מערך השיעור הזה

‫מערך שיעור לדוגמא על תריסריון‬
‫המטרה שלי – להראות איך ניתן מבנייה כיפית להתמודד עם הרבה תכנים מתמטיים‪.‬‬
‫פתיחה‪ :‬להסביר שנרצה לבנות תריסריון בעצמנו )להראות אחד מהערכה(‪ .‬להדגיש ששלנו לא רק יהיה‬
‫קשיח יותר כך שכמעט אפשר יהיה לשחק בו כדורגל‪ ,‬הוא אפילו יהיה קופץ!!!‬
‫איך נבנה תריסריון? זו שאלה מנחה שאמורה להטריד את ליבנו‪ :‬איך האנשים שהכינו את הפריסה של‬
‫‪1‬‬
‫התריסריון הצליחו לבנות אותה?‬
‫בשלב זה כדאי לחכות לראות אם יש הצעות מהתלמידים‪ .‬קרוב לוודאי שלא יהיו כי זה די קשה לבנות‬
‫מחומש‪ .‬תוך כדי הדיון יש לכוון את הקהל לתובנה שעלינו לבנות מחומש! מדוע בעצם זה יקרב אותנו כמעט‬
‫‪2‬‬
‫עד למטרה?‬
‫בניית מחומש‪:‬‬
‫‪ .1‬לבקש רעיונות מהתלמידים‪ .‬להשתמש בנקודה זו כבמה כדי להזכיר מה זה מחומש‪ ,‬מחומש משוכלל‪,‬‬
‫ובאופן כללי מה זה מצולע משוכלל‪.‬‬
‫‪ .2‬לבקש מהם לנסות לבנות מחומש משוכלל‪ .‬זה די קשה‪ .‬להראות לכיתה ציורים מוצלחים )לא בטוח‬
‫‪3‬‬
‫שיהיו(‬
‫‪ .3‬בהתאם לתכנון הזמן להחליט אם לעשות את הדברים הבאים‪:‬‬
‫‪ .a‬לבקש מהם לצייר מרובע משוכלל )לומר דווקא את צמד המילים מרובע משוכלל ולא‬
‫לומר ריבוע; לחכות שמישהו ישאל מה זה מרובע משוכלל‪ .‬להשתמש כבמה לדבר על מה‬
‫זה מרובע ומה זה ריבוע‪.(4‬‬
‫‪ .b‬לבקש מהם לצייר משולש משוכלל‪ ,‬משושה משוכלל‪ ,‬ומתומן משוכלל‪ .‬הם אמורים‬
‫להצליח‪ .‬למרות שמשושה ומתומן זה לא טריוויאלי‪ .‬אפשר להעזר בדף משובץ בשביל‬
‫המתומן‪.‬‬
‫‪ .c‬לשאול מדוע קל יותר לצייר מצולעים משוכללים אלו לעומת מחומש משוכלל?‬
‫‪ .4‬אז איך בכל זאת ניתן לצייר מחומש? כדאי לכוון את הדיון לכך שעלינו למצוא את הזווית של‬
‫המחומש )או שמא עדיף להשתמש במינוח מחומש משוכלל?(‪ .‬להשתמש בשאלות אלו כדי להזכיר‬
‫שכל הזוויות במצולע משוכלל שוות!‬
‫‪ .5‬מהי הזווית שאנו מחפשים? אם יש לנו מד זווית ונדע מה הזווית שעלינו לבנות‪ ,‬נצליח לבנות מחומש‬
‫משוכלל!!!‬
‫‪ .6‬תת נושא‪ :‬איך נגלה מה הזווית? )נציג להלן שתי שיטות והשאלות להלן ינסו לכוון אליהן( שימו‬
‫לב שתת נושא זה יכול לשמש כשיעור נפרד לכיתה ה'!‬
‫‪ .a‬מהי הזוית במרובע משוכלל? איך אתם יודעים זאת?‬
‫‪ .i‬אני מניח שהתשובה הצפויה היא לומר שהצלעות מאונכות זו לזו‪ ,‬ולכן הזווית היא‬
‫‪ 90‬מעלות‪.‬‬
‫‪1‬למה לשאול שאלה כזו? הרי ברור שהם לא יצליחו‪ .‬אני חושב שזו מטרה בפני עצמה‪ .‬אם גרמת לאדם להבין שאלה באופן מוחלט‬
‫ולגרום לו לנסות לפתור אותה‪ ,‬זה הישג של ממש‪ .‬מתמטיקאים מבלים את מרבית זמנם בלא להצליח שאלות ופשוט "לבהות" בהן‪.‬‬
‫‪2‬הערה על אפלטון‪ :‬אנחנו כביכול רוצים "להמציא מחדש את הגלגל"‪ .‬שימו לב שאפלטון המציא‪/‬מצא את התריסריון הוא לא ידע‬
‫שהוא קיים ורק היה צריך לחשוב איך לבנות אותו‪ .‬משימתו של אפלטון היתה קשה הרבה יותר ומתמטיקאים לרוב נמצאים במצב‬
‫זה‪.‬‬
‫‪3‬ראו את ההערה הראשונה‪.‬‬
‫‪4‬הכנסת מינוחים תוך כדי דיבור‪ ,‬ועמידה על דקויות תוך כדי התעסקות בשאלה מעניינת יותר זוהי שיטה מאוד טובה להטמיע‬
‫רעיונות בתלמידים‪ .‬לרוב‪ ,‬אין זמן להקדיש שיעור שלם על ההבדל בין ריבוע למרובע ולכך שכל ריבוע הוא מרובע אך לא להיפך;‬
‫חוץ מזה‪ ,‬זה די משעממם לדבר רק על זה‪...‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪.iii‬‬
‫‪.iv‬‬
‫‪.v‬‬
‫‪.vi‬‬
‫‪.vii‬‬
‫‪.viii‬‬
‫‪.ix‬‬
‫‪.x‬‬
‫‪.xi‬‬
‫אם מישהו אומר שסך כל הזויות הם ‪ 360‬מעלות‪ ,‬לשאול אותו איך הוא יודע?‬
‫למה באמת יש ‪ 360‬מעלות? אם מישהו אומר שיש ‪ 4‬זוויות מאונכות לשאול אותו‬
‫כמה יש לאו דווקא במרובע משוכלל )ריבוע( אלא במרובע כללי‪ .‬מדוע יש ‪360‬‬
‫במרובע כללי?‬
‫תשובה אפשרית היא לחלק לשני משולשים פנימיים‪ ,‬לכל אחד יש ‪ 180‬מעלות‪.‬‬
‫• דרך אגב‪ ,‬למה למשולש יש סכום זוויות של ‪ 180‬מעלות?‬
‫• אני אשאיר לכם את זה כשיעורי בית לשיעור הבא‪...‬‬
‫אם התשובה של לחלק את המרובע לשני משולשים כדי למצוא את סכום הזוויות‬
‫לא עלתה‪ ,‬כדאי אולי לדחות אותה להמשך )ראו להלן(‬
‫להציג תמונה של כוורת‪:‬‬
‫איך התמונה יכולה לעזור לנו לגלות מה הזווית במשושה )משוכלל(?‬
‫מה עם המתומן? )אם ציירתם אותו בעזרת נייר משובץ‪ ,‬יהיה יחסית קל להגיע‬
‫לתשובה שהיא ‪(90+45‬‬
‫עוד שיטות?‬
‫• עוד שאלה שבטח לא כדאי לשאול כדי לא לסטות יותר מדי )אבל כן‬
‫כדאי לחשוב עליה לבד!(‪ :‬הציור למעלה הוא ריצוף של המישור על ידי‬
‫משושים‪ .‬כלומר‪ ,‬אפשר לשפץ את האמבטיה בעזרת אריחים משושים‬
‫)כמו בכוורת(‪ .‬אפשר כמובן עם ריבועים ואפשר עם משולשים )כיצד‬
‫בעצם?(‪ .‬אפשר עם מתומנים? אפשר עם מספר אחר? מחומשים?‬
‫משובעים? אם אי אפשר‪ ,‬מדוע אי אפשר?‬
‫• ההערה האחרונה‪ ,‬לגבי אפשרויות שיפוץ קירות האמבטיה‪ ,‬מראה‬
‫שכנראה לא נוכל להכליל את השיטה בה מצאנו את הזווית של‬
‫המשושה כדי למצוא הזווית של המחומש‪ .‬בנוסף‪ ,‬לא הצלחנו לצייר את‬
‫המחומש בעזרת דף משובץ כך שגם שיטה זו כנראה נדונה לכשלון‪.‬‬
‫תובנות כאלו ממש כדאי להעביר לתלמידים! התובנה שלא ניתן לעשות‬
‫משהו בדרך מסוימת היא לפחות חשובה כמו התובנה שכן ניתן‪.‬‬
‫איך תוכלו להעזר בציור הבא על מנת לחשב את הזווית של הריבוע‪) :‬כאן יש כבר‬
‫הכוונה לשיטה כללית(‬
‫לפרט את השיטה‬
‫‪ .xii‬אולי ניתן להכליל זאת למחומש? כיצד?‬
‫‪ .xiii‬בסעיף ‪ iv‬הצבענו על שיטה לחישוב הזוויות שמשתמשת בציור זה‪:‬‬
‫‪.xiv‬‬
‫‪ .xv‬הסבירו את השיטה הזו‪ :‬יש ‪ 2‬משולשים ולכן סה"כ ‪ 360‬מעלות )אולי כבר‬
‫עשיתם את זה בסעיפים הקודמים(‪ .‬לכן גודל הזוית הוא ‪ 360‬חלקי ‪.4‬‬
‫‪ .xvi‬השתמשו בשתי השיטות למשושה‪ :‬שיטה א‪:‬‬
‫‪ .xvii‬שיטה ב‪:‬‬
‫‪.xviii‬‬
‫מה ניתן ללמוד בעזרת השיטות האלו על סכום הזויות בצורה הבאה?‬
‫•‬
‫•‬
‫בחרו נקודת אמצע כלשהי‪ ,‬ושרטטו ממנה משולשים‬
‫חלקו את כל הצורה למשולשים ומצאו את סכום הזוויות‬
‫‪ .xix‬ניתן לקשר זאת למשהו על ממוצע )ספירליות!!(‪:‬‬
‫"מצאנו שבמשושה משוכלל יש ‪ 6‬זוויות של ‪120‬‬
‫מעלות‪ .‬באותה שיטה נמצא שבמשושה כללי יש ‪6‬‬
‫זוויות שממוצע גודלן הוא ‪ !120‬אכן‪ ,‬סכומן הוא‬
‫‪ 720‬ולכן ממוצען הוא ‪!120‬‬
‫‪ .xx‬עשו את שתי השיטות למחומש‪:‬‬
‫אולי יש לתלמידים עוד שיטות?‬
‫‪5‬‬
‫‪ .7‬בא שלום על ישראל ומצאנו שהזווית במחומש היא ‪ 108‬מעלות!‬
‫‪ .a‬בקשו מהם להשתמש במד זווית ולצייר מחומש‪ .‬שימו לב שזה עדיין לא טריוויאלי ועליהם‬
‫להשתמש בעובדה שכל הצלעות באותו גודל‪ .‬אל תגלו להם את זה מבעוד מועד!‬
‫‪ .b‬רגע!!! למרות שהצלחנו‪ ,‬זו רמאות!!! איך מי שהכין את המד זווית ידע לצייר את המקום‬
‫של ‪ 108‬מעלות???‬
‫‪ .c‬ללמד את השיטה עם הקשר‪) .‬מופיע בסרט על התריסריון הקופץ(‬
‫‪ .d‬לתת להם הביתה את הסרטון של האוריגמי ולבקש מתלמידים לנסות להכין כזה מאוריגמי‪.‬‬
‫‪ .e‬שאלה לממש מתקדמים )קשה גם לרמת תיכון(‪ :‬בנו מחומש משוכלל )או באופן שקול‪,‬‬
‫זווית של ‪ 108‬מעלות( בעזרת סרגל ומחוגה בלבד‪ .‬לידע כללי‪ ,‬למשל משובע משוכלל אי‬
‫אפשר לבנות! גאוס בנה בגיל ‪ 19‬מצולע משוכלל עם ‪ 17‬צלעות‪ ,‬שאלה לא פתורה שרבים‬
‫אחרים ניסו ולא הצליחו לפתור‪ .‬היום יודעים בדיוק אלו מצולעים אפשר לבנות ואלו אי‬
‫אפשר‪ ,‬והתוצאה הזו היא מסקנה מאחת התורות היפות במתמטיקה‪) .‬מי שמעונינת בעוד‬
‫פרטים אשמח לספר!!!(‬
‫‪ .8‬טוב‪ ,‬בנינו מחומש משוכלל‪ .‬איך בונים תריסריון? )שימו לב שאנחנו יודעים שאפשר! אפלטון היה‬
‫צריך לגלות גם את זה!(‬
‫‪ .a‬כדאי לתת לתלמידים לנסות‪ .‬כדאי להדריך אותם לנסות לצייר פריסות מתאימות על דף‬
‫ולגזור‪) .‬כדאי לתת להם תריסריון מוכן שיתבוננו בו(‬
‫‪ .b‬אם אין התקדמות‪ ,‬כדאי להסב את תשומת לבם‪ ,‬שהתריסריון בעצם מורכב משני חלקים‪,‬‬
‫שאפשר לקרוא להם למעלה ולמטה‪ ,‬המורכבים כל אחד משישה מחומשים‪.‬‬
‫‪ .c‬עכשיו‪ ,‬לפי הסגנון של כל מורה‪ ,‬אפשר ממש לכוון אותם לשימוש בקרטון על מנת להכין‬
‫אחד קופץ )כדאי להראות אחד מוכן(‪ ,‬או לתת להם להכין גזרה ולהשתמש בדבק או שדכן‪.‬‬
‫‪ .d‬דגש חשוב – כדי שהבנייה עם התריסריון הקופץ תעבוד‪ ,‬כדאי "לחרוץ" את הקיפולים‪,‬‬
‫להשתמש בגומייה עבה‪ ,‬והכי חשוב‪ ,‬להשתמש בגומייה המתאימה לגודל המחומש שבחרנו‪.‬‬
‫‪ .9‬יש עוד המון "מחשבות מתמטיות" שעולות כל הזמן‪ ,‬למשל כשמכינים את התריסריון הקופץ‬
‫ומתחילים לגזור‪ ,‬מגלים שיש שתי צלעות שנמצאות על אותו ישר )או כמעט על אותו ישר – ראו‬
‫איור(‪ .‬האם זה מקרי? האם זה בגלל שציירנו באופן לא מדוייק או דווקא מעיד שציירנו באופן‬
‫מדויק?‬
‫‪5‬זה מאוד חשוב לזכור שתמיד יתכן שישנה עוד דרך וחשוב לתת לזה מקום‪.‬‬
‫‪ .10‬שאלות נוספות שיכולות לעלות‪ /‬כדאי לכוון אליהן‪:‬‬
‫‪ .a‬האם יכולנו לבנות באופן דומה גוף משוכלל המורכב ממשושים משוכללים )אולי ע"י בניית‬
‫פרח כמו שבנינו עם המחומשים?( איך התשובה קשורה לכך שהזוית במשושה היא ‪120‬‬
‫ובמחומש היא ‪ ?108‬כאן יש פתיח לשאלה‪ :‬כמה פאונים משוכללים קיימים? מדוע? )ראו‬
‫הסברים נוספים בהמשך(‬
‫‪ .b‬האם ניתן להשתמש בחלוקה למשולשים פנימיים כדי למצוא את סכום הזוויות בכל מצולע?‬
‫מה למשל עם המצולע הבא‪:‬‬
‫‪ .c‬איך אפשר לשנות קצת את הטכניקה הזו כדי כן לחשב את סכום הזוויות במצולע זה?‬
‫‪ .d‬בבניית התריסריון‪ ,‬האם קיבלנו כדורגל מוצלח? לא ממש‪ .‬כשמכינים כדורגל תופרים אותו‬
‫מפאות שטוחות וקשיחות יחסית‪ ,‬כי קשה להכין כדור עגול שישמור על צורתו גם‬
‫כשבועטים בו בחוזקה‪ .‬אולי כדאי לחפש פאונים משוכללים אחרים שיתאימו יותר? אולי‬
‫לא חייבים מצולע משוכלל? חפשו תמונה של כדורגל באינטרנט וראו שזה מצולע לא‬
‫משוכלל‪ ,‬אבל עדיין מאוד מיוחד‪ .‬תוכלו להגדיר במה הוא מיוחד?‬
‫‪ .11‬לינקים רלוונטים‪:‬‬
‫אשים את כולם בדף הבית שלי בזמן הקרוב‪ ,‬יחד עם סרטים שאפשר להוריד‪.‬‬
‫בנייה מקיסמים וסוכריות‬
‫‪http://www.youtube.com/watch?v=5QgIJOy7T7Y‬‬
‫התריסריון הקופץ‪ :‬כולל הטריק המגניב על עשיית מחומש‪:‬‬
‫‪http://www.youtube.com/watch?v=b8EQnQ0SPYs‬‬
‫תריסריון באוריגמי )יש גם את כל המצולעים המשוכללים האחרים(‬
‫‪http://www.youtube.com/watch?v=mPQqU8FA9LU&feature=related‬‬
‫בניות בעזרת סרגל ומחוגה )העשרה(‪:‬‬
‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge_constructions‬‬
‫)יש שם גם קישור לעברית(‬
‫חוץ מזה אפשר לשלוח לי מייל בנושא; יש המון דברים מעניינים לתת לתלמידים טובים בכל הכיתות‪.‬‬
‫מדוע יש רק ‪ 5‬חמישה פאונים משוכללים ואיך אוקלידס יכל לגלות אותם‬
‫פתיחה ‪ :‬זה מערך המשך המתקשר לדיון הקודם דרך השאלה שמבקשת להבין האם יכולנו להתחקות אחרי‬
‫בניית התריסריון ממחומשים לבניית גוף משוכלל ע"י משושים‪.‬‬
‫• כדי לבנות את המחומש בנינו מן פרח ממחומשים ואותו קיפלנו על מנת לקבל גוף משוכלל‪.‬‬
‫• למה שלא נתחיל עם משושים? בקשו מהתלמידים לנסות לעשות אותו הדבר עם משושים‪.‬‬
‫• מה אנחנו בעצם מנסים לבנות? אנחנו מנסים לבנות גוף משוכלל‪ .‬מהו גוף משוכלל? הגדרה‪:‬‬
‫גוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים‪ ,‬ומספר הפאות הנפגשות‬
‫בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים‪.‬‬
‫"תת מערך שיעור – משחק בהגדרות"‬
‫•‬
‫הערה חשובה‪ :‬התת המערך הנ"ל מיועד לתלמידים ברמה גבוהה ויהווה קושי גם למתמטיקאים‬
‫מנוסים‪ .‬הסיבה שבחרתי לדבר עליו היא שפרט לכך שנראה תמונות יפות‪ ,‬המשחק ה"בלשי"‬
‫שאנו נשחק להלן חשוב מאוד גם לתלמידים החלשים‪ ,‬רק שיש לערוך אותו על נושא קל יותר‬
‫)ראו דוגמא בסוף על הגדרת הפירמידה(‬
‫‪6‬‬
‫עבודה בלשית‪ :‬האם ניתן לקצר את ההגדרה להגדרות אלו‪:‬‬
‫‪ o‬גוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים‪.‬‬
‫‪ o‬גוף משוכלל הוא פאון שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים‪ ,‬ומספר הפאות הנפגשות‬
‫בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים‪.‬‬
‫‪ o‬גוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים זהים‪ ,‬ומספר הפאות הנפגשות בכל‬
‫קודקוד שווה בכל הקדקודים‪.‬‬
‫‪ o‬גוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים‪ ,‬ומספר הפאות הנפגשות‬
‫בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים‪.‬‬
‫הדרכה‪:‬מצאו ראשית את ההבדלים בין הגדרות אלו למקורית‪ .‬לאחר מכן‪ ,‬העזרו‬
‫בתמונות אלו‪:‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ 6‬בכל פעם שנותנים הגדרה‪ ,‬חשוב לעבור עם התלמידים על מדוע הגדרנו דווקא כך‪ .‬להבין האם יכולנו לוותר על חלק מהדרישות‪,‬‬
‫האם יכולנו לתת הגדרות שונות שהיו גם כן נכונות‪ .‬בבית הספר היסודי יש להזהר בלעשות זאת יתר על המידה‪ ,‬כי אין בסיס‬
‫אקיוסמטי לגיאומטריה‪ .‬אשתדל לתת דוגמאות הממחישות זאת בסוף המערך‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪o‬‬
‫‪ o‬איזה פאונים ישנם שמקיימים את ההגדרה האחרונה? אלו ‪ 13‬פאוני ארכימדס )וכמובן‬
‫הפאונים האפלטונים מקיימים זאת גם כן(‪ .‬ביניהם יש את הכדורגל המפורסם‪ .‬לינק‪:‬‬
‫‪http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid‬‬
‫השאלה אלו אובייקטים אנחנו מוצאים אם אנחנו מוותרים על חלק התנאים בהגדרה מעניינת לא רק‬
‫לשם חידוד ההגדרה‪ ,‬אלא גם למציאת אובייקטים מעניינים חדשים‪ .‬לדוגמא ויתור על כך שהמצולעים‬
‫יהיו זהים )תוך התעקשות על כך שהם יהיו משוכללים ומספר הפאות סביב כל צלע יהיה זהה( הוביל‬
‫את ארכימדס למציאת ‪ 13‬פאוני ארכימדס )ואת הכדורגל!(‪.‬‬
‫•‬
‫נחזור לפאונים האפלטונים שלנו מצויידים בהגדרה של פאונים משוכללים )והבנה עמוקה שלה אם‬
‫עשינו את תת המערך(‪.‬‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫התלמידים המציירים "פרחים ממשושים" יקבלו שרטוט כזה‪:‬‬
‫קרוב לוודאי שחלקם ינסו להסביר "שלא ניתן לקפל את זה כמו קודם"‬
‫הכריחו את התלמידים לומר דברים יותר מדוייקים ויותר משכנעים‪ .‬למשל "מכיוון שסביב כל קודקוד‬
‫יש שלשה משושים‪ ,‬ולכל אחד יש זווית של ‪ 120‬מעלות‪ ,‬יש לנו זווית של ‪ 360‬מעלות מסביב‬
‫לקודקוד ולכן נקבל מבנה שטוח שלא ניתן לקפלו"‬
‫גרמו להן לחדד את תשובתיהם בלשאול למה זה עבד לנו עם מחומשים‪ .‬נסו לקבל תשובה מדוייקת‬
‫בסגנון " בניגוד למשושים‪ ,‬למחומשים ראינו שיש ‪ 108‬מעלות ולכן אם סביב קודקוד יש לנו שלשה‬
‫מחומשים‪ ,‬אז סה"כ הזוויות הוא ‪ 324‬ולכן יש לנו עוד אפשרות לקפל את המחומשים סביב הקודקוד‬
‫הזה‪ .‬זה בדיוק מה שראינו שהכנו את התריסריון הקופץ"‬
‫•‬
‫כאמור לעיל‪ ,‬בחרתי נושא מסובך למדי‪ ,‬בוודאי שעבור חלק גדול מהתלמידים‪ .‬אבל‬
‫מה שיש ללמוד מכאן זו החשיבות של לנסות לחדד את תשובותיהם של התלמידים‪.‬‬
‫לשאול תלמיד מדוע הסברו לגבי המשושים לא תקף גם למחומשים‪ ,‬יגרום לו לחדד‬
‫את אמירתו‪.‬‬
‫•‬
‫לכוון את התלמידים להסיק את המסקנה הבאה‪:‬‬
‫משפט‪ :‬סכום הזוויות סביב כל קודקוד של פאון קטן מ‪ 360-‬מעלות‬
‫•‬
‫אם כך‪ ,‬נסיק למשל שלא יתכנו פאונים עם משובעים‪ ,‬מתומנים וכן הלאה‪ .‬כלומר‪ ,‬פאונים יכול‬
‫להכיל רק משולשים‪ ,‬מרובעים ומחומשים!‬
‫•‬
‫•‬
‫אבל יש בו מתומן!‬
‫רגע‪ ,‬זה לא פאון?‬
‫נחדד את טענתנו‪ :‬לא יתכנו פאונים משוכללים עם משובעים‪ ,‬מתומנים וכן הלאה‪ .‬כלומר‪ ,‬פאונים‬
‫משוכללים יכולים להכיל רק משולשים‪ ,‬מרובעים ומחומשים!‬
‫מצויידים בתובנה זו נוכל בקלות להוכיח כי יש רק חמישה פאונים משוכללים‪:‬‬
‫‪ o‬נזכיר לתלמידים שבפאונים משוכללים יש רק פאה אחת והיא מצולע משוכלל‪ .‬אז נבדוק‬
‫אלו מקרים יתכנו עם משולש משוכלל‪ ,‬מרובע משוכלל ומחומש משוכלל‪.‬‬
‫‪ o‬ניוכח גם בכך שבפאון סביב קודקוד יש לפחות ‪ 3‬פאות! )מדוע?(‬
‫‪ o‬משולש‪:‬‬
‫ הזוית במשולש משוכלל היא ‪ 60‬מעלות‪ .‬אם כך‪ ,‬כמה משולשים משוכללים‬
‫יכולים להיות סביב קודקוד אחד?‬
‫• ‪ 3‬משולשים ‪ -‬נקבל את הפירמידה המשולשת‬
‫• ‪ 4‬משולשים‪ -‬נקבל את התמניון‬
‫• ‪ 5‬משולשים – נקבל את העשרימון‬
‫• ‪ 6‬משולשים – אוי! אי אפשר‪ -‬נקבל ‪ 360‬מעלות!‬
‫‪ o‬ריבוע‪:‬‬
‫ הזוית במרובע משוכלל היא ‪ 90‬מעלות‪ .‬אם כך‪ ,‬כמה משולשים משוכללים יכולים‬
‫להיות סביב קודקוד אחד?‬
‫• ‪ 3‬ריבועים – נקבל את הקוביה‬
‫• ‪ 4‬ריבועים – אוי! אי אפשר‪ -‬נקבל ‪ 360‬מעלות!‬
‫‪ o‬מחומש‪:‬‬
‫ הזוית במחומש משוכלל היא ‪ 108‬מעלות‪ .‬אם כך‪ ,‬כמה משולשים משוכללים‬
‫יכולים להיות סביב קודקוד אחד?‬
‫• ‪ 3‬מחומשים – נקבל את התריסריון‬
‫• ‪ 4‬מחומשים – אוי! אי אפשר‪ -‬נקבל יותר מ‪ 360-‬מעלות!‬
‫•‬
‫•‬
‫נסכם בטבלה‪:‬‬
‫מספר המצולעים סביב קודקוד‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6‬‬
‫סוג המצולע‬
‫משולש‬
‫‪360°‬‬
‫ריבוע‬
‫‪360°‬‬
‫מחומש‬
‫‪432°‬‬
‫למודלים מנייר של המון פאונים‪:‬‬
‫‪/http://www.korthalsaltes.com‬‬
‫אם היה לי אינסוף זמן על מה עוד הייתי מדבר‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫מדבר על נפחים! בייחוד הייתי מראה לכם את שלושת הפירמידות הממלאות קוביה! אולי‬
‫נעשה זאת בפעם הבאה‪.‬‬
‫משחק איתכן בהגדרות‪ ,‬כמו לעיל רק יותר פשוט‪ ,‬למשל על פירמידה‪:‬‬
‫‪ o‬פירמידה היא פאון שכל פאותיו פרט אולי לאחת )שתקרא הבסיס( הם משולשים‬
‫‪ o‬האם זו הגדרה נכונה?‬
‫‪ o‬האם ניתן להוסיף דרישה נוספת כדי להפוך אותה לנכונה?‬
‫‪ o‬התוכלו למצוא פאון שמקיים הגדרה זו אך אינו פירמידה?‬
‫‪ o‬התוכלו למצוא כזה בין הפאונים המשוכללים?‬
‫‪ o‬נוסיף שכל המשולשים שהם לא הבסיס נוגעים בנקודה אחת‪ .‬האם זה מספיק?‬
‫‪ o‬הגדרה אחרת לפירמידה‪ :‬פירמידה היא פאון בעל פאה שנקראת בסיס הפירמידה‬
‫וקודקוד הנקרא ראש הפירמידה‪ ,‬כל שהקודקוד לא נמצא על בסיס הפירמידה וכך‬
‫שכל הפאות האחרות מורכבות מישרים היוצאים מראש הפירמידה לצלעות‬
‫הבסיס‪.‬‬
‫‪ o‬היתכנו שתי הגדרות שונות לאותו דבר? תנו דוגמאות‪.‬‬
‫הייתי עושה איתכם את אותה פעילות רק על המנסרה )הרבה יותר קשה להגדיר מנסרה!(‬
‫איך לעזור לילדים המתקשים לקשר שרטוטים דו מימדיים עם גופים תלת מימדיים‪.‬‬
‫‪ o‬איך אתן מתמודדות עם זה?‬
‫‪ o‬לצבוע איתם צדדים נגדיים בשרטוט בצבעים שונים‪ /‬גוונים שונים‪.‬‬
‫‪http://www.youtube.com/watch?v=BsaOP5NMcCM o‬‬
‫‪ o‬הדגמה אינטראקיטבית )דורשת שיהיה מותקן ‪ java‬בדפדפן‪ -‬לרוב מותקן(‬
‫‪http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_128_g_3_t_3.html?open=i o‬‬
‫‪nstructions&from=category_g_3_t_3.html‬‬
‫‪ o‬להראות תעתועי ראייה‬
‫‪ o‬בשלב מתקדם יותר להראות איך על‬
‫כקובייה‬
‫•‬
‫אפשר להסתכל‬
‫כאשר זו הפינה הקרוב אלינו‪ ,‬ואפשר להסתכל‬
‫כאשר זו הפינה הקרובה אלינו‪.‬‬
‫עליה כקובייה‬
‫הייתי מדבר על דואליות של פאונים משוכללים‪.‬‬