‫אולימפיאדה ארצית במתמטיקה ‪ – 2013‬שלב א'‬ ‫לפניכם שאלון מתמטי בן עשר שאלות אמריקאיות‪ .‬הפותרים המצטיינים יוזמנו להשתתף‬ ‫בשלב הבא‪.‬‬ ‫מלאו בטבלה המצורפת את התשובה שבחרתם לכל שאלה )א‪/‬ב‪/‬ג‪/‬ד(‪ .‬אין צורך‬ ‫לנמק‪.‬‬ ‫אין להשתמש במחשבון‪ .‬משך המבחן‪ 60 :‬דקות‪.‬‬ ‫טבלת תשובות‪) :‬רשמו את התשובה שבחרתם(‬ ‫ד‬ ‫‪.1‬‬ ‫ד‬ ‫‪.2‬‬ ‫ב‬ ‫‪.3‬‬ ‫ד‬ ‫‪.4‬‬ ‫א‬ ‫‪.5‬‬ ‫ג‬ ‫‪.6‬‬ ‫ג‬ ‫‪.7‬‬ ‫ג‬ ‫‪.8‬‬ ‫א‬ ‫‪.9‬‬ ‫ד‬ ‫‪.10‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫פתרונות‬ ‫‪ A .1‬הוא מספר המתחלק ב‪ 3-‬ללא שארית‪ .‬נתון כי המכפלה ‪ Ai B‬מתחלקת ב‪ 6-‬ללא שארית‪.‬‬ ‫מה מהבאים נכון בוודאות ?‬ ‫)א( ‪ B‬הוא מספר זוגי‬ ‫)ב( ‪ B‬הוא מספר המתחלק ב‪3-‬‬ ‫)ג( ‪ B‬הוא מספר שאינו מתחלק ב‪3-‬‬ ‫)ד( אף תשובה אינה מחייבת‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬לא ניתן להסיק דבר על ‪ .B‬ייתכן ש‪ A -‬יהיה ‪ 6‬ואז הוא יתחלק בעצמו כלומר ב‪ ,6-‬ואז ‪ B‬יוכל‬ ‫להיות כל מספר שלם‪.‬‬ ‫‪ .2‬הוגדרה פעולה חדשה @ הפועלת באופן הבא‪ :‬אם ‪ x > y‬אז ‪x @ y = x − y‬‬ ‫אם ‪ x < y‬אז ‪ . x @ y = y − x‬אם ‪ x = y‬אז ‪. x @ y = 1‬‬ ‫? = )‪(5@3)@(3@ 7‬‬ ‫)א( ‪-1‬‬ ‫)ב( ‪0‬‬ ‫)ג( ‪1‬‬ ‫)ד( ‪2‬‬ ‫פתרון‪ :‬הפעולה @ מחסרת את המספר הקטן מהמספר הגדול‪ .‬לכן‪:‬‬ ‫‪(5@3)@(3@ 7) = 2@ 4 = 2‬‬ ‫‪ .3‬אורנה יצאה מנק' ‪ A‬צפונה במהירות ‪ 6‬קמ"ש‪ .‬שעתיים אחריה יצאה ז'אנה‪ ,‬גם היא מנק' ‪A‬‬ ‫צפונה‪ ,‬במהירות של ‪ 9‬קמ"ש‪ .‬כשהשיגה ז'אנה את את אורנה‪ ,‬הן הסתובבו וחזרו יחדיו‬ ‫במהירות של של ‪ 18‬קמ"ש לנק' ‪ .A‬כמה זמן ארכה הדרך חזרה?‬ ‫)א( שעה וחצי‬ ‫)ב( שעתיים‬ ‫)ג( שעתיים וחצי‬ ‫)ד( ‪ 3‬שעות‬ ‫פתרון‪ :‬שלב א'‪ :‬הדרך הלוך – אורנה רצה לבד שעתיים ויוצרת פער של ‪ 12‬ק"מ‪ .‬ז'אנה יוצאת‬ ‫בעקבותיה במהירות גדלה ב‪ 3-‬קמ"ש‪ ,‬ולכן קצב סגירת הפער יהיה ‪ 3‬קמ"ש‪ .‬בשעה סוגרת ז'אנה‬ ‫פער של ‪ 3‬ק"מ‪ .‬פער גדול פי ‪ 12) 4‬ק"מ( יסגור בפי ‪ 4‬זמן – ‪ 4‬שעות‪ .‬אם ז'אנה רצה ‪ 4‬שעות עד‬ ‫המפגש ‪ ,‬הרי שנפגשו במרחק ‪ 36‬ק"מ מנק' ‪.A‬‬ ‫שלב ב'‪ :‬הדרך חזרה – עליהן לחזור מרחק של ‪ 36‬ק"מ‪ .‬הם עוברות ‪ 18‬ק"מ בשעה‪ .‬מרחק כפול‬ ‫)‪ 36‬ק"מ( יעברו בזמן כפול – שעתיים‪.‬‬ ‫‪ .4‬איזו צורה מקבלים כשמחברים את אמצעי הצלעות של מעוין?‬ ‫)א( ריבוע‬ ‫)ב( מקבילית‬ ‫)ג( מעוין‬ ‫)ד( מלבן‬ ‫פתרון‪ :‬אלכסוני של המעוין מאונכים זה לזה‪ .‬הקווים שמחברים את אמצעי הצלעות מקבילים‬ ‫לאלכסוני המעוין‪ ,‬ולכן ניתן להראות כי הזוויות המתקבלות הן בנות ‪ 90‬מעלות‪ .‬מכאן שגם זוויות‬ ‫המרובע עצמו הן ‪ 90‬מעלות ולכן מדובר במלבן‪.‬‬ ‫‪ .5‬נתון משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו היא בת ‪ 60‬מעלות‪ ,‬ואורכו של הניצב שמולה הוא ‪ 12‬ס"מ‪.‬‬ ‫מהו שטחו של המשולש?‬ ‫)א( ‪ 24 3‬סמ"ר‬ ‫)ב( ‪ 30 3‬סמ"ר‬ ‫)ג( ‪ 36 3‬סמ"ר‬ ‫)ד( ‪ 48 3‬סמ"ר‬ ‫פתרון‪ :‬מדובר במשולש זהב שאורך הניצב הגדול בו הוא ‪ 12‬ס"מ‪ .‬אורך הניצב הקטן יהיה‪:‬‬ ‫‪12i4 3‬‬ ‫‪12 12 3 12 3‬‬ ‫‪ .‬שטח המשולש שווה למחצית מכפלת ניצביו‪= 24 3 :‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=4 3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 3‬‬ ‫‪ .6‬המרחק בין חדר האוכל לכולבו במלון חלומטיקה הוא ‪ 56‬מטרים‪ .‬המרחק בין חדר האוכל לאולם‬ ‫הקולנוע של המלון הוא ‪ 30‬מטרים‪ .‬נעם הלך את חצי הדרך בין הכולבו לאולם הקולנוע‪.‬‬ ‫מה מהבאים יכול להיות המרחק שעבר נעם‪ ,‬בהנחה שכל המקומות אינם על קו ישר?‬ ‫)א( ‪ 12‬מטרים‬ ‫)ב( ‪ 13‬מטרים‬ ‫)ג( ‪ 40‬מטרים‬ ‫)ד( ‪ 45‬מטרים‬ ‫פתרון‪ :‬בין שלושת האתרים נוצר משולש‪ .‬ידוע כי סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית‪ .‬לכן‬ ‫המרחק בין הכולבו לאולם הקולנוע גדול מ‪ 26-‬מטרים‪ ,‬וקטן מ‪ 86-‬מטרים‪ .‬לפיכך חצי המרחק גדול‬ ‫מ‪ 13-‬מטרים וקטן מ‪ 4-‬מטרים‪ .‬התשובה היחידה שעונה על תנאים אלו היא ‪ 40‬מטרים‪.‬‬ ‫‪ .7‬איתן רוצה לקנות מיטה‪ ,‬ספה וכיסא נוח לביתו החדש‪ .‬הוא מתלבט בין ‪ 4‬כורסאות‪,‬‬ ‫‪ 8‬מיטות ו‪ 2-‬כיסאות נוח‪ .‬לאחר מדידות גילה איתן כי בגלל אורכן‪ 3 ,‬מהמיטות אינן‬ ‫מתאימות עם ‪ 3‬מהכורסאות‪.‬‬ ‫כמה אפשרויות לריהוט הבית יש לאיתן?‬ ‫)א( ‪64‬‬ ‫)ב( ‪18‬‬ ‫)ג( ‪46‬‬ ‫)ד( ‪82‬‬ ‫פתרון‪ :‬איתן מתלבט בין ‪ 4‬כורסאות‪ 8 ,‬מיטות ו‪ 2-‬כיסאות נוח‪ ,‬לכן מספר הצירופים הוא‪:‬‬ ‫‪ . 2i8i 4 = 64‬ישנן ‪ 3‬מיטות אשר אינן מתאימות עם ‪ 3‬כורסאות ולכן‪ . 3i3 = 9 :‬כמובן שחובה‬ ‫להתייחס לכיסאות נוח ולכן החישוב הכולל של הצירופים שאינם מתאימים יהיה‪. 3i3i2 = 18 :‬‬ ‫מכאן נחסר מסך כל הצירופים את סך הצירופים שאינם מתאימים ונקבל‪. 64 − 18 = 46 :‬‬ ‫‪ A .8‬הוא מספר זוגי ו‪ B -‬הוא מספר אי זוגי‪.‬‬ ‫מה מהבאים נכון בהכרח?‬ ‫)א( הממוצע שלהם זוגי‪.‬‬ ‫)ב( הממוצע שלהם אי זוגי‪.‬‬ ‫)ג( הממוצע שלהם הוא מספר לא שלם‪.‬‬ ‫)ד( אף תשובה אינה נכונה בהכרח‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬מספר זוגי ועוד מספר אי זוגי יתנו תמיד תוצאה אי‪-‬זוגית‪ ,‬חלוקה ב‪ 2-‬של מספר אי‪-‬זוגי‬ ‫בהכרח תיתן מספר שאינו שלם‪ .‬כלומר‪ ,‬הממוצע של ‪ A‬ו‪ B -‬הוא בהכרח מספר לא שלם‪.‬‬ ‫‪ .9‬ניר תופס במכה אחת ‪ 3‬ציפורים או ‪ 5‬צבי נינג'ה‪ .‬ידוע כי לאחר שהכה מספר מכות‪ ,‬היו ברשותו‬ ‫‪ 22‬בעלי חיים‪ .‬כמה מכות הכה ניר?‬ ‫)א( ‪ 6‬מכות‬ ‫)ב( ‪ 8‬מכות‬ ‫)ג( ‪ 10‬מכות‬ ‫)ד( ‪ 15‬מכות‬ ‫פתרון‪ :‬אם נפחית ‪ 10‬צבים מהסה"כ נקבל שנותרו ‪ 12‬ציפורים‪ .‬ל‪ 10-‬צבים צריך ‪ 2‬מכות‪ ,‬ול‪12-‬‬ ‫ציפורים צריך ‪ 4‬מכות נוספות‪ .‬סה"כ ‪ 6‬מכות‪.‬‬ ‫‪ .10‬טענה‪ :‬רק מי ששותה פטל משחק טאקי‪ .‬מסקנה‪ :‬כל מי שמשחק טאקי לובש חאקי‪.‬‬ ‫המסקנה תהיה נכונה אם ‪-‬‬ ‫)א( רוב מי ששותה פטל לובש חאקי‬ ‫)ב( כל מי שמשחק טאקי שותה פטל‬ ‫)ג( כל מי שלובש חאקי שותה פטל‬ ‫)ד( רק מי שלובש חאקי שותה פטל‬ ‫פתרון‪ :‬נשים לב כי לפי הטענה‪ :‬משחק טאקי ← שותה פטל‪ .‬והמסקנה‪ :‬משחק טאקי ← לובש חאקי‪.‬‬ ‫ברצוננו להגיע מטאקי לחאקי‪ .‬הטענה הנתונה מאפשרת לנו להגיע מטאקי אל פטל ולכן חסר לנו חוק‬ ‫שיביא אותנו מפטל אל חאקי‪ .‬כלומר‪ ,‬הטענה החסרה היא‪ :‬שותה פטל ← לובש חאקי‪ .‬ובמלל‪ :‬רק מי‬ ‫שלובש חאקי שותה פטל‪.‬‬