הזרים בצלעות בK n - פרק - 7עמוד 14
© Copyright 2024