תורת המספרים ־ סיכום

‫תורת המספרים ־ סיכום‬
‫‪ 20‬בינואר ‪2015‬‬
‫תוכן עניינים‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪10‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪14‬‬
‫‪15‬‬
‫‪16‬‬
‫‪17‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חוגים ‪. . . . . . . . . . . . . . . .‬‬
‫פריקות יחידה ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫תכונות של ‪. . . . . . . . . . . . Z‬‬
‫מספרים ראשוניים ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫מספרי פרמה ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫שלשות פיתגוריות ‪. . . . . . . . . .‬‬
‫קונגרואנציות )חוג השלמים מודולו ‪(n‬‬
‫פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה ‪.‬‬
‫קונגרואנציות פולינומיאליות ‪. . . . . .‬‬
‫שורשים פרימיטיביים ‪. . . . . . . . .‬‬
‫שימושים להצפנה ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫מבחני ראשוניות ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫קונגרואנציות ריבועיות ‪. . . . . . . .‬‬
‫תבניות ריבועיות ‪. . . . . . . . . . .‬‬
‫שקילות בין תבניות ריבועיות ‪. . . . .‬‬
‫שברים משולבים ‪. . . . . . . . . . . .‬‬
‫משוואת ‪. . . . . . . . . . . . . P ell‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫חוגים‬
‫הגדרה‬
‫חוג חלקי ל־‪ C‬הוא תת קבוצה של ‪ C‬הסגורה לחיבור‪ ,‬סימן מינוס‪ ,‬כפל וכוללת את ‪.1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪15‬‬
‫‪17‬‬
‫‪19‬‬
‫‪25‬‬
‫‪27‬‬
‫‪29‬‬
‫‪33‬‬
‫הכללה )חוגים ריבועיים(‬
‫‪1.2‬‬
‫√‬
‫∈ ‪ . α‬נגדיר‬
‫יהי ‪ a ∈ Z‬כך ש ‪/ Q‬‬
‫√‬
‫√‬
‫}‪Z[ α] = {a + b α | a, b ∈ Z‬‬
‫הגדרה‬
‫‪1.3‬‬
‫עבור חוג ‪ A ⊆ C‬נסמן ב ∗‪ A‬את אוסף האיברים ההפיכים )ביחס לכפל( ב ‪.A‬‬
‫הגדרה‬
‫‪1.4‬‬
‫נאמר שמספר ‪) 0 6= a ∈ A‬כאשר נרשום ‪ ,A‬נתכוון לחוג חלקי ל ‪ (C‬מחלק את ‪ b ∈ A‬אם קיים ‪c ∈ A‬‬
‫כך ש ‪.b = ac‬‬
‫נסמן ‪ a) a|b‬מחלק את ‪ .(b‬כיוון שאנו בחוג חלקי ל ‪ a|b ,C‬אמ"מ ‪. ab ∈ A‬‬
‫‪1.4.1‬‬
‫תכונות פשוטות‬
‫• ‪ ε|a‬לכל ∗‪ ε ∈ A‬ו ‪.a ∈ A‬‬
‫• ‪ a|a‬לכל ‪0 6= a ∈ A‬‬
‫• אם ‪ a|b‬ו ‪ b|c‬אז ‪a|c‬‬
‫• אם ‪ εa|b‬עבור ∗‪ ε ∈ A‬אז גם ‪a|b‬‬
‫• אם ‪ a|b‬ו ‪ 0 6= c ∈ A‬אז ‪ ,ac|bc‬ולהפך )כי ‪ A‬חלקי ל ‪ (C‬־ ‪ bc = acd‬עבור ‪ d‬כלשהו‪ .‬נצמצם ב ‪c‬‬
‫ונקבל ‪ ,b = ad‬ולכן ‪.a|b‬‬
‫• אם ‪ a|b‬וגם ‪ ,a|c‬אז לכל ‪ u, v ∈ A‬מתקיים ‪a|ub + vc‬‬
‫‪1.5‬‬
‫טענה‬
‫כל איבר ‪ π ∈ A‬ראשוני הוא אי־פריק‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫פריקות יחידה‬
‫‪2‬‬
‫‪2.1‬‬
‫טענה‬
‫כל איבר ‪ 0 6= a ∈ Z‬אינו הפיך ניתן לרישום כמכפלת אי־פריקים )כלומר‪ ,‬קיים מספר סופי של גורמים‬
‫אי־פריקים כאלה(‪.‬‬
‫‪2.2‬‬
‫הגדרה‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫פונקציית ההצמדה ]‪ σ : Z[ α] → Z[ α‬כאשר ‪.σ(a + b α) = a − b α‬‬
‫‪2.2.1‬‬
‫תכונות‬
‫‪σ (z1 + z2 ) = σ (z1 ) + σ (z2 ) .1‬‬
‫‪σ (z1 z2 ) = σ (z1 ) · σ (z2 ) .2‬‬
‫‪σ (σ(z)) = z .3‬‬
‫‪ σ .4‬חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪2.3‬‬
‫מסקנה‬
‫√‬
‫פונקציית הנורמה המוגדרת ע"י )‪ ,N (z) = z · σ(z‬וכאשר ‪ z = a + b α‬מקבלים ‪.N (z) = a2 − b2 α ∈ Z‬‬
‫‪2.3.1‬‬
‫תכונות‬
‫‪.N (z1 z2 ) = N (z1 ) N (z2 ) .1‬‬
‫‪ N (z) = 0 .2‬אמ"מ ‪.z = 0‬‬
‫‪N (1) = N (−1) = 1 .3‬‬
‫‪2.4‬‬
‫טענה‬
‫}}‪A∗ = {z ∈ A : N (z) ∈ {−1, 1‬‬
‫האיברים בחוג הפיכים אמ"מ הנורמה שלהם היא ‪ 1‬או ‪1‬־ ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2.5‬‬
‫טענה‬
‫√‬
‫ב ]‪ Z[ α‬כל איבר לא הפיך ושונה מ־‪ ,0‬ניתן להצגה כמכפלה של איברים אי־פריקים‪.‬‬
‫‪2.6‬‬
‫משפט‬
‫נניח כי בחוג ‪ A‬כל איבר שונה מ־‪ 0‬ולא הפיך ניתן לכתיבה כמכפלת אי פריקים‪.‬‬
‫אז הצגה כמכפלה כזו היא יחידה‪ ,‬עד כדי סדר הגורמים וחברות‬
‫ראשוני‪.‬‬
‫∗‬
‫⇒⇐ כל איבר אי פריק בחוג הוא‬
‫) ‪a = b1 · ... · bm = bj · ... · bk = (ε1 b1 ) · .... (εm bm‬‬
‫כאשר במקרה הראשון אנו פשוט מחליפים את מקומות האיברים המוכפלים‪ ,‬ובמקרה השני ‪ εi‬הם איברים‬
‫הפיכים‪ ,‬וכן מתקיים ‪.ε1 · ... · εn = 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3.1‬‬
‫תכונות של ‪Z‬‬
‫חלוקה עם שארית‬
‫נתונים ‪ .a, b ∈ Z‬נניח כי ‪ ,a ≥ 1‬כלומר מספר טבעי‪.‬‬
‫קיימים ‪ q, r ∈ Z‬כך ש ‪) 0 ≤ r < a‬השארית( יחידים כך ש ‪.b = qa + r‬‬
‫‪3.2‬‬
‫הגדרה‬
‫נתונים ‪ ,a, b ∈ Z‬לא שניהם ‪ .0‬מחלק משותף ‪ d ∈ Z‬של ‪ a, b‬הוא איבר שונה מ־‪ ,0‬כך ש ‪ d|a‬וגם ‪.d|b‬‬
‫‪3.3‬‬
‫הגדרה‬
‫המחלקה המשותף המקסימלי )‪ ,gcd‬ממ"מ( של ‪ a, b‬הוא הגדול ביותר מבין המחלקים המשותפים‪.‬‬
‫הערה‪ :‬תמיד יש מחלקים משותפים‪ ,‬כי ‪ 1‬הוא כזה‪ .‬וקבוצת המחלקים המשותפים חסומה מלמעלה‪ ,‬כי‬
‫הערך המוחלט של כל מחלק משותף חסום ע"י )|‪) max(|a|, |b‬צריך מקסימום כי אולי ‪ a = 0‬או‬
‫‪.(b = 0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3.4‬‬
‫משפט‬
‫יהיו ‪ a, b ∈ Z‬לא שניהם ‪ ,0‬אז קיימים ‪ m, n ∈ Z‬כך ש ‪.gcd(a, b) = ma + nb‬‬
‫‪3.5‬‬
‫מסקנות‬
‫‪ .1‬אם ‪ t‬מחלק משותף של ‪ ,a, b‬אז )‪t|gcd(a, b‬‬
‫הוכחה‪ ,gcd(a, b) = ma + nb :‬ולכן ‪ t‬מחלק אותו‪.‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ r‬טבעי‪ ,‬ומחלק משותף של ‪ a, b‬המתחלק בכל מחלק משותף אחר‪ ,‬אז )‪.r = gcd(a, b‬‬
‫הוכחה‪ :‬מההנחה ‪ ,gcd(a, b)|r‬ולכן )‪) r > gcd(a, b‬מהטבעיות של ‪ .(r‬ולכן )‪ ,r = gcd(a, b‬כי ‪gcd‬‬
‫הוא המחלק המשותף הגדול ביותר‪.‬‬
‫‪3.6‬‬
‫אלגוריתם אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי‬
‫נתונים ‪ a, b‬לא שניהם ‪ .0‬נרצה לחשב )‪ .gcd(a, b‬בה"כ ‪.a > b > 0‬‬
‫‪a = q1 b + r1‬‬
‫‪b = q2 r1 + r2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪rk−2 = qk rk−1 + rk‬‬
‫‪rk−1 = qk+1 rk + 0‬‬
‫טענה ‪ :1‬האלגוריתם מסתיים לאחר מספר צעדים סופי‪.‬‬
‫טענה ‪.rk = gcd(a, b) :2‬‬
‫‪3.7‬‬
‫משפט‬
‫כל שלם אי פריק הוא ראשוני‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4.1‬‬
‫מספרים ראשוניים‬
‫משפט )אוקלידס(‬
‫ישנם אינסוף ראשוניים‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫הערה‪ :‬בחוג השלמים‪ ,‬נשנה את ההגדרה של ראשוניים‪ ,‬ונאמר ש ‪ p‬ראשוני אם הוא טבעי ומקיים את‬
‫ומקיים את ההגדרה הקודמת‪.‬‬
‫‪4.2‬‬
‫משפט‬
‫יש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה ‪ 4n + 3‬עבור ‪ n‬טבעי‪.‬‬
‫‪4.3‬‬
‫הגדרה‬
‫מספר הראשוניים עד למספר ‪:x‬‬
‫|}‬
‫‪4.4‬‬
‫‪is primal‬‬
‫‪π(x) = |{p : p ≤ x, p‬‬
‫טענה‬
‫‪l‬‬
‫‪ pl ≤ 22‬לכל ‪) l ≥ 1‬כאשר ‪ pl‬הוא הראשוני ה ‪.(l‬‬
‫‪4.5‬‬
‫מסקנה‬
‫‪ π(x) ≥ log log x‬עבור ‪.x ≥ 2‬‬
‫‪5‬‬
‫מספרי פרמה‬
‫‪n‬‬
‫מספרים מהצורה ‪.Fn = 22 + 1‬‬
‫‪5.1‬‬
‫טענה‬
‫‪ gcd (Fn , Fm ) = 1‬לכל ‪.n > m ≥ 0‬‬
‫‪5.2‬‬
‫מספרי מרסן )‪(1644‬‬
‫‪Mp = 2p − 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5.3‬‬
‫משפט )אוקלידס אוילר(‬
‫אם ‪ n‬טבעי הוא מושלם וזוגי‪ ,‬אז קיים מספר מרסן ‪ Mp‬ראשוני כך ש־‬
‫‪1‬‬
‫‪n = Mp Mp+1‬‬
‫‪2‬‬
‫ולהפך‪.‬‬
‫‪5.4‬‬
‫תרגיל‬
‫אם ‪ an − 1‬ראשוני‪ ,‬אז ‪ a = 2‬ו ‪ n‬ראשוני )עבור ‪.(n > 1‬‬
‫‪5.5‬‬
‫הגדרה‬
‫עבור שלם ‪ n‬חיובי‪ ,‬נרשום‬
‫‪d‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪σ(n‬‬
‫‪0<d|n‬‬
‫כלומר‪ ,‬סכום כל מחלקיו החיוביים של ‪.n‬‬
‫‪ n‬מושלם ⇒⇐ ‪.σ(n) = 2n‬‬
‫‪5.5.1‬‬
‫תכונות‬
‫‪ .1‬כפליות‪ σ(ab) = σ(a) · σ(b) :‬עבור ‪ a, b ∈ Z‬כאשר ‪) gcd(a, b) = 1‬המספרים זרים(‪.‬‬
‫‪P‬‬
‫)‪σ(n‬‬
‫‪= 0<d|n d1 .2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ p‬ראשוני ו ‪ 0 ≤ r ∈ Z‬אז‬
‫‪pr+1 − 1‬‬
‫‪p−1‬‬
‫‪5.6‬‬
‫= ) ‪σ (pr‬‬
‫מסקנה‬
‫‪rl‬‬
‫‪ n = pr1‬אז‬
‫אם ‪ n‬טבעי‪1 · ... · pl ,‬‬
‫‪Y pri +1 − 1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪pi − 1‬‬
‫‪1≤i≤l‬‬
‫‪7‬‬
‫= )‪σ(n‬‬
‫שלשות פיתגוריות‬
‫‪6‬‬
‫מהם הפתרונות השלמים ל ‪?x2 + y 2 = z 2‬‬
‫פתרון‬
‫כל פתרון שלם נותן פתרון רציונלי ל ‪ ,a2 + b2 = 1‬כי ‪= 1‬‬
‫פתרון שלם‪.‬‬
‫‬
‫‪y 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪+‬‬
‫‬
‫‪x 2‬‬
‫‪z‬‬
‫‪ ,‬וכן‪ ,‬כל פתרון רציונלי נותן‬
‫המשוואה כמובן מזכירה את מעגל היחידה‪.‬‬
‫נניח ויש לנו פתרון רציונלי )‪ (a, b‬על מעגל היחידה‪ .‬נמתח ישר ממנו לנקודה )‪ .(1, 0‬הישר יחתוך את ציר‬
‫‪ y‬בנקודה כלשהי )‪ .(0, t‬הטענה היא ש ‪ t‬רציונלי אמ"מ )‪ (a, b‬רציונליים‪ .‬בכך עשינו רדוקציה למשתנה‬
‫יחיד‪.‬‬
‫נשים לב גם כי ייתכן ונקודת החיתוך של הישר עם ציר ה ‪ y‬תהיה מחוץ למעגל‪.‬‬
‫קונגרואנציות )חוג השלמים מודולו ‪(n‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7.1‬‬
‫הגדרה‬
‫)‪ n ≥ 1 ,a, b ∈ Z) a ≡ b ( mod n‬שלם( אם ‪.n|a − b‬‬
‫‪7.2‬‬
‫טענה‬
‫אם ‪ a ≡ a0‬ו ‪ b ≡ b0‬מודולו ‪ ,n‬אז גם‪:‬‬
‫‪ a + b ≡ a0 + b0 .1‬מודולו ‪n‬‬
‫‪ a · b ≡ a0 · b0 .2‬מודולו ‪n‬‬
‫‪7.3‬‬
‫מסקנה‬
‫אם )‪ p(x‬פולינום במקדמים שלמים ב ‪ ,x‬אז אם )‪ x ≡ x0 ( mod n‬אז גם )‪.p(x) ≡ p(x0 ) ( mod n‬‬
‫‪7.4‬‬
‫מחלקות שקילות‬
‫מחלקת השקילות של ‪ a‬מודולו ‪ n‬היא ‪.{a + nk | k ∈ Z} a + nZ‬‬
‫ישנן בדיוק ‪ n‬מחלקות שקילות‪.0 + nZ, 1 + nZ, ..., n − 1 + nZ :‬‬
‫‪8‬‬
‫‪7.5‬‬
‫הגדרה‬
‫חוג השאריות מודולו ‪ Zn = {0 + nZ, ..., n − 1 + nZ} ,n‬עם הפעולות של חיבור וכפל מודולו ‪:n‬‬
‫‪(a + nZ) + (b + nZ) = a + b + nZ‬‬
‫‪(a + nZ) · (b + nZ) = ab + nZ‬‬
‫‪7.6‬‬
‫הגדרה‬
‫איבר ‪ a ∈ Zn‬הפיך אם קיים ‪ b ∈ Zn‬כך ש־ ‪ .ab = 1 + nZ‬או‪ ,‬באופן שקול‪.ab ≡ 1 ( mod n) ,‬‬
‫נסמן את אוסף האיברים ההפיכים ב ‪.Z∗n‬‬
‫‪7.7‬‬
‫טענה‬
‫‪ a ∈ Zn‬הפיך מודולו ‪ n‬אמ"מ ‪.gcd(a, n) = 1‬‬
‫‪7.8‬‬
‫הגדרה‬
‫פונקציית ‪ φ‬של אוילר‪,‬‬
‫}‪φ(n) = |Z∗n | = {1 ≤ a ≤ n | gcd(a, n) = 1, n ∈ N‬‬
‫וכן ‪.φ(1) = 1‬‬
‫עבור מספר ראשוני ‪ ,φ(p) = p − 1 ,p‬כלומר ‪ Z∗p‬הוא כל האיברים השונים מאפס ב ‪ Zp‬ולכן ‪ Zp‬הוא‬
‫שדה‪.‬‬
‫גם ההפך נכון ־ אם ‪ p‬אינו ראשוני‪ ,‬אז קיים ‪ 1 ≤ a < p‬כך ש ‪ gcd(a, p) 6= 1‬ולכן ‪ Zp‬אינו שדה‪ ,‬שכן‬
‫‪ Z∗p‬אינו כל האיברים השונים מ־‪ 0‬ב ‪.Zp‬‬
‫בקונגרואנציה ניתן לצמצם איברים הפיכים‪.‬‬
‫‪7.9‬‬
‫טענה‬
‫אם )‪ kx ≡ ky ( mod n‬ו ‪ k ∈ Z∗n‬אז )‪.x ≡ y ( mod n‬‬
‫‪9‬‬
‫טענה‬
‫‪7.10‬‬
‫אם )‪ ax = b ( mod n‬ו ‪ d|a, b, n‬אז ) ‪( mod nd‬‬
‫‪7.11‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫≡ ‪. ad x‬‬
‫משפט )אוילר(‬
‫נניח כי‬
‫‪n = pe11 · ... · pel l‬‬
‫עבור ראשוניים ‪ p1 , .., pl‬ומעריכים ‪ e1 , ..., el ≥ 1‬שלמים‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪· ... · 1 −‬‬
‫‪φ(n) = n 1 −‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪pl‬‬
‫בפרט‪ φ ,‬פונקציה כפלית‪ ,‬כלומר אם ‪ m, n‬זרים אז )‪.φ(m) · φ(n) = φ(mn‬‬
‫‪7.12‬‬
‫טענה‬
‫עבור ‪ n ≥ 2‬טבעי נגדיר‬
‫)‪φ(d‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪F (n‬‬
‫‪1≤d|n‬‬
‫אז ‪.F (n) = n‬‬
‫פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה‬
‫‪8‬‬
‫‪8.1‬‬
‫משפט‬
‫עבור המשוואה )‪:ax ≡ b ( mod n‬‬
‫‪ .1‬יש פתרון אמ"מ ‪.d := gcd(a, n)|b‬‬
‫‪ x ∈ Z .2‬פותר את המשוואה )בהנחה שיש פתרון( אמ"מ‬
‫‬
‫‪n‬‬
‫‪d‬‬
‫‪mod‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫≡ ‪. ad x‬‬
‫‪ .3‬כלל הפתרונות נתונים ע"י ‪ xj = x0 + j nd‬כאשר ‪ x0‬הפתרון היחיד למשוואה המצומצמת ≡‬
‫‪. db‬‬
‫‪mod nd‬‬
‫‪ .4‬אם מסתכלים על פתרונות מודולו ‪ ,n‬יש בדיוק ‪ d‬פתרונות שונים )בהנחה שיש פתרון(‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫‪a‬‬
‫‪x‬‬
‫‪d‬‬
‫‪8.2‬‬
‫משפט ווילסון‬
‫יהי ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אז )‪.(p − 1)! ≡ −1 ( mod p‬‬
‫‪8.3‬‬
‫משפט השאריות הסיני‬
‫אם ‪ n1 , ..., nk‬זרים בזוגות אז לכל ‪ c1 , ..., ck‬יש פתרון למערכת המשוואות ) ‪.∀j, x ≡ cj ( mod nj‬‬
‫‪Q‬‬
‫הפתרון יחיד מודולו ‪. kj=1 nj‬‬
‫‪8.3.1‬‬
‫הערה‬
‫המשפט אומר שהמערכת ) ‪ ∀j, x ≡ cj ( mod nj‬שקולה למשוואה הבודדת‪x ≡ c ( mod n1 · ... · nk ) :‬‬
‫)וכל הפתרונות כאן הם ‪ (xj = c + jn1 · ... · nk‬כאשר ‪ c ∈ Z‬המקיים ) ‪.∀j, c ≡ cj ( mod nj‬‬
‫‪8.4‬‬
‫המשפט הקטן של פרמה‬
‫* לא חושב שהוכחנו‪ ,‬אבל הוכחנו את משפט אוילר‪.‬‬
‫יהי ‪ p‬ראשוני ו־ ‪ a‬זר ל־ ‪ .p‬אז )‪.ap−1 ≡ 1 ( mod p‬‬
‫‪8.5‬‬
‫משפט אוילר )הכללה של המשפט הקודם(‬
‫יהי ‪ n‬טבעי‪ .‬יהי ‪ a‬זר ל ‪ .n‬אז‬
‫)‪aφ(n) ≡ 1 ( mod n‬‬
‫כאשר‬
‫= |}‪φ(n) = |{1 ≤ k ≤ n | gcd(k, n) = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪el‬‬
‫‪e1‬‬
‫‪[n = p1 ...pl ] = n 1 −‬‬
‫‪· ... · n 1 −‬‬
‫‪p1‬‬
‫‪pl‬‬
‫‪8.5.1‬‬
‫הערה‬
‫אם ‪ a‬הפיך מודולו ‪ n‬ו ‪ b‬הפיך מודולו ‪ n‬אז ‪ ab‬הפיך מודלו ‪.n‬‬
‫‪11‬‬
‫‪8.5.2‬‬
‫הערה‬
‫אם )‪ ab ≡ ac ( mod n‬אז )‪.b ≡ c ( mod n‬‬
‫‪8.5.3‬‬
‫טענה‬
‫הפעולה של הכפלה ב־ ‪ a‬מודולו ‪ n‬פועלת באופן חח"ע ועל על ‪) Z∗n‬קבוצת האיברים ההפיכים מודולו ‪.(n‬‬
‫‪8.5.4‬‬
‫למה‬
‫אם ‪ n > 2‬טבעי אז )‪ φ(n‬זוגי‪.‬‬
‫‪8.6‬‬
‫מסקנה‬
‫בתנאי המשפט הקודם ‪ aφ(n)−1‬הוא הפכי של ‪ a‬מודולו ‪.n‬‬
‫‪8.7‬‬
‫טענה‬
‫‪1‬‬
‫אם ‪ ,n = rs‬כאשר ‪ r, s > 2‬זרים‪ ,‬אז לכל ‪ a‬זר ל־ ‪.a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod n) ,n‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9.1‬‬
‫קונגרואנציות פולינומיאליות‬
‫הגדרה‬
‫פולינומים עם מקדמים ב־ ‪ Zn‬מסומנים ]‪ .Zn [x‬פולינום עם מקדמים ב־ ‪ Z‬מסומנים ]‪.Z[x‬‬
‫שני פולינומים כאלה נקראים שווים‪ ,‬אם כל המקדמים שלהם שקולים מודולו ‪.n‬‬
‫פעולות חיבור וכפל מתבצעות מקדם‪-‬מקדם‪.‬‬
‫‪9.2‬‬
‫אבחנה‬
‫אם )‪ p(x‬פול' עם מקדמים שלמים‪ ,‬ו־ )‪ q(x‬פול' עם מקדמים שלמים‪ ,‬ומקדם מוביל )המקדם של החזקה‬
‫הגבוהה ביותר( ‪ ,1‬אז אפשר לחלק עם שארית )במספרים הממשיים( ולקבל‪:‬‬
‫)‪p(x) = m(x)q(x) + r(x‬‬
‫כאשר )‪.0 ≤ deg(r) < deg(q‬‬
‫‪12‬‬
‫לא קשה לראות שאפשר גם לחלק בפול' ‪ q‬מעל מודולו ‪ n‬כל עוד המקדם המוביל של ‪ q‬הוא הפיך מודולו‬
‫‪.n‬‬
‫טענה‬
‫‪9.3‬‬
‫יהי ]‪ p(x) ∈ Z[x‬ו־ ‪ n‬טבעי‪ .‬אם ‪ a‬שלם הוא שורש של הפולינום ‪ p‬מודולו ‪ ,n‬כלומר ( ‪p(a) = 0‬‬
‫)‪ ,mod n‬אז )‪ x − a|p(x‬מודולו ‪.n‬‬
‫‪9.4‬‬
‫משפט לגראנג'‬
‫יהי ‪ p‬ראשוני‪ p(x) 6≡ 0 ,‬פולינום ב־ ]‪ ,Zp [x‬לקונגרואנציה )‪ p(x) ≡ 0 ( mod p‬יש לכל היותר ))‪deg (p(x‬‬
‫פתרונות שונים מודולו ‪.p‬‬
‫טענה‬
‫‪9.5‬‬
‫יהי ]‪ ,p(x) ∈ Z[x‬ו־ ‪) n = pe11 · ... · pel l‬פירוק לראשוניים(‪ .‬יש פתרון לקונגרואנציה‬
‫)‪(∗) p(x) ≡ 0 ( mod n‬‬
‫אמ"מ יש פתרון לכל אחת מהקונגרואנציות‬
‫) ‪(∗∗) p(x) ≡ 0 ( mod pei i‬‬
‫יתר על כן‪ ,‬אם יש ‪ s‬פתרונות ל )∗( ו־ ‪ si‬פתרונות ל־ )∗∗( אז ‪si‬‬
‫‪10‬‬
‫‪Ql‬‬
‫‪i=1‬‬
‫= ‪.s‬‬
‫שורשים פרימיטיביים‬
‫‪10.1‬‬
‫הגדרה‬
‫יהי ‪ n‬טבעי‪ .‬מספר ‪ a‬זר ל־ ‪ n‬נקרא שורש פרימיטיבי מודולו ‪ n‬אם הטבעי המינימלי ‪ b‬כך ש־ ( ‪ab ≡ 1‬‬
‫)‪ mod n‬הוא )‪.φ(n‬‬
‫‪10.2‬‬
‫הגדרה‬
‫יהי ‪ n‬טבעי‪ a ,‬זר ל־ ‪ .n‬הסדר של )‪ a ( mod n‬מסומן )‪ ordn (a‬הוא הטבעי המינימלי ‪ b‬כך ש־ ( ‪ab ≡ 1‬‬
‫)‪.mod n‬‬
‫• ממשפט אוילר‪.ordn (a) ≤ φ(n) ,‬‬
‫‪1‬‬
‫• אם ‪ n = r · s‬עבור ‪ r, s > 2‬זרים‪ ,‬אז לכל ‪ a‬זר ל־ ‪.a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod n) n‬‬
‫‪13‬‬
‫‪10.3‬‬
‫טענה‬
‫יהי ‪ n‬טבעי‪ a .‬זר ל־ ‪ .n‬בעצם‪ ak ≡ 1 ( mod n) ,‬אמ"מ ‪ .ordn (a)|k‬בפרט‪.ordn (a)|φ(n) ,‬‬
‫‪10.4‬‬
‫טענה‬
‫אם ‪ a‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ ,n‬אז‬
‫})‪Z∗n = {am : 1 ≤ m ≤ φ(n‬‬
‫‪10.5‬‬
‫מסקנה‬
‫יהי ‪ a‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ .n‬אז ‪ am‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ n‬אמ"מ ‪:gcd(m, φ(n)) = 1‬‬
‫‬
‫‪ai | gcd(i, φ(n)) = 1‬‬
‫‬
‫לכן‪ ,‬ישנם בדיוק ))‪ φ(φ(n‬שורשים פרימיטיביים מודולו ‪) n‬אם קיים שורש אחד(‪.‬‬
‫‪10.6‬‬
‫טענה‬
‫‪10.7‬‬
‫משפט‬
‫)‪ordn (a‬‬
‫))‪gcd(m, ordn (a‬‬
‫יהי ‪ p‬ראשוני‪ ,‬אז קיים שורש פרימיטיבי מודולו ‪.p‬‬
‫‪10.8‬‬
‫משפט‬
‫לכל ‪ p ≥ 3‬ראשוני יש שורש פרימיטיבי‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫= ) ‪ordn (am‬‬
‫‪10.9‬‬
‫משפט‬
‫לכל ‪ p ≥ 3‬ראשוני‪ ,‬ולכל ‪ ,j ≥ 1‬קיים שורש פרימיטיבי מודולו ‪.pj‬‬
‫‪10.9.1‬‬
‫למה‬
‫יהי ‪ g‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p‬אז ‪ h = g‬או ‪ h = g + p‬מקיים ש־ ) ‪.hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬‬
‫‪10.9.2‬‬
‫למה‬
‫יהי ‪ h‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ p‬המקיים ) ‪ ,hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬אז לכל ‪,j ≥ 2‬‬
‫(‬
‫) ‪≡ 1 ( mod pj−1‬‬
‫‪j−1‬‬
‫‪j−2‬‬
‫)‪hφ(p ) = hp (p−1‬‬
‫) ‪6≡ 1 ( mod pj‬‬
‫‪10.10‬‬
‫סיכום‬
‫אם ‪ g‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ ,p‬אז לכל ‪ h = g ,j ≥ 2‬או ‪ h = g + p‬שורש פרימיטיבי מודולו ‪ pj‬כאשר‬
‫‪ h‬הוא זה מביניהם המקיים ) ‪.hp−1 6≡ 1 ( mod p2‬‬
‫‪10.11‬‬
‫משפט השורשים הפרימיטיביים‬
‫ל־ ‪ n‬שורש פרימיטיבי אמ"מ ‪ n = 2, 4, pj , 2pj‬כאשר ‪ p ≥ 3‬ראשוני‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11.1‬‬
‫שימושים להצפנה‬
‫שיטת ‪RSA‬‬
‫מפרסמים ברבים )‪ ,(m, n‬כאשר ‪ n‬מספר טבעי )בד"כ מכפלה של ‪ 2‬ראשוניים גדולים( ו־ ‪ m‬טבעי זר ל־‬
‫)‪.φ(n‬‬
‫שולח‬
‫לוקח את ההודעה )מספר( ‪ A‬ומשדר את )‪B = Am ( mod n‬‬
‫‪15‬‬
‫מקבל‬
‫יודע את )‪ .φ(n‬מחשב את ‪ s‬ההופכי של ))‪ m ( mod φ(n‬ומחשב את‪:‬‬
‫)‪B s ≡ Ams ≡ A ( mod n‬‬
‫למספר ‪ n‬יש בערך )‪ log(n‬ספרות‪ .‬סיבוכיות נמדדת ב־)‪ .log(n‬הבעיה לא ב־ ‪ ,N P‬אבל לא ידוע עבורה‬
‫אלג' טוב‪.‬‬
‫‪11.2‬‬
‫שיטת ‪Dif f ie − Hellman‬‬
‫נבחר ראשוני גדול ‪ ,p‬ומספר ‪ a‬זר ל־ ‪ .a 6≡ 1 ( mod p) p‬נפרסם ברבים )‪.(a, p‬‬
‫הצד הראשון בוחר ‪ 0 < kA < p‬סודי‪ ,‬ומשדר )‪.akA ( mod p‬‬
‫הצד השני בוחר ‪ 0 < kB < p‬סודי‪ ,‬ומשדר )‪.akB ( mod p‬‬
‫הצד הראשון מחשב‪:‬‬
‫)‪≡ akB ·kA ( mod p‬‬
‫‪kA‬‬
‫‪akB‬‬
‫הצד השני מחשב‪:‬‬
‫)‪≡ akA ·kB ( mod p‬‬
‫‪kB‬‬
‫‪akA‬‬
‫כדי למצוא מ־ )‪ akA ( mod p‬בהינתן ‪ a, p‬את ‪ kA‬צריך להוציא לוגריתם בדיד‪ ,‬ולבעיה זו לא נמצא עד‬
‫כה אלג' יעיל‪.‬‬
‫זקוקים לראשוניים גדולים‪ .‬נשתמש בעובדה ש־‬
‫‪n‬‬
‫‪log n‬‬
‫∼ |}‪, 1 ≤ p ≤ n‬‬
‫‪is prime‬‬
‫בפרט‪ ,‬אם נבחר מספר באקראי בין ‪ 1‬ל־‪ n‬ישנו סיכוי בערך‬
‫‪16‬‬
‫‪π(n) = |{p | p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log n‬‬
‫שיהיה ראשוני‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪12.1‬‬
‫מבחני ראשוניות‬
‫מבחן פרמה‬
‫בהינתן ‪ n‬בוחרים ‪ a‬זר ל־‪ n‬ובודקים האם‬
‫)‪(∗) an−1 ≡ 1 ( mod n‬‬
‫אם לא‪ ,‬אז ‪ n‬אינו ראשוני‪.‬‬
‫בעיה‪ :‬ייתכן ו־ ‪ n‬אינו ראשוני‪ ,‬ועדיין )∗( יתקיים‪ .‬במצב זה נאמר ש־ ‪ n‬הוא פסאודו‪-‬ראשוני‪ ,‬לפי הבסיס‬
‫‪.(pseudo − prime) a‬‬
‫‪12.2‬‬
‫הגדרה‬
‫מספר נקרא מספר קרמייקל )‪ (Carmichael‬אם הוא פסאודו‪-‬ראשוני לפי כל בסיס ‪ a‬זר ל־‪ n‬ואינו‬
‫ראשוני‪.‬‬
‫‪12.3‬‬
‫משפט‬
‫אם ‪ n‬מכפלה של ‪ k ≥ 2‬ראשוניים שונים ‪ n = p1 · ... · pk‬ו־ ‪ ∀i pi − 1|n − 1‬אז ‪ n‬מספר קרמייקל‪.‬‬
‫‪12.4‬‬
‫הגדרה‬
‫פונ' קרמייקל ‪:λ‬‬
‫עבור ‪ n ≥ 2‬טבעי נגדיר את הסדר המקסימלי של איבר ב־ ‪:Z∗n‬‬
‫}‪n‬‬
‫‪is coprime to‬‬
‫‪λ(n) = max {ordn (a) : a‬‬
‫בוודאי )‪.λ(n)|φ(n‬‬
‫נמצא נוסחה לפונ' קרמייקל‪ .‬ראשית‪ ,‬נחשוב על המקרה בו ‪:n = 2j‬‬
‫)‪λ(2) = 1 = φ(2‬‬
‫)‪λ(4) = 2 = φ(4‬‬
‫‪17‬‬
‫ראינו בתרגיל בית שלכל ‪ a‬שזר ל־ ‪ 2j‬עבור ‪ j ≥ 3‬מתקיים‪:‬‬
‫‪j−2‬‬
‫) ‪a(2 ) ≡ 1 ( mod 2j‬‬
‫)אפשר באינדוקציה על ‪.(j‬‬
‫‪12.5‬‬
‫טענה‬
‫‪12.6‬‬
‫מסקנה‬
‫‬
‫‪j ≥ 3, λ 2j = 2j−2‬‬
‫אם ‪ n = 2j0 · pj11 · ... · pjkk‬פירוק לראשוניים של ‪ ,n‬אז‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪λ(n) = lcm λ 2j0 , φ pj11 , ..., φ pjkk‬‬
‫)כאשר )‪ ,φ (pj ) = pj−1 · (p − 1‬ו־ ‪.(λ(1) = 1‬‬
‫‪12.7‬‬
‫טענה‬
‫כל מספר קרמייקל הוא מהצורה ‪ n = p1 · ... · pk‬עבור ראשוניים שונים ‪ ,pi ≥ 3‬כך ש־ ‪pi − 1|n − 1‬‬
‫‪12.8‬‬
‫מבחן רבין‪-‬מילר‬
‫מבחן לבדיקת ראשוניות של ‪ n‬ביחס לבסיס ‪ .a‬נחשב )‪ .an−1 ( mod n‬אם קיבלנו תוצאה שונה מ־‪1‬‬
‫נעצור‪ ,‬ו־ ‪ n‬אינו ראשוני‪.‬‬
‫אם לא‪ ,‬נמשיך באינדוקציה‪ .‬נניח שעד כה )‪≡ 1 ( mod n‬‬
‫‪n−1‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪ an−1 , ..., a‬כאשר ‪.2k |n − 1‬‬
‫אם ‪ ,2j+1 - n − 1‬נעצור ונאמר ש־ ‪ n‬עבר את מבחן רבין־מילר‪ ,‬ביחס ל־ ‪.a‬‬
‫‪n−1‬‬
‫אחרת‪ ,‬נחשב )‪ .a 2k+1 ( mod n‬אם התקבלה תוצאה שונה מ־‪ ,1‬נעצור‪ .‬אם התוצאה ‪ ,−1‬נכריז שוב ש־‬
‫‪ n‬עבור את מבחן רבין־מילר ביחס ל־‪ .a‬אחרת ־ לא עבר‪.‬‬
‫‪12.8.1‬‬
‫טענה‬
‫ראשוני ‪ n‬עובר את מבחן רבין מילר‪ ,‬לכל בסיס ‪.a‬‬
‫‪18‬‬
‫‪12.8.2‬‬
‫משפט )ללא הוכחה(‬
‫כאשר ‪ n‬אינו ראשוני‪ ,‬קיימים לכל היותר‬
‫רבין‪-‬מילר‪.‬‬
‫)‪φ(n‬‬
‫‪4‬‬
‫בסיסים ‪ 1 ≤ a ≤ n − 1‬עבורם ‪ n‬אינו עובר את מבחן‬
‫באופן מעשי‪ ,‬נגריל ‪ 1 ≤ a ≤ n − 1‬באופן אחיד‪ ,‬ונבדוק את מבחן רבין‪-‬מילר‪ .‬אם ‪ a‬אינו זר ל־‪ ,n‬מצאנו‬
‫אפילו פירוק ל־ ‪ .n‬אם ‪ a‬כן זר ל־ ‪ ,n‬לפי המשפט יש סיכוי ‪) 34‬כי אנחנו הגרלנו מספר זר ל־‪ ,n‬ויש )‪φ(n‬‬
‫כאלה( ש־ ‪ n‬ייכשל במבחן‪.‬‬
‫‪k‬‬
‫נעשה זאת ‪ k‬פעמים באופן ב"ת‪ .‬הסיכוי ש־ ‪ n‬יעבור את כל המבחנים הוא ‪. 41‬‬
‫‪13‬‬
‫קונגרואנציות ריבועיות‬
‫קונגרואנציות מהצורה‬
‫)‪(∗) x2 ≡ a ( mod n‬‬
‫עבור ‪ a‬זר ל־ ‪.n‬‬
‫‪13.1‬‬
‫הגדרה‬
‫‪ a‬נקרא שארית ריבועית מודולו ‪ n‬אם ‪ a‬זר ל־ ‪ n‬ול־ )∗( יש פתרון‪.‬‬
‫נזכר שאם ל־ ‪ n‬שורש פרימיטיבי אז ל־ )‪ a) xk ≡ a ( mod n‬זר ל־ ‪ (n‬יש פתרון אמ"מ‬
‫)‪φ(n‬‬
‫)‪a gcd(k,φ(n)) ≡ 1 ( mod n‬‬
‫ואז יש ))‪ gcd (k, φ(n‬פתרונות שונים מודולו ‪.n‬‬
‫‪13.2‬‬
‫סימון )סמל לג'נדר(‬
‫נסמן עבור ‪ a‬זר ל־ ‪ p‬ו־ ‪ p ≥ 3‬ראשוני‬
‫‪p‬‬
‫‪a quadratic remainder mod‬‬
‫‪a‬‬
‫‪otherwise‬‬
‫‪19‬‬
‫( ‬
‫‪1‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪p‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪13.3‬‬
‫טענה )קריטריון אוילר(‬
‫עבור ‪ a‬זר ל־ ‪ p‬ו־ ‪ p ≥ 3‬ראשוני‬
‫ ‬
‫‪p−1‬‬
‫‪a‬‬
‫)‪≡ a 2 ( mod p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪13.4‬‬
‫יישום )פתרון משוואה ריבועית(‬
‫נתבונן במשוואה הריבועית )‪ ax2 + bx + c ≡ 0 ( mod n‬עבור )‪.(a > 0) a 6≡ 0 ( mod n‬‬
‫יש פתרון למשוואה אמ"מ ‪ b2 − 4ac‬הוא שארית ריבועית מודולו ‪.4an‬‬
‫‪13.5‬‬
‫טענה‬
‫יהי ‪ p ≥ 3‬ראשוני ו־ ‪ a, b‬זרים ל־ ‪:p‬‬
‫ ‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫·‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪13.6‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫מסקנה‬
‫אם ‪ a‬אינו שארית ריבועית אז ניתן לקבל את כל הלא‪-‬שאריות ריבועיות ע"י הכפלת השאריות הריבועיות‬
‫ב־ ‪.a‬‬
‫אם נסמן‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪is comprime to‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‪b‬‬
‫‪Q= b :‬‬
‫‪= 1, b‬‬
‫‪p‬‬
‫אז‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪is comprime to‬‬
‫ ‬
‫‪b‬‬
‫‪b :‬‬
‫‪= −1, b‬‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫=‪Q‬‬
‫ומכאן ש־‬
‫}‪Q = a · Q = {ab : b ∈ Q‬‬
‫)עבור ‪ a‬שאינו שארית ריבועיות‪ ,‬כאמור(‪ .‬זאת כיוון שמהמשפט שראינו עכשיו בהכרח ‪ ab‬אינה שארית‬
‫ריבועית‪ ,‬וכן גדלי הקבוצות של ‪ Q‬ו־ ‪ Q‬שווים‪ ,‬ולכן השוויון הנ"ל מתקיים‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫‪13.7‬‬
‫מסקנה‬
‫‪13.8‬‬
‫טענה‬
‫ ‪ −1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫=‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫ל־ ‪ p ≥ 3‬ראשוני‪,‬‬
‫‪p−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪13.9‬‬
‫)‪= (−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪p‬‬
‫טענה‬
‫עבור ‪ p ≥ 3‬ראשוני ישנן בדיוק‬
‫‪13.10‬‬
‫‬
‫‬
‫‪p−1‬‬
‫‪2‬‬
‫שאריות ריבועיות מודולו ‪.p‬‬
‫כמות הפתרונות לקונגרואנציה ריבועית מודולו ‪n‬‬
‫נרצה למדעת מתי קיים פתרון ל־ )‪ ,x2 ≡ a ( mod n‬וכמה פתרונות יש‪.‬‬
‫‪13.10.1‬‬
‫כאשר ‪ p ≥ 3 ,n = pj‬ראשוני‬
‫מתקיים ש־ ‪ a‬שארית ריבועיות מודולו ‪ pj‬אמ"מ‬
‫‪1‬‬
‫‪j‬‬
‫)‪a 2 φ(p ) ≡ 1 ( mod p‬‬
‫ובמקרה זה ישנם בדיוק ‪ 2‬פתרונות ל־‬
‫) ‪x2 ≡ a ( mod pj‬‬
‫‪13.10.2‬‬
‫כאשר ‪ a ,n = 2j‬אי‪-‬זוגי‬
‫עבור ‪ j = 1‬־ תמיד‪ ,‬ויש פתרון יחיד )‪.(1‬‬
‫עבור ‪ j = 2‬־ צריך )‪ ,a ≡ 1 ( mod 4‬ואז יש בדיוק ‪ 2‬פתרונות‪.‬‬
‫עבור ‪ j ≥ 3‬־ הכרחי ומספיק ש־ )‪ a ≡ 1 ( mod 8‬לקיום פתרון‪.‬‬
‫‪21‬‬
‫‪13.11‬‬
‫טענה‬
‫לקונגרואנציה ) ‪ ,j ≥ 3 ,a ≡ 1 ( mod 8) ,x2 ≡ a ( mod 2j‬יש בדיוק ארבעה פתרונות )מודולו ‪,(2j‬‬
‫והם מהצורה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪x0 , −x0 , x0 + 2j−1 , − x0 − 2j−1‬‬
‫עבור איזשהו ‪.x0‬‬
‫‪13.12‬‬
‫מסקנה‬
‫יהי ‪ n ≥ 2‬טבעי כאשר ‪ n = 2j pj11 · ... · pjrr‬הוא הפירוק של ‪ n‬לראשונים‪ ,‬ו־ ‪ a‬זר ל־ ‪ .n‬אז לקונגרואנציה‬
‫)‪ x2 ≡ a ( mod n‬יש פתרון אמ"מ‬
‫‬
‫‪mod pji i‬‬
‫‬
‫‪mod gcd 8, 2j‬‬
‫‪ji‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 2 ·φ(pi ) ≡ 1‬‬
‫‪a ≡ 1‬‬
‫‪0‬‬
‫ובמקרה זה‪ ,‬כמות הפתרונות היא ‪ ,2r+j‬כאשר ‪ r‬נובע מהעובדה שיש ‪ r‬ראשוניים גדולים מ־‪) 2‬וראינו‬
‫שלראשוני יש ‪ 2‬פתרונות בדיוק(‪ ,‬ו־‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j = 0, 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪j = 1‬‬
‫‪j=2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪j≥3‬‬
‫שנובע מהמשפט שהוכחנו עכשיו‪.‬‬
‫‪13.13‬‬
‫הלמה של גאוס‬
‫יהי ‪ p ≥ 3‬ראשוני ו־ ‪ a‬זר ל־ ‪.p‬‬
‫ ‬
‫‪a‬‬
‫‪= (−1)l‬‬
‫‪p‬‬
‫‬
‫‬
‫|}הנציג היחיד של ‪ a · j‬מודולו ‪ p‬בקטע )‪ − 12 (p − 1), 21 (p − 1‬הוא שלילי | )‪l =|{1 ≤ j ≤ 12 (p − 1‬‬
‫‪22‬‬
‫‪13.14‬‬
‫מסקנה‬
‫יהי ‪ p ≥ 3‬ראשוני‪ .‬אז‬
‫ ‬
‫‪p2 −1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= (−1) 8‬‬
‫‪p‬‬
‫‪13.14.1‬‬
‫מסקנה ממסקנה‬
‫( ‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪p‬‬
‫‪−1‬‬
‫)‪p ≡ 1 OR p ≡ −1 ( mod 8‬‬
‫)‪p ≡ 3 OR p ≡ −3 ( mod 8‬‬
‫קל לבדוק את הזוגיות של )‪(p2 − 1‬‬
‫‪13.15‬‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫במקרים האלה‪.‬‬
‫משפט )חוק ההדדיות הריבועית של גאוס(‬
‫יהיו ‪ p, q ≥ 3‬ראשוניים‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫·‬
‫)‪= (−1) 4 (p−1)(q−1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫זהו קשר בלתי צפוי בין ‪ pq‬ל־ ‪. pq‬‬
‫‪13.16‬‬
‫הסמל של יעקבי )‪(Jacobi‬‬
‫יהי ‪ n‬טבעי אי‪-‬זוגי ויהי ‪ a‬זר ל־ ‪ .n‬כאשר ‪ n = p1 · ... · pl‬עבור ‪ pi‬ראשוניים‪ ,‬לאו דווקא שונים‪ .‬נגדיר‬
‫ ‪l‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪a‬‬
‫‪pi‬‬
‫נהוג להגדיר גם‪:= 1 :‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ואם ‪ gcd(a, n) > 1‬אז ‪:= 0‬‬
‫‪23‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.‬‬
‫‪13.16.1‬‬
‫תכונות‬
‫‪ .1‬אם )‪ a ≡ b ( mod n‬אז‬
‫‬
‫‪b‬‬
‫‪n‬‬
‫=‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫כי לכל ראשוני ‪ pi |n‬מתקיים‬
‫) ‪a ≡ b ( mod pi‬‬
‫ולכן‬
‫ ‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫=‬
‫‪pi‬‬
‫‪pi‬‬
‫‪ .2‬אם ‪= −1‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫ ‬
‫‪ ,‬אז ‪ a‬לא שארית ריבועית מודולו ‪ .n‬כי קיים ‪ pi |n‬כך ש־ ‪ , pai = −1‬ואילו‬
‫) ‪x2 ≡ a ( mod n) ⇒ x2 ≡ a ( mod pi‬‬
‫‪ .3‬אבל אם ‪= 1‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪n‬‬
‫לא נוכל להסיק האם ‪ a‬שארית ריבועית או לא מודולו ‪.n‬‬
‫‪ .4‬לכל ‪ a, b‬זרים ל־ ‪ n ,n‬אי‪-‬זוגי‪,‬‬
‫ ‪a b‬‬
‫=‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪ab‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫נובע מיד מהתכונה המקבילה של סמל לג'נדר‪.‬‬
‫‪ .5‬לכל ‪ a‬זר ל־ ‪m · n‬ת כאשר ‪ m · n‬אי‪-‬זוגי‪,‬‬
‫‪ a a a‬‬
‫=‬
‫‪m·n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫נובע מהגדרת סמל יעקובי‪.‬‬
‫‪ .6‬עבור ‪ n‬אי‪-‬זוגי‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= (−1) 2 (n−1‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫‪n‬‬
‫‬
‫‪.7‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪= (−1) 8 (n −1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .8‬עבור ‪ m, n‬זרים‪ ,‬אי‪-‬זוגיים‪,‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪= (−1) 4 (n−1)(m−1‬‬
‫‪24‬‬
‫ ‪m n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪13.16.2‬‬
‫טענת עזר‬
‫אם ‪ k, l‬אי‪-‬זוגיים אז‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(k · l − 1) ≡ (k − 1) + (l − 1) ( mod 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫תבניות ריבועיות‬
‫‪14‬‬
‫‪14.1‬‬
‫הגדרה‬
‫תבנית ריבועית היא פונקציות מהצורה‬
‫‪F (x, y) := ax2 + bxy + cy 2‬‬
‫כאשר נציב ‪ x, y ∈ Z‬ו־ ‪.a, b, c ∈ Z‬‬
‫‪14.2‬‬
‫הגדרה‬
‫הדיסקרימיננט של )‪ F (x, y‬מוגדר להיות ‪.∆ = b2 − 4ac‬‬
‫‪14.2.1‬‬
‫דיסקרימיננטים אפשריים‬
‫• )‪ ∆ ≡ b2 ( mod 4‬ולכן )‪ ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4‬לפי הזוגיות של ‪.b‬‬
‫– מצד שני‪ ,‬לכל שלם ∆ בעל )‪ ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4‬קיימת תבנית ריבועית בעלת דיסקרימיננט‬
‫זה‪.‬‬
‫• אם )‪ ∆ ≡ 0 ( mod 4‬ניקח‬
‫‪∆ 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫• אם )‪ ∆ ≡ 1 ( mod 4‬ניקח‬
‫‪∆−1 2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4‬‬
‫‪14.2.2‬‬
‫‪) F (x, y) = x2 −‬כלומר‬
‫∆‬
‫‪4‬‬
‫= ‪.(a = 1, b = 0, c‬‬
‫‪) F (x, y) = x2 + xy −‬כלומר‬
‫זהות בסיסית‬
‫‪4aF (x, y) = (2ax + by)2 − ∆y 2‬‬
‫‪25‬‬
‫‪∆−1‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪.(a = 1, b = 1, c‬‬
‫נובע שאם ‪ ∆ < 0‬אז ‪ 4aF (x, y) ≥ 0‬לכל ‪ x, y‬שלמים )ואפילו ממשיים(‪.‬‬
‫= ‪) ac‬לפי הגדרת ∆(‪ .‬ואז‪ ,‬ל־ )‪ F (x, y‬סימן קבוע כשאינו ‪ ,0‬והוא )‪ .sgn(a‬כמו‬
‫במקרה זה בהכרח ‪6 0‬‬
‫כן‪ ,‬אם ‪ ,F (x, y) = 0‬אז‬
‫(‬
‫‪∆y 2‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪⇒x=y=0‬‬
‫‪2ax + by = 0‬‬
‫ולסיום נבחין כי )‪ sgn(a) = sgn(c‬מהגדרת ∆‪.‬‬
‫‪14.3‬‬
‫טענה )מקרה פרטי של משפט של גאוס(‬
‫)‪F (x, y) = (u0 x + v 0 y)(t0 x + s0 y‬‬
‫ישנו פירוק כזה עבור ‪ u0 , v 0 , t0 , s0 ∈ Q‬אמ"מ ישנו פירוק )אחר(‬
‫)‪F (x, y) = (ux + vy)(tx + sy‬‬
‫שבו ‪.u, v, t, s ∈ Z‬‬
‫‪14.4‬‬
‫טענה‬
‫ישנו פירוק‬
‫)‪F (x, y) = (ux + vy)(tx + sy‬‬
‫עבור ‪ u, v, t, s ∈ Z‬אמ"מ הדיסקרימיננט ∆ היא ריבוע שלם‪.‬‬
‫‪14.5‬‬
‫הגדרה‬
‫נאמר שמספר ‪ n ∈ Z‬מיוצג ע"י התבנית )‪ F (x, y‬אם קיימים שלמים ‪ u, v‬זרים כך ש־ )‪.n = F (u, v‬‬
‫‪26‬‬
‫‪14.6‬‬
‫משפט‬
‫המספר ‪ n‬מיוצג ע"י תבנית )‪ F (x, y‬כלשהי עם דיסקרימיננט ∆ אמ"מ ∆ הוא שארית ריבועית מודולו‬
‫‪ .4n‬כלומר‪ ,‬קיים ‪ x‬שלם כך ש־ )‪.x2 ≡ ∆ ( mod 4n‬‬
‫ניסוח נוסף למשפט‪:‬‬
‫יהי ∆ שלם‪ n ≥ 1 ,‬טבעי‪ .‬קיימת תבנית ריבועית עם דיסקרימיננט ∆ שבה ‪ n‬מיוצג אמ"מ קיים ‪x ∈ Z‬‬
‫כך ש־ )‪.x2 ≡ ∆ ( mod 4n‬‬
‫שקילות בין תבניות ריבועיות‬
‫‪15‬‬
‫‪15.1‬‬
‫הגדרה‬
‫נאמר ושתי תבניות ריבועיות )‪ F (x, y), G(x, y‬הן שקולות אם קיימת מטריצה )‪) U ∈ SL2 (Z‬כלומר‬
‫מטריצה ‪ 2 × 2‬עם מקדמים שלמים ו־ ‪ (det(U ) = 1‬כך ש־‬
‫) ‪G(x, y) = F ((x, y) · U‬‬
‫זהו יחס שקילות שומר דיסקרימיננטה‪.‬‬
‫‪15.2‬‬
‫טענה‬
‫אם ‪ F‬שקולה ל־ ‪ G‬אז‬
‫‪) F (Z2 ) = G (Z2 ) .1‬כלומר מספר מופיע בתמונת ‪ F‬ע"י ‪ x, y‬שלמים אמ"מ הוא מופיע בתמונת ‪G‬‬
‫ע"י ‪ x, y‬שלמים(‪.‬‬
‫‪ .2‬שלם ‪ n‬מיוצג ע"י ‪ F‬אמ"מ הוא מיוצג ע"י ‪.G‬‬
‫‪15.3‬‬
‫טענה‬
‫אם )‪ U ∈ SL2 (Z‬ו־ ‪ u, v‬שלמים עם ‪ gcd(u, v) = 1‬אז גם ‪ (u0 , v 0 ) = (u, v)U‬מקיימים ‪.gcd(u0 , v 0 ) = 1‬‬
‫‪15.4‬‬
‫משפט‬
‫יהי )‪ ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4‬ולא ריבוע שלם‪ .‬בכל מחלקת שקילות של תבניות עם דיסקרימיננט ∆ ישנה‬
‫תבנית‬
‫‪F (x, y) = ax2 + bxy + cy 2‬‬
‫‪27‬‬
‫המקיימת‬
‫|‪|b| ≤ |a| ≤ |c‬‬
‫‪15.5‬‬
‫טענה‬
‫לכל תבנית )‪ (a, b, c‬שבה |‪ |a| ≤ |c‬ו־ ∆ אינו ריבוע שלם מתקיים אחד מהשניים‪:‬‬
‫‪|b| ≤ a .1‬‬
‫‪ .2‬קיימת תבנית שקולה ) ‪ (a1 , b1 , c1‬שבה |‪ |a1 | < |c1 | = |a‬או | ‪.|b1 | ≤ |a1 | ≤ |c1‬‬
‫‪15.6‬‬
‫מסקנה‬
‫עבור דיסקרימיננט נתון ∆ )אשר אינו ריבוע שלם( ישנן רק מספר סופי של מחלקות שקילות של תבניות‬
‫ריבועיות‪.‬‬
‫‪15.7‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ ∆ ≡ 0, 1 ( mod 4) ,∆ < 0‬ואינו ריבוע שלם‪ .‬בכל מחלקת שקילות של תבניות ריבועיות חיוביות‬
‫לחלוטין )כלומר ‪ (a, c > 0‬עם דיסקרימיננט ∆ קיימת תבנית )‪ (a, b, c‬כך ש־ )∗(‬
‫‪ .1‬או ‪−a < b ≤ a ≤ c‬‬
‫‪ .2‬או ‪0 ≤ b ≤ a = c‬‬
‫‪15.8‬‬
‫הגדרה‬
‫תבנית ריבועית )‪ (a, b, c‬המקיימת את התנאי )∗( תיקרא מצומצמת‪ .‬כמו כן‪ ,‬נשים לב כי מהתנאי נובע‬
‫כי ‪ ,∆ < 0‬והתבנית חיובית לחלוטין )בתנאי השני טריוויאלי‪ ,‬בתנאי הראשון ־ ‪ −a < a‬ולכן ‪.(a > 0‬‬
‫‪15.9‬‬
‫משפט‬
‫שתי תבניות חיוביות לחלוטין )‪ (a, c > 0 ,∆ < 0‬ומצומצמות הן שקולות אמ"מ הן שוות‪.‬‬
‫מכאן נקבל אלגוריתם לבדיקה האם ‪ F, G‬תבניות שקולות‪ :‬נפעיל על ‪ F, G‬את ‪ U1 , U2,k‬ונעבור לתבניות‬
‫שקולות מצומצמות‪ F .‬שקולה ל־ ‪ G‬אמ"מ הגענו לאותה תבנית מצומצמת עבור שתיהן‪.‬‬
‫‪28‬‬
‫‪15.10‬‬
‫הגדרה‬
‫כמות מחלקות השקילות של תבניות חיוביות לחלוטין עם דיסקרימיננטה ∆ מסומנת )∆(‪.h‬‬
‫‪15.11‬‬
‫משפט‬
‫מספר ‪ n‬טבעי ניתן לרישום כסכום של שני ריבועים אמ"מ כל מחלק ראשוני ‪ p‬של ‪ n‬מהצורה‬
‫)‪p ≡ 3 ( mod 4‬‬
‫מחלק את ‪ n‬בחזרה זוגית‪.‬‬
‫‪15.12‬‬
‫משפט לגרנז'‬
‫כל מספר טבעי ניתן לרישום כסכום של ארבעה ריבועים שלמים‪.n = x2 + y 2 + z 2 + w2 :‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16.1‬‬
‫שברים משולבים‬
‫הגדרה‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a2 + a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3 +...‬‬
‫‪a1 +‬‬
‫‪θ = a0 +‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫)‪a0 = [θ] = bθ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪θ = a0 + ,‬‬
‫‪θ1‬‬
‫‪a1 = [θ1 ] ≥ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪θ1 = a1 + ,‬‬
‫‪θ2‬‬
‫∈ ‪θ1 > 1 (if θ‬‬
‫)‪/ Z‬‬
‫∈ ‪θ2 > 1 (if θ1‬‬
‫)‪/ Z‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫עד אשר נקבל ‪ θj‬שלם‪ ,‬ושם נעצור‪ .‬אם לא נקבל ‪ θj‬שלם‪ ,‬לא נעצור‪ .‬זו התאמה בין ‪ θ‬ממשי לסדרות‬
‫סופיות או סופיות‬
‫‪a0 , a1 , ...‬‬
‫‪29‬‬
‫כאשר ‪ a0‬שלם כלשהו ו־ ‪ ∀i ≥ 1 ,ai ≥ 1‬שלם‪ ,‬ואם הסדרה סופית אז האיבר האחרון ‪) an ≥ 2‬במידה‬
‫ו־ ‪.(n ≥ 1‬‬
‫‪16.2‬‬
‫טענה‬
‫הפיתוח סופי אמ"מ ‪ θ‬רציונלי‪.‬‬
‫‪16.3‬‬
‫סימון‬
‫עבור מספרים ‪ x0 , x1 , ..., xn‬ממשיים נסמן‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2 +.... ...‬‬
‫‪x1 +‬‬
‫‪[x0 , x1 ...., xn ] = x0 +‬‬
‫למשל‪ ,‬אם ‪ θ‬רציונלי אז‬
‫] ‪θ = [a0 , a1 , ..., an‬‬
‫עבור השלמים ‪ ai‬בפיתוח שלו‪ .‬אם ‪ θ‬אי רציונלי‪ ,‬אז‬
‫] ‪θ = [a0 , a1 , ..., an , θn+1‬‬
‫כאשר ‪ ai‬שלמים ו־ ‪ θn+1 > 1‬אינו שלם‪.‬‬
‫המספרים הרציונליים ] ‪ [a0 , ..., an‬המתקבלים מחיתוך הפיתוח של ‪ θ‬בשלב ‪ n‬נקראים "המתכנסים ל־ ‪"θ‬‬
‫או פשוט המתכנסים )‪ .(convergent‬ה־ ‪ ai‬עצמם נקראים "המנות החלקיות"‪.‬‬
‫‪16.4‬‬
‫טענה‬
‫יהיו ‪ a0 , ..., an 6= 0‬שלמים‪ ,‬נגדיר שתי סדרות } ‪ {qn } ,{pn‬של שלמים ע"י‪:‬‬
‫‪pk+1 = ak+1 pk + pk−1‬‬
‫‪qk+1 = ak+1 qk + qk−1‬‬
‫כאשר ‪ p−1 = 1, p−2 = 0‬ו־ ‪ q−1 = 0, q−2 = 1‬אז‪:‬‬
‫‪pn‬‬
‫= ] ‪[a0 , ..., an‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪30‬‬
‫‪16.5‬‬
‫מסקנה‬
‫‪ {qj }j≥1‬סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫מסקנה‬
‫‪16.6‬‬
‫‪pn qn−1 − pn−1 qn = (−1)n−1‬‬
‫לכל ‪.n ≥ −1‬‬
‫‪16.7‬‬
‫מסקנה‬
‫לכל ‪ pn ,n ≥ −2‬ו־ ‪ qn‬זרים‪.‬‬
‫‪16.8‬‬
‫טענה‬
‫∈ ‪ θ‬ו־ ‪ a0 , ..., an‬המספרים השלמים בפיתוח שלו לשבר משולב ו־‬
‫אם ‪/ Q‬‬
‫‪pn‬‬
‫‪qn‬‬
‫= ] ‪[a0 , ..., an‬‬
‫אז‪:‬‬
‫‪pn‬‬
‫‪=θ‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪lim‬‬
‫∞→‪n‬‬
‫ולמעשה‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪p‬‬
‫‪n‬‬
‫‪θ − < 1 → 0‬‬
‫‬
‫‪qn qn2‬‬
‫‪16.9‬‬
‫משפט‬
‫לכל ‪ θ‬ממשי כך שהפיתוח של ‪ θ‬לשבר משולב מגיע לפחות עד השלם ה־ ‪ ,n + 1‬מתקיים לכל ‪ a, b‬שלמים‬
‫עם ‪1 ≤ b ≤ qn+1‬‬
‫| ‪|bθ − a| ≥ |qn θ − pn‬‬
‫‪31‬‬
‫)לכן‪ ,‬אם גם ‪ b ≤ qn‬אז מתקיים‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪θ − pn ≤ 1 |bθ − a| = b |θ − a| ≤ θ − a‬‬
‫‬
‫‪q n qn‬‬
‫‪qn‬‬
‫‪b‬‬
‫לא ברור לי מה הלך כאן‪ ...‬תלונות לערן גיל ־ העתקתי את זה מסיכום שלו ‪.(,‬‬
‫‪16.10‬‬
‫שברים משולבים של שורשים של משוואות ממעלה שנייה‬
‫‪16.10.1‬‬
‫טענת עזר‬
‫עבור ‪ p, q‬שלמים‪ Q ≥ 1 ,‬ו־ ‪ x‬ממשי‪.‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪p+x‬‬
‫]‪p + [x‬‬
‫=‬
‫‪Q‬‬
‫‪Q‬‬
‫‪16.11‬‬
‫‬
‫משפט לגרנז'‬
‫השבר המשולב מחזורי אמ"מ ‪ θ‬שורש של משוואה ריבועית עם מקדמים שלמים‪ ,‬ואינו רציונלי‪.‬‬
‫‪16.11.1‬‬
‫פורמלית‬
‫הפיתוח של ‪ θ‬לשבר משולב ]‪ ,θ = [a0 , a1 , ..., an , φ‬כאשר ] ‪ φ) φ = [an+1 , ..., am‬הוא גם מספר‪ ,‬אך אינו‬
‫ממשי( הוא מחזורי אמ"מ קיימים ‪ a, b, c ∈ Z‬כך ש־‬
‫‪aθ2 + bθ + c = 0‬‬
‫ו־ ‪ b2 − 4ac > 0‬ואינו ריבוע שלם‪.‬‬
‫‪16.12‬‬
‫סימון‬
‫‪2‬‬
‫‪ b2 − 4ac > 0 ,a, b, c ∈ Z‬ואינו ריבוע שלם ]נקרא למספר‬
‫כל שורש של משוואה ‪√ ,ax + bx + c = 0‬‬
‫כזה אלגברי ממעלה שניה[‪ ,‬הוא מהצורה ‪ α + β d‬עבור ‪ β 6= 0 ,α, β ∈ Q‬ו־ ‪ d > 0‬ואינו ריבוע שלם‪,‬‬
‫וכן להיפך‪.‬‬
‫√‬
‫עבור ‪ θ‬מהצורה ‪ α.β ∈ Q ,α + β d‬ו־ ‪ d > 0‬לא ריבוע שלם נסמן‪:‬‬
‫√‬
‫‪θ0 = α − β d‬‬
‫‪32‬‬
‫אבחנה‬
‫‪16.12.1‬‬
‫אם נסמן‬
‫‪o‬‬
‫‪α, β ∈ Q‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪Q[ d] = α + β d :‬‬
‫‪n‬‬
‫√‬
‫אז ]‪ Q[ d‬שדה‪ ,‬תת שדה של ‪.R‬‬
‫‪16.13‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ θ‬מספר אלגברי ממעלה שניה‪ .‬אז הפיתוח של ‪ θ‬לשבר משולב מחזורי טהור אמ"מ ‪ θ > 1‬ו־‬
‫‪.−1 < θ0 < 0‬‬
‫‪16.14‬‬
‫מסקנה‬
‫√‬
‫יהי ‪ ,d > 0‬שלם ואינו ריבוע שלם‪ .‬אז‪d + [ d] ,‬‬
‫‪16.15‬‬
‫√‬
‫וכן‬
‫√‪√ 1‬‬
‫]‪d−[ d‬‬
‫מסקנה‬
‫אם ‪ d > 0‬שלם ואינו ריבוע שלם‪ ,‬הפיתוח לשבר משולב של ‪d‬‬
‫‪17‬‬
‫בעלי פיתוח מחזורי טהור‪.‬‬
‫√‬
‫הוא מהצורה‪[a0 , a1 , ..., an ] :‬‬
‫משוואת ‪P ell‬‬
‫‪x2 − dy 2 = 1‬‬
‫עבור ‪ d > 0‬שלם שאינו ריבוע שלם‪ .‬מחפשים פתרונות ‪ x, y‬שלמים‪ .‬למשל )‪.(±1, 0‬‬
‫‪17.1‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ d > 0‬שלם שאינו ריבוע שלם‪ .‬נרשום‬
‫√‬
‫] ‪d = [a0 , a1 , ..., am‬‬
‫כאשר ‪ m‬הוא המחזור המינימלי‪ .‬כל פתרון טבעי )‪ (x, y‬למשוואת ‪ P ell‬הוא מהצורה ) ‪ (pn , qn‬עבור ‪n‬‬
‫אי‪-‬זוגי ו־ ‪ ,m|n + 1‬וגם בכיוון השני‪ ,‬כל ) ‪ (pn , qn‬כאלה פותרים את משוואת ‪.P ell‬‬
‫‪33‬‬
‫‪17.2‬‬
‫משפט‬
‫נקודד אותו‬
‫דרך נוספת לרשום את כל הפתרונות למשוואת ‪ .P ell‬פתרון למשוואה‪o‬הוא מהצורה )‪y‬‬
‫‪n .(x,‬‬
‫√‬
‫√‬
‫ע"י המספר הממשי ‪ .x + dy‬זו העתקה חח"ע ועל מ־ ‪ Z2‬למספרים ‪. x + y d : x, y ∈ Z‬‬
‫המשפט אומר‪:‬‬
‫√‬
‫קיים פתרון יסודי ]‪ z0 ∈ Z[ d‬כך שאוסף כל הפתרונות למשוואה )בקידוד שלמעלה( נתון ע"י‬
‫‪{±z0n :‬‬
‫}‪n ∈ Z‬‬
‫‪17.3‬‬
‫מסקנה‬
‫√‬
‫√‬
‫‪ z0 = pn + qn d‬עבור ה־ ‪ n‬המינימלי כך ש־ ‪ n‬אי‪-‬זוגי ו־ ‪) m‬אורך המחזור בפיתוח של ‪ ( d‬מחלק את‬
‫‪ ,n + 1‬כלומר אם ‪ m‬זוגי אז ‪ n = m − 1‬ואם ‪ m‬אי‪-‬זוגי‪ ,‬אז ‪.n = 2m − 1‬‬
‫‪34‬‬