‫דר' גיא רון‬ ‫פרופ' ניר שביב‬ ‫מכניקה ויחסות פרטית ‪77101‬‬ ‫מועד א׳‪ ,‬תשע"ד‬ ‫• המבחן הוא ללא כל חומר עזר‪ ,‬פרט לפריטים הבאים‪:‬‬ ‫ ‪ 2‬דפי נוסחאות )‪ 4‬עמודי ‪.(A4‬‬‫ מחשבון‬‫ חוברת אינטגרלים או ספר עזר במתמטיקה ) ‪.(Mathematical Handbook‬‬‫ מילון לדוברי שפה זרה‬‫• יש לנמק את התשובות‪ .‬תשובה לא מנומקת לא תתקבל‪.‬‬ ‫• משך המבחן ‪ 3‬שעות‪.‬‬ ‫• בבחינה ‪ 2‬חלקים‪:‬‬ ‫ בחלק א' יש לענות על ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬שאלות‪ 35) .‬נק' כל שאלה(‬‫ בחלק ב' יש לענות על ‪ 2‬מתוך ‪ 3‬שאלות‪ 15) .‬נק' כל שאלה(‬‫• יש לכתוב בצד שמאל של המחברת בלבד‪ .‬בצד ימין ניתן להשתמש כטיוטא‪.‬‬ ‫• יש לכתוב את פתרון השאלות השונות בעמודים נפרדים ולהקיף את הפתרונות הסופיים במסגרת‪.‬‬ ‫• לפני מסירת הבחינה‪ ,‬יש לציין על הצד הפנימי של כנף העטיפה את השאלות שנבחרו לבדיקה‪ .‬כל זאת‬ ‫בכדי להקל על הבדיקה ולמנוע טעויות מיותרות‪ .‬תודה!‬ ‫• כמו בחיים האמיתיים‪ ,‬בשאלות יתכנו נתונים שאינם דרושים לפתרון הבעיה‪.‬‬ ‫בהצלחה!‬ ‫חלק א׳‬ ‫ענו על שתיים מתוך שלוש השאלות )‪ 35‬נק׳ כל שאלה(‪:‬‬ ‫‪ .1‬מוט על גלילים מסתובבים‪ :‬מוט אחיד בעל מסה ‪ M‬מונח על שני גלילים )בעלי צירים הקבועים במרחב(‬ ‫ברדיוס ‪ R‬שמרכזיהם במרחק ‪ a‬זה מזה‪ .‬המוט מונח אסימטרית כך שמרחק מרכז המוט מאחד הגלילים‬ ‫הוא ‪ . x 0‬מקדם החיכוך הדינמי בין הגלילים למוט הוא ‪) ,‬הניחו בכל השאלה כי החיכוך הוא קינטי –‬ ‫כלומר הגלגלים אינם במצב של גלגול ללא החלקה(‪ .‬תנאי ההתחלה של מרכז המוט הם‪:‬‬ ‫‪x (0)= x 0‬‬ ‫‪x˙ (0)=0‬‬ ‫מצאו ופיתרו את משוואות התנועה עבור מרכז המוט כאשר‪:‬‬ ‫א‪ .‬הגלילים מסתובבים זה לקראת זה במהירות זוויתית * ‪.‬‬ ‫ב‪ .‬הגלילים מסתובבים במהירות זוויתית * בכיוון ההפוך מסעיף א׳‬ ‫)כלומר הופכים את הכיוון הסיבוב של שני הגלילים( ‪.‬‬ ‫‪ .2‬קליעים ומוטות‪ :‬שלושה מוטות מחוברים זה לזה בקצוותיהם‪ ,‬באופן קשיח‪ ,‬במישור‪ ,‬ויוצרים זווית של ‪120°‬‬ ‫ביניהם‪ .‬המוטות דקים‪ ,‬בעלי אורך ‪ L‬ומסה ‪ m‬כל אחד‪ .‬מערכת המוטות נמצאת במנוחה על שולחן אופקי‬ ‫חסר חיכוך‪ .‬ברגע מסוים פוגעים שני קליעים שמסותיהם ‪ m‬כל אחד‪,‬‬ ‫במהירות ‪ v0‬בקצוות של שניים מהמוטות‪ ,‬בכיוון ניצב להם ונצמדים‪,‬‬ ‫כמתואר בציור‪.‬‬ ‫א‪ .‬בטאו את ווקטור המיקום של מרכז המסה כתלות בזמן‪ ,‬אחרי‬ ‫ההתנגשות‪ .‬הגדירו את ראשית הצירים כמקום החיבור של המוטות‬ ‫לפני פגיעת הקליעים‪.‬‬ ‫ב‪ .‬מהי המיהירות הזוויתית של המערכת סביב מרכז המסה?‬ ‫ג‪ .‬מהי המהירות המקסימלית של הקצה ללא קליע יחסית לשולחן‪ ,‬וכעבור‬ ‫כמה זמן מהירות זו תתקבל?‬ ‫‪ .3‬מיואונים ופיונים‪:‬‬ ‫א‪ .‬לחלקיק מסוג מיואון מסת מנוחה של ‪ M ,=106 MeV /c2‬וזמן חיים של ‪ . 2.2⋅10-6 Sec‬חלקיקים‬ ‫כאלו נוצרים באטמוספירה )נאמר בגובה של ‪ 10‬ק"מ( ונמדדים לעיתים בכדור הארץ )כמו בחדר‬ ‫ההרצאות בבניין פלדמן(‪ .‬מהי האנרגיה המינימלית לחלקיק כזה ע"מ שיגיע לפני כדור הארץ בזמן קצר‬ ‫מזמן החיים שלו?‬ ‫ב‪ .‬פרוטונים בעלי אנרגיה גבוהה מאוד ) ‪ ( M p =938 MeV /c 2‬יכולים לאבד אנרגיה ע"י התנגשויות עם‬ ‫‪+‬‬ ‫פוטונים של קרינת הרקע הקוסמית וייצור פיונים ) ‪ ( M -=139 MeV /c 2‬בתהליך‪. p&+' p&- :‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫לפוטונים של קרינת הרקע הקוסמית אנרגיה של ‪) E +=3.45⋅10 eV‬לידע כללי‪ ,‬המתאימה‬ ‫לטמפרטורה של ‪ 2.7‬מעלות( וכמובן פוטונים הם חסרי מסה‪ .‬מהי האנרגיה הדרושה לפרוטון ע"מ‬ ‫שהתהליך יתאפשר )רמז‪ :‬הוכיחו קודם כי באנרגיה מספיק גבוהה מתקיים בקירוב ‪E p =P p c‬‬ ‫‪6‬‬ ‫והשתמשו בקירוב זה‪ .‬כמו כן‪.( MeV =10 eV ,‬‬ ‫חלק ב׳‬ ‫ענו על שתיים מתוך שלוש השאלות )‪ 15‬נק׳ כל שאלה(‪:‬‬ ‫*‬ ‫‪ .4‬חרוז על חישוק‪ :‬חרוז בעל מסה ‪ m‬נע ללא חיכוך על חישוק בעל רדיוס ‪.R‬‬ ‫החישוק מאולץ להסתובב בתדירות זוויתית * קבועה‪ .‬בבעיה אין כבידה‪.‬‬ ‫מצאו את התדירות ‪ .‬של תנודות קטנות שיבצע החרוז סביב הנקודות‬ ‫הרחוקות מציר הסיבוב‪ ,‬כמתואר בציור‪.‬‬ ‫‪ .5‬פרצסיית כדו״א‪ :‬ציר הסיבוב של כדו״א מבצע פרצסיה כתוצאה ממונט ממוצע המופעל ע״י גרמי‬ ‫שמיים אחרים בזמן מחזור של ‪ 26000‬שנים‪ .‬אם הציר סביבו מבצע כדו״א את הפרצסיה ניצב למסלול‬ ‫סיבובו של כדו״א סביב השמש )כמתואר בציור(‪ ,‬מצאו את גודלו הממוצע של מומנט זה‪ .‬מה כיוונו בכל‬ ‫רגע נתון?‬ ‫‪24‬‬ ‫‪37‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לשימושכם‪ ,‬מסת כדו״א היא ‪ M E =6.0×10 kg‬ומומנט האינרציה שלו הוא ‪. I E =8.0×10 kg m‬‬ ‫כמו כן ציר סיבוב כדו״א נתוי בזווית של ‪ 23.4°‬יחסית למסלול הסיבוב של כדו״א סביב השמש‪.‬‬ ‫‪ .6‬תנודות כדורים וקפיצים‪ :‬שני כדורים בעלי מס ה ‪ 2m‬ו‪3m 3m-‬‬ ‫מחוברים ע״י שני קפיצים במקביל‪ ,‬בעלי קבועי קפיץ ‪ 2k‬ו‪.3k-‬‬ ‫הכדורים נזרקים באוויר‪ .‬מה תהיה התדירות הזוויתית של‬ ‫התנודה אם המערכת אינה מסתובבת?‬ ‫‪3k‬‬ ‫‪2k‬‬ ‫‪2m‬‬