תשואה לגודל ומקסום רווחים הביקוש לגורמי ייצור עודף היצרן

‫תשואה לגודל ומקסום רווחים‬
‫הביקוש לגורמי ייצור‬
‫עודף היצרן‬
‫‪1‬‬
‫תשואה לגודל ומקסום רווחים‬
‫המקרההקלהואהמקרהשלתשואה יורדתלגודל‬
‫במקרה זהבעייתמקסוםהרווחיםגוררתבדרךכלל‬
‫פתרון יחידעםרמתרווחחיוביתממש ‪.‬‬
‫דוגמאותראינובהרצאותהקודמות ‪.‬‬
‫המקרההיותרבעייתיהינושלתשואהקבועהלגודל ‪.‬‬
‫במקרהכזההעלותלייצור יחידה )‬
‫שתלוייהכמובן‬
‫בטכנולוגיההספציפית ובמחיריגורמיהייצור (‬
‫קובעתאתכלמבנההעלויות ‪.‬‬
‫כמות ‪q‬‬
‫העלותלייצורכל‬
‫ניתנתעל ידי ‪. C(1)q‬‬
‫הסיבהלכךהיאשהדרךהזולהביותרלייצראת ‪q‬‬
‫היאלהכפילאתהכמויותששימשולייצור יחידה‬
‫אחתפי ‪.q‬‬
‫‪2‬‬
‫תק"ל ומקסום רווחים‬
‫גבוהמהעלותלייצור יחידה ‪,‬‬
‫אםמחירהתפוקה )‪(p‬‬
‫איןפתרוןלבעייתמקסוםהרווחים והפירמהתשאף‬
‫לייצר ולהעסיקכמויותאינסופיות ‪.‬‬
‫ואלוכברשיקוליםשלסמסטרב (‬
‫במצב זה )‬
‫שינוייםבמחירים יביאולכך ‪,‬‬
‫רווחיהפירמה יתאפסו ‪,‬‬
‫שבסיכומושלדבר‬
‫כלומרהעלותלייצור יחידה‬
‫תתלכדעםמחירהתפוקה ‪.‬‬
‫אםמחירהתפוקהשווהלעלותלייצור יחידה ‪,‬‬
‫רווחי‬
‫הפירמה יהיואפס ויהיואינסוףתוכניות ייצור‬
‫שיניבורווח זה ‪.‬‬
‫אםמחירהתפוקה נמוךמהעלותלייצור יחידה ‪,‬‬
‫הפירמהתייצרכמותאפס ותרוויחאפס ‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫תק"ל ומקסום רווחים ‪ -‬דוגמה‬
‫נניחכיפונקצייתהייצורהינה ‪:‬‬
‫‪F(z1,z 2)= z10.25 z20.75‬‬
‫בעייתמינימוםהעלותהינה ‪:‬‬
‫‪w 2z 2‬‬
‫‪1 z 1+‬‬
‫‪M‬‬
‫‪inw‬‬
‫‪S.T.‬‬
‫‪z20.75 ≥q‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪1‬‬
‫‪z‬‬
‫שפתרונה ניתןעל ידיפתרוןשתיהמשוואות ‪:‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪w1‬‬
‫=‬
‫‪w2‬‬
‫‪) 3 z1‬‬
‫תנאיההשקה ומגבלתהתפוקה (‬
‫‪0.75‬‬
‫‪z10.25 z 2‬‬
‫‪=q‬‬
‫מהמשוואההראשונהמתקבלכי ‪:‬‬
‫‪3w1 z1‬‬
‫‪w2‬‬
‫= ‪z2‬‬
‫‪hence‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪=q‬‬
‫‪ 3w1 z1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪z10.25‬‬
‫‪4‬‬
‫תק"ל ומקסום רווחים – דוגמה ‪1 -‬‬
‫ולכן ‪:‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪ w2 ‬‬
‫‪z1 ( w1 , w2 , q ) = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3w1 ‬‬
‫‪q‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪q‬‬
‫‪ 3w1 ‬‬
‫‪z 2 ( w1 , w2 , q ) = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪w‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 ‬‬
‫ופונקצייתההוצאותמתקבלתמהצבתהפתרוןלתוך‬
‫פונקצייתהמטרה ‪w1z1+w2z2‬‬
‫והינה ‪:‬‬
‫= ) ‪c ( w1 , w2 , q‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪(3−0.75 + 30.25 ) w10.25 w2‬‬
‫= ‪q‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪w10.25 w2‬‬
‫‪q‬‬
‫‪= 1.7548‬‬
‫שווהל –‬
‫כלומרהעלותלייצוריחידההינהקבועהו‬
‫‪0.75‬‬
‫‪w10.25 w2‬‬
‫‪1.7548‬‬
‫שוליתשבמקרהזהמתלכדתגםעם‬
‫זוהעלותה‬
‫העלותהממוצעת ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫תק"ל ומקסום רווחים – דוגמה ‪2 -‬‬
‫אםמחירהתפוקה ‪p‬‬
‫‪0.75‬‬
‫גדולמ ‪-‬‬
‫‪1.7548 w10.25 w2‬‬
‫אין פתרון לבעייתמקסוםהרווחים ‪,‬‬
‫הפירמהתשאף‬
‫לייצראינסוף ‪.‬‬
‫אםמחירהתפוקה ‪p‬‬
‫קטןמ ‪1.7548 w10.25 w20.75 -‬‬
‫הפירמהתפסיד בכלרמת ייצורחיובית ותבחר לא‬
‫לייצר כלל ולהרוויחאפס ‪.‬‬
‫אםמחירהתפוקה ‪p‬‬
‫שווה ל ‪1.7548 w10.25 w20.75 -‬‬
‫הפירמהתרוויחאפסבכלרמת ייצורחיובית ותהיה‬
‫אדישה בין כלצירופי גורמיהייצורשמקיימים ‪:‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪w‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪3 z1‬‬
‫‪w2‬‬
‫‪6‬‬
‫תע"ל ומקסום רווחים‬
‫המקרה של תשואה עולה לגודל הינו מקרה של‬
‫"כשלון שוק" )מונח של סמסטר ב'( כלומר מצב בו‬
‫שוק תחרותי אינו יכול לתפקד‪.‬‬
‫נזכור כי בשוק תחרותי הפירמה מתייחסת למחירי‬
‫גורמי הייצור והתפוקה כנתונים‪ .‬פירמה עם תשואה‬
‫עולה לגודל לא תוכל במקרה כזה למקסם את רווחיה‬
‫ותשאף לייצר אינסוף‪ ,‬רווחיה ילכו ויגדלו ככל‬
‫שתייצר יותר‪.‬‬
‫‪7‬‬
‫תע"ל ומקסום רווחים ‪ -‬דוגמה‬
‫נניחכיפונקצייתהייצורהינה ‪F(z1,z 2)= z1z2 :‬‬
‫בעייתמינימוםהעלותהינה ‪:‬‬
‫‪w 2z2‬‬
‫‪1z1+‬‬
‫‪M‬‬
‫‪inw‬‬
‫‪S.T.‬‬
‫‪1z2≥q‬‬
‫‪z‬‬
‫שפתרונהניתןעל ידיפתרוןשתיהמשוואות ‪:‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪w1‬‬
‫=‬
‫‪z1‬‬
‫‪w2‬‬
‫)‬
‫תנאיההשקה ומגבלתהתפוקה (‬
‫‪z1 z 2 = q‬‬
‫מהמשוואההראשונהמתקבלכי ‪:‬‬
‫‪w1 z1‬‬
‫‪w2‬‬
‫= ‪z2‬‬
‫‪hence‬‬
‫‪w z ‬‬
‫‪z1  1 1  = q‬‬
‫‪ w2 ‬‬
‫‪8‬‬
‫תע"ל ומקסום רווחים – דוגמה ‪1 -‬‬
‫ולכן ‪:‬‬
‫‪q 0.5‬‬
‫‪q 0 .5‬‬
‫‪0 .5‬‬
‫‪0. 5‬‬
‫‪w ‬‬
‫‪z1 ( w1 , w2 , q ) =  2 ‬‬
‫‪ w1 ‬‬
‫‪w ‬‬
‫‪z 2 ( w1 , w2 , q ) =  1 ‬‬
‫‪ w2 ‬‬
‫ופונקצייתההוצאותמתקבלתמהצבתהפתרוןלתוך‬
‫פונקצייתהמטרה ‪w1z1+w2z2‬‬
‫והינה ‪:‬‬
‫‪0. 5 0. 5‬‬
‫‪c ( w1 , w2 , q ) = 2 w10.5 w2‬‬
‫‪q‬‬
‫הביטויעבורהרווחשלהפירמהשניתןעל ידי ‪:‬‬
‫‪0.5 0.5‬‬
‫‪pq − 2 w10.5 w2‬‬
‫‪q‬‬
‫שואףלאינסוףכש – ‪q‬‬
‫שואףלאינסוף ‪.‬‬
‫עקומתההיצעעבורשלושתתרחישיהתשואה‬
‫לגודל‬
‫‪... :‬‬
‫‪9‬‬
‫מה קורה אם מנסים למקסם רווחים ישירות?‬
‫לכלהמסקנותאליהןהגענובשקפיםהקודמים ניתן‬
‫להגיע גם ישירותמבעייתמקסוםהרווחיםמבלי‬
‫לעבורדרךפונקצייתההוצאות ‪.‬‬
‫אחדהיתרונותבמעברדרךפונקצייתההוצאותהינו‬
‫שפונקצייה זומוגדרת גםבמקריםשלתשואהעולה‬
‫לגודל ‪,‬‬
‫ופונקצייה זומשחקתתפקידחשובבמדיניות‬
‫הפיקו‬
‫חעלענפיםעםתשואהעולהלגודלבהם נוצר‬
‫לעיתיםרבותמונופולטבעי )‬
‫שובסמסטרב' (‪.‬‬
‫בניסוחבעייתמקסוםהרווחיםעבורטכנולוגיהעם‬
‫תשואהעולהלגודל נראהשתנאיסדרשנילא‬
‫והנקודהבהמתקיימיםתנאיהסדר‬
‫מתקיימים ‪,‬‬
‫הראשוןהינהלמעשה נקודתמינימוםרווחים ולא‬
‫מקסימוםרווחים ‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫מה קורה אם מנסים למקסם רווחים ישירות ‪1 -‬‬
‫בניסוח בעיית מקסום הרווחים עבור טכנולוגיה עם‬
‫תשואה קבועה לגודל נראה שתנאי הסדר הראשון‬
‫מטילים למעשה תנאי על הפרמטרים )מחירי גורמי‬
‫הייצור והתפוקה( של הבעייה ואינם מאפשרים‬
‫לפתור עבור כמויות של גורמי ייצור ורמות תפוקה‪.‬‬
‫התנאי על הפרמטרים הינו למעשה התנאי שמחיר‬
‫התפוקה שווה לעלות לייצור יחידה‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫חזרה לדוגמת התק"ל‬
‫נחזורלדוגמהעם ‪F(z1,z 2)= z10.25 z20.75 :‬‬
‫בעייתמקסימוםהרווחיםהינה ‪:‬‬
‫‪z10.25 z20.75 - w1z1 - w2z2‬‬
‫‪Maxp‬‬
‫שפתרונה ניתןעל ידיפתרוןשתיהמשוואות ‪:‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪0.25 pz 1− 0.75 z 2‬‬
‫‪= w1‬‬
‫‪− 0.75‬‬
‫‪0.75 pz 10.25 z 2‬‬
‫‪= w2‬‬
‫) ‪i =1,2‬‬
‫‪i=wi‬‬
‫‪( VM‬‬
‫‪P‬‬
‫מחלוקתשתיהמשוואותהראשונותמתקבלכי ‪:‬‬
‫‪z2‬‬
‫‪w‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪3 z1‬‬
‫‪w2‬‬
‫‪hence‬‬
‫‪3w1 z1‬‬
‫‪w2‬‬
‫= ‪z2‬‬
‫הצבהלתוךהמשוואההראשונה גוררת ‪:‬‬
‫‪12‬‬
‫חזרה לדוגמה ‪1 -‬‬
‫‪0.75‬‬
‫‪= w1‬‬
‫‪− 0.75 ‬‬
‫‪0.25 pz1‬‬
‫‪‬‬
‫‪3w1z1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ w2 ‬‬
‫‪thus‬‬
‫‪0.25 p = 3− 0.75 w10.25 w20.75‬‬
‫כלומר לא ניתן לפתור עבור כמויות גורמי ייצור‬
‫יחידות והתנאי המתקבל הינו‪:‬‬
‫‪p = 1.7548w10.25 w20.75‬‬
‫כלומר מחיר תפוקה שווה לעלות לייצור יחידה‪.‬‬
‫‪13‬‬
‫חזרה לדוגמה משבוע שעבר‬
‫עבור הפירמה עם פונקציית ייצור ‪z10.5z20.3‬‬
‫מצאנו את מערכת הביקוש היצע הבאה‪:‬‬
‫‪z1 ( w1, w2 , p ) = 0.0145 p 5 w1− 3.5 w2− 1.5‬‬
‫‪and‬‬
‫‪z2 ( w1, w2 , p ) = 0.0087 p 5 w1− 2.5 w2− 2.5‬‬
‫‪4 − 2.5 − 1.5‬‬
‫‪0.029 p w1 w2‬‬
‫= )‪q ( w1, w2 , p‬‬
‫ביקושים והיצעים אלו הינם של הטווח הארוך בו‬
‫ניתן לשנות את כמויות כל גורמי הייצור‪.‬‬
‫‪14‬‬
‫גורמי ייצור ותפוקה‬
‫סטאטיקה השוואתית‬
‫השפעת המחיר העצמית של גורם ייצור ‪i‬‬
‫‪∂ zi‬‬
‫‪∂ wi‬‬
‫הינה‬
‫והינה אי חיובית‪.‬‬
‫‪∂ zi‬‬
‫השפעת המחיר הצולבת הינה‬
‫‪∂ wj‬‬
‫ובמקרה של‬
‫שני גורמי ייצור סימנה חיובי אם גורמי הייצור‬
‫מתחרים ושלילי אם הם מסייעים‪.‬‬
‫‪∂ zi‬‬
‫‪≤ 0 if F12 > 0‬‬
‫‪∂ wj‬‬
‫‪∂ zi‬‬
‫‪≥ 0 if F12 < 0‬‬
‫‪∂ wj‬‬
‫‪15‬‬
‫גורמי ייצור ותפוקה‬
‫סטאטיקה השוואתית ‪1 -‬‬
‫מהןההשפעותהצולבותשלמחיר גורם ייצור ומחיר‬
‫כווןההשפעותתלויבתכונתהנחיתותשל‬
‫תפוקה ?‬
‫גורםהייצור ‪) .‬‬
‫גורם ייצורהינו נחותאםהכמות‬
‫המבוקשתממנו יורדתכשהתפוקהעולה (‬
‫‪zi is not inferior‬‬
‫‪∂ zi‬‬
‫‪≥ 0 if‬‬
‫‪∂ p‬‬
‫‪zi is inferior‬‬
‫‪∂ zi‬‬
‫‪≤ 0 if‬‬
‫‪∂ p‬‬
‫‪zi is not inferior‬‬
‫‪∂q‬‬
‫‪≤ 0 if‬‬
‫‪∂ wi‬‬
‫‪zi is inferior‬‬
‫‪∂q‬‬
‫‪≥ 0 if‬‬
‫‪∂ wi‬‬
‫‪16‬‬
‫הצגת הפתרון במישור עקומות ה ‪VMP -‬‬
‫השוואה בין הטווח הארוך והקצר‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫נתווה שני מערכות צירים‪ ,‬אחת עבור ‪ z1‬והשנייה עבור ‪.z2‬‬
‫לאורך עקומת ה – ‪ VMP‬בכל מערכת קבועים מחיר‬
‫התפוקה והכמות המועסקת מגורם הייצור השני‪.‬‬
‫רמות גורמי הייצור נקבעות סימולטאנית‪.‬‬
‫נניח שמחירו של גורם ייצור ‪ 1‬עלה‪.‬‬
‫בטווח הקצר לא ניתן לשנות את הכמות המועסקת מגורם‬
‫הייצור השני‪.‬‬
‫כתוצאה אנו זזים על עקומת ה ‪ VMP‬המקורית ורואים‬
‫מהו השינוי בביקוש לגורם ייצור ‪ 1‬בטווח הקצר‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫הצגת הפתרון במישור עקומות ה ‪VMP -‬‬
‫השוואה בין הטווח הארוך והקצר ‪1 -‬‬
‫•‬
‫בטווח הארוך ניתן לשנות גם את כמות גורם ייצור ‪ .2‬הירידה‬
‫בכמות גורם ייצור ‪ 1‬מורידה )אם הם מסייעים( את התפוקה‬
‫השולית של גורם ייצור ‪ ,2‬ולכן נוצרת עקומת ‪ VMP2‬חדשה משמאל‬
‫לעקומה המקורית‪ .‬הכמות של גורם ייצור ‪ 2‬קטנה וזה גורר ‪VMP1‬‬
‫חדש משמאל לקודם וירידה חזקה יותר של גורם ייצור ‪ ,1‬וכן הלאה‬
‫עד שמגיעים לצירוף גורמי הייצור החדש‪.‬‬
‫•‬
‫ניתן לעשות דיון דומה עבור גורמי ייצור מתחרים‪.‬‬
‫המסקנה הסופית בשני המקרים היא שהשינוי בטווח הארוך חריף‬
‫יותר מאשר בטווח הקצר‪.‬‬
‫•‬
‫תגיעו למסקנות דומות עבור שינויים במחיר התפוקה‪.‬‬
‫כל אלו דוגמאות לתופעה של עיקרון ‪Le Chatelier‬‬
‫•‬
‫•‬
‫‪18‬‬
‫גמישויות בטווח הארוך והקצר ‪ -‬דוגמה‬
‫בדוגמהמשבועשעברחישבנואתביקושי והיצע‬
‫הפירמהשפונקצייתהייצורשלהנתונהעל ידי ‪:‬‬
‫‪0.3‬‬
‫‪F ( z1 , z 2 ) = z10.5 z 2‬‬
‫וקיבלנו‪:‬‬
‫‪−1.5‬‬
‫‪p 5 w1−3.5 w2‬‬
‫‪− 2.5‬‬
‫‪p 5 w1− 2.5 w2‬‬
‫‪z1 ( w1 , w2 , p ) = 0.0145‬‬
‫‪z 2 ( w1 , w2 , p ) = 0.0087‬‬
‫‪−1.5‬‬
‫‪p 4 w1− 2.5 w2‬‬
‫‪q ( w1 , w2 , p ) = 0.029‬‬
‫לאור זאתבטווחהארוךגמישותהביקושלגורם‬
‫וגמישותהביקוש‬
‫ביחסלמחירוהינה ‪, -3.5‬‬
‫ייצור ‪1‬‬
‫פוקההינה ‪. 5‬‬
‫ביחסלמחירהת‬
‫לגורם ייצור ‪1‬‬
‫נניחכיבטווחהקצר ‪. z2=1‬‬
‫כעתתפתורהפירמה ‪:‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪-w1z1‬‬
‫תנאיהסדרהראשוןהינו ‪0.5 pz 1-0.5 =w1 :‬‬
‫ומתקבל ‪z1(w1,p )= p2/( 4w12) :‬‬
‫כלומרבטווחהקצרגמישותהביקושלגורם ייצור ‪1‬‬
‫וביחסלמחירהתפוקההיא ‪. 2‬‬
‫ביחסלמחירוהיא ‪, -2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪M‬‬
‫‪axpz‬‬
‫בכיתהחישבתיבטווחהקצרבטעותעבורחזקה ‪, 0.3‬‬
‫החזקההנכונההיא זוהמופיעהכאןכלומר ‪.0.5‬‬
‫‪19‬‬
‫‪22.05‬‬
‫שלוש הצגות שקולות של‬
‫עודף היצרן‬
‫‪20‬‬