מערך השיעור הזה
מערך שיעור לדוגמא על תריסריון המטרה שלי – להראות איך ניתן מבנייה כיפית להתמודד עם הרבה תכנים מתמטיים. פתיחה :להסביר שנרצה לבנות תריסריון בעצמנו )להראות אחד מהערכה( .להדגיש ששלנו לא רק יהיה קשיח יותר כך שכמעט אפשר יהיה לשחק בו כדורגל ,הוא אפילו יהיה קופץ!!! איך נבנה תריסריון? זו שאלה מנחה שאמורה להטריד את ליבנו :איך האנשים שהכינו את הפריסה של 1 התריסריון הצליחו לבנות אותה? בשלב זה כדאי לחכות לראות אם יש הצעות מהתלמידים .קרוב לוודאי שלא יהיו כי זה די קשה לבנות מחומש .תוך כדי הדיון יש לכוון את הקהל לתובנה שעלינו לבנות מחומש! מדוע בעצם זה יקרב אותנו כמעט 2 עד למטרה? בניית מחומש: .1לבקש רעיונות מהתלמידים .להשתמש בנקודה זו כבמה כדי להזכיר מה זה מחומש ,מחומש משוכלל, ובאופן כללי מה זה מצולע משוכלל. .2לבקש מהם לנסות לבנות מחומש משוכלל .זה די קשה .להראות לכיתה ציורים מוצלחים )לא בטוח 3 שיהיו( .3בהתאם לתכנון הזמן להחליט אם לעשות את הדברים הבאים: .aלבקש מהם לצייר מרובע משוכלל )לומר דווקא את צמד המילים מרובע משוכלל ולא לומר ריבוע; לחכות שמישהו ישאל מה זה מרובע משוכלל .להשתמש כבמה לדבר על מה זה מרובע ומה זה ריבוע.(4 .bלבקש מהם לצייר משולש משוכלל ,משושה משוכלל ,ומתומן משוכלל .הם אמורים להצליח .למרות שמשושה ומתומן זה לא טריוויאלי .אפשר להעזר בדף משובץ בשביל המתומן. .cלשאול מדוע קל יותר לצייר מצולעים משוכללים אלו לעומת מחומש משוכלל? .4אז איך בכל זאת ניתן לצייר מחומש? כדאי לכוון את הדיון לכך שעלינו למצוא את הזווית של המחומש )או שמא עדיף להשתמש במינוח מחומש משוכלל?( .להשתמש בשאלות אלו כדי להזכיר שכל הזוויות במצולע משוכלל שוות! .5מהי הזווית שאנו מחפשים? אם יש לנו מד זווית ונדע מה הזווית שעלינו לבנות ,נצליח לבנות מחומש משוכלל!!! .6תת נושא :איך נגלה מה הזווית? )נציג להלן שתי שיטות והשאלות להלן ינסו לכוון אליהן( שימו לב שתת נושא זה יכול לשמש כשיעור נפרד לכיתה ה'! .aמהי הזוית במרובע משוכלל? איך אתם יודעים זאת? .iאני מניח שהתשובה הצפויה היא לומר שהצלעות מאונכות זו לזו ,ולכן הזווית היא 90מעלות. 1למה לשאול שאלה כזו? הרי ברור שהם לא יצליחו .אני חושב שזו מטרה בפני עצמה .אם גרמת לאדם להבין שאלה באופן מוחלט ולגרום לו לנסות לפתור אותה ,זה הישג של ממש .מתמטיקאים מבלים את מרבית זמנם בלא להצליח שאלות ופשוט "לבהות" בהן. 2הערה על אפלטון :אנחנו כביכול רוצים "להמציא מחדש את הגלגל" .שימו לב שאפלטון המציא/מצא את התריסריון הוא לא ידע שהוא קיים ורק היה צריך לחשוב איך לבנות אותו .משימתו של אפלטון היתה קשה הרבה יותר ומתמטיקאים לרוב נמצאים במצב זה. 3ראו את ההערה הראשונה. 4הכנסת מינוחים תוך כדי דיבור ,ועמידה על דקויות תוך כדי התעסקות בשאלה מעניינת יותר זוהי שיטה מאוד טובה להטמיע רעיונות בתלמידים .לרוב ,אין זמן להקדיש שיעור שלם על ההבדל בין ריבוע למרובע ולכך שכל ריבוע הוא מרובע אך לא להיפך; חוץ מזה ,זה די משעממם לדבר רק על זה... .ii .iii .iv .v .vi .vii .viii .ix .x .xi אם מישהו אומר שסך כל הזויות הם 360מעלות ,לשאול אותו איך הוא יודע? למה באמת יש 360מעלות? אם מישהו אומר שיש 4זוויות מאונכות לשאול אותו כמה יש לאו דווקא במרובע משוכלל )ריבוע( אלא במרובע כללי .מדוע יש 360 במרובע כללי? תשובה אפשרית היא לחלק לשני משולשים פנימיים ,לכל אחד יש 180מעלות. • דרך אגב ,למה למשולש יש סכום זוויות של 180מעלות? • אני אשאיר לכם את זה כשיעורי בית לשיעור הבא... אם התשובה של לחלק את המרובע לשני משולשים כדי למצוא את סכום הזוויות לא עלתה ,כדאי אולי לדחות אותה להמשך )ראו להלן( להציג תמונה של כוורת: איך התמונה יכולה לעזור לנו לגלות מה הזווית במשושה )משוכלל(? מה עם המתומן? )אם ציירתם אותו בעזרת נייר משובץ ,יהיה יחסית קל להגיע לתשובה שהיא (90+45 עוד שיטות? • עוד שאלה שבטח לא כדאי לשאול כדי לא לסטות יותר מדי )אבל כן כדאי לחשוב עליה לבד!( :הציור למעלה הוא ריצוף של המישור על ידי משושים .כלומר ,אפשר לשפץ את האמבטיה בעזרת אריחים משושים )כמו בכוורת( .אפשר כמובן עם ריבועים ואפשר עם משולשים )כיצד בעצם?( .אפשר עם מתומנים? אפשר עם מספר אחר? מחומשים? משובעים? אם אי אפשר ,מדוע אי אפשר? • ההערה האחרונה ,לגבי אפשרויות שיפוץ קירות האמבטיה ,מראה שכנראה לא נוכל להכליל את השיטה בה מצאנו את הזווית של המשושה כדי למצוא הזווית של המחומש .בנוסף ,לא הצלחנו לצייר את המחומש בעזרת דף משובץ כך שגם שיטה זו כנראה נדונה לכשלון. תובנות כאלו ממש כדאי להעביר לתלמידים! התובנה שלא ניתן לעשות משהו בדרך מסוימת היא לפחות חשובה כמו התובנה שכן ניתן. איך תוכלו להעזר בציור הבא על מנת לחשב את הזווית של הריבוע) :כאן יש כבר הכוונה לשיטה כללית( לפרט את השיטה .xiiאולי ניתן להכליל זאת למחומש? כיצד? .xiiiבסעיף ivהצבענו על שיטה לחישוב הזוויות שמשתמשת בציור זה: .xiv .xvהסבירו את השיטה הזו :יש 2משולשים ולכן סה"כ 360מעלות )אולי כבר עשיתם את זה בסעיפים הקודמים( .לכן גודל הזוית הוא 360חלקי .4 .xviהשתמשו בשתי השיטות למשושה :שיטה א: .xviiשיטה ב: .xviii מה ניתן ללמוד בעזרת השיטות האלו על סכום הזויות בצורה הבאה? • • בחרו נקודת אמצע כלשהי ,ושרטטו ממנה משולשים חלקו את כל הצורה למשולשים ומצאו את סכום הזוויות .xixניתן לקשר זאת למשהו על ממוצע )ספירליות!!(: "מצאנו שבמשושה משוכלל יש 6זוויות של 120 מעלות .באותה שיטה נמצא שבמשושה כללי יש 6 זוויות שממוצע גודלן הוא !120אכן ,סכומן הוא 720ולכן ממוצען הוא !120 .xxעשו את שתי השיטות למחומש: אולי יש לתלמידים עוד שיטות? 5 .7בא שלום על ישראל ומצאנו שהזווית במחומש היא 108מעלות! .aבקשו מהם להשתמש במד זווית ולצייר מחומש .שימו לב שזה עדיין לא טריוויאלי ועליהם להשתמש בעובדה שכל הצלעות באותו גודל .אל תגלו להם את זה מבעוד מועד! .bרגע!!! למרות שהצלחנו ,זו רמאות!!! איך מי שהכין את המד זווית ידע לצייר את המקום של 108מעלות??? .cללמד את השיטה עם הקשר) .מופיע בסרט על התריסריון הקופץ( .dלתת להם הביתה את הסרטון של האוריגמי ולבקש מתלמידים לנסות להכין כזה מאוריגמי. .eשאלה לממש מתקדמים )קשה גם לרמת תיכון( :בנו מחומש משוכלל )או באופן שקול, זווית של 108מעלות( בעזרת סרגל ומחוגה בלבד .לידע כללי ,למשל משובע משוכלל אי אפשר לבנות! גאוס בנה בגיל 19מצולע משוכלל עם 17צלעות ,שאלה לא פתורה שרבים אחרים ניסו ולא הצליחו לפתור .היום יודעים בדיוק אלו מצולעים אפשר לבנות ואלו אי אפשר ,והתוצאה הזו היא מסקנה מאחת התורות היפות במתמטיקה) .מי שמעונינת בעוד פרטים אשמח לספר!!!( .8טוב ,בנינו מחומש משוכלל .איך בונים תריסריון? )שימו לב שאנחנו יודעים שאפשר! אפלטון היה צריך לגלות גם את זה!( .aכדאי לתת לתלמידים לנסות .כדאי להדריך אותם לנסות לצייר פריסות מתאימות על דף ולגזור) .כדאי לתת להם תריסריון מוכן שיתבוננו בו( .bאם אין התקדמות ,כדאי להסב את תשומת לבם ,שהתריסריון בעצם מורכב משני חלקים, שאפשר לקרוא להם למעלה ולמטה ,המורכבים כל אחד משישה מחומשים. .cעכשיו ,לפי הסגנון של כל מורה ,אפשר ממש לכוון אותם לשימוש בקרטון על מנת להכין אחד קופץ )כדאי להראות אחד מוכן( ,או לתת להם להכין גזרה ולהשתמש בדבק או שדכן. .dדגש חשוב – כדי שהבנייה עם התריסריון הקופץ תעבוד ,כדאי "לחרוץ" את הקיפולים, להשתמש בגומייה עבה ,והכי חשוב ,להשתמש בגומייה המתאימה לגודל המחומש שבחרנו. .9יש עוד המון "מחשבות מתמטיות" שעולות כל הזמן ,למשל כשמכינים את התריסריון הקופץ ומתחילים לגזור ,מגלים שיש שתי צלעות שנמצאות על אותו ישר )או כמעט על אותו ישר – ראו איור( .האם זה מקרי? האם זה בגלל שציירנו באופן לא מדוייק או דווקא מעיד שציירנו באופן מדויק? 5זה מאוד חשוב לזכור שתמיד יתכן שישנה עוד דרך וחשוב לתת לזה מקום. .10שאלות נוספות שיכולות לעלות /כדאי לכוון אליהן: .aהאם יכולנו לבנות באופן דומה גוף משוכלל המורכב ממשושים משוכללים )אולי ע"י בניית פרח כמו שבנינו עם המחומשים?( איך התשובה קשורה לכך שהזוית במשושה היא 120 ובמחומש היא ?108כאן יש פתיח לשאלה :כמה פאונים משוכללים קיימים? מדוע? )ראו הסברים נוספים בהמשך( .bהאם ניתן להשתמש בחלוקה למשולשים פנימיים כדי למצוא את סכום הזוויות בכל מצולע? מה למשל עם המצולע הבא: .cאיך אפשר לשנות קצת את הטכניקה הזו כדי כן לחשב את סכום הזוויות במצולע זה? .dבבניית התריסריון ,האם קיבלנו כדורגל מוצלח? לא ממש .כשמכינים כדורגל תופרים אותו מפאות שטוחות וקשיחות יחסית ,כי קשה להכין כדור עגול שישמור על צורתו גם כשבועטים בו בחוזקה .אולי כדאי לחפש פאונים משוכללים אחרים שיתאימו יותר? אולי לא חייבים מצולע משוכלל? חפשו תמונה של כדורגל באינטרנט וראו שזה מצולע לא משוכלל ,אבל עדיין מאוד מיוחד .תוכלו להגדיר במה הוא מיוחד? .11לינקים רלוונטים: אשים את כולם בדף הבית שלי בזמן הקרוב ,יחד עם סרטים שאפשר להוריד. בנייה מקיסמים וסוכריות http://www.youtube.com/watch?v=5QgIJOy7T7Y התריסריון הקופץ :כולל הטריק המגניב על עשיית מחומש: http://www.youtube.com/watch?v=b8EQnQ0SPYs תריסריון באוריגמי )יש גם את כל המצולעים המשוכללים האחרים( http://www.youtube.com/watch?v=mPQqU8FA9LU&feature=related בניות בעזרת סרגל ומחוגה )העשרה(: http://en.wikipedia.org/wiki/Compass_and_straightedge_constructions )יש שם גם קישור לעברית( חוץ מזה אפשר לשלוח לי מייל בנושא; יש המון דברים מעניינים לתת לתלמידים טובים בכל הכיתות. מדוע יש רק 5חמישה פאונים משוכללים ואיך אוקלידס יכל לגלות אותם פתיחה :זה מערך המשך המתקשר לדיון הקודם דרך השאלה שמבקשת להבין האם יכולנו להתחקות אחרי בניית התריסריון ממחומשים לבניית גוף משוכלל ע"י משושים. • כדי לבנות את המחומש בנינו מן פרח ממחומשים ואותו קיפלנו על מנת לקבל גוף משוכלל. • למה שלא נתחיל עם משושים? בקשו מהתלמידים לנסות לעשות אותו הדבר עם משושים. • מה אנחנו בעצם מנסים לבנות? אנחנו מנסים לבנות גוף משוכלל .מהו גוף משוכלל? הגדרה: גוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים ,ומספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים. "תת מערך שיעור – משחק בהגדרות" • הערה חשובה :התת המערך הנ"ל מיועד לתלמידים ברמה גבוהה ויהווה קושי גם למתמטיקאים מנוסים .הסיבה שבחרתי לדבר עליו היא שפרט לכך שנראה תמונות יפות ,המשחק ה"בלשי" שאנו נשחק להלן חשוב מאוד גם לתלמידים החלשים ,רק שיש לערוך אותו על נושא קל יותר )ראו דוגמא בסוף על הגדרת הפירמידה( 6 עבודה בלשית :האם ניתן לקצר את ההגדרה להגדרות אלו: oגוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים. oגוף משוכלל הוא פאון שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים זהים ,ומספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים. oגוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים זהים ,ומספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים. oגוף משוכלל הוא פאון קמור שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים ,ומספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד שווה בכל הקדקודים. הדרכה:מצאו ראשית את ההבדלים בין הגדרות אלו למקורית .לאחר מכן ,העזרו בתמונות אלו: o 6בכל פעם שנותנים הגדרה ,חשוב לעבור עם התלמידים על מדוע הגדרנו דווקא כך .להבין האם יכולנו לוותר על חלק מהדרישות, האם יכולנו לתת הגדרות שונות שהיו גם כן נכונות .בבית הספר היסודי יש להזהר בלעשות זאת יתר על המידה ,כי אין בסיס אקיוסמטי לגיאומטריה .אשתדל לתת דוגמאות הממחישות זאת בסוף המערך. o o oאיזה פאונים ישנם שמקיימים את ההגדרה האחרונה? אלו 13פאוני ארכימדס )וכמובן הפאונים האפלטונים מקיימים זאת גם כן( .ביניהם יש את הכדורגל המפורסם .לינק: http://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_solid השאלה אלו אובייקטים אנחנו מוצאים אם אנחנו מוותרים על חלק התנאים בהגדרה מעניינת לא רק לשם חידוד ההגדרה ,אלא גם למציאת אובייקטים מעניינים חדשים .לדוגמא ויתור על כך שהמצולעים יהיו זהים )תוך התעקשות על כך שהם יהיו משוכללים ומספר הפאות סביב כל צלע יהיה זהה( הוביל את ארכימדס למציאת 13פאוני ארכימדס )ואת הכדורגל!(. • נחזור לפאונים האפלטונים שלנו מצויידים בהגדרה של פאונים משוכללים )והבנה עמוקה שלה אם עשינו את תת המערך(. • • • התלמידים המציירים "פרחים ממשושים" יקבלו שרטוט כזה: קרוב לוודאי שחלקם ינסו להסביר "שלא ניתן לקפל את זה כמו קודם" הכריחו את התלמידים לומר דברים יותר מדוייקים ויותר משכנעים .למשל "מכיוון שסביב כל קודקוד יש שלשה משושים ,ולכל אחד יש זווית של 120מעלות ,יש לנו זווית של 360מעלות מסביב לקודקוד ולכן נקבל מבנה שטוח שלא ניתן לקפלו" גרמו להן לחדד את תשובתיהם בלשאול למה זה עבד לנו עם מחומשים .נסו לקבל תשובה מדוייקת בסגנון " בניגוד למשושים ,למחומשים ראינו שיש 108מעלות ולכן אם סביב קודקוד יש לנו שלשה מחומשים ,אז סה"כ הזוויות הוא 324ולכן יש לנו עוד אפשרות לקפל את המחומשים סביב הקודקוד הזה .זה בדיוק מה שראינו שהכנו את התריסריון הקופץ" • כאמור לעיל ,בחרתי נושא מסובך למדי ,בוודאי שעבור חלק גדול מהתלמידים .אבל מה שיש ללמוד מכאן זו החשיבות של לנסות לחדד את תשובותיהם של התלמידים. לשאול תלמיד מדוע הסברו לגבי המשושים לא תקף גם למחומשים ,יגרום לו לחדד את אמירתו. • לכוון את התלמידים להסיק את המסקנה הבאה: משפט :סכום הזוויות סביב כל קודקוד של פאון קטן מ 360-מעלות • אם כך ,נסיק למשל שלא יתכנו פאונים עם משובעים ,מתומנים וכן הלאה .כלומר ,פאונים יכול להכיל רק משולשים ,מרובעים ומחומשים! • • אבל יש בו מתומן! רגע ,זה לא פאון? נחדד את טענתנו :לא יתכנו פאונים משוכללים עם משובעים ,מתומנים וכן הלאה .כלומר ,פאונים משוכללים יכולים להכיל רק משולשים ,מרובעים ומחומשים! מצויידים בתובנה זו נוכל בקלות להוכיח כי יש רק חמישה פאונים משוכללים: oנזכיר לתלמידים שבפאונים משוכללים יש רק פאה אחת והיא מצולע משוכלל .אז נבדוק אלו מקרים יתכנו עם משולש משוכלל ,מרובע משוכלל ומחומש משוכלל. oניוכח גם בכך שבפאון סביב קודקוד יש לפחות 3פאות! )מדוע?( oמשולש: הזוית במשולש משוכלל היא 60מעלות .אם כך ,כמה משולשים משוכללים יכולים להיות סביב קודקוד אחד? • 3משולשים -נקבל את הפירמידה המשולשת • 4משולשים -נקבל את התמניון • 5משולשים – נקבל את העשרימון • 6משולשים – אוי! אי אפשר -נקבל 360מעלות! oריבוע: הזוית במרובע משוכלל היא 90מעלות .אם כך ,כמה משולשים משוכללים יכולים להיות סביב קודקוד אחד? • 3ריבועים – נקבל את הקוביה • 4ריבועים – אוי! אי אפשר -נקבל 360מעלות! oמחומש: הזוית במחומש משוכלל היא 108מעלות .אם כך ,כמה משולשים משוכללים יכולים להיות סביב קודקוד אחד? • 3מחומשים – נקבל את התריסריון • 4מחומשים – אוי! אי אפשר -נקבל יותר מ 360-מעלות! • • נסכם בטבלה: מספר המצולעים סביב קודקוד 3 5 4 6 סוג המצולע משולש 360° ריבוע 360° מחומש 432° למודלים מנייר של המון פאונים: /http://www.korthalsaltes.com אם היה לי אינסוף זמן על מה עוד הייתי מדבר • • • • מדבר על נפחים! בייחוד הייתי מראה לכם את שלושת הפירמידות הממלאות קוביה! אולי נעשה זאת בפעם הבאה. משחק איתכן בהגדרות ,כמו לעיל רק יותר פשוט ,למשל על פירמידה: oפירמידה היא פאון שכל פאותיו פרט אולי לאחת )שתקרא הבסיס( הם משולשים oהאם זו הגדרה נכונה? oהאם ניתן להוסיף דרישה נוספת כדי להפוך אותה לנכונה? oהתוכלו למצוא פאון שמקיים הגדרה זו אך אינו פירמידה? oהתוכלו למצוא כזה בין הפאונים המשוכללים? oנוסיף שכל המשולשים שהם לא הבסיס נוגעים בנקודה אחת .האם זה מספיק? oהגדרה אחרת לפירמידה :פירמידה היא פאון בעל פאה שנקראת בסיס הפירמידה וקודקוד הנקרא ראש הפירמידה ,כל שהקודקוד לא נמצא על בסיס הפירמידה וכך שכל הפאות האחרות מורכבות מישרים היוצאים מראש הפירמידה לצלעות הבסיס. oהיתכנו שתי הגדרות שונות לאותו דבר? תנו דוגמאות. הייתי עושה איתכם את אותה פעילות רק על המנסרה )הרבה יותר קשה להגדיר מנסרה!( איך לעזור לילדים המתקשים לקשר שרטוטים דו מימדיים עם גופים תלת מימדיים. oאיך אתן מתמודדות עם זה? oלצבוע איתם צדדים נגדיים בשרטוט בצבעים שונים /גוונים שונים. http://www.youtube.com/watch?v=BsaOP5NMcCM o oהדגמה אינטראקיטבית )דורשת שיהיה מותקן javaבדפדפן -לרוב מותקן( http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_128_g_3_t_3.html?open=i o nstructions&from=category_g_3_t_3.html oלהראות תעתועי ראייה oבשלב מתקדם יותר להראות איך על כקובייה • אפשר להסתכל כאשר זו הפינה הקרוב אלינו ,ואפשר להסתכל כאשר זו הפינה הקרובה אלינו. עליה כקובייה הייתי מדבר על דואליות של פאונים משוכללים.
© Copyright 2024