תורת המספרים ־ הרצאה 10
תורת המספרים ־ הרצאה 10
26בנובמבר 2014
שורשים פרימיטיביים
הסדר של aשזר ל־ nמודולו nהוא הטבעי המינימלי mכך ש־ ) ,am ≡ 1 ( mod 1והוא מסומן
).ordn (a
ראינו.ordn (a)|k ⇐⇒ ak ≡ 1 ( mod n) :
מסקנה) ordn (a)|φ(n) ,ממשפט אוילר(.
טענה
)ordn (a
))gcd(m, ordn (a
= ) ordn (am
הגדרה
aשורש פרימיטיבי מודולו nאם הסדר של aהוא הסדר המקסימלי האפשרי עבור :a
)ordn (a) = φ(n
במקרה זה:
)Z∗n = ai | 0 ≤ i ≤ φ(n
מסקנה
כלל השורשים הפרימיטיביים הם הקבוצה.{ai | gcd(i, φ(n)) = 1} :
בפרט ,ישנם )) φ(φ(nשורשים פרימיטיביים שונים מודולו .n
1
מטרה
משפט השורשים הפרימיטיביים :ל־ nשורש פרימיטיבי אמ"מ n = 2, n = 4, n = pj , n = 2pjעבור
p ≥ 3ראשוני.
n = 2־ מיידי a = 1 :פרימיטיבי מודולו .2
n = 4־ מיידי a = 3 :פרימיטיבי מודולו ,32 = 9 ≡ 1 ( mod 4)) 4כלומר aיצר את קבוצת כל
ההפיכים מודולו .(1, 3 :4
עיקר העבודה :קיום שורש פרימיטיבי מודולו p ≥ 3ראשוני.
משפט
לכל p ≥ 3ראשוני יש שורש פרימיטיבי.
נראה קיום בלבד )לא נראה כיצד למצוא שורש זה(.
שאלה פתוחה :האם 2שורש פרימיטיבי מודולו אינסוף ראשוניים.
ידוע :אחד מ־ 3, 5או 7שורש פרימיטיבי מודולו אינסוף ראשוניים.
טענת עזר שכבר ראינו בעבר:
φ(n) = n
X
)∗(
1≤d|n
לכל טבעי .n
הוכחה
נקבע ≥ pראשוני.
נגדיר לכל ) d|p − 1 = φ(pאת
ψ(d) = a ∈ Z∗p | ordp (a) = d
קבוצת כל האיברים ההפיכים )במקרה של pראשוני אלו כל המספרים בין 1ל־ (p − 1אשר סדרם
שווה בדיוק ל־.d
בסופו של דבר נוכיח כי ) ψ(d) = φ(dלכל .d|p − 1בפרט ,ψ(p − 1) = φ(p − 1) ≥ 1 ,ולכן קיים
שורש פרימיטיבי.
אבחנה I
ψ(d) = p − 1
X
)∗∗(
1≤d|p−1
מתקיימת כיוון שלכל איבר יש סדר כלשהו ,ואנחנו סופרים כמה איברים יש עם סדר ,1סדר 2וכו'.
בסופו של דבר ,נספור את כל p − 1האיברים )כי הם בהכרח שייכים לקבוצה כלשהי ,ובהכרח שייכים
לקבוצה אחת בלבד(.
2
שלב א'
אם ψ(d) 6= 0אז ) ψ(d) = φ(dעבורו אותו .(d|p − 1) d
נקבע 1 ≤ d|p − 1כך ש־ .ψ(d) 6= 0
יהי 1 ≤ a ≤ p − 1כך ש־ .ordp (a) = dנבחין שכל החזקות ai ,0 ≤ i ≤ d − 1שונות זו מזו.
אחרת ,אם ) ai ≡ aj ( mod pו־ 0 ≤ i ≤ j ≤ d − 1אז ) aj−1 ≡ 1 ( mod pולכן d|j − iולכן
.j = i
נבחין שאם 1 ≤ b ≤ p − 1מקיים ordp (b) = dאז ,לפי ההגדרה ).bd − 1 ≡ 0 ( mod p
לפולינום xd − 1יש לכל היותר dשורשים ב־ ) Zpמשפט לגראנג'( ,כי Zpשדה.
כל החזקות 1 ≤ i ≤ d − 1 ,aiהן שורשים של xd − 1מודולו .pלכן ,אלה כל השורשים של xd − 1
מודולו .p
לכן ,לכל bעם ordp (b) = dקיים 0 ≤ i ≤ d − 1כך ש־ ).b ≡ ai ( mod p
לכן,
= ψ(d) = ai | 0 ≤ i ≤ d − 1, ordp ai = d
)= ai | 0 ≤ i ≤ d − 1, gcd(i, d) = 1 = φ(d
כאשר השוויון מתקיים בגלל הטענה על הסדר של amשראינו קודם.
שלב ב'
נובע משלב א' ע"י החסרת )∗∗( מ־ )∗( ש־
X
X
=0
= )φ(d) − ψ(d
)φ(d
1≤d|p−1
1≤d|p−1
ψ(d)=0
אבל ,לכל ,φ(d) ≥ 1 ,d|p − 1לכן השוויון ייתכן רק במקרה שבו אין dכזה ,ולכן ψ(d) 6= 0לכל
.d|p − 1וסיימנו .
דוגמה
מצא שורש פרימיטיבי מודולו .17
פתרון
ידוע לנו כי קיימי φ(φ(17)) − φ(16) = 8שורשים פרימיטיביים מודולו .17
ננסה קודם את .a = 2הסדרים האפשריים ל־ aהם מחלקי .φ(17) = 16כלומר.2, 4, 8, 16 ,
)22 = 4 6= 1 ( mod 17
)24 = 16 = −1 6= 1 ( mod 17
)28 = 1 ( mod 17
3
לכן .ord17 (2) = 8 ,לכן 2 ,וכל חזקותיו אינם שורשים פרימיטיביים.{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256} :
כלומר:
}{2, 4, 8, 16(−1), 15(−2), 13(−4), 9(−8), 1
נובע שכל שאר האיברים שורשים פרימיטיביים ,שכן מצאנו 8שהם לא ,ויש סה"כ 8שהם כן.
משפט
לכל p ≥ 3ראשוני ,ולכל ,j ≥ 1קיים שורש פרימיטיבי מודולו .pj
הוכחה
נחשוב על המקרה .j = 2קיים כבר שורש פרימיטיבי gמודולו .pכלומר ) g p−1 ≡ 1 ( mod pו־
) g k 6≡ 1 ( mod pלכל .1 ≤ k < p − 1איבר hיהיה פרימיטיבי מודולו p2אם
2
) hφ(p ) = hp(p−1) ≡ 1 ( mod p2
ושוויון זה לא מתקיים לחזקות נמוכות יותר.
מסתבר ש־ gיהיה שורש פרימיטיבי מודולו p2אם
) g p−1 6≡ 1 ( mod p2
למה
יהי gשורש פרימיטיבי מודולו pאז h = gאו h = g + pמקיים ש־ ) .hp−1 6≡ 1 ( mod p2
הוכחת הלמה
אם ) ,g p−1 6≡ 1 ( mod p2סיימנו .לכן נניח ש־ ) ,g p−1 ≡ 1 ( mod p2ונסמן .h = g + pנשים לב
ש־ ) h ≡ g ( mod pולכן גם hפרימיטיבי מודולו .p
נחשב
= ( mod p2 ) hp−1 − 1 ≡ (g + p)p−1 − 1
p−1
X
p−1
≡ · g p−1−k · pk − 1
=
k
k=0
1
X
p−1
∗
2
= ) ( mod p
≡ · g p−1−k · pk − 1
k
k=0
≡ g p−1 − 1 + (p − 1) · g p−2 p
4
כאשר ∗ מוצדק ע"י העובדה שלכל ,k ≥ 2מודולו p2האיברים שווים ל־ ,0ולכן מספיק להסתכל רק
על הראשונים.
כעת ,נסדר מחדש ונקבל:
) (p − 1) · p · g p−2 ( mod p2
שכן הנחנו כי ) .g p−1 ≡ 1 ( mod p2נרצה להראות כי ) ,(p − 1) · p · g p−2 6≡ 0 ( mod p2ולשם כך
נראה כי .p - (p − 1)g p−2אכן ,הנ"ל מתקיים כי gשורש פרימיטיבי ,ולכן בהכרח זר ל־ ,pוכמובן כי
,p - p − 1ולכן הנ"ל מתקיים.
למה
יהי hשורש פרימיטיבי מודולו pהמקיים ) ,hp−1 6≡ 1 ( mod p2אז לכל ,j ≥ 2
(
) ≡ 1 ( mod pj−1
j−2
) φ(pj−1
)= hp (p−1
h
) 6≡ 1 ( mod pj
הוכחה
עבור j = 2זה הנתון לגבי ) hמהלמה הקודמת(.
נוכיח באינדוקציה על .j
נניח שהטענה נכונה ל־ ,jונוכיח ל־ .j + 1צ"ל
(
) ≡ 1 ( mod pj
j
j−1
)hφ(p ) = hp (p−1
) 6≡ 1 ( mod pj+1
j
השוויון ) hφ(p ) ≡ 1 ( mod pjנובע ממשפט אוילר )ברור כי hזר ל־ ,pjהיות ו־ hזר ל־ .(p
מהנתון,
= 1 + k · pj−1
)j−2 (p−1
hp
כאשר ) p - kשכן אז מודולו pjהיינו מקבלים כי ) ≡ 1 ( mod pj
)j−2 (p−1
,hpבסתירה לנתון(.
כעת,
≡
m
kpj−1
p
X
p
m
≡
j−1 p
= )
= (1 + kp
)pj−1 (p−1
h
m=0
m
kpj−1
2
X
p
m
∗
≡ )
m=0
1
≡ ≡ 1 + p · k · pj−1 + p(p − 1) · k 2 · p2j−2
2
1
j
≡ 1 + k · p + (p − 1) · k 2 · p2j−1
2
∗∗
j
) ≡ 1 + k · p 6≡ 1 ( mod pj+1
5
j+1
( mod p
כאשר ∗ מתקיים כי עבור m ≥ 3מתקיים ,m(j − 1) > j + 1ולכן מודולו pj+1האיברים הללו
מתבטלים.
ו־ ∗∗ מתקיים כי p − 1זוגי ) p ≥ 3ראשוני( ולכן ) 21 (p − 1מספר שלם ,וכן ,2j − 1 > j + 1כי
.j ≥ 2
אי השוויון האחרון מתקיים כמו מקודם ,כיוון ש־ .p - k
הוכחת המשפט
יהי hשורש פרימיטיבי מודולו pהמקיים ) ) hp−1 6≡ 1 ( mod p2קיים ,מהלמה הראשונה(.
נראה כי למעשה hשורש פרימיטיבי מודולו pjלכל ) j ≥ 1ואם נראה זו ,אז בוודאי שגם נראה קיום(.
ידוע ש־
)δ := ordpj (h)|φ pj = pj−1 (p − 1
לפי ההגדרה ,hδ ≡ 1 ( mod pj ) ,אבל לפי הלמה השנייה:
j−2
hp (p−1) ≡ 1
mod pj
בנוסף ,כיוון ש־ ) ,hδ ≡ 1 ( mod pjגם
)hδ ≡ 1 ( mod p
לכן ) p − 1 = ordp (h)|δכי hפרימיטיבי מודול .(p
סה"כ:
)p − 1|δ|pj−1 (p − 1
לכן δ = pr (p − 1) ,עבור .0 ≤ r ≤ j − 1אם ,r < j − 1אז
) ≡ 1 ( mod pj
pj−2−r
≡ hδ
)j−2 (p−1
hp
בסתירה ללמה השנייה .לכן ,r = j − 1 ,וסיימנו.
סיכום
אם gשורש פרימיטיבי מודולו ,pאז לכל h = g ,j ≥ 2או h = g + pשורש פרימיטיבי מודולו pj
כאשר hהוא זה מביניהם המקיים ) .hp−1 6≡ 1 ( mod p2
6
דוגמה
מודולו :3j
נשים לב ש־ 2פרימיטיבי מודולו ,3כי 21 = 2ו־ ) 22 ≡ 1 ( mod 3ו־ .φ(3) = 2כמו כן,
) .22 = 4 6≡ 1 ( mod 32ולכן 2שורש פרימיטיבי מודולו 3jלכל .j ≥ 1
באותו אופן 2פרימיטיבי מודולו 5jלכל .j ≥ 1שכן ,φ(5) = 4ו־ ( 21 = 2, 22 = 4, 24 ≡ 1
) .mod 5לכן 2פרימיטיבי מודולו .5כמו כן ) ,24 6≡ 1 ( mod 25ולכן 2פרימיטיבי מודולו 5jלכל
.j ≥ 1
הוכחה )משפט השורשים הפרימיטיביים(
ניזכר בטענה שראינו .אם r, s > 2 ,n = r · sזרים ,אז אין שורש פרימיטיבי מודולו ) nשכן
1
) a 2 φ(n) ≡ 1 ( mod nלכל aזר ל־ .(n
כעת ,אם nמתפרק לראשוניים כך:
)(j ≥ 0, ei ≥ 1
n = 2j · pe11 · ... · pel l
אם בפירוק ,l ≥ 2אז הטענה מראה שאין שורש פרימיטיבי מודולו .n
נותרו nים מהצורה n = 2j :ו־ .n = 2j peלגבי ,n = 2j peאם ,j ≥ 2אז אין שורש פרימיטיבי,
מהטענה הקודמת ).(2j = r, pe = s
נותרו ) n = 2jעבור n = 2, 4כבר עשינו( n = 2pe ,ו־ ) n = peכאשר את המקרה האחרון כבר
עשינו(.
נראה שעבור n = 2peיש שורש פרימיטיבי.
יהי gשורש פרימיטיבי מודולו .peיהי h = gאו ) h = g + peהאי-זוגי מביניהם ־ אחד מהם בהכרח
אי-זוגי( .אז
)ordpe (h) = pe−1 (p − 1
כי hפרימיטיבי מודולו .pe
מהו )?ord2pe (h
נשים לב כי:
) φ (2pe ) = φ(2)φ (pe ) = 1 · φ (pe ) = φ (pe
נניח בשלילה ש־ ) .ord2pe (h) < φ (peאז
) hord2pe (h) ≡ 1 ( mod 2pe
7
מכאן ש־
) hord2pe (h) ≡ 1 ( mod pe
)שכן ראינו כי ) ,(φ (2pe ) = φ (peבסתירה לכך ש־ hפרימיטיבי מודולו .pe
ולכן ) ,ord2pe (h) = φ (pe ) = φ (2peולכן hשורש פרימיטיבי מודולו .2pe
8
© Copyright 2025