Document
טכנולוגיה – המשך פונקציית ההוצאות 1 פונקציית ייצור קוב-דוגלאס F(K ,L )= A פונקצייתייצורקובדוגלאס – K αLβ הפונקציה חיובייםוקטניםמאחד , שר αו β - כא מקיימתתפוקהשוליתפוחתת . α β שותהתפוקהביחסל – . K הינהגמי שותהתפוקהביחסל – . L הינהגמי דרגתההומוגניותשלהפונקציהניתנתעלידי .α+β פונקצייתייצורזוהינההומוטתית . שואהעולה ) פונקצייתייצורזומקיימתת שר (α+β<1) α+β>1 לגודלכא יורדת ( שואהקבועהלגודל פונקצייתייצורזומקיימתת שר α+β=1 כא שפטאוילרגוררשעבורפונקצייתתק" ל מ KM P P L=F(K ) ,L K+LM ) K F K+L F L=F(K לחילופין ) ,L ) מייצגאתאחוז לקובדוגלאס α בפונקצייתתק" חלקההוןבתוצר ( ו β -את שולםלהון ) התוצרהמ חלקהעבודהבתוצר ( שולםלעבודה ) אחוזהתוצרהמ 2 Paul H. Douglas, 1892-1976 3 טכנולוגיית תק"ל -הערות תהי ) F(K,L פונקציית ייצורתק"ל . אםלשני גורמיהייצורתפוקהשוליתחיוביתאזי התפוקההממוצעתשלכל גורם ייצור יורדת כשכמותועולה . KM P K+LM מתוך ) P L=F(K,L (K/L)M P K+M מתקבל P L=AP L M חיובימתקבלכי P L<AP L M מכיווןש – P K ולכןהתפוקההממוצעת יורדת . גורמי ייצור יקראומסייעיםאם FKL >0 גורמי ייצור יקראומתחריםאם FKL <0 אםלשני גורמיהייצורתפוקהשוליתפוחתתאזיהם מסייעים . ,L K+LF L=F(K גזירהשל ) KF KL +FL+LF LL =FL ומכאן FKL >0 KF לפי L גוררתכי : 4 שינויים טכנולוגיים שינוייםטכנולוגייםהינםשינוייםבפונקצייתהייצור . נניחכיפונקצייתהייצורבתקופה )Qt=AtF(Kt,L t ניתנתעלידי : t שינוייםבתפוקהמתקופהלתקופהיכוליםלנבוע ה שינויב – . A שומותו שינוייםבת מ שק . נקראשינויבפריוןהכוללבמ שינויב – A ) T F נקרא P שינויב – ) A כיצדאומדיםאתה שיםלבכי : נ ∂Q dL ∂L ∂Q ∂Q dA + dK ∂A ∂K + וחלוקהב – Q ∂Q L dL ∂L Q L + או dL L +ηQ L ייצור . = dQ גוררתכי ∂Q A dA ∂Q K dK + ∂A Q A ∂K Q K dK K dA +ηQ K A ⋅ =1 = dQ Q dQ Q שויותהינםהמעריכים במקרהשלקובדוגלאסהגמי שלומיםלכלגורם שאותםניתןלאמודלפיסךהת נצפיםוכך שינויב – A שינוייםלמעטה כלה שינויב – . A ניתןלאמודאתה 5 בעיית מינימום ההוצאות • • • • המגבלות – עקומה שוות תפוקה המטרות – מינימום הוצאות דרך הפעולה – ייצור התפוקה המבוקשת באמצעות צירוף גורמי הייצור הזול ביותר בהינתן מחיריהם והתפוקה המבוקשת. נתונים – רמת תפוקה מבוקשת ומחירי גורמי הייצור – טכנולוגיה )בדרך כלל מיוצגת על ידי פונקציית ייצור( • תוצאות • צירוף גורמי ייצור אופטימאלי ורמת הוצאות מינימאלית 6 מינימום הוצאות • נתונה רמת תפוקה מבוקשת q • מחירי התשומות נתונים על ידי w1,…,wm • אנו רוצים להביא למינימום הוצאות m Σ wi zi i=1 7 עקומות שוות הוצאה • • • • בהינתן מחירים w עקום שווה הוצאה הינו אוסף הנקודות zבמרחב התשומות שעולות אותו דבר במחירים אלו אוסף זה מהווה קו ישר 8 קווים שווי הוצאה שרטטו אוסף נקודות שעולה סכום קבוע. חזרו על הפעולה עם סכום גבוה יותר z2 ע ל ו תע הוסיפו חץ לשרטוט "w1z1 + w2z2 = c ו ל ה 'w1z1 + w2z2 = c w1z1 + w2z2 = c בזאת השתמשובזאת השתמשו למצוא כדילמצוא כדי אופטימום אופטימום z1 9 מינימום הוצאות היצרן מביא למינימום הוצאות תחת מגבלת תפוקה q z2 פתרון הבעיה minimise m Σ wizi ה ור ד ת ע לויו i=1 subject to F(z) ≥ q מה קורה במקרים אחרים? *z ת z1 10 Zמתנהגת יפה אבל לא ממש z2 כל zבקבוצה זו מביא למינימום את ההוצאות רצף של פתרונות z1 11 פתרון פינתי z2 כאן RTS21>w1/w2 תשומה 2יקרה מדי ולכן לוקחים אפס ממנה. z1 *z 12 Zשלא מתנהגת יפה z2 יש מספר פתרונות *z שימו לב שאין פתרון בין שני הפתרונות. **z z1 13 Zלא חלקה z2 ה RTSלא מוגדר * בנקודה z *z הוא הפתרון היחיד לכל יחס מחירים. *z z1 14 מינימום הוצאות – פתרון אלגברי • המסקנה מהשרטוטים היא שיש לשכור גורמי ייצור כך שיחס התפוקות השוליות של כל שני גורמי ייצור שווה ליחס מחיריהם ) (m-1תנאי השקה ,ולהיות על העקומה שוות תפוקה של ) qמשוואה .(m • מפתרון מערכת משוואות זו מתקבלים ביקושים לגורמי ייצור שנקראים ביקושים מותנים ,המתארים מה הכמות המבוקשת מכל גורם ייצור כפונקצייה של מחירי גורמי הייצור והתפוקה המבוקשת. • פונקציית ההוצאות מתקבלת מהצבת ביקושים אלו לתוך פונקציית המטרה. 15 דוגמה מספרית הטכנולוגיהשלהפירמה נתונהעל ידי F=z10.5 z20.3 : בעייתמינימוםההוצאותהינה : 1z1+w2z2 M inw S.T. z10.5 z20.3 ≥q z1,z 2≥0 ) L= w 1z1+w 2z2+λ(q - z 10.5 z20.3 התנאיםמסדרראשוןמתקבליםמגזירת יאןלפיכלמשתניההחלטה והכופלים הלאגראנג' והשוואהלאפס . בצורה זומתקבליםכלהפתרונותהפנימיים . כאןאיןפתרונותפינתייםאךבמידה והיו , היינו מקבליםכיבדרך זואחתהתשומות יוצאתשלילית . במקרה זה נניחכיתשומה זומתאפסתבאופטימום ונפתורמחדש ) גראפיתאואלגברית (. 16 דוגמה מספרית 1 - התנאיםמסדרראשון : ∂L 0. 3 = w1 − 0.5λ z1− 0.5 z 2 =0 ∂ z1 ∂L − 0.7 = w2 − 0.3λ z10.5 z 2 =0 ∂ z2 ∂L 0.3 = q − z10.5 z 2 =0 ∂λ חלוקתהמשוואההראשונהבשנייה גוררת : w1 5 z2 = w2 3 z1 ) זהותנאיההשקההמשווהאת יחסהתפוקות השוליותליחסמחיריהן ( 3w1 z1 מכאן נחלץאת : z2 5 w2 = z2 נציבלאילוץהתפוקה ונקבלאתהמשוואה: 17 דוגמה מספרית 2 - w20.375 0.5 3w1 z1 0.3 ( z1 ) = q 5w2 z1 = 0.6 − 0.375 q1.25 w1− 0.375 ומכאן: z2 = 0.60.625 q1.25 w10.625 w2− 0.625 C = 1.938 q1.25 w10.625 w20.375 כלומר: z1 ( w1, w2 , q ) = 1.211q1.25 w1− 0.375w20.375 z2 ( w1, w2 , q ) = 0.727q1.25 w10.625w2− 0.625 C ( w1 , w2 , q ) = 1.938q1.25w10.625w20.375 z1ו – z2 C הינם הביקושים המותנים. הינה פונקציית ההוצאות. 18 דוגמה מספרית נוספת F=K0.5+L0.5 תשובות סופיות ביקושים מותנים ופונקציית הוצאות PL q K (q, PK , PL ) = PK + PL 2 2 PK q L(q, PK , PL ) = PK + PL PK PL 2 C (q, PK , PL ) = q PK + PL 19 קו ההתרחבות • • • • קו התרחבות מוגדר כאוסף הצירופים של גורמי הייצור הנבחרים עבור רמות תפוקה שונות ,כשמחירי גורמי הייצור קבועים. קו ההתרחבות הינו ההשלכה של מערכת הביקוש המותנית על מישור התשומות. בשתי הדוגמאות הקודמות קו ההתרחבות יצא קו ישר .זה אינו מקרי מאחר וקווי ההתרחבות הינם קווים ישרים עבור טכנולוגיות הומוטתיות. גורם ייצור יקרא נחות אם הביקוש המותנה לגורם הייצור יורד כשהתפוקה עולה) .כלומר לקו ההתרחבות יש שיפוע שלילי( 20 הוצאה כוללת ,ממוצעת ,שולית • • • • • • ההוצאה הכוללת מסומנת ב .(TC(q ההוצאה הממוצעת הכוללת מסומנת ב – ,(ATC(qוניתנת על ידי .TC(q)/q ההוצאה השולית מסומנת ב – ,(MC(qוניתנת על ידי .dTC(q)/dq בשלב זה מניחים שיש שני גורמי ייצור משתנים ואין הוצאות קבועות. הקשרים בין TC , ACו – MCהינם הקשרים המקובלים בין כולל ,ממוצע ושולי. התחום בו ACיורד הינו תחום של יתרונות לגודל והתחום בו הוא עולה הינו תחום של חסרונות לגודל. 21 ATCו MC - חסרונות לגודל עקומת ההוצאות הממוצעות. יתרונות לגודל ה MCחותך את ה – ATCבנקודת המינימום שלה. MC ATC q q p היחס בין AC , MCו AVC - 21.02 23 השטח מתחת ל MCמהווה את ההוצאה המשתנה 21.03 24 ) c(y) = y2 + 1דוגמה – 1) :הוצאה קבועה 1. AC = y + 1/y 2. AV C = y 3. MC = 2y שרטוט בשקף הבא 25 21.04 26 תשואה לגודל ומבנה פונקציית ההוצאות • • • • נניח כי פונקציית הייצור הינה הומוגנית מדרגה .r ההוצאה הכוללת במקרה זה )עבור מחירי גורמי ייצור קבועים( ניתנת על ידי .TC(q)=Bq1/r לכן כאשר ) r>1תשואה עולה לגודל( ההוצאה הממוצעת והשולית פוחתות. כאשר ) r<1תשואה יורדת לגודל( ההוצאה הממוצעת והשולית עולות. כאשר ) r=1תשואה קבועה לגודל( ההוצאה הממוצעת שווה להוצאה השולית וקבועה. 27 יצרן רב -מפעלי נניח כי פירמה המייצרת את המוצר qיכולה לבחור אם לייצר אותו במפעל אחד או בשני מפעלים. פונקציית ההוצאות של כל מפעל ניתנת על ידי: C(q)=q2+A q>0ואפס אחרת. )פונקציה זו "ככל הנראה" התקבלה כתוצאה ממינימיזציה של הוצאות בהינתן מחירים )קבועים( של גורמי ייצור ופונקציית הייצור של מפעל בודד .ניתן לחשוב על A כעלות להפעלת מפעל ,למשל רישיון שצריך לשלם במידה ומייצרים כמות חיובית במפעל. מהי פונקציית ההוצאות של הפירמה ,וכיצד מחליטה הפירמה על מספר המפעלים המייצרים וחלוקת התפוקה ביניהם? 28 יצרן רב מפעלי 1 - עבור כל רמת תפוקה צריכה הפירמה להחליט האם להשתמש במפעל אחד או שניים. במידה ומשתמשים במפעל אחד פונקציית ההוצאות ניתנת על ידיC(q)=q2+A : במידה ומשתמשים בשני מפעלים ,פונקציית ההוצאות מתקבלת מפתרון הבעיה: )Min C(q1)+C(q2 S.T. q1+q2=q מבעיה זו )אם באמצעות לאגראנג'יאן ,או הצבה פשוטה( מתקבל כי יש לחלק את התפוקה בין שני המפעלים באופן שהעלות השולית תהיה זהה בשני המפעלים. מכיוון שהמפעלים זהים יש לכן לייצר כמות שווה בכל מפעל כלומר .q1=q2=q/2 פונקציית ההוצאות הינה לכן: (q/2)2+A+(q/2)2+A=q2/2+2A ההחלטה האם להפעיל מפעל אחד או שניים נקבעת על ידי השוואת העלויות בין שני 2 2 המקרים .כלומר עבור אותן רמות qהמקיימות q /2+2A>q +Aנפעיל מפעל אחד 29 בעוד שעבור רמות qהמקיימות את אי השיוויון ההפוך נפעיל שני מפעלים. יצרן רב מפעלי 2 - q < ( 2 A) 0.5 q ≥ ( 2 A) 0.5 q < ( 2 A) 0.5 q ≥ ( 2 A) 0.5 q 2 + A C (q) = q 2 / 2 + 2 A q + A / q AC ( q ) = q / 2 + 2 A / q q < ( 2 A) 0.5 q ≥ ( 2 A) 0.5 2q MC ( q ) = q עקומות ההוצאות וההוצאות הממוצעות אינן ומהוות מעטפת תחתונה לעקומות עבור " קופצות" עקומת ההוצאות מפעל אחד ועבור שני מפעלים. השוליות " קופצת ". ההצגה הגראפית עבור מקרה זה הינה ... 30 הצגה גראפית של מספר מפעלים – ACבטווח הקצר והארוך 21.08 31 הצגה גראפית של מספר מפעלים – MCבטווח הקצר והארוך 21.09 32 יצרן רב מפעלי 3 - מפעליםשירצה . הוצאות )C(q .A השלמים . נניחכעתשהיצרןהרבמפעלי יכוללהקיםכלמספר נניחשהמפעלים זהיםעםפונקציית למפעל ועלותההקמהשלמפעלהינה נפתוראתהבעיהראשיתתוךהתעלמותממגבלת מקימים נשיםלבשאםעלמנתלייצררמתתפוקה q יתנתעל ידי : פונקצייתההוצאותנ מפעלים , n nC(q/n)+nA מפעליםזהיםנייצרכמות זאתמאחרשאם יש n זההבכלאחדמהם . עלמנתלייצרבמינימוםעלותכלרמתתפוקה יש לפתורלכןאתהבעיההבאה : M innC (q/n)+nA n פתרונה ייתןאתמספרהמפעליםשישלהקים ואת העלות . תנאיהסדרהראשוןמתקבלעל ידיגזירהלפי n והינו : C(q/n)-(q/n)C' (q/n)+ A=0 תנאיזהגוררשהכמותהמיוצרתבכלמפעל )) q/n הינההכמותבהההוצאההממוצעתלמפעלשווה כלומרנקיםמספרמפעליםכזה להוצאההשולית , Aשלו . שכלמפעל יפעלבמינימום C בצעהשוואה במידה ומגבלתהשלמיםמופרת ישל הנמוך והגבוה (. בדידהביןשניהשלמים ) 33 יצרן רב מפעלי 4 - נניח כי C(q)=q2וכי העלות להקמת מפעל הינה . A Min ACמושג בכמות ,A0.5העלות בנקודה זו הינה . 2A לאור זאת העלות הכוללת לייצור qכשניתן לבחור את מספר המפעלים האופטימלי הינה: 2qA0.5 היא מושגת על ידי הקמת q/A0.5מפעלים וייצור כמות של A0.5בכל מפעל. וודאו כי פתרון ישיר מביא לתוצאה דומה. 34
© Copyright 2024