תורת המספרים ־ סיכום
תורת המספרים ־ סיכום
20בינואר 2015
תוכן עניינים
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
1.1
.
.
.
.
.
.
חוגים . . . . . . . . . . . . . . . .
פריקות יחידה . . . . . . . . . . . .
תכונות של . . . . . . . . . . . . Z
מספרים ראשוניים . . . . . . . . . .
מספרי פרמה . . . . . . . . . . . .
שלשות פיתגוריות . . . . . . . . . .
קונגרואנציות )חוג השלמים מודולו (n
פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה .
קונגרואנציות פולינומיאליות . . . . . .
שורשים פרימיטיביים . . . . . . . . .
שימושים להצפנה . . . . . . . . . . .
מבחני ראשוניות . . . . . . . . . . . .
קונגרואנציות ריבועיות . . . . . . . .
תבניות ריבועיות . . . . . . . . . . .
שקילות בין תבניות ריבועיות . . . . .
שברים משולבים . . . . . . . . . . . .
משוואת . . . . . . . . . . . . . P ell
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
חוגים
הגדרה
חוג חלקי ל־ Cהוא תת קבוצה של Cהסגורה לחיבור ,סימן מינוס ,כפל וכוללת את .1
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
3
4
5
6
8
8
10
12
13
15
17
19
25
27
29
33
הכללה )חוגים ריבועיים(
1.2
√
∈ . αנגדיר
יהי a ∈ Zכך ש / Q
√
√
}Z[ α] = {a + b α | a, b ∈ Z
הגדרה
1.3
עבור חוג A ⊆ Cנסמן ב ∗ Aאת אוסף האיברים ההפיכים )ביחס לכפל( ב .A
הגדרה
1.4
נאמר שמספר ) 0 6= a ∈ Aכאשר נרשום ,Aנתכוון לחוג חלקי ל (Cמחלק את b ∈ Aאם קיים c ∈ A
כך ש .b = ac
נסמן a) a|bמחלק את .(bכיוון שאנו בחוג חלקי ל a|b ,Cאמ"מ . ab ∈ A
1.4.1
תכונות פשוטות
• ε|aלכל ∗ ε ∈ Aו .a ∈ A
• a|aלכל 0 6= a ∈ A
• אם a|bו b|cאז a|c
• אם εa|bעבור ∗ ε ∈ Aאז גם a|b
• אם a|bו 0 6= c ∈ Aאז ,ac|bcולהפך )כי Aחלקי ל (C־ bc = acdעבור dכלשהו .נצמצם ב c
ונקבל ,b = adולכן .a|b
• אם a|bוגם ,a|cאז לכל u, v ∈ Aמתקיים a|ub + vc
1.5
טענה
כל איבר π ∈ Aראשוני הוא אי־פריק.
2
פריקות יחידה
2
2.1
טענה
כל איבר 0 6= a ∈ Zאינו הפיך ניתן לרישום כמכפלת אי־פריקים )כלומר ,קיים מספר סופי של גורמים
אי־פריקים כאלה(.
2.2
הגדרה
√
√
√
√
פונקציית ההצמדה ] σ : Z[ α] → Z[ αכאשר .σ(a + b α) = a − b α
2.2.1
תכונות
σ (z1 + z2 ) = σ (z1 ) + σ (z2 ) .1
σ (z1 z2 ) = σ (z1 ) · σ (z2 ) .2
σ (σ(z)) = z .3
σ .4חח"ע ועל.
2.3
מסקנה
√
פונקציית הנורמה המוגדרת ע"י ) ,N (z) = z · σ(zוכאשר z = a + b αמקבלים .N (z) = a2 − b2 α ∈ Z
2.3.1
תכונות
.N (z1 z2 ) = N (z1 ) N (z2 ) .1
N (z) = 0 .2אמ"מ .z = 0
N (1) = N (−1) = 1 .3
2.4
טענה
}}A∗ = {z ∈ A : N (z) ∈ {−1, 1
האיברים בחוג הפיכים אמ"מ הנורמה שלהם היא 1או 1־ .
3
2.5
טענה
√
ב ] Z[ αכל איבר לא הפיך ושונה מ־ ,0ניתן להצגה כמכפלה של איברים אי־פריקים.
2.6
משפט
נניח כי בחוג Aכל איבר שונה מ־ 0ולא הפיך ניתן לכתיבה כמכפלת אי פריקים.
אז הצגה כמכפלה כזו היא יחידה ,עד כדי סדר הגורמים וחברות
ראשוני.
∗
⇒⇐ כל איבר אי פריק בחוג הוא
) a = b1 · ... · bm = bj · ... · bk = (ε1 b1 ) · .... (εm bm
כאשר במקרה הראשון אנו פשוט מחליפים את מקומות האיברים המוכפלים ,ובמקרה השני εiהם איברים
הפיכים ,וכן מתקיים .ε1 · ... · εn = 1
3
3.1
תכונות של Z
חלוקה עם שארית
נתונים .a, b ∈ Zנניח כי ,a ≥ 1כלומר מספר טבעי.
קיימים q, r ∈ Zכך ש ) 0 ≤ r < aהשארית( יחידים כך ש .b = qa + r
3.2
הגדרה
נתונים ,a, b ∈ Zלא שניהם .0מחלק משותף d ∈ Zשל a, bהוא איבר שונה מ־ ,0כך ש d|aוגם .d|b
3.3
הגדרה
המחלקה המשותף המקסימלי ) ,gcdממ"מ( של a, bהוא הגדול ביותר מבין המחלקים המשותפים.
הערה :תמיד יש מחלקים משותפים ,כי 1הוא כזה .וקבוצת המחלקים המשותפים חסומה מלמעלה ,כי
הערך המוחלט של כל מחלק משותף חסום ע"י )|) max(|a|, |bצריך מקסימום כי אולי a = 0או
.(b = 0
4
3.4
משפט
יהיו a, b ∈ Zלא שניהם ,0אז קיימים m, n ∈ Zכך ש .gcd(a, b) = ma + nb
3.5
מסקנות
.1אם tמחלק משותף של ,a, bאז )t|gcd(a, b
הוכחה ,gcd(a, b) = ma + nb :ולכן tמחלק אותו.
.2אם rטבעי ,ומחלק משותף של a, bהמתחלק בכל מחלק משותף אחר ,אז ).r = gcd(a, b
הוכחה :מההנחה ,gcd(a, b)|rולכן )) r > gcd(a, bמהטבעיות של .(rולכן ) ,r = gcd(a, bכי gcd
הוא המחלק המשותף הגדול ביותר.
3.6
אלגוריתם אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי
נתונים a, bלא שניהם .0נרצה לחשב ) .gcd(a, bבה"כ .a > b > 0
a = q1 b + r1
b = q2 r1 + r2
...
rk−2 = qk rk−1 + rk
rk−1 = qk+1 rk + 0
טענה :1האלגוריתם מסתיים לאחר מספר צעדים סופי.
טענה .rk = gcd(a, b) :2
3.7
משפט
כל שלם אי פריק הוא ראשוני.
4
4.1
מספרים ראשוניים
משפט )אוקלידס(
ישנם אינסוף ראשוניים.
5
הערה :בחוג השלמים ,נשנה את ההגדרה של ראשוניים ,ונאמר ש pראשוני אם הוא טבעי ומקיים את
ומקיים את ההגדרה הקודמת.
4.2
משפט
יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 4n + 3עבור nטבעי.
4.3
הגדרה
מספר הראשוניים עד למספר :x
|}
4.4
is primal
π(x) = |{p : p ≤ x, p
טענה
l
pl ≤ 22לכל ) l ≥ 1כאשר plהוא הראשוני ה .(l
4.5
מסקנה
π(x) ≥ log log xעבור .x ≥ 2
5
מספרי פרמה
n
מספרים מהצורה .Fn = 22 + 1
5.1
טענה
gcd (Fn , Fm ) = 1לכל .n > m ≥ 0
5.2
מספרי מרסן )(1644
Mp = 2p − 1
6
5.3
משפט )אוקלידס אוילר(
אם nטבעי הוא מושלם וזוגי ,אז קיים מספר מרסן Mpראשוני כך ש־
1
n = Mp Mp+1
2
ולהפך.
5.4
תרגיל
אם an − 1ראשוני ,אז a = 2ו nראשוני )עבור .(n > 1
5.5
הגדרה
עבור שלם nחיובי ,נרשום
d
X
= )σ(n
0<d|n
כלומר ,סכום כל מחלקיו החיוביים של .n
nמושלם ⇒⇐ .σ(n) = 2n
5.5.1
תכונות
.1כפליות σ(ab) = σ(a) · σ(b) :עבור a, b ∈ Zכאשר ) gcd(a, b) = 1המספרים זרים(.
P
)σ(n
= 0<d|n d1 .2
n
.3אם pראשוני ו 0 ≤ r ∈ Zאז
pr+1 − 1
p−1
5.6
= ) σ (pr
מסקנה
rl
n = pr1אז
אם nטבעי1 · ... · pl ,
Y pri +1 − 1
i
pi − 1
1≤i≤l
7
= )σ(n
שלשות פיתגוריות
6
מהם הפתרונות השלמים ל ?x2 + y 2 = z 2
פתרון
כל פתרון שלם נותן פתרון רציונלי ל ,a2 + b2 = 1כי = 1
פתרון שלם.
y 2
z
+
x 2
z
,וכן ,כל פתרון רציונלי נותן
המשוואה כמובן מזכירה את מעגל היחידה.
נניח ויש לנו פתרון רציונלי ) (a, bעל מעגל היחידה .נמתח ישר ממנו לנקודה ) .(1, 0הישר יחתוך את ציר
yבנקודה כלשהי ) .(0, tהטענה היא ש tרציונלי אמ"מ ) (a, bרציונליים .בכך עשינו רדוקציה למשתנה
יחיד.
נשים לב גם כי ייתכן ונקודת החיתוך של הישר עם ציר ה yתהיה מחוץ למעגל.
קונגרואנציות )חוג השלמים מודולו (n
7
7.1
הגדרה
) n ≥ 1 ,a, b ∈ Z) a ≡ b ( mod nשלם( אם .n|a − b
7.2
טענה
אם a ≡ a0ו b ≡ b0מודולו ,nאז גם:
a + b ≡ a0 + b0 .1מודולו n
a · b ≡ a0 · b0 .2מודולו n
7.3
מסקנה
אם ) p(xפולינום במקדמים שלמים ב ,xאז אם ) x ≡ x0 ( mod nאז גם ).p(x) ≡ p(x0 ) ( mod n
7.4
מחלקות שקילות
מחלקת השקילות של aמודולו nהיא .{a + nk | k ∈ Z} a + nZ
ישנן בדיוק nמחלקות שקילות.0 + nZ, 1 + nZ, ..., n − 1 + nZ :
8
7.5
הגדרה
חוג השאריות מודולו Zn = {0 + nZ, ..., n − 1 + nZ} ,nעם הפעולות של חיבור וכפל מודולו :n
(a + nZ) + (b + nZ) = a + b + nZ
(a + nZ) · (b + nZ) = ab + nZ
7.6
הגדרה
איבר a ∈ Znהפיך אם קיים b ∈ Znכך ש־ .ab = 1 + nZאו ,באופן שקול.ab ≡ 1 ( mod n) ,
נסמן את אוסף האיברים ההפיכים ב .Z∗n
7.7
טענה
a ∈ Znהפיך מודולו nאמ"מ .gcd(a, n) = 1
7.8
הגדרה
פונקציית φשל אוילר,
}φ(n) = |Z∗n | = {1 ≤ a ≤ n | gcd(a, n) = 1, n ∈ N
וכן .φ(1) = 1
עבור מספר ראשוני ,φ(p) = p − 1 ,pכלומר Z∗pהוא כל האיברים השונים מאפס ב Zpולכן Zpהוא
שדה.
גם ההפך נכון ־ אם pאינו ראשוני ,אז קיים 1 ≤ a < pכך ש gcd(a, p) 6= 1ולכן Zpאינו שדה ,שכן
Z∗pאינו כל האיברים השונים מ־ 0ב .Zp
בקונגרואנציה ניתן לצמצם איברים הפיכים.
7.9
טענה
אם ) kx ≡ ky ( mod nו k ∈ Z∗nאז ).x ≡ y ( mod n
9
טענה
7.10
אם ) ax = b ( mod nו d|a, b, nאז ) ( mod nd
7.11
b
d
≡ . ad x
משפט )אוילר(
נניח כי
n = pe11 · ... · pel l
עבור ראשוניים p1 , .., plומעריכים e1 , ..., el ≥ 1שלמים.
1
1
· ... · 1 −
φ(n) = n 1 −
p1
pl
בפרט φ ,פונקציה כפלית ,כלומר אם m, nזרים אז ).φ(m) · φ(n) = φ(mn
7.12
טענה
עבור n ≥ 2טבעי נגדיר
)φ(d
X
= )F (n
1≤d|n
אז .F (n) = n
פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה
8
8.1
משפט
עבור המשוואה ):ax ≡ b ( mod n
.1יש פתרון אמ"מ .d := gcd(a, n)|b
x ∈ Z .2פותר את המשוואה )בהנחה שיש פתרון( אמ"מ
n
d
mod
b
d
≡ . ad x
.3כלל הפתרונות נתונים ע"י xj = x0 + j ndכאשר x0הפתרון היחיד למשוואה המצומצמת ≡
. db
mod nd
.4אם מסתכלים על פתרונות מודולו ,nיש בדיוק dפתרונות שונים )בהנחה שיש פתרון(.
10
a
x
d
8.2
משפט ווילסון
יהי pראשוני ,אז ).(p − 1)! ≡ −1 ( mod p
8.3
משפט השאריות הסיני
אם n1 , ..., nkזרים בזוגות אז לכל c1 , ..., ckיש פתרון למערכת המשוואות ) .∀j, x ≡ cj ( mod nj
Q
הפתרון יחיד מודולו . kj=1 nj
8.3.1
הערה
המשפט אומר שהמערכת ) ∀j, x ≡ cj ( mod njשקולה למשוואה הבודדתx ≡ c ( mod n1 · ... · nk ) :
)וכל הפתרונות כאן הם (xj = c + jn1 · ... · nkכאשר c ∈ Zהמקיים ) .∀j, c ≡ cj ( mod nj
8.4
המשפט הקטן של פרמה
* לא חושב שהוכחנו ,אבל הוכחנו את משפט אוילר.
יהי pראשוני ו־ aזר ל־ .pאז ).ap−1 ≡ 1 ( mod p
8.5
משפט אוילר )הכללה של המשפט הקודם(
יהי nטבעי .יהי aזר ל .nאז
)aφ(n) ≡ 1 ( mod n
כאשר
= |}φ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | gcd(k, n) = 1
1
1
el
e1
[n = p1 ...pl ] = n 1 −
· ... · n 1 −
p1
pl
8.5.1
הערה
אם aהפיך מודולו nו bהפיך מודולו nאז abהפיך מודלו .n
11
8.5.2
הערה
אם ) ab ≡ ac ( mod nאז ).b ≡ c ( mod n
8.5.3
טענה
הפעולה של הכפלה ב־ aמודולו nפועלת באופן חח"ע ועל על ) Z∗nקבוצת האיברים ההפיכים מודולו .(n
8.5.4
למה
אם n > 2טבעי אז ) φ(nזוגי.
8.6
מסקנה
בתנאי המשפט הקודם aφ(n)−1הוא הפכי של aמודולו .n
8.7
טענה
1
אם ,n = rsכאשר r, s > 2זרים ,אז לכל aזר ל־ .a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod n) ,n
9
9.1
קונגרואנציות פולינומיאליות
הגדרה
פולינומים עם מקדמים ב־ Znמסומנים ] .Zn [xפולינום עם מקדמים ב־ Zמסומנים ].Z[x
שני פולינומים כאלה נקראים שווים ,אם כל המקדמים שלהם שקולים מודולו .n
פעולות חיבור וכפל מתבצעות מקדם-מקדם.
9.2
אבחנה
אם ) p(xפול' עם מקדמים שלמים ,ו־ ) q(xפול' עם מקדמים שלמים ,ומקדם מוביל )המקדם של החזקה
הגבוהה ביותר( ,1אז אפשר לחלק עם שארית )במספרים הממשיים( ולקבל:
)p(x) = m(x)q(x) + r(x
כאשר ).0 ≤ deg(r) < deg(q
12
לא קשה לראות שאפשר גם לחלק בפול' qמעל מודולו nכל עוד המקדם המוביל של qהוא הפיך מודולו
.n
טענה
9.3
יהי ] p(x) ∈ Z[xו־ nטבעי .אם aשלם הוא שורש של הפולינום pמודולו ,nכלומר ( p(a) = 0
) ,mod nאז ) x − a|p(xמודולו .n
9.4
משפט לגראנג'
יהי pראשוני p(x) 6≡ 0 ,פולינום ב־ ] ,Zp [xלקונגרואנציה ) p(x) ≡ 0 ( mod pיש לכל היותר ))deg (p(x
פתרונות שונים מודולו .p
טענה
9.5
יהי ] ,p(x) ∈ Z[xו־ ) n = pe11 · ... · pel lפירוק לראשוניים( .יש פתרון לקונגרואנציה
)(∗) p(x) ≡ 0 ( mod n
אמ"מ יש פתרון לכל אחת מהקונגרואנציות
) (∗∗) p(x) ≡ 0 ( mod pei i
יתר על כן ,אם יש sפתרונות ל )∗( ו־ siפתרונות ל־ )∗∗( אז si
10
Ql
i=1
= .s
שורשים פרימיטיביים
10.1
הגדרה
יהי nטבעי .מספר aזר ל־ nנקרא שורש פרימיטיבי מודולו nאם הטבעי המינימלי bכך ש־ ( ab ≡ 1
) mod nהוא ).φ(n
10.2
הגדרה
יהי nטבעי a ,זר ל־ .nהסדר של ) a ( mod nמסומן ) ordn (aהוא הטבעי המינימלי bכך ש־ ( ab ≡ 1
).mod n
• ממשפט אוילר.ordn (a) ≤ φ(n) ,
1
• אם n = r · sעבור r, s > 2זרים ,אז לכל aזר ל־ .a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod n) n
13
10.3
טענה
יהי nטבעי a .זר ל־ .nבעצם ak ≡ 1 ( mod n) ,אמ"מ .ordn (a)|kבפרט.ordn (a)|φ(n) ,
10.4
טענה
אם aשורש פרימיטיבי מודולו ,nאז
})Z∗n = {am : 1 ≤ m ≤ φ(n
10.5
מסקנה
יהי aשורש פרימיטיבי מודולו .nאז amשורש פרימיטיבי מודולו nאמ"מ :gcd(m, φ(n)) = 1
ai | gcd(i, φ(n)) = 1
לכן ,ישנם בדיוק )) φ(φ(nשורשים פרימיטיביים מודולו ) nאם קיים שורש אחד(.
10.6
טענה
10.7
משפט
)ordn (a
))gcd(m, ordn (a
יהי pראשוני ,אז קיים שורש פרימיטיבי מודולו .p
10.8
משפט
לכל p ≥ 3ראשוני יש שורש פרימיטיבי.
14
= ) ordn (am
10.9
משפט
לכל p ≥ 3ראשוני ,ולכל ,j ≥ 1קיים שורש פרימיטיבי מודולו .pj
10.9.1
למה
יהי gשורש פרימיטיבי מודולו pאז h = gאו h = g + pמקיים ש־ ) .hp−1 6≡ 1 ( mod p2
10.9.2
למה
יהי hשורש פרימיטיבי מודולו pהמקיים ) ,hp−1 6≡ 1 ( mod p2אז לכל ,j ≥ 2
(
) ≡ 1 ( mod pj−1
j−1
j−2
)hφ(p ) = hp (p−1
) 6≡ 1 ( mod pj
10.10
סיכום
אם gשורש פרימיטיבי מודולו ,pאז לכל h = g ,j ≥ 2או h = g + pשורש פרימיטיבי מודולו pjכאשר
hהוא זה מביניהם המקיים ) .hp−1 6≡ 1 ( mod p2
10.11
משפט השורשים הפרימיטיביים
ל־ nשורש פרימיטיבי אמ"מ n = 2, 4, pj , 2pjכאשר p ≥ 3ראשוני.
11
11.1
שימושים להצפנה
שיטת RSA
מפרסמים ברבים ) ,(m, nכאשר nמספר טבעי )בד"כ מכפלה של 2ראשוניים גדולים( ו־ mטבעי זר ל־
).φ(n
שולח
לוקח את ההודעה )מספר( Aומשדר את )B = Am ( mod n
15
מקבל
יודע את ) .φ(nמחשב את sההופכי של )) m ( mod φ(nומחשב את:
)B s ≡ Ams ≡ A ( mod n
למספר nיש בערך ) log(nספרות .סיבוכיות נמדדת ב־) .log(nהבעיה לא ב־ ,N Pאבל לא ידוע עבורה
אלג' טוב.
11.2
שיטת Dif f ie − Hellman
נבחר ראשוני גדול ,pומספר aזר ל־ .a 6≡ 1 ( mod p) pנפרסם ברבים ).(a, p
הצד הראשון בוחר 0 < kA < pסודי ,ומשדר ).akA ( mod p
הצד השני בוחר 0 < kB < pסודי ,ומשדר ).akB ( mod p
הצד הראשון מחשב:
)≡ akB ·kA ( mod p
kA
akB
הצד השני מחשב:
)≡ akA ·kB ( mod p
kB
akA
כדי למצוא מ־ ) akA ( mod pבהינתן a, pאת kAצריך להוציא לוגריתם בדיד ,ולבעיה זו לא נמצא עד
כה אלג' יעיל.
זקוקים לראשוניים גדולים .נשתמש בעובדה ש־
n
log n
∼ |}, 1 ≤ p ≤ n
is prime
בפרט ,אם נבחר מספר באקראי בין 1ל־ nישנו סיכוי בערך
16
π(n) = |{p | p
1
log n
שיהיה ראשוני.
12
12.1
מבחני ראשוניות
מבחן פרמה
בהינתן nבוחרים aזר ל־ nובודקים האם
)(∗) an−1 ≡ 1 ( mod n
אם לא ,אז nאינו ראשוני.
בעיה :ייתכן ו־ nאינו ראשוני ,ועדיין )∗( יתקיים .במצב זה נאמר ש־ nהוא פסאודו-ראשוני ,לפי הבסיס
.(pseudo − prime) a
12.2
הגדרה
מספר נקרא מספר קרמייקל ) (Carmichaelאם הוא פסאודו-ראשוני לפי כל בסיס aזר ל־ nואינו
ראשוני.
12.3
משפט
אם nמכפלה של k ≥ 2ראשוניים שונים n = p1 · ... · pkו־ ∀i pi − 1|n − 1אז nמספר קרמייקל.
12.4
הגדרה
פונ' קרמייקל :λ
עבור n ≥ 2טבעי נגדיר את הסדר המקסימלי של איבר ב־ :Z∗n
}n
is coprime to
λ(n) = max {ordn (a) : a
בוודאי ).λ(n)|φ(n
נמצא נוסחה לפונ' קרמייקל .ראשית ,נחשוב על המקרה בו :n = 2j
)λ(2) = 1 = φ(2
)λ(4) = 2 = φ(4
17
ראינו בתרגיל בית שלכל aשזר ל־ 2jעבור j ≥ 3מתקיים:
j−2
) a(2 ) ≡ 1 ( mod 2j
)אפשר באינדוקציה על .(j
12.5
טענה
12.6
מסקנה
j ≥ 3, λ 2j = 2j−2
אם n = 2j0 · pj11 · ... · pjkkפירוק לראשוניים של ,nאז
λ(n) = lcm λ 2j0 , φ pj11 , ..., φ pjkk
)כאשר ) ,φ (pj ) = pj−1 · (p − 1ו־ .(λ(1) = 1
12.7
טענה
כל מספר קרמייקל הוא מהצורה n = p1 · ... · pkעבור ראשוניים שונים ,pi ≥ 3כך ש־ pi − 1|n − 1
12.8
מבחן רבין-מילר
מבחן לבדיקת ראשוניות של nביחס לבסיס .aנחשב ) .an−1 ( mod nאם קיבלנו תוצאה שונה מ־1
נעצור ,ו־ nאינו ראשוני.
אם לא ,נמשיך באינדוקציה .נניח שעד כה )≡ 1 ( mod n
n−1
2k
an−1 , ..., aכאשר .2k |n − 1
אם ,2j+1 - n − 1נעצור ונאמר ש־ nעבר את מבחן רבין־מילר ,ביחס ל־ .a
n−1
אחרת ,נחשב ) .a 2k+1 ( mod nאם התקבלה תוצאה שונה מ־ ,1נעצור .אם התוצאה ,−1נכריז שוב ש־
nעבור את מבחן רבין־מילר ביחס ל־ .aאחרת ־ לא עבר.
12.8.1
טענה
ראשוני nעובר את מבחן רבין מילר ,לכל בסיס .a
18
12.8.2
משפט )ללא הוכחה(
כאשר nאינו ראשוני ,קיימים לכל היותר
רבין-מילר.
)φ(n
4
בסיסים 1 ≤ a ≤ n − 1עבורם nאינו עובר את מבחן
באופן מעשי ,נגריל 1 ≤ a ≤ n − 1באופן אחיד ,ונבדוק את מבחן רבין-מילר .אם aאינו זר ל־ ,nמצאנו
אפילו פירוק ל־ .nאם aכן זר ל־ ,nלפי המשפט יש סיכוי ) 34כי אנחנו הגרלנו מספר זר ל־ ,nויש )φ(n
כאלה( ש־ nייכשל במבחן.
k
נעשה זאת kפעמים באופן ב"ת .הסיכוי ש־ nיעבור את כל המבחנים הוא . 41
13
קונגרואנציות ריבועיות
קונגרואנציות מהצורה
)(∗) x2 ≡ a ( mod n
עבור aזר ל־ .n
13.1
הגדרה
aנקרא שארית ריבועית מודולו nאם aזר ל־ nול־ )∗( יש פתרון.
נזכר שאם ל־ nשורש פרימיטיבי אז ל־ ) a) xk ≡ a ( mod nזר ל־ (nיש פתרון אמ"מ
)φ(n
)a gcd(k,φ(n)) ≡ 1 ( mod n
ואז יש )) gcd (k, φ(nפתרונות שונים מודולו .n
13.2
סימון )סמל לג'נדר(
נסמן עבור aזר ל־ pו־ p ≥ 3ראשוני
p
a quadratic remainder mod
a
otherwise
19
(
1
a
=
p
−1
13.3
טענה )קריטריון אוילר(
עבור aזר ל־ pו־ p ≥ 3ראשוני
p−1
a
)≡ a 2 ( mod p
p
13.4
יישום )פתרון משוואה ריבועית(
נתבונן במשוואה הריבועית ) ax2 + bx + c ≡ 0 ( mod nעבור ).(a > 0) a 6≡ 0 ( mod n
יש פתרון למשוואה אמ"מ b2 − 4acהוא שארית ריבועית מודולו .4an
13.5
טענה
יהי p ≥ 3ראשוני ו־ a, bזרים ל־ :p
a
b
=
·
p
p
13.6
ab
p
מסקנה
אם aאינו שארית ריבועית אז ניתן לקבל את כל הלא-שאריות ריבועיות ע"י הכפלת השאריות הריבועיות
ב־ .a
אם נסמן
p
is comprime to
b
Q= b :
= 1, b
p
אז
p
is comprime to
b
b :
= −1, b
p
=Q
ומכאן ש־
}Q = a · Q = {ab : b ∈ Q
)עבור aשאינו שארית ריבועיות ,כאמור( .זאת כיוון שמהמשפט שראינו עכשיו בהכרח abאינה שארית
ריבועית ,וכן גדלי הקבוצות של Qו־ Qשווים ,ולכן השוויון הנ"ל מתקיים.
20
13.7
מסקנה
13.8
טענה
−1
a
a
=
p
p
ל־ p ≥ 3ראשוני,
p−1
2
13.9
)= (−1
−1
p
טענה
עבור p ≥ 3ראשוני ישנן בדיוק
13.10
p−1
2
שאריות ריבועיות מודולו .p
כמות הפתרונות לקונגרואנציה ריבועית מודולו n
נרצה למדעת מתי קיים פתרון ל־ ) ,x2 ≡ a ( mod nוכמה פתרונות יש.
13.10.1
כאשר p ≥ 3 ,n = pjראשוני
מתקיים ש־ aשארית ריבועיות מודולו pjאמ"מ
1
j
)a 2 φ(p ) ≡ 1 ( mod p
ובמקרה זה ישנם בדיוק 2פתרונות ל־
) x2 ≡ a ( mod pj
13.10.2
כאשר a ,n = 2jאי-זוגי
עבור j = 1־ תמיד ,ויש פתרון יחיד ).(1
עבור j = 2־ צריך ) ,a ≡ 1 ( mod 4ואז יש בדיוק 2פתרונות.
עבור j ≥ 3־ הכרחי ומספיק ש־ ) a ≡ 1 ( mod 8לקיום פתרון.
21
13.11
טענה
לקונגרואנציה ) ,j ≥ 3 ,a ≡ 1 ( mod 8) ,x2 ≡ a ( mod 2jיש בדיוק ארבעה פתרונות )מודולו ,(2j
והם מהצורה:
x0 , −x0 , x0 + 2j−1 , − x0 − 2j−1
עבור איזשהו .x0
13.12
מסקנה
יהי n ≥ 2טבעי כאשר n = 2j pj11 · ... · pjrrהוא הפירוק של nלראשונים ,ו־ aזר ל־ .nאז לקונגרואנציה
) x2 ≡ a ( mod nיש פתרון אמ"מ
mod pji i
mod gcd 8, 2j
ji
1
a 2 ·φ(pi ) ≡ 1
a ≡ 1
0
ובמקרה זה ,כמות הפתרונות היא ,2r+jכאשר rנובע מהעובדה שיש rראשוניים גדולים מ־) 2וראינו
שלראשוני יש 2פתרונות בדיוק( ,ו־
j = 0, 1
0
0
j = 1
j=2
2
j≥3
שנובע מהמשפט שהוכחנו עכשיו.
13.13
הלמה של גאוס
יהי p ≥ 3ראשוני ו־ aזר ל־ .p
a
= (−1)l
p
|}הנציג היחיד של a · jמודולו pבקטע ) − 12 (p − 1), 21 (p − 1הוא שלילי | )l =|{1 ≤ j ≤ 12 (p − 1
22
13.14
מסקנה
יהי p ≥ 3ראשוני .אז
p2 −1
2
= (−1) 8
p
13.14.1
מסקנה ממסקנה
(
1
2
=
p
−1
)p ≡ 1 OR p ≡ −1 ( mod 8
)p ≡ 3 OR p ≡ −3 ( mod 8
קל לבדוק את הזוגיות של )(p2 − 1
13.15
1
8
במקרים האלה.
משפט )חוק ההדדיות הריבועית של גאוס(
יהיו p, q ≥ 3ראשוניים
1
p
q
·
)= (−1) 4 (p−1)(q−1
q
p
זהו קשר בלתי צפוי בין pqל־ . pq
13.16
הסמל של יעקבי )(Jacobi
יהי nטבעי אי-זוגי ויהי aזר ל־ .nכאשר n = p1 · ... · plעבור piראשוניים ,לאו דווקא שונים .נגדיר
l
Y
a
pi
נהוג להגדיר גם:= 1 :
a
1
=
a
n
i=1
ואם gcd(a, n) > 1אז := 0
23
a
n
.
13.16.1
תכונות
.1אם ) a ≡ b ( mod nאז
b
n
=
a
n
כי לכל ראשוני pi |nמתקיים
) a ≡ b ( mod pi
ולכן
a
b
=
pi
pi
.2אם = −1
a
n
,אז aלא שארית ריבועית מודולו .nכי קיים pi |nכך ש־ , pai = −1ואילו
) x2 ≡ a ( mod n) ⇒ x2 ≡ a ( mod pi
.3אבל אם = 1
a
n
לא נוכל להסיק האם aשארית ריבועית או לא מודולו .n
.4לכל a, bזרים ל־ n ,nאי-זוגי,
a b
=
n
n
ab
n
נובע מיד מהתכונה המקבילה של סמל לג'נדר.
.5לכל aזר ל־ m · nת כאשר m · nאי-זוגי,
a a a
=
m·n
m
n
נובע מהגדרת סמל יעקובי.
.6עבור nאי-זוגי,
1
)= (−1) 2 (n−1
−1
n
.7
1
2
2
)= (−1) 8 (n −1
n
.8עבור m, nזרים ,אי-זוגיים,
1
)= (−1) 4 (n−1)(m−1
24
m n
m
n
13.16.2
טענת עזר
אם k, lאי-זוגיים אז
1
1
1
)(k · l − 1) ≡ (k − 1) + (l − 1) ( mod 2
2
2
2
תבניות ריבועיות
14
14.1
הגדרה
תבנית ריבועית היא פונקציות מהצורה
F (x, y) := ax2 + bxy + cy 2
כאשר נציב x, y ∈ Zו־ .a, b, c ∈ Z
14.2
הגדרה
הדיסקרימיננט של ) F (x, yמוגדר להיות .∆ = b2 − 4ac
14.2.1
דיסקרימיננטים אפשריים
• ) ∆ ≡ b2 ( mod 4ולכן ) ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4לפי הזוגיות של .b
– מצד שני ,לכל שלם ∆ בעל ) ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4קיימת תבנית ריבועית בעלת דיסקרימיננט
זה.
• אם ) ∆ ≡ 0 ( mod 4ניקח
∆ 2
y
4
• אם ) ∆ ≡ 1 ( mod 4ניקח
∆−1 2
y
4
14.2.2
) F (x, y) = x2 −כלומר
∆
4
= .(a = 1, b = 0, c
) F (x, y) = x2 + xy −כלומר
זהות בסיסית
4aF (x, y) = (2ax + by)2 − ∆y 2
25
∆−1
4
= .(a = 1, b = 1, c
נובע שאם ∆ < 0אז 4aF (x, y) ≥ 0לכל x, yשלמים )ואפילו ממשיים(.
= ) acלפי הגדרת ∆( .ואז ,ל־ ) F (x, yסימן קבוע כשאינו ,0והוא ) .sgn(aכמו
במקרה זה בהכרח 6 0
כן ,אם ,F (x, y) = 0אז
(
∆y 2
=0
⇒x=y=0
2ax + by = 0
ולסיום נבחין כי ) sgn(a) = sgn(cמהגדרת ∆.
14.3
טענה )מקרה פרטי של משפט של גאוס(
)F (x, y) = (u0 x + v 0 y)(t0 x + s0 y
ישנו פירוק כזה עבור u0 , v 0 , t0 , s0 ∈ Qאמ"מ ישנו פירוק )אחר(
)F (x, y) = (ux + vy)(tx + sy
שבו .u, v, t, s ∈ Z
14.4
טענה
ישנו פירוק
)F (x, y) = (ux + vy)(tx + sy
עבור u, v, t, s ∈ Zאמ"מ הדיסקרימיננט ∆ היא ריבוע שלם.
14.5
הגדרה
נאמר שמספר n ∈ Zמיוצג ע"י התבנית ) F (x, yאם קיימים שלמים u, vזרים כך ש־ ).n = F (u, v
26
14.6
משפט
המספר nמיוצג ע"י תבנית ) F (x, yכלשהי עם דיסקרימיננט ∆ אמ"מ ∆ הוא שארית ריבועית מודולו
.4nכלומר ,קיים xשלם כך ש־ ).x2 ≡ ∆ ( mod 4n
ניסוח נוסף למשפט:
יהי ∆ שלם n ≥ 1 ,טבעי .קיימת תבנית ריבועית עם דיסקרימיננט ∆ שבה nמיוצג אמ"מ קיים x ∈ Z
כך ש־ ).x2 ≡ ∆ ( mod 4n
שקילות בין תבניות ריבועיות
15
15.1
הגדרה
נאמר ושתי תבניות ריבועיות ) F (x, y), G(x, yהן שקולות אם קיימת מטריצה )) U ∈ SL2 (Zכלומר
מטריצה 2 × 2עם מקדמים שלמים ו־ (det(U ) = 1כך ש־
) G(x, y) = F ((x, y) · U
זהו יחס שקילות שומר דיסקרימיננטה.
15.2
טענה
אם Fשקולה ל־ Gאז
) F (Z2 ) = G (Z2 ) .1כלומר מספר מופיע בתמונת Fע"י x, yשלמים אמ"מ הוא מופיע בתמונת G
ע"י x, yשלמים(.
.2שלם nמיוצג ע"י Fאמ"מ הוא מיוצג ע"י .G
15.3
טענה
אם ) U ∈ SL2 (Zו־ u, vשלמים עם gcd(u, v) = 1אז גם (u0 , v 0 ) = (u, v)Uמקיימים .gcd(u0 , v 0 ) = 1
15.4
משפט
יהי ) ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4ולא ריבוע שלם .בכל מחלקת שקילות של תבניות עם דיסקרימיננט ∆ ישנה
תבנית
F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2
27
המקיימת
||b| ≤ |a| ≤ |c
15.5
טענה
לכל תבנית ) (a, b, cשבה | |a| ≤ |cו־ ∆ אינו ריבוע שלם מתקיים אחד מהשניים:
|b| ≤ a .1
.2קיימת תבנית שקולה ) (a1 , b1 , c1שבה | |a1 | < |c1 | = |aאו | .|b1 | ≤ |a1 | ≤ |c1
15.6
מסקנה
עבור דיסקרימיננט נתון ∆ )אשר אינו ריבוע שלם( ישנן רק מספר סופי של מחלקות שקילות של תבניות
ריבועיות.
15.7
משפט
יהי ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4) ,∆ < 0ואינו ריבוע שלם .בכל מחלקת שקילות של תבניות ריבועיות חיוביות
לחלוטין )כלומר (a, c > 0עם דיסקרימיננט ∆ קיימת תבנית ) (a, b, cכך ש־ )∗(
.1או −a < b ≤ a ≤ c
.2או 0 ≤ b ≤ a = c
15.8
הגדרה
תבנית ריבועית ) (a, b, cהמקיימת את התנאי )∗( תיקרא מצומצמת .כמו כן ,נשים לב כי מהתנאי נובע
כי ,∆ < 0והתבנית חיובית לחלוטין )בתנאי השני טריוויאלי ,בתנאי הראשון ־ −a < aולכן .(a > 0
15.9
משפט
שתי תבניות חיוביות לחלוטין ) (a, c > 0 ,∆ < 0ומצומצמות הן שקולות אמ"מ הן שוות.
מכאן נקבל אלגוריתם לבדיקה האם F, Gתבניות שקולות :נפעיל על F, Gאת U1 , U2,kונעבור לתבניות
שקולות מצומצמות F .שקולה ל־ Gאמ"מ הגענו לאותה תבנית מצומצמת עבור שתיהן.
28
15.10
הגדרה
כמות מחלקות השקילות של תבניות חיוביות לחלוטין עם דיסקרימיננטה ∆ מסומנת )∆(.h
15.11
משפט
מספר nטבעי ניתן לרישום כסכום של שני ריבועים אמ"מ כל מחלק ראשוני pשל nמהצורה
)p ≡ 3 ( mod 4
מחלק את nבחזרה זוגית.
15.12
משפט לגרנז'
כל מספר טבעי ניתן לרישום כסכום של ארבעה ריבועים שלמים.n = x2 + y 2 + z 2 + w2 :
16
16.1
שברים משולבים
הגדרה
1
1
a2 + a
1
3 +...
a1 +
θ = a0 +
כאשר:
)a0 = [θ] = bθ
1
θ = a0 + ,
θ1
a1 = [θ1 ] ≥ 1
1
θ1 = a1 + ,
θ2
∈ θ1 > 1 (if θ
)/ Z
∈ θ2 > 1 (if θ1
)/ Z
.
.
.
עד אשר נקבל θjשלם ,ושם נעצור .אם לא נקבל θjשלם ,לא נעצור .זו התאמה בין θממשי לסדרות
סופיות או סופיות
a0 , a1 , ...
29
כאשר a0שלם כלשהו ו־ ∀i ≥ 1 ,ai ≥ 1שלם ,ואם הסדרה סופית אז האיבר האחרון ) an ≥ 2במידה
ו־ .(n ≥ 1
16.2
טענה
הפיתוח סופי אמ"מ θרציונלי.
16.3
סימון
עבור מספרים x0 , x1 , ..., xnממשיים נסמן:
1
1
1
x2 +.... ...
x1 +
[x0 , x1 ...., xn ] = x0 +
למשל ,אם θרציונלי אז
] θ = [a0 , a1 , ..., an
עבור השלמים aiבפיתוח שלו .אם θאי רציונלי ,אז
] θ = [a0 , a1 , ..., an , θn+1
כאשר aiשלמים ו־ θn+1 > 1אינו שלם.
המספרים הרציונליים ] [a0 , ..., anהמתקבלים מחיתוך הפיתוח של θבשלב nנקראים "המתכנסים ל־ "θ
או פשוט המתכנסים ) .(convergentה־ aiעצמם נקראים "המנות החלקיות".
16.4
טענה
יהיו a0 , ..., an 6= 0שלמים ,נגדיר שתי סדרות } {qn } ,{pnשל שלמים ע"י:
pk+1 = ak+1 pk + pk−1
qk+1 = ak+1 qk + qk−1
כאשר p−1 = 1, p−2 = 0ו־ q−1 = 0, q−2 = 1אז:
pn
= ] [a0 , ..., an
qn
30
16.5
מסקנה
{qj }j≥1סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים.
מסקנה
16.6
pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1
לכל .n ≥ −1
16.7
מסקנה
לכל pn ,n ≥ −2ו־ qnזרים.
16.8
טענה
∈ θו־ a0 , ..., anהמספרים השלמים בפיתוח שלו לשבר משולב ו־
אם / Q
pn
qn
= ] [a0 , ..., an
אז:
pn
=θ
qn
lim
∞→n
ולמעשה:
p
n
θ − < 1 → 0
qn qn2
16.9
משפט
לכל θממשי כך שהפיתוח של θלשבר משולב מגיע לפחות עד השלם ה־ ,n + 1מתקיים לכל a, bשלמים
עם 1 ≤ b ≤ qn+1
| |bθ − a| ≥ |qn θ − pn
31
)לכן ,אם גם b ≤ qnאז מתקיים
θ − pn ≤ 1 |bθ − a| = b |θ − a| ≤ θ − a
q n qn
qn
b
לא ברור לי מה הלך כאן ...תלונות לערן גיל ־ העתקתי את זה מסיכום שלו .(,
16.10
שברים משולבים של שורשים של משוואות ממעלה שנייה
16.10.1
טענת עזר
עבור p, qשלמים Q ≥ 1 ,ו־ xממשי.
p+x
]p + [x
=
Q
Q
16.11
משפט לגרנז'
השבר המשולב מחזורי אמ"מ θשורש של משוואה ריבועית עם מקדמים שלמים ,ואינו רציונלי.
16.11.1
פורמלית
הפיתוח של θלשבר משולב ] ,θ = [a0 , a1 , ..., an , φכאשר ] φ) φ = [an+1 , ..., amהוא גם מספר ,אך אינו
ממשי( הוא מחזורי אמ"מ קיימים a, b, c ∈ Zכך ש־
aθ2 + bθ + c = 0
ו־ b2 − 4ac > 0ואינו ריבוע שלם.
16.12
סימון
2
b2 − 4ac > 0 ,a, b, c ∈ Zואינו ריבוע שלם ]נקרא למספר
כל שורש של משוואה √ ,ax + bx + c = 0
כזה אלגברי ממעלה שניה[ ,הוא מהצורה α + β dעבור β 6= 0 ,α, β ∈ Qו־ d > 0ואינו ריבוע שלם,
וכן להיפך.
√
עבור θמהצורה α.β ∈ Q ,α + β dו־ d > 0לא ריבוע שלם נסמן:
√
θ0 = α − β d
32
אבחנה
16.12.1
אם נסמן
o
α, β ∈ Q
√
√
Q[ d] = α + β d :
n
√
אז ] Q[ dשדה ,תת שדה של .R
16.13
משפט
יהי θמספר אלגברי ממעלה שניה .אז הפיתוח של θלשבר משולב מחזורי טהור אמ"מ θ > 1ו־
.−1 < θ0 < 0
16.14
מסקנה
√
יהי ,d > 0שלם ואינו ריבוע שלם .אזd + [ d] ,
16.15
√
וכן
√√ 1
]d−[ d
מסקנה
אם d > 0שלם ואינו ריבוע שלם ,הפיתוח לשבר משולב של d
17
בעלי פיתוח מחזורי טהור.
√
הוא מהצורה[a0 , a1 , ..., an ] :
משוואת P ell
x2 − dy 2 = 1
עבור d > 0שלם שאינו ריבוע שלם .מחפשים פתרונות x, yשלמים .למשל ).(±1, 0
17.1
משפט
יהי d > 0שלם שאינו ריבוע שלם .נרשום
√
] d = [a0 , a1 , ..., am
כאשר mהוא המחזור המינימלי .כל פתרון טבעי ) (x, yלמשוואת P ellהוא מהצורה ) (pn , qnעבור n
אי-זוגי ו־ ,m|n + 1וגם בכיוון השני ,כל ) (pn , qnכאלה פותרים את משוואת .P ell
33
17.2
משפט
נקודד אותו
דרך נוספת לרשום את כל הפתרונות למשוואת .P ellפתרון למשוואהoהוא מהצורה )y
n .(x,
√
√
ע"י המספר הממשי .x + dyזו העתקה חח"ע ועל מ־ Z2למספרים . x + y d : x, y ∈ Z
המשפט אומר:
√
קיים פתרון יסודי ] z0 ∈ Z[ dכך שאוסף כל הפתרונות למשוואה )בקידוד שלמעלה( נתון ע"י
{±z0n :
}n ∈ Z
17.3
מסקנה
√
√
z0 = pn + qn dעבור ה־ nהמינימלי כך ש־ nאי-זוגי ו־ ) mאורך המחזור בפיתוח של ( dמחלק את
,n + 1כלומר אם mזוגי אז n = m − 1ואם mאי-זוגי ,אז .n = 2m − 1
34
© Copyright 2024